Aula 11 Cinemática de corpos rígidos

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TÓPICO 5
CINEMATICA DOS 
CORPOS RIGIDOS
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, estudaremos a cinemática dos corpos rígidos. Vamos estabelecer as relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rigido. Como veremos, os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser convenientemente agrupados como se segue: 
TRANSLAÇÃO
Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer 
recta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma 
direção durante o movimento. Pode-se observar também que na 
Translação todos os pontos materiais que formam o corpo 
deslocam-se segundo trajectórias paralelas. Se estas trajectórias 
são rectas, diz-se que o movimento é uma translação rectilínea (Fig1). Se as trajectórias são curvas, o movimento é uma translação Curvilínea (Fig2). 
Fig 1
Fig 2
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma recta fixa. Se essa recta chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas.
Fig 3
MOVIMENTO PLANO GERAL
Movimentos em que todos os pontos materiais do corpo se 
Deslocam em planos paralelos que não seja de rotação ao redor de um eixo fixo nem de translação, considera-se como um movimento plano geral. (Fig 4 a. b.)
Fig 4
MOVIMENTO EM TORNO DUM PLANO FIXO
Este é um movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo “O”. Um exemplo típico ó o movimento de um pião sobre o solo. (Fig 5)
Fig 5
Na translação de corpo rígido, todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração, em qualquer instante dado
Considerando-se a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, a posição do corpo é definido pelo ângulo que a linha BP, traçado a partir do eixo de rotação para um ponto P do corpo,
x
y
A
r
P
O
A’
q
f
B
z
v = = rq sin f
A magnitude da velocidade de P é
ds
dt
.
Onde q é a derivada de q em função do tempo.
.
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
q
v = = rq sin f
ds
dt
.
A velocidade da P é expresso como
v = = w x r
dr
dt
Onde o vector
w = wk = qk
.
é dirigido ao longo do eixo fixo de rotação e representa a velocidade angular do corpo.
x
y
A
r
P
O
A’
q
f
B
z
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
v = = w x r
dr
dt
O vector a representa a aceleração angular do corpo e é dirigida ao longo do eixo fixo de rotação.
Designando por a a derivada dw/dt da velocidade angular, expressamos a aceleração a de P como:
a = a x r + w x (w x r)
w = wk = qk
.
diferenciando w e lembrando que k é constante em magnitude e direção, vemos que
a = ak = wk = qk
.
..
x
y
A
r
P
O
A’
q
f
B
z
x
y
O
w = wk
v = wk x r
r
Consideremos o movimento de uma placa representativa localizada num plano perpendicular ao eixo de rotação do corpo. A velocidade angular é perpendicular à placa, então a velocidade do ponto P da laje é
x
y
w = wk
v = wk x r
Onde v está contido no plano da laje. A aceleração do ponto P pode ser decomposta em componentes tangenciais e normais, respectivamente, iguais a
at = ak x r at = ra
an= -w2 r an = rw2
a = ak
at = ak x r
O
an= -w2 r
P
P
A velocidade angular e aceleração angular da laje podem ser expressas como
w =
dq
dt
a = =
dw
dt
d2q
dt2
 a = w 
dw
dq
ou
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Dois casos particulares de rotação são frequentemente encontrados: rotação uniforme e rotação uniformemente acelerado. Problemas que envolvem quer desses movimentos podem ser resolvidos por meio de equações semelhantes àquelas para movimento rectilíneo uniforme e uniformemente acelerado movimento rectilíneo de uma partícula, Onde x, v, e a são substituidos por q, w, e a.
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Movimento de rotação 
uniformemente acelerado
Movimento de rotação 
uniforme
A
B
vA
vB
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
A
B
vA
vA
O movimento plano geral de uma laje rígida pode ser considerada como a soma de uma translação e rotação. A laje mostrada pode ser assumida para transladar com o ponto A e, simultaneamente, rodar B em torno de A. Daqui resulta que a velocidade de qualquer ponto B da laje pode ser expresso como
vB = vA + vB/A
B
y’
x’
vB/A
rB/A
A
(fixo)
wk
VELOCIDADES ABSOLUTA E RELATIVA NO 
MOVIMENTO PLANO GERAL
Onde vA é a velocidade de A e vB/A é a velocidade de B em relação a A.
B
y’
x’
vB/A
rB/A
A
(fixo)
wk
A
B
vA
vB
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
A
B
vA
vA
vA
vB
vB/A
vB = vA + vB/A
Designando por rB/A a posição de B em relação a A, notamos que
vB/A = wk x rB/A vB/A = (rB/A )w = rw
A equação fundamental relacionando as velocidades absolutas dos pontos A e B e a velocidade relativa de B em relação a A pode ser expressa sob a forma de um diagrama de vector e é usada para resolver os problemas que envolvem o movimento de vários tipos de mecanismos.
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO
Consideremos o movimento plano geral de uma placa.
Para qualquer instante dado, as velocidades dos pontos 
materiais que compõem a placa são iguais àquelas que 
surgiriam com a mesma girando em torno de certo eixo, 
perpendicular ao seu plano, denominado eixo instantâneo 
de rotação. Este eixo corta o plano da placa no ponto C, 
chamado centro instantâneo de rotação de rotação da placa.
C
A
B
vA
vB
Se as direções das velocidades de dois pontos materiais A e B da placa são conhecidas e diferentes, consegue-se o centro instantâneo C determinando o ponto de intersecção da perpendicular a VA que passa por A com a perpendicular a VB que passa po B
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO
w =
VA
AC
=
VB
BC
vA
vB
C
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO
Se as velocidades VA e VB de dois pontos materiais A e B são perpendiculares a linha AB e de módulos conhecidos, o centro instantâneo pode ser determinado encontreando-se o ponto de intersecção de AB com a linha que une as extremidades dos vectores VA e VB . Note-se que, se VA e VB fossem paralelos e de mesmo módulo, ou tivessem o mesmo módulo, o centro instantâneo C estaria a uma distância infinita e w nulo; todos os pontos da placa teriam a mesma velocidade.
A
B
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
aB = aA + aB/A
O facto de que qualquer movimento plano de uma laje rígida pode ser considerada a soma de uma translação da laje, com referência ao ponto A e uma rotação em torno de A e é utilizado para relacionar as acelerações absolutas de quaisquer dois pontos A e B da laje e a aceleração relativa de B em relação a A.
A
B
aA
aB
A
B
aA
aA
A
B
y’
x’
(aB/A)n
ak
wk
(aB/A)t
aB/A
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E RELATIVA NO 
MOVIMENTO PLANO GERAL
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
aB = aA + aB/A
A
B
aA
aB
A
B
aA
aA
A
B
y’
x’
(aB/A)n
ak
wk
(aB/A)t
aB/A
Onde aB/A Consiste de uma componente norma (aB/A )n de magnitude rw2 dirigida para A, e uma componente tangencial (aB/A )t de magnitude ra perpendicular a linha AB.
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E RELATIVA NO 
MOVIMENTO PLANO GERAL
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
aB = aA + aB/A
A equação fundamental relacionando as acelerações absolutos dos pontos A e B, e a aceleração relativa de B em relação a A pode ser expressa sob a forma de um diagrama de vector e utilizada para determinar as acelerações dos pontos dados de vários mecanismos.
A
B
aA
aB
A
B
aA
aA
A
B
y’
x’
(aB/A)n
ak
wk
(aB/A)t
aB/A
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E RELATIVA NO 
MOVIMENTO PLANO GERAL
O centro instantâneo de rotaçãoC não pode ser utilizado para a determinação da aceleração, uma vez que o ponto C, em geral, não têm a aceleração zero.
aB = aA + aB/A
A
B
aA
aB
A
B
aA
aA
A
B
y’
x’
(aB/A)n
ak
wk
(aB/A)t
aB/A
Movimento Plano = Translação de A + Rotação de A
FIM
O peso B ligado a uma polia dupla por um dos dois cabos inestensíveis mostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C, que tem uma aceleração constante de e uma velocidade inicial de , ambas para a direita
Determine. (a) O nr de revoluções executadas pela polia em 2s, (b) a velocidade e a variação da posição do peso B depois de 2s e (c) a aceleração do ponto D na perferia da polia interna, no instante inicial.
PROBLEMA 1
A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária. A velocidade do seu centro A é de 1,2m/s para a direita. Determinar:
(a) A velocidade angular da da engrenagem.
(b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.
PROBLEMA 2
No sistema motor esboçado na figura, a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000rpm no sentido horário. Determinar para a posição da manivela indicada na figura:
A velocidade angular da biela BD
A velocidade do pistão P.
PROBLEMA 3