cap 2 5 derivadas parciais de ordens superiores(1)

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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 1
Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de
ordens superiores
2.5.1 - Derivadas parciais de segunda ordem 2.5.3 - Derivadas parciais de ordens superiores
2.5.2 - Teorema de Clairaut-Schwarz-Young
Neste cap´ıtulo, continuaremos o estudo de derivadas parciais de func¸o˜es de diversas varia´veis reais. Veremos
agora como generalizar o conceito de derivadas de derivadas. Veremos tambe´m um importante teorema, que
pode reduzir bastante a quantidade de ca´lculos dessas derivadas de ordens superiores.
2.5.1 - Derivadas parciais de segunda ordem
Na aula passada, vimos como definir derivadas parciais para uma func¸a˜o de n varia´veis reais. Tomando
o caso particular de uma func¸a˜o de duas varia´veis reais, f(x, y), podemos deriva´-la com relac¸ao a x ou com
relac¸a˜o a y, obtendo as derivadas parciais
∂f
∂x
= lim
∆x→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x
e
∂f
∂y
= lim
∆y→0
f(x, y +∆y)− f(x, y)
∆y
.
Tambe´m podemos derivar derivadas parciais, obtendo derivadas parciais de segunda ordem. No caso de
uma func¸a˜o de duas varia´veis reais, podemos derivar cada uma das duas derivadas pariciais da func¸a˜o com
relac¸a˜o a` varia´vel x e com relac¸a˜o a` varia´vel y, de modo que teremos 4 derivadas parciais de segunda ordem:
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
,
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
,
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
,
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
.
Note que na˜o estamos elevando nada ao quadrado nas expresso˜es acima. Temos apenas s´ımbolos, como
os da notac¸a˜o de Leibniz para a derivada segunda de uma func¸a˜o de uma varia´vel:
d2f
dx2
.
De modo semelhante, uma func¸a˜o de treˆs varia´veis reais teria 32 = 9 derivadas parciais de segunda ordem
e uma func¸a˜o de n varia´veis reais, n2 derivadas parciais de segunda ordem.
Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o f(x, y) = xy2+2x.
Soluc¸a˜o: calculamos primeira as derivadas de primeira ordem (ja´ calculadas na sec¸a˜o 4.3.2):
∂f
∂x
= y2 + 2x e
∂f
∂y
= 2xy .
Derivando
∂f
∂x
com relac¸a˜o a x e a y, temos
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
∂x
(y2 + 2) = 0 e
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
∂y
(y2 + 2) = 2y .
Derivando
∂f
∂y
com relac¸a˜o a x e a y, temos
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
∂x
2xy = 2y e
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
∂y
2xy = 2x .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 2
Exemplo 2: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o f(x, y) = x seny.
Soluc¸a˜o: as derivadas de primeira ordem ficam
∂f
∂x
= sen y e
∂f
∂y
= x cos y .
Derivando
∂f
∂x
com relac¸a˜o a x e a y, temos
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
∂x
sen y = 0 e
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
∂y
sen y = cos y .
Derivando
∂f
∂y
com relac¸a˜o a x e a y, temos
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
∂x
x cos y = cos y e
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
∂y
x cos y = −x sen y .
Exemplo 3: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o
f(x, y) = ln(x2 − y3).
Soluc¸a˜o: as derivadas de primeira ordem ficam
∂f
∂x
=
1
x2 − y3 · 2x =
2x
x2 − y3 e
∂f
∂y
=
1
x2 − y3 · (−3y
2) =
−3y2
x2 − y3 .
As derivadas parciais de segunda ordem ficam, usando a regra
(u
v
)′
=
u′v − uv′
v2
,
∂2f
∂x2
=
2 · (x2 − y3)− 2x · 2x
(x2 − y3)2 =
2x2 − 2y3 − 4x2
(x2 − y3)2 =
−2x2 − 2y3
(x2 − y3)2 ,
∂2f
∂y∂x
=
0 · (x2 − y3)− 2x(−3y2)
(x2 − y3)2 =
6xy2
(x2 − y3)2 ,
∂2f
∂x∂y
=
0 · (x2 − y3) + 3y2 · 2x
(x2 − y3)2 =
6xy2
(x2 − y3)2 ,
∂2f
∂y2
=
−6y(x2 − y3) + 3y2(−3y2)
(x2 − y3)2 =
−6x2y + 6y4 − 9y4
(x2 − y3)2 =
−6x2y − 3y4
(x2 − y3)2 .
Note que nos treˆs exemplos anteriores as derivadas parciais
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
sa˜o iguais. Isto pode ser genera-
lizado pelo que chamaremos de Teorema de Clairaut-Schwarz-Young.
2.5.2 - Teorema de Clairaut-Schwarz-Young
Para o caso de uma func¸a˜o de duas varia´veis reais, esse teorema afirma que, dada uma func¸a˜o f(x, y)
que tenha derivadas segundas cont´ınuas em um determinado ponto (x0, y0) ∈ D(f), enta˜o ∂
2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
. O
teorema e´ enunciado a seguir.
Teorema 1 - Teorema de Clairaut-Schwarz-Young para func¸o˜es de duas varia´veis reais -
dada uma func¸a˜o f(x, y) definida em uma regia˜o D(f) ∈ R2 tal que (x0, y0) ∈ D(f), se ∂
2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
,
calculadas em (x0, y0), forem ambas cont´ınuas nesse ponto, enta˜o
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
em (x, y) = (x0, y0).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 3
Este teorema, demonstrado na Leitura Complementar 1.4.2, reduz bastante a necessidade de ca´lculos de
derivadas superiores e e´ va´lido para a grande maioria das func¸o˜es encontradas nas a´reas de Economia e Ad-
ministrac¸a˜o. Ele tambe´m e´ va´lido para derivadas de func¸o˜es de mais de duas varia´veis reais. Note, pore´m, que
o teorema na˜o afirma que, se
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
na˜o forem cont´ınuas, enta˜o elas na˜o podem ser iguais.
Observac¸a˜o: o teorema e´ chamado pela literatura matema´tica de Teorema de Clairaut, mas tambe´m como
Teorema de Schwarz. Os economistas o chamam Teorema de Young. Por isso, foi escolha deste livro chamar o
teorema pelo nome desses treˆs poss´ıveis autores.
Vamos utilizar o teorema 1 no ca´lculo de mais algumas derivadas parciais de segunda ordem.
Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o
f(x, y) =
√
4− x2 + y2.
Soluc¸a˜o: escrevendo a func¸a˜o na forma de uma poteˆncia, f(x, y) = (4−x2+ y2)1/2 as derivadas de primeira ordem
ficam
∂f
∂x
=
1
2
(4− x2 + y2)−1/2(−2x) = −x(4− x2 + y2)−1/2 e ∂f
∂y
=
1
2
(4− x2 + y2)−1/2(2y) = y(4− x2 + y2)−1/2 .
As derivadas parciais de segunda ordem sa˜o feitas a seguir:
∂2f
∂x2
= −(4− x2 + y2)−1/2 + 1
2
x(4 − x2 + y2)−3/2(−2x) = −(4− x2 + y2)−1/2 + x2(4− x2 + y2)−3/2 ,
∂2f
∂y∂x
=
1
2
x(4 − x2 + y2)−3/2(2y) = xy(4− x2 + y2)−3/2 ,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= xy(4− x2 + y2)−3/2 ,
∂2f
∂y2
= (4− x2 + y2)−1/2 − 1
2
y(4− x2 + y2)−3/2(2y) = (4 − x2 + y2)−1/2 − y2(4− x2 + y2)−3/2 .
Para func¸o˜es de n varia´veis reais, f = f(x1, · · · , xn), onde podemos ter n derivadas parciais de primeira
ordem e n2 derivadas parciais de segunda ordem, podemos enunciar uma versa˜o mais geral do teorema 1.
Teorema 2 - Teorema de Clairaut-Schwarz-Young para func¸o˜es de n varia´veis reais - dada
uma func¸a˜o f(x1, · · · , xn) definida em uma regia˜o D(f) ∈ Rn tal que (x10, · · · , xn0) ∈ D(f), se ∂
2f
∂xi∂xj
e
∂2f
∂xj∂xi
, onde i, j = 1, · · · , n, calculadas em (x10, · · · , xn0), forem ambas cont´ınuas nesse ponto, enta˜o
∂2f
∂xi∂xj
=
∂2f
∂xj∂xi
em (x1, · · · , xn) = (x10, · · · , xn0).
Exemplo 2: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o
f(x, y, z) = x ln(yz).
Soluc¸a˜o: as derivadas parciais de primeira ordem ja´ foram calculadas no exemplo 4 da sec¸a˜o anterior. A partir
delas, calculamos
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
ln(yz) = 0 ,
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
x
y
=
1
y
,
∂2f
∂x∂z
=
∂
∂x
x
z
=
1
z
,
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂y
=
1
y
,
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
x
y
= − x
y2
,
∂2f
∂y∂z
=
∂
∂y
x
z
= 0 ,
∂2f
∂z∂x
=
∂2f
∂x∂z
=
1
z
,
∂2f
∂z∂y
=
∂2f
∂y∂z
= 0 ,
∂2f
∂z2
=
∂
∂z
x
z
= − x
z2
.
Por fim, veremos uma func¸a˜o que na˜o obedece ao teorema 1.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordenssuperiores 4
Exemplo 4: calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da func¸a˜o
f(x) =


xy3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0);
0 , (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o: primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem dessa func¸a˜o. Para (x, y) 6= 0, a derivada
parcial de f com relac¸a˜o a x fica, utilizando a regra da derivada do quociente de duas func¸o˜es,
(u
v
)′
=
u′v − uv′
v2
,
∂f
∂x
=
y3(x2 + y2)− xy3 · 2x
(x2 + y2)2
=
x2y3 + y5 − 2x2y3
(x2 + y2)2
=
y5 − x2y3
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0) .
Ja´ a derivada parcial de f com relac¸a˜o a x no ponto (0, 0) tem que ser calculada utilizando a definic¸a˜o de derivada
parcial:
∂f(0, 0)
∂x
= lim
∆x→0
f(0 + ∆x, 0)− f(0, 0)
∆x
= lim
∆x→0
∆x·03
(∆x)2+02 − 0
∆x
= lim
∆x→0
0− 0
∆x
= 0 , (x, y) = (0, 0) .
Portanto,
∂f
∂x
=


y5 − x2y3
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0);
0 , (x, y) = (0, 0).
De modo semelhante, a derivada parcial de f com relac¸a˜o a y para (x, y) 6= (0, 0) fica
∂f
∂y
=
3xy2(x2 + y2)− xy3 · 2y
(x2 + y2)2
=
3x3y2 + 3xy4 − 2xy4
(x2 + y2)2
=
3x3y2 + xy4
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0) .
A derivada parcial de f com relac¸a˜o a y no ponto (0, 0) tem que ser calculada utilizando a definic¸a˜o de derivada
parcial:
∂f(0, 0)
∂y
= lim
∆y→0
f(0, 0 + ∆y)− f(0, 0)
∆y
= lim
∆y→0
0·(∆y)3
02+(∆y)2 − 0
∆y
= lim
∆y→0
0− 0
∆y
= 0 , (x, y) = (0, 0) .
Portanto,
∂f
∂y
=


3x3y2 + xy4
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0);
0 , (x, y) = (0, 0).
As derivadas de segunda ordem ficam
∂2f
∂x2
=
−2xy3(x2 + y2)2 − (y5 − x2y3) · 2(x2 + y2) · 2x
(x2 + y2)4
, (x, y) 6= (0, 0) e
∂2f(0, 0)
∂x2
= lim
∆x→0
∂f(0+∆x,0)
∂x − ∂f(0,0)∂x
∆x
= lim
∆x→0
0
(∆x)4 − 0
∆x
= lim
∆x→0
0
∆x
= 0 , (x, y) = (0, 0);
∂2f
∂y∂x
=
(5y4 − 3x2y2)(x2 + y2)2 − (y5 − x2y3) · 2(x2 + y2) · 2y
(x2 + y2)4
(x, y) 6= (0, 0) e
∂2f(0, 0)
∂y∂x
= lim
∆y→0
∂f(0,0+∆y)
∂x − ∂f(0,0)∂x
∆y
= lim
∆y→0
(∆y)5
(∆y)4 − 0
∆y
= lim
∆y→0
∆y − 0
∆y
= lim
∆y→0
1 = 1 , (x, y) = (0, 0);
∂2f
∂x∂y
=
(9x2y2 + y4)(x2 + y2)2 − (3x3y2 + xy4) · 2(x2 + y2) · 2x
(x2 + y2)4
(x, y) 6= (0, 0) e
∂2f(0, 0)
∂x∂y
= lim
∆x→0
∂f(0+∆x,0)
∂y − ∂f(0,0)∂y
∆x
= lim
∆x→0
0− 0
∆x
= 0 , (x, y) = (0, 0);
∂2f
∂y2
=
(6x3y + 4xy3)(x2 + y2)2 − (3x3y2 + xy4) · 2(x2 + y2) · 2y
(x2 + y2)4
, (x, y) 6= (0, 0) e
∂2f(0, 0)
∂y2
= lim
∆y→0
∂f(0,0+∆y)
∂y − ∂f(0,0)∂y
∆y
= lim
∆y→0
0− 0
∆y
= 0 , (x, y) = (0, 0).
Note que, no exemplo 4,
∂2f(0, 0)
∂y∂x
6= ∂
2f(0, 0)
∂x∂y
. Isto na˜o contraria o teorema 1, pois essas derivadas parciais
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 5
de segunda ordem na˜o sa˜o cont´ınuas no ponto (0, 0).
Alexis Claude de Clairaut (1713-1765): filho de um matema´tico, ele foi uma crianc¸a prod´ıgio, produzindo
material de vanguarda em matema´tica quando so´ tinha 13 anos de idade. Aos 18 anos, foi admitido na Academia
de Cieˆncias Francesa. Realisou pesquisa em matema´tica, planetologia (forc¸as centr´ıfugas no equador terrestre) e
astronomia. Apo´s ficar famoso, Clairaut gastava muito tempo com festas e com mulheres, o que acabou por minar
um pouco do seu trabalho e da sua sau´de. Morreu aos 52 anos de idade.
Karl Hermann Amandus Schwarz (1864-1951): inicialmente interessado em Qu´ımica, Schwarz ingressou na
universidade para estudar esse campo da cieˆncia. No entanto, alguns de seus professores, percebendo a sua vocac¸a˜o
em matema´tica, o convenceram a mudar o assunto de seus estudos. Schwarz trabalhou em Go¨ttingen e em Berlim
(Alemanha) no campo da Ana´lise Complexa e foi membro da Academia Real. Ale´m de matema´tico, ele tambe´m
desenvolveu alguns trabalhos volunta´rios: foi capita˜o da Brigada Volunta´ria de Bombeiros local e tambe´m auxiliava
no fechamento das portas dos trens na estac¸a˜o ferrovia´ria local.
William Henry Young (1863-1942): nasceu em Londres (Inglaterra) e estudou na Universidade de Cambridge,
onde se destacou como o melhor aluno de sua turma. No entanto, so´ veio a interessar-se pela pesquisa em
matema´tica apo´s casar-se com a tambe´m matema´tica Grace Chisholm. O casal desenvolveu diversas pesquisas
de importaˆncia em matema´tica e mudou-se pra Go¨ttingen (Alemanha), onde estavam os principais matema´ticos
em sua a´rea na e´poca. Depois, mudaram-se com seus cinco filhos primeiro para Genebra e depois para Lausanne
(Su´ıc¸a). Nessa e´poca, William ocupou diversas posic¸o˜es em per´ıodo parcial como professor e examinador em
diversas universidades do Reino Unido (incluindo a I´ndia). Sua maior obra foi um tratado sobre func¸o˜es de
diversas varia´veis. Era considerado um homem vivaz, tanto f´ısica quanto mentalmente.
2.5.3 - Derivadas parciais de ordens superiores
Do mesmo como como derivamos as derivadas parciais de uma func¸a˜o para conseguir derivadas parciais de
segunda ordem, podemos derivar essas novas derivadas sucessivamente, obtendo derivadas de ordens 3, 4 e, em
geral, de ordem n. Por exemplo, uma func¸a˜o de duas varia´veis reais tem duas derivadas parciais de primeira
ordem, quatro derivadas parciais de segunda ordem e oito derivadas parciais de terceira ordem (figura a seguir).
Uma func¸a˜o de treˆs varia´veis reais tera´ 3 derivadas parciais de primeira ordem, 9 de segunda ordem e 27 de
terceira ordem. No caso geral, uma func¸a˜o de m varia´veis reais tera´ mn derivadas parciais de ordem n.
f(x, y)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
∂3f
∂x3
∂3f
∂y∂x2
∂3f
∂x∂y∂x
∂3f
∂y2∂x
∂3f
∂x2∂y
∂3f
∂y∂x∂y
∂3f
∂x∂y2
∂3f
∂y3
Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais de terceira ordem da func¸a˜o f(x, y) = x2 ln y.
Soluc¸a˜o: as derivadas parciais de primeira ordem ficam
∂f
∂x
= 2x ln y e
∂f
∂y
=
x2
y
= x2y−1 .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 6
As derivadas parciais de segunda ordem sa˜o
∂2f
∂x2
= 2 ln y ,
∂2f
∂y∂x
=
2x
y
= 2xy−1 ,
∂2f
∂x∂y
= 2xy−1 e
∂2f
∂y2
= −x2y−2 .
As derivadas parciais de terceira ordem, ficam, enta˜o,
∂3f
∂x3
= 0 ,
∂3f
∂y∂x2
=
2
y
,
∂3f
∂x∂y∂x
=
2
y
,
∂3f
∂y2∂x
= −2x
y2
,
∂3f
∂x2∂y
=
2
y
,
∂3f
∂y∂x∂y
= −2x
y2
,
∂3f
∂x∂y2
= −2x
y2
,
∂3f
∂y3
=
2x2
y3
.
Como derivadas parciais de ordens maiores que 2 raramente aparecem em Economia, Administrac¸a˜o ou
mesmo nas cieˆncias exatas, na˜o ficaremos muito tempo estudando essas ordens de derivadas.
No cap´ıtulo seguinte introduziremos dois conceitos diretamente ligados ao de derivadas parciais: o gradiente
e a hessiana.
Resumo
• Derivadas parciais de segunda ordem:
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
,
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
,
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
,
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
.
• Teorema de Clairaut-Schwarz-Young para func¸o˜es de uma varia´vel real: dada uma func¸a˜o
f(x, y) definida em uma regia˜o D(f) ∈ R2 tal que (x0, y0) ∈ D(f), se ∂
2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
, calculadas em
(x0, y0), forem ambas cont´ınuas nesse ponto, enta˜o
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
em (x, y) = (x0, y0).
• Teorema de Clairaut-Schwarz-Young para func¸o˜es de n varia´veis reais - dada uma func¸a˜o
f(x1, · · · , xn) definida em uma regia˜o D(f) ∈ Rn tal que (x10, · · · , xn0) ∈ D(f), se ∂
2f
∂xi∂xj
e
∂2f
∂xj∂xi
, onde i, j = 1, · · · , n, calculadas em (x10, · · · , xn0), forem ambas cont´ınuas nesse ponto, enta˜o
∂2f
∂xi∂xj
=
∂2f
∂xj∂xi
em (x1, · · · , xn) = (x10, · · · , xn0).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 7Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.5
Nı´vel 1
Derivadas parciais de segunda ordem
Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da func¸a˜o f(x, y, z) = x cos(yz).
Soluc¸a˜o: as derivadas parciais de primeira ordem ja´ foram calculadas no exemplo 1. A partir delas, calculamos
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
∂x
cos(yz) = 0 ,
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
∂x
[−xz sen (yz)] = −z sen (yz) ,
∂2f
∂x∂z
=
∂
∂x
∂f
∂z
=
∂
∂x
[−xy sen (yz)] = −y sen (yz) , ∂
2f
∂x∂y
= −z sen (yz) ,
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
∂y
[−xz sen (yz)] = −xz cos(yz) · z = −xz2 cos(yz) ,
∂2f
∂y∂z
=
∂
∂y
∂f
∂z
=
∂
∂y
[−xy sen (yz)] = −x sen (yz)− xy cos(yz) · z = −x sen (yz)− xyz cos(yz) ,
∂2f
∂z∂x
=
∂2f
∂x∂z
= −y sen (yz) , ∂
2f
∂z∂y
=
∂2f
∂y∂z
= −x sen (yz)− xyz cos(yz) ,
∂2f
∂z2
=
∂
∂z
∂f
∂z
=
∂
∂z
[−xy sen (yz)] = −xy cos(yz) · y = −xy2 cos(yz) .
E1) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = xy3, b) f(x, y) = 2x+ cos y, c) f(x, y, z) = 4xz − 8y2, d) f(x, y, z) = 8x√y − 2 ez ,
e) f(x, y) = ln(x− y), f) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 − 8 ln z, g) f(x, y, z) = x√x2 − z2 + 2yz,
h) f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
.
Nı´vel 2
E1) Dada uma func¸a˜o de produc¸a˜o P (K,L) em func¸a˜o do capital K investido e do valor L da ma˜o-de-obra de
uma determinada empresa ou pa´ıs, chamamos
∂P
∂K
de produtividade marginal do capital e
∂P
∂L
de produtividade
marginal do trabalho.
Considere uma indu´stria cuja produc¸a˜o seja modelada pela func¸a˜o P (K,L) = 20K0,4L0,6, onde K e´ o
capital investido e L sa˜o os gastos com a ma˜o-de-obra, ambos medidos em milhares de reais.
a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa func¸a˜o de produc¸a˜o.
b) Qual sera´ o efeito sobre a produtividade marginal do capital caso haja um pequeno aumento no capital
investido em maquina´rio e em infra-estrutura?
c) Qual sera´ o efeito sobre a produtividade marginal do capital caso haja um aumento um pequeno aumento
no investimento em trabalho?
E2) O dalambertiano de uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) e´ definido como∇2f = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
e sua definic¸a˜o
pode ser generalizada para func¸o˜es de mais de duas varia´veis.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 8
a) Mostre que, para f(x, y) =
1√
x2 + y2
, ∇2f = 1
f3
.
b) Mostre que, para f(x, y) =
1√
x2 + y2 + y3
, ∇2f = 0.
Nı´vel 3
E1) Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas, P (K,L)AKαL1−α, 0 < α < 1, em func¸a˜o do capital K
investido e do valor L da ma˜o-de-obra de uma determinada empresa ou pa´ıs.
a) Calcule todas as derivadas de primeira e de segunda ordens dessa func¸a˜o.
b) Deˆ uma interpretac¸a˜o econoˆmica para os sinais de
∂2P
∂K2
e de
∂2P
∂L2
.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) ∂
2f
∂x2 = 0,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x = 3y
2, ∂
2f
∂y2 = 6xy; b)
∂2f
∂x2 = 0,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x = 0,
∂2f
∂y2 = − cos y; c) ∂
2f
∂x2 = 0,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x = 0,
∂2f
∂x∂z =
∂2f
∂z∂x = 4,
∂2f
∂y2 = −16, ∂
2f
∂y∂z =
∂2f
∂z∂y = 0,
∂2f
∂z2 = 0; ; d)
∂2f
∂x2 = 0,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x =
4√
x
,
∂2f
∂x∂z =
∂2f
∂z∂x = 0,
∂2f
∂y2 = − 2xy3/2 , ∂
2f
∂y∂z =
∂2f
∂z∂y = 0,
∂2f
∂z2 = −2 ez; e) ∂
2f
∂x2 ==
−1
(x−y)2 ,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x =
1
(x−y)2 ,
∂2f
∂y2 =
−1
(x−y)2 ; f)
∂2f
∂x2 =
y2
(x2+y2)3/2
, ∂
2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x =
−xy
(x2+y2)3/2
, ∂
2f
∂x∂z =
∂2f
∂z∂x = 0,
∂2f
∂y2 =
x2
(x2+y2)3/2
,
∂2f
∂y∂z =
∂2f
∂z∂y = 0,
∂2f
∂z2 =
8
z2 ; g)
∂2f
∂x2 =
2x3−3xz2
(x2−z2)3/2 ,
∂2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x = 0,
∂2f
∂x∂z =
∂2f
∂z∂x =
z3
(x2−z2)3/2 ,
∂2f
∂y2 = 0,
∂2f
∂y∂z =
∂2f
∂z∂y = 2,
∂2f
∂z2 =
z3−zx2−xz2
(x2−z2)3/2 ; h)
∂2f
∂x2 =
2x2−y2−z2
(x2+y2+z2)5/2
, ∂
2f
∂x∂y =
∂2f
∂y∂x =
3xy
(x2+y2+z2)5/2
,
∂2f
∂x∂z =
∂2f
∂z∂x =
3xz
(x2+y2+z2)5/2
, ∂
2f
∂y2 =
2y2−x2−z2
(x2+y2+z2)5/2
, ∂
2f
∂y∂z =
∂2f
∂z∂y =
3yz
(x2+y2+z2)5/2
, ∂
2f
∂z2 =
2z2−x2−y2
(x2+y2+z2)5/2
.
Nı´vel 2
E1) a)
∂2P (K,L)
∂K2
= −4, 8K−1,6L0,6, ∂
2P (K,L)
∂K∂L
=
∂2P (K,L)
∂L∂K
= −4, 8K−1,6L0,6 = 4, 8K−0,6L−0,4 e
∂2P (K,L)
∂L2
= −4, 8K0,4L−1,4.
b) Como o sinal de
∂2P (K,L)
∂K2
e´ negativo, a produtividade marginal do capital caira´.
c) Como o sinal de
∂2P (K,L)
∂L∂K
e´ positivo, a produtividade marginal do capital aumentara´.
E2) a)
∂2f
∂x2
=
2x2 − y2
(x2 + y2)3/2
e
∂2f
∂y2
=
2y2 − x2
(x2 + y2)3/2
, de modo que ∇2f = 1
(x2 + y2)3/2
=
1
f3
.
b)
∂2f
∂x2
=
2x2 − y2 − z2
(x2 + y2)3/2
,
∂2f
∂y2
=
2y2 − x2 − z2
(x2 + y2)3/2
e
∂2f
∂z2
=
2z2 − x2 − y2
(x2 + y2)3/2
, de modo que ∇2f = 0.
Nı´vel 3
E1) a)
∂P
∂K
= αA
(
L
K
)1−α
,
∂P
∂L
= (1− α)A
(
K
L
)α
,
∂2P
∂K2
= −α(1− α)AK−2+αL1−α, ∂
2P
∂K∂L
= α(1− α)AK−1+αL−α,
∂2P
∂L∂K
= α(1 − α)AK−1+αL−α, ∂
2P
∂L2
= −α(1− α)AKαL−1−α.
b) Os sinais de
∂2P
∂K2
e de
∂2P
∂L2
sa˜o negativos, o que indica que os ganhos com aumentos do capital ou do trabalho
diminuem conforme se aumenta os valores investidos nesses dois setores.