Prova Calculo I - Solução

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS
SOLUÇÃO DA PROVA DE ECONOMIA MATEMÁTICA - 02.05.2018
1. Calcule
L = lim
x!1
�
x6 � 1
x2 � 1 �
q
7 +
p
3 + x2
�
:
Solução: Pela regra de L’Hôpital temos que
L = lim
x!1
6x5
2x
� lim
x!1
q
7 +
p
3 + x2 = 3� 3 = 0:
2. Encontre a derivda da função f : R! R dada por
f(x) =
1
1 + x4
+
p
1 + x4:
Solução: Note que f(x) = u�1 + u1=2, onde u = 1 + x4 Assim
f 0(x) =
�
�u�2 + u
�1=2
2
�
du
dx
=
�
� 1
u2
+
1
2u1=2
�
4x3 = � 4x
3
(1 + x4)2
+
2x3p
1 + x4
:
3. Seja f : R! R dada por f(x) = 1 + 2x2 + x4. Esboce o grá…co da reta tangente à curva y = f(x) em
P = (1; 4):
Solução: Note que f 0(x) = 4x+ 4x3. Como f 0(1) = 8, a reta tangente é dada por
y = 4 + 8(x� 1) = 8x� 4:
x
y
P
Q
4. Esboce o grá…co da função f : R ! R dada por f(x) = x3 � 18x2 + 81x; após determinar máximo
local, mínimo local e pontos de in‡exão.
Solução: Note que 8<: f
0(x) = 3x2 � 36x+ 81 = 3(x� 3)(x� 9)
f 00(x) = 6x� 6 = 6(x� 6)
Note que 3 e 9 são os únicos pontos críticos de f . A função é côncava para baixo no intervalo (�1; 6] e
convexa em [6;+1). Como consequência x = 3 é ponto de máximo local e x = 9 um ponto de mínimo
local.
x
y
1
5. O custo, em dólares, da produção de x metros de certo tecido é C(x) = 1200+12x�0; 1x2+0; 0005x3:
Encontre o custo marginal. Compare C 0(100) com o custo adicional C(101)�C(100) de se produzir o
101o metro de tecido.
Solução: Note que C 0(x) = 12� 0; 2x+ 0; 0015x2. Assim C 0(100) = 12� 20 + 15 = 7: Veja que
C(x+ 1) = 1200 + 12(x+ 1)� 0; 1(x2 + 2x+ 1) + 0; 0005(x3 + 3x2 + 3x+ 1):
Assim. C(x+ 1)� C(x) = 12� 0; 1(2x+ 1) + 0; 0005(3x2 + 3x+ 1). Portanto
C(101)� C(100) = 12� 201
10
+
5
10000
(30:301) = 12� 20; 1 + 15; 1505 = 7; 0505
6. Determine a melhor ocasião e o melhor preço para a venda de uma certa ação se o seu preço na Bolsa
de Valores após t anos decorridos de sua compra é dado por
P (t) = 1 + 160
 
1
t+ 4
� 4
(t+ 4)
2
!
; t > 0:
Solução: Veja que
1
160
P 0(t) = � 1
(t+ 4)
2 +
8
(t+ 4)
3 =
4� t
(t+ 4)
3
Note que t = 4 é o único ponto crítico de P . A função é crescente para t < 4 e decrescente para t > 4.
O preço máximo ocorre quando t = 4: Note que o melhor preço para a venda da ação será
P (4) = 11
7. Em um restaurante com capacidade para 80 pessoas, o lucro diário é de R$640; 00. Sabe-se que a
lucratividade diária L de cada lugar disponibilizado, que inicialmente era de R$8; 00, diminuirá R$0; 04
sempre que a capacidade é aumentada de um lugar. Determine a capacidade do restaurante para que
se obtenha lucratividade máxima.
Solução: Note que a lucratividade é dada por L(x) = (80 + x)(8 � 0; 04x); onde x é o número de
lugares extras. Assim
25L(x) = (80 + x)(200� x) = 1600 + 120x� x2:
Veja que 25L0(x) = 120� 2x e 25L00(x) = �2. O máximo ocorre em x = 60 e portanto a capacidade
do restaurante deve ser aumentada de 60 lugares:
8. Após um período de teste, um fabricante determina que se Q unidades de um certo produto são
produzidos, o custo marginal é dado por C 0(Q) = 0; 3Q � 11: Determine o valor monetário do lucro
máximo, sabendo-se que o custo …xo é de R$160,00 e que o preço de venda do produto em questão
está …xado em R$25; 00.
Solução: O lucro do fabricante é dado por L(Q) = 25Q� C(Q); onde
C(Q) = 0; 15Q2 � 11Q+ 160:
Veja que L(Q) = 25Q� 0; 15Q2 + 11Q� 160 = 36Q� 0; 15Q2 � 160. Note que
L0(Q) = 36� 0; 3Q = 3
10
(120�Q) ;
e L00(Q) = �0; 3 < 0: Portanto o máximo ocorre quando Q = 120: Se Q = 120;
L(Q) = 36Q� 0; 15Q2 � 160
= 4320� 2160� 160
= 2000:
2