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ESTATÍSTICA AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES: PARTE II Estatística Explicar os conceitos do teorema da probabilidade total e do teorema de Bayes; Calcular probabilidades associadas a tais teoremas. Estatística Estrutura de Conteúdo AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II Estatística PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Se dois eventos E1 e E2 são mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de E1 U E2 é: P {E1 U E2} = P{E1} + P{ E2} Exemplo: Qual a probabilidade de ocorrer a face 3 ou a face 6 no lançamento de um dado? P{ 3 U 6} = P{3} + P{6} = 1/6 + 1/6 = 1/3 Teorema da Soma AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II Estatística PARA EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Se dois eventos E1 e E2 são não mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de E1 ou E2 é: P {E1 U E2} = P{E1} + P{E2} - P {E1 E2}, onde P {E1 E2} é a parte simultânea dos eventos. Exemplo: Qual a probabilidade de se retirar uma carta de espada ou um rei em uma única retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas? E1 o evento carta de espada E2 o evento carta rei Como o rei de espada é comum aos dois eventos, isto é, os eventos E1 e E2 podem ocorrer simultaneamente, eles não são mutuamente exclusivos, logo: P {E1 U E2} = P{E1} + P{E2} - P {E1 E2} = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 4/13 Teorema da Soma AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II Estatística EVENTOS DEPENDENTES Se dois eventos E1 e E2 são ditos dependentes, então a probabilidade da ocorrência dos 2 eventos é: P {E1 E2} = P{E1} . P {E2 / E1} Lê-se como a probabilidade de ocorrência do evento E1 multiplicada pela probabilidade de ocorrência do evento E2, dado que já tenha ocorrido E1. Exemplo: Determinar a probabilidade de se extrair um rei e uma dama na retirada de 2 cartas de um baralho de 52 cartas, sem reposição da primeira carta. P{R D} = P{D}. P{D/R} = (4/52)(4/51) = 16/2652 Teorema do Produto AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II Estatística EVENTOS INDEPENDENTES Se dois eventos E1 e E2 são ditos independentes, então a probabilidade da ocorrência dos 2 eventos é: P {E1 E2 }= P{ E1} . P{E2 }, já que P { E1/ E2 }= P{ E2 } Isto é, a ocorrência do evento E1 em nada influiu na ocorrência do evento E2. Exemplo: Determinar a probabilidade de se extrair um rei e uma dama na retirada de 2 cartas de um baralho de 52 cartas, com reposição da primeira carta. P{R D} = P{R}. P{D} = (4/52) (4/52) = 16/2704 Teorema do Produto AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II Estatística A lei geral da multiplicação é de grande utilidade para resolver problemas e o último resultado de uma experiência aleatória depende de resultados de estágios intermediários. A noção fundamental da estatística bayesiana é probabilidade condicional: O Teorema de Bayes se baseia na seguinte questão: “Se o evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provido do evento Bi?” Considerando que os eventos B1, B2, ... , Bk, K eventos mutuamente exclusivos dos quais conhecendo as probabilidades P {Bi} e seja A um evento para o qual também conhecemos todas as probabilidades P {A / Bi}. Para o seu cálculo utilizamos a seguinte fórmula: P {Bi/A} = (P{Bi}) (P {A / Bi}) / P {A}, sendo: P {A} = P {B1} P{A / B1} + P {B2} P{A / B2} + ........ + P {Bk} P{A / Bk} Interseção Teorema de Bayes AULA 11: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES – PARTE II CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta; Conceito de esperança matemática; Modelo binomial e encontrar probabilidades associadas a tal modelo; Modelo Poisson e encontrar probabilidades associadas a tal modelo.
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