Aula 04 (1)

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MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 4
PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. 
Aula 4
Relações Binárias
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Conteúdo
Relação Binária.
Representação gráfica de uma Relação Binária. 
A base para a formação de um banco de dados
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Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Ligações entre elementos de conjuntos são representados usando uma estrutura chamada relação.
No nosso dia-a-dia estamos frequentemente utilizando o conceito de relações:
– Comparar objetos (maior, menor, igual);
– Marido-Mulher, Pai-para-filho, Pai-mãe-filho; etc.
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Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Relações podem ser usadas para resolver problemas tais como:
– Determinar quais pares de cidades são ligadas por linhas aéreas em uma rede;
– Busca de uma ordem viável para diferentes fases de um projeto;
– Elaboração de um modo útil de armazenar informações em bancos de dados computacionais.
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Aula 4 – Relações Binárias
Introdução
Definição de Relações:
Pode-se definir relações como um subconjunto do produto cartesiano entre conjuntos.
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Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é x. 
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Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados:
A x B = {(x, y) | x  A e y  B}
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Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a seguir:
 
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Produto Cartesiano
O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxB ≠ BxA
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, encontre os produtos cartesianos de A em B e de B em A.
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
B x A = {(2,1), (2,2), (2,5), (4,1), (4,2), (4,5), (9,1), (9,2), (9,5)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano AxB destes conjuntos.
Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º vem de B, ou seja R  A x B.
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo é define uma Relação Binária de A em B.
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um subconjunto de pares ordenados de elementos de A.
O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo, denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares ordenados de elementos de A. 
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Dado um conjunto A = {1,2,3},
A x A= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
 
O subconjunto R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} do conjunto (A x A) define uma Relação Binária sobre A.
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Podemos descrever a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} como: 
R = {(x, y) A x A | y = x}
ou 
 x R y ↔ y = x
(lê-se x está relacionado por R com y se e somente se y=x)
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na forma abreviada por:
x R y ↔ (x, y) R
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Exemplo: Seja A = {1,2}. Temos que, A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2)}. 
Seja R a relação sobre A definida por:
x R y ↔ x + y é ímpar.
A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
 par ímpar ímpar par
R = {(1,2), (2,1)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações Binárias
Generalizando:
Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, n > 2, uma relação n-ária em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto cartesiano (A1x A2x ... x An).
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Aula 4 – Relações Binárias
Relação Ternária:
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}
Em uma aplicação prática podemos ter o conjunto das ternas ordenados que descrevam a seguinte situação:
(x, y, z) = (número de um vôo, ponto de partida, destino)
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Aula 4 – Relações Binárias
Relação Ternária:
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}
Em uma aplicação prática podemos ter o conjunto das ternas ordenados que descrevam a seguinte situação:
(x, y, z) = (número de um vôo, ponto de partida, destino)
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplos:
Para cada uma das relações binárias R, decida quais os pares ordenados pertencem a R.
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplos:
x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)
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Aula 4 – Relações Binárias
Domínio e Contradomínio:
Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5} 
O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}.
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Aula 4 – Relações Binárias
Domínio e Contradomínio:
Exemplo: Sejam os conjuntos A ={a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}. Considere R a relação binária definida a seguir por:
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
O domínio de R é o conjunto A = {a,b,c,d} e o Contradomínio de R é o conjunto B = {1,2,3}.
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Aula 4 – Relações Binárias
Domínio e Contra-domínio:
Representação gráfica:
A = {a,b,c,d}
B = {1,2,3}
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B. 
A relação R é um para um se cada primeira componente e cada segunda componente aparecerem apenas uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação. 
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
A relação é um para muitos se alguma primeira componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação. 
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
A relação é dita muitos para um se alguma segunda componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
A relação é muitos para muitos se pelo menos uma primeira componente e pelo menos uma segunda componente aparecerem em mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
Exemplo: Identifique cada uma das relações em S como sendo um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos, onde S = {2, 5, 7, 9}.
{(5,2), (7,5), (9,2)} 
{(2,5), (5,7), (7,2)}
{(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Classificação das Relações Binárias
{(5,2), (7,5), (9,2)} 		um para muitos
 {(5,2), (7,5), (9,2)} 
b) {(2,5), (5,7), (7,2)}		um para um
 {(2,5), (5,7), (7,2)}
c) {(7,9),(2,5), (9,9), (2,7)}		muitos para muitos
 {(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
- Plano Cartesiano
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O chamado de origem dos eixos. 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY).
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
- Plano Cartesiano
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões distintas chamadas de quadrantes:
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par ordenado (a, b) de números reais. O número a representa a abscissa do ponto P e o número b a ordenada do ponto P.
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Pontos pertencentes ao 1º quadrante possuem coordenadas (a,b) com a, b ≥ 0;
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Pontos pertencentes ao 2º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a ≤ 0 e b ≥ 0;
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Pontos pertencentes ao 3º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a, b ≤ 0;
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Pontos pertencentes ao 4º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.
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Aula 4 – Relações Binárias
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Pontos pertencentes ao 4º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.
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Aula 4 – Relações Binárias
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Aula 4 – Relações Binárias
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Aula 4 – Relações Binárias
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Aula 4 – Relações Binárias
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Seja x  X = {1, 2, 3, 4}. Sabendo que:
 xRy  x = y +1 (x está relacionado com y se e somente se x = y + 1). Determine R e faça sua representação gráfica:
Para x=1, y=1+1=2;
Para x=2, y=2+1=3;
Para x=3, y=3+1=4;
Para x=4, y=4+1=5.
R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}.
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo:
R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y  y = x2.
R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Exemplo: Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Então, x R y  y = x2.
R = {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
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Aula 4 – Relações Binárias
Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares ordenados que definem cada ponto:
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Aula 4 – Relações Binárias
Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares ordenados que definem cada ponto:
A = (-2,4)
B = (3,4)
C = (2,0)
D = (-2,-3)
E = (1,-3)
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Aula 4 – Relações Binárias
Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
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Aula 4 – Relações Binárias
Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
g = (-5,-3) e (0,2)
k = (1,-2) e (4,1) 
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Aula 4 – Relações Binárias
Exercício: Dadas duas retas concorrentes (pxm), onde p∩m = T. Determine as coordenadas cartesianas: 
do ponto T 
b) do ponto A, o que 
corresponde à intersecção
 da reta m com o eixo ox
c) do ponto B, o que 
corresponde à intersecção
 da reta p com o eixo de oy
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Exercício:
a) T = (4,1)
b) A = (3,0)
c) B = (0,5)
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