Descontos simples

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. ELISSON DE ANDRADE 
 
 
Blog: www.profelisson.com.br 
 
 
 
 
 
 
AULA 2: DESCONTO SIMPLES 
 
 
Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
 
 
 
 
 
Participe de nossas redes sociais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proibida reprodução e/ou venda não autorizada. 
 
RESUMO SOBRE DESCONTO SIMPLES 
 
 
Fórmulas: 
D = VF - VP 
 
 
D = VF.d.n 
 
 
VP = VF (1 - d . n) 
 
Obs: considerar um mês como sendo 30 dias; e um ano contendo 360 dias. 
 
 
 
Lembre-se dos 4 passos: 
1) Identifique as variáveis: muito importante antes de 
iniciar qualquer exercício 
2) Escolha qual equação utilizar: com base nas 
informações dos exercícios, escolheremos as fórmulas 
que possuírem as variáveis informadas 
3) Verifique se d e n estão na mesma unidade de 
tempo: se não estiverem, será preciso transformar 
uma das variáveis 
4) Resolva a equação: aqui a questão é pura álgebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na 
resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo 
correspondente à Aula 2. 
 
 
Exercícios: resolva-os apenas considerando as fórmulas de juros simples: 
1) Uma duplicata foi descontada por um banco à taxa de 3,2% ao mês. Sabendo-se que seu 
valor nominal é de R$5.000,00 e que o vencimento se dará após 90 dias, qual o valor 
entregue ao cliente? 
2) Qual o valor do desconto de um título de R$4.500,00, a vencer depois de 38 dias, sendo 
a taxa de desconto simples de 2,2% ao mês? 
3) Qual a taxa anual de desconto de uma duplicata que irá vencer depois de 75 dias, 
sabendo-se que seu valor de face é de R$10.000,00 e que o valor creditado na conta do 
cliente foi de R$9.654,25? 
4) Quantos dias faltam para vencer uma duplicata que possui um valor de resgate de 
R$6.000,00, que sofreu um desconto de R$280,00, sendo sua taxa de desconto simples 
de 2,5% ao mês? 
5) João precisa de R$1.000,00 hoje e possui um cheque pré-datado no valor de 
R$1.200,00, que só poderá ser descontado em 75 dias. Considerando que o banco onde 
João tem sua conta, cobra uma taxa de desconto simples de 0,1% ao dia, ele conseguirá 
o dinheiro que precisa? 
6) Um título sofreu um desconto de R$210,00. Sabendo-se que a taxa de desconto simples 
utilizada foi de 4,5% ao bimestre e que o prazo para vencimento é de 51 dias, qual valor 
deverá ser entregue ao portador desse título? 
7) Nádia recebeu em sua conta R$1.200,00 após o desconto de uma duplicata, que iria 
vencer em 45 dias. A taxa de desconto simples utilizada foi de 20% ao ano. Pergunta-
se: qual o valor do desconto? 
8) Qual deve ser a taxa mensal de desconto (d) para que uma duplicata sofra um desconto 
de um terço de seu valor de face, sabendo-se que faltam 90 dias para o vencimento? 
9) Uma empresa apresenta três duplicatas no valor de R$2.500,00, com vencimentos para 
60, 90 e 120 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco será de 2,5% 
ao mês, qual será o valor creditado na conta da empresa? 
10) A que taxa mensal de desconto simples deverão ser descontados 3 títulos, no valor de 
R$3.000,00 cada um, sendo seus vencimentos de 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um 
crédito em conta num valor total de R$8250,00? 
1) Uma duplicata foi descontada por um banco à taxa de 3,2% ao mês. Sabendo-se que 
seu valor nominal é de R$5.000,00 e que o vencimento se dará após 90 dias, qual o 
valor entregue ao cliente? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = ? ; VF = 5000 ; n = 90 dias ; d = 3,2% ao mês 
Importante ressaltar que VALOR NOMINAL é aquele valor escrito na duplicata, que só 
será convertido em dinheiro no vencimento. Portanto, ele é valor futuro, sendo o valor 
presente o quanto o banco irá depositar na conta do cliente HOJE. 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Como temos VF e VP, e não aparece a variável D, só é possível utilizar a equação: 
VP = VF (1 – d . n) 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
A taxa de juros é mensal, então o mais fácil aqui é representar 90 dias em meses 
(90dias/30 = 3 meses). 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos 
�� = ����(� − �, �
�	.		
) 
 
Veja que a porcentagem deve ser substituída na forma decimal, bastando dividir o 3,2% 
por 100. Já o prazo, perceba que considerou-se os 3 meses, e não os 90 dias. 
Continuando a álgebra: 
�� = ����(� − �, ���) 
�� = ����	. �, ��� 
�� = ���� 
 
Ou seja, serão depositados R$4.520,00 na conta do cliente HOJE, depois de descontada 
uma duplicata com valor de face de R$5.000,00 a vencer depois de 3 meses. 
 
 
2) Qual o valor do desconto de um título de R$4.500,00, a vencer depois de 38 dias, 
sendo a taxa de desconto simples de 2,2% ao mês? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: D = ? ; VF = 4500 ; n = 38 dias ; d = 2,2% ao mês 
Ao contrário do exercício anterior, em que era pedido o valor a ser creditado na conta 
do cliente, nesse exercício a pergunta se refere a quanto foi descontado do valor de 
face do título. Ou seja, o título vale R$4.500,00, mas será feito um desconto para que o 
dinheiro seja entregue hoje. 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Como temos VF e D, e não aparece a variável VP, só é possível utilizar a equação: 
D = VF . d . n 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
A taxa é mensal e o período está em dias. Podemos, portanto, transformar 38 dias em 
mês, da seguinte forma: 38/30 = 1,266666 mês. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além da 
transformação da unidade de tempo realizada no PASSO 3, temos 
� = ����	. �, ���	. �, ������ 
� = �$���, �� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Qual a taxa anual de desconto de uma duplicata que irá vencer depois de 75 dias, 
sabendo-se que seu valor de face é de R$10.000,00 e que o valor creditado na conta do 
cliente foi de R$9.654,25? 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 9654,25 ; VF = 10000 ; n = 75 dias ; d = ? 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Como temos VF e VP, utilizaremos a equação: 
VP = VF (1 – d . n) 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Como a resposta a ser dada é em anos, podemos transformar 75 dias em anos. Dessa 
forma, basta dividir 75 por 360, chegando a 75/360 = 0,2083333 ano. Também seria 
possível deixar o período em dias e transformar a taxa a ser obtida ao final do 
exercício. Aqui optaremos por já substituir o período expresso em anos. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além da 
transformação da unidade de tempo realizada no PASSO 3, temos 
����, �� = �����(� − �, ���
	. �) 
����, ��
�����
= � − �, ���
	. � 
Nesse passo anterior, é importante que não se subtraia 0,208333 de 1. Isso porque, 
primeiramente, deve ser respeitada a multiplicação. 
�, ������ = � − �, ���
	. � 
Passando o termo -0,208333 para o lado esquerdo, inverte-se o sinal. Mesma coisa 
para o termo 0,965425, que ao passar para a direita fica negativo. 
�, ���
	. � = � − �, ������ 
�, ���
	. � = �, �
���� 
		� =
�, �
����
�, ���
 
� = �, ���� 
Ao multiplicar a resposta por 100, para transformar em porcentagem, temos 
0,1659 . 100 = 16,59% ao ano 
4) Quantos dias faltam para vencer uma duplicata que possui um valor de resgate de 
R$6.000,00, que sofreu um desconto de R$280,00, sendo sua taxa de desconto simples 
de 2,5% ao mês? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1:identificar as variáveis 
As variáveis são: D = 280 ; VF = 6000 ; n = ? ; d = 2,5% ao mês 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Como temos VF e D, e não aparece a variável VP, só é possível utilizar a equação: 
D = VF . d . n 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
A taxa de desconto (d) está ao mês e pede-se o período (n) em dias. Pode-se 
transformar de início a taxa em diária. Ou obter a resposta em mês (utilizando 2,5% 
a.m.) na fórmula, e só aí transformar em dias. No exercício anterior, a transformação 
foi realizada antes. Nesse exercício, para fazermos o contraponto, farei a 
transformação no fim do exercício. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos 
��� = ����	. �, ���	. � 
��� = ���	. � 
���
���
= � 
	� = �, �������� 
 
A resposta está expressa em mês. Para transformar esse período em dias, basta 
multiplicar esse resultado por 30. 
1,866666 . 30 = 56 dias (aproximadamente) 
 
 
 
 
5) João precisa de R$1.000,00 hoje e possui um cheque pré-datado no valor de 
R$1.200,00, que só poderá ser descontado em 75 dias. Considerando que o banco onde 
João tem sua conta, cobra uma taxa de desconto simples de 0,1% ao dia, ele 
conseguirá o dinheiro que precisa? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = ? ; VF = 1200 ; n = 75 dias ; d = 0,1% ao dia 
Importante notar que o que se quer achar é o valor que se consegue obter com o 
desconto desse título, ou seja, seu VP. Os R$1.000,00 que João precisa só serão 
utilizados para responder se ele conseguirá o dinheiro desejado ou não. 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Como temos VF e VP, utilizaremos a equação: 
VP = VF (1 – d . n) 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Prazo (n) e taxa de desconto (d) expressos em dias. Portanto, não há necessidade de 
qualquer transformação. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos: 
�� = ����(� − �, ���	. ��) 
�� = ����(� − �, ���) 
�� = ����	. �, ��� 
�� = ���� 
 
Conclusão: como, após o desconto, João receberá R$1.110,00, ele conseguirá até mais 
do que os R$1.000,00 necessários. 
 
 
 
 
6) Um título sofreu um desconto de R$210,00. Sabendo-se que a taxa de desconto 
simples utilizada foi de 4,5% ao bimestre e que o prazo para vencimento é de 51 dias, 
qual valor deverá ser entregue ao portador desse título? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: D = 210 ; VP = ? ; n = 51 dias ; d = 4,5% ao bimestre 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Esse é um caso diferente dos anteriores. É dado o valor de D e é pedido VP. Como não 
apresentamos nenhuma fórmula para lidar com tal situação, utilizaremos duas: 
D = VF . d . n e D = VF - VP 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Podemos transformar o prazo (n) em bimestre ou a taxa (d) em dias. Para este 
exercício, façamos essa segunda opção. Para isso, basta dividir a taxa bimestral por 
60, para achar diária, da seguinte forma: 4,5%/60 = 0,075% ao dia. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Primeiramente, utilizemos a primeira fórmula do PASSO 2 
��� = ��	. �, �����	. �� 
��� = ��	. �, �
��� 
���
�, �
���
= �� 
�� = ����, �� 
Depois de calculado o valor de face do título, basta calcular quanto será creditado na 
conta do cliente: 
��� = ����, �� − �� 
�� = ����, �� − ��� 
�� = ����, �� 
 
 
 
7) Nádia recebeu em sua conta R$1.200,00 após o desconto de uma duplicata, que iria 
vencer em 45 dias. A taxa de desconto simples utilizada foi de 20% ao ano. Pergunta-
se: qual o valor do desconto? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: D = ? ; VP = 1200 ; n = 45 dias ; d = 20% ao ano 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Esse é um caso especial, pois é dado o valor de VP e é pedido D. Como não 
apresentamos nenhuma fórmula para lidar com tal situação, utilizaremos duas: 
VP = VF (1 – d . n) e D = VF - VP 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Podemos transformar o prazo (n) para anos ou a taxa (d) para dias. Isso significa 
dividir 20% por 360 (20/360=0,05555% ao dia), ou 45 por 360 (0,125 ano). Vamos 
utilizar essa última opção, pela comodidade de não ser uma dízima periódica. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Primeiramente, utilizemos a primeira fórmula do PASSO 2 
���� = ��(� − �, �	. �, ���) 
���� = ��(� − �, ���) 
���� = ��	. �, ��� 
����
�, ���
= ��	 
�� = ��
�, �� 
 
Calculado o valor nominal da duplicata, basta subtrair desse valor o dinheiro recebido 
na conta, para achar o desconto, conforme a seguir (uso da segunda fórmula do PASSO 
2). 
 
� = ��
�, �� − ���� = �$
�, �� 
 
 
 
 8) Qual deve ser a taxa mensal de desconto (d) para que uma duplicata sofra um 
desconto de um terço de seu valor de face, sabendo-se que faltam 90 dias para o 
vencimento? 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: D = ? ; VF = ? ; n = 90 dias ; d = ? 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Esse exercício parece complicado à primeira vista, pois apenas oferece o valor de n e 
pede o de d. Todavia, existem uma informação importante no problema: “desconto de 
um terço de seu valor de face”, ou seja, � = �
�
��. Dessa forma, poderemos usar a 
fórmula: 
D = VF . d . n 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Como se quer a taxa em meses, basta transformar 90 dias em meses, ou seja 90/30 = 3 
meses. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Sabendo-se que o desconto é igual a um terço do valor de face, podemos utilizar a 
equação do PASSO 2, mas substituindo no lugar de D, a relação �
�
�� 
�
�� = ��. �	. 
 
Passando o VF, à direita do sinal de igual, para a esquerda (dividindo), temos 
�. ��
. ��
= �	. 
 
Como qualquer número dividido por ele mesmo dá um (VF/VF = 1) 
�
= �	. 
 
Passando o número 3 que está multiplicando d para o outro lado, dividindo, temos 
�
. 
= � 
� =
�
�
= �, ���� 
Em que multiplicando esse valor por 100, chegamos à taxa de desconto de 11,11% ao 
mês. 
9) Uma empresa apresenta três duplicatas no valor de R$2.500,00, com vencimentos 
para 60, 90 e 120 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco será de 
2,5% ao mês, qual será o valor creditado na conta da empresa? 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: 
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 60 dias ; d = 2,5% ao mês 
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 90 dias ; d = 2,5% ao mês 
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 120 dias ; d = 2,5% ao mês 
Quer saber: VP das três duplicatas somadas 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Temos VF em todas as situações e queremos saber o VP, logo, escolheremos a fórmula 
VP = VF (1 – d . n) 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Transformando todos os períodos (n) em meses: 60 dias = 2 meses, 90 dias = 3 meses e 
120 dias = 4 meses. 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Fazendo uma fórmula para cada duplicata 
Duplicata 1: VP = 2500 (1 – 0,025 . 2) 
Duplicata 2: VP = 2500 (1 – 0,025 . 3) 
Duplicata 3: VP = 2500 (1 – 0,025 . 4) 
 
Note que o que muda de uma equação para outra são os valores de n. 
Resolvendo as equações acima, chegamos a: 
Duplicata 1: VP = 2375 
Duplicata 2: VP = 2312,5 
Duplicata 3: VP = 2250 
 
Somando-se os VPs recebidos por cada uma das duplicatas, chegamos a 
VP = 2375 + 2312,5 + 2250 = 6937,5 
Ou seja, a empresa receberá R$6.937,50 depois de descontadas todas as duplicatas 
10) A que taxa mensal de desconto simples deverão ser descontados 3 títulos, no valor 
de R$3.000,00 cada um, sendo seus vencimentos de 30, 60 e 90 dias, para que se tenha 
um crédito emconta num valor total de R$8250,00? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: 
Título 1: VF = 3000 ; n = 30 dias ; d = ? 
Título 2: VF = 3000 ; n = 60 dias ; d = ? 
Título 3: VF = 3000 ; n = 90 dias ; d = ? 
Sabe-se também que o crédito total da conta será de VP = 8250 
 
PASSO 2: escolher a equação 
Temos VF em todas as situações e queremos saber o VP, logo, escolheremos a fórmula 
VP = VF (1 – d . n) 
 
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo 
Transformando n em meses: 30 dias = 1 mês; 60 dias = 2 meses; 90 dias = 3 meses 
 
PASSO 4: resolver a equação 
Como sabemos quanto caiu na conta, o VP total de 8250 será a soma do VP de cada 
um dos títulos. Portanto, faremos a fórmula da seguinte maneira. 
VP = VF (1 – d . n) + VF (1 – d . n) + VF (1 – d . n) 
 
 
Veja que estamos somando o valor presente de cada um dos títulos. Substituindo, temos 
8250 = 3000 (1 – d . 1) + 3000 (1 – d . 2) + 3000 (1 – d . 3) 
Colocando 3000 em evidência 
8250 = 3000 {(1 – d . 1) + (1 – d . 2) + (1 – d . 3)} 
Passando o 3000 dividindo o 8250 e eliminando todos os parênteses entre chaves 
8250/3000 = 1 – d . 1 + 1 – d . 2 + 1 – d . 3 
 
 
Título 1 Título 2 Título 3 
Além da divisão de 8250/3000, irei separar os termos da direita, deixando quem tem a 
variável d multiplicando de um lado, e os números 1 que estão sozinhos, à direita 
 
2,75 = – d . 1 – d . 2 – d . 3 + 1 + 1 + 1 
 
Se tenho menos 1 .d, menos 2 . d, menos 3 . d, fico com menos 6 . d (só perceber que 
-1-2-3=-6 
Por outro lado, 1+1+1=3 
Dessa forma, a equação fica da seguinte maneira 
 
2,75 = – d . 6 + 3 
 
Passando o três para o lado esquerdo, negativo 
 
2,75 - 3 = – d . 6 
-0,25 = – d . 6 
 
Multiplicando ambos os lados por -1, para deixar os sinais positivos. 
 
0,25 = d . 6 
 
Por fim, basta passar o 6 dividindo o 0,25, de onde tiramos o valor da taxa de desconto 
 
d = 0,25/6 = 0,04166 
 
Multiplicando 0,04166 por 100, chegamos a uma taxa de desconto dos 3 títulos de 
4,166% ao mês