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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSOR: MARCONE SOARES DA SILVA
1) TÍTULOS DE CÉDITOS
Os títulos de créditos mais utilizados em operações financeiras são as notas promissórias, as duplicatas e as letras de câmbio.
a) Nota promissória é o comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminada. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre uma pessoa e uma instituição financeira. contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias 
b) Duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias à prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
c) Letra de câmbio, assim como a nota promissória é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira
2) DESCONTOS
Entende-se por Valor Nominal o valor de regate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.
A operação de se liquidar um título antes do seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Dessa maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento.
Fórmula: = VN – VA ou = VF – VP ou = M – C
Logo, o valor descontado é igual o valor nominal menos o desconto. 
 = VN – 
As operações de descontos podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no regime de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.
Tanto no regime de juros simples como no composto ainda são identificados dois tipos de descontos:
a) Desconto por dentro ou racional
b) Desconto por fora ou comercial.
a) DESCONTO SIMPLES
DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO”
O desconto racional, também chamado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações básicas dos juros simples.
 Assim, sendo o valor do desconto racional, C o capital ou valor atual, i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto ( número de períodos que o título é negociado antes do seu vencimento), tem-se a conhecida expressão dos juros simples: = C x i x n.
Lembrando que no cálculo de juros simples, temos a fórmula J = C x i x n 
e a taxa de rentabilidade pode ser calculada a partir da relação 
 i = .
Fórmula para o cálculo do desconto racional em função de N (valor nominal ou valor futuro ou ainda montante) da taxa i e do prazo n. 	
O valor descontado que é igual aos juros: 	
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada na operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é de R$ 10.000,00 e cujo valor principal é 9.750,00
F = 10.000,00 P = 9.750,00 n = 60d = 2m. i =? %am.
i = = = (1,025641 – 1) x 0,5= 0,0126 ou i = 1,28 % a.m.
 
 2) Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2% ao mês, a juros simples. Determinar o valor da renda de uma aplicação de R$ 10.000,00 efetuada nesta instituição, por um prazo de 18 dias.
P = 10.000,00 n = 18 dias i = 1,2%am = 1,2/30 = 0,04 %ad.=0,0004ad.
Renda = F – P
F = P ( 1 + in) 10.00( 1 = 0,0004 x 18) = 10.072,00.
Renda = 10.072 – 10.000,00 = 72,00.
3) Qual o valor do desconto racional que se obtém ao descontar-se, 3 meses antes de seu vencimento, uma nota promissória com valor de face de R$ 1.000,00 cujo termo é de 10 meses a juros simples de 2,5 % a.m. se a taxa corrente é de 3 % a.m?
Cálculo do valor nominal: i = 0,025 P = 1.000,00 n = 10
P = 1000(1+0,025 x 10) =1.250,00
Aplicando a fórmula do desconto, vem:
 
 
4) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo 42 % a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
 
 VP VF = 4.000,00
 
 0 9 12 meses
 F = 4.000 i = 42 % a.a = 0,42/12 = 3,5a.m
= 380,10
= 3.619,90.
b) DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA”
 
 Esse tipo de desconto incide sobre o valor nominal (valor resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros nas operações. Ao contrário dos juros por dentro que calculam os encargos sobre o (capital) valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante indicando custos adicionais ao tomador de recursos. O desconto por fora é amplamente adotado pelo mercado, em operação de créditos bancários e comerciais em curto prazo. A expressão genérica do valor do desconto “por fora” no regime de juros simples, é baseado no fluxo de caixa, representado no diagrama abaixo:
 PV i i i i FV
 
 n n-1 3 2 1 0
 	No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d sobre o valor futuro N ou montante, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos n (prazo de antecipação definido para o desconto).
 = N.d.n	
Observar que a taxa de desconto por fora ( d ) é aplicada sobre o valor futuro ( FV ) , ao passo que a taxa do desconto por dentro ( i ) é aplicada sobre o valor presente (PV ) para produzir o valor futuro.
O valor presente ”por fora” aplicando-se a definição tem-se:
 PV = N - = N – N.d.n PV = N(1-n.d) d = taxa de desconto por fora.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Resolver o exercício 4 usando desconto por fora. 
 PV = ? N = 4.000
 0
 9 12 meses
 i = 42% a.a. = 3,5%a.m. n = 3m
 = N.d.n = 4.000 x 0,035 x 3 = 420,00
Valor descontado; PV = N(1-d.n) = 4.000(1-0,035 x 3) = 3.580, ou 4.000 – 420 = 3.580,00
Taxa de juros efetivos: i = 420/3.580 = 11,73 % a.t. o que é maior que a citada no problema. 
2) Um título com 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a juros simples , com uma taxa de desconto ´por fora de 15 % ao ano. Determinar o valor da aplicação que proporciona um valor resgate de R$ 1.000,00.
N = 1.000,00 n = 119 dias d = 15% a.a.= 15%/360 = 0,04167%a.d.= 0,0004167a.d.
PV = N(1-d.n) = 1.000(1-0,00014167 x 119) = 950,42.
3) Determinar a taxa de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na date de desconto de R$ 24.436,10.
 = N.d.n = 26.000 – 24.363,10 = 1.563.90 n = 2 meses N = 26.000,00
 = N.d.n 1.563,90 = 26.000 x d x 2 d = = 3 % a.m.
c) DESCONTO COMPOSTO
Utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto por dentro e o desconto por fora.
O desconto composto por fora (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático.
 	O desconto por dentro (ou racional) envolve o valor atual e o valor nominal de um título capitalizando, segundo o regime de juros compostos, apresentando larga utilização prática.
DESCONTO ”POR FORA” OU COMERCIAL
Caracteriza-se pela incidência sucessiva detaxas de descontos sobre o valor nominal do título.
Fórmulas: VD = N(1 – d)n DF = N[1 – (1-d)n] 
Onde: VD é o valor descontado e DF é o desconto por fora.
DESCONTO “POR DENTRO” OU RACIONAL
Tem os mesmos conceitos dos juros simples. Assim, para os juros compostos, temos:
Valor descontado racional (ou principal):
Fórmulas: VD = 
Desconto racional: DR = N – VD = N - 	 DR = N 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
2. Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 30% ao ano. Calcule o valor Atual e o desconto comercial.
3. Um título, no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/7. Se a taxa de juros for de34% ao ano, qual o valor comercial descontado?
4. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?
5. Seja um título no valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado antes de seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado dessa operação. 
6. Calcule o desconto por antecipar um capital de 500.000 pesetas por 4 meses a uma taxa de desconto de 12%a.a.
 a) aplicando o desconto racional, b) aplicando o desconto comercial.
3) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
a) Taxa Nominal
Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere. Não coincide com o período da taxa.
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional a taxa nominal. 
 Onde: ik é a taxa por período de capitalização;
K é o número de capitalização para um período de taxa nominal.
Exercício 
1) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00 no fim de dois anos, cujos juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente? 
C = 5.000,00 ; n = 2ª; i =24% a.a. = 0,24%a.a.
Pela convenção adotada temos: i4 =0,24 / 4 = 0,06ª.t.
n = 2a = 2 x4 t = 8 t
M8 =C (1 + i4)n =5.000.(1 + 0,06)8 M8 = 7.969,25.
b) Taxa Efetiva
É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva.
Quando oferecemos 6% a.a. e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais.
1 + if = (1 + 0,03)2 1,06090 – 1 if = 0,06090, isto é, a taxa efetiva é de 0,06090 ou 6,09%. (if é a taxa efetiva)
Assim sendo ,um meio para calcular o montante e a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa, procedemos em duas etapas:
a) Calculamos a taxa proporcional simples correspondente a um período de capitalização.
b) potenciamos esta taxa pelo número de períodos de capitalização existente no intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal.
Sendo: 
i = a taxa nominal;
 if = a taxa efetiva;
 k = o número de capitalizações para um período da taxa nominal;
 ik = a taxa do período de capitalização (ik+ )
n = o número de períodos de capitalização da taxa nominal;
C0 = principal
Cn k = C0. (1 +)k n 
E a taxa efetiva é dada por:1 + ou
 
Exercícios 
1) Um capital de R$1.000,00 foi aplicado por três anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral . Calcular o montante e a taxa efetiva da operação. 
2) Sabendo que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva
3) Um banco emprestou a importância de C$ 1.000,00 por um ano. Sabendo que o banco cobra 12,5% a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser dev olvido ao final de um ano?
4) Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por dois anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% a.a., com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva e qual o montante a ser devolvido ao final de dois anos?
c) Taxa real e taxa aparente
Denominamos de taxa aparente aquele que vigora nas operações correntes .Quando não há inflação, a taxa aparente é igual a taxa real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente a inflação e outra correspondente ao juro real.
Sendo:
C = capital inicial
r = a taxa real
i = taxa aparente
I = a taxa de inflação
Temos a relação: 1 + i = (1 +r)(1 + I)
Exemplos 
1) Qual deve ser a taxa aparente correspondente uma taxa real de 0,8% a.m. e a inflação de 20% no período?
2) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido, foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%.
3) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual.