LISTA II limites UFCG

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UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO 
ENG. DE PRODUÇÃO, ENG. DE BIOTECNOLOGIA E BIOPROCESSOS E ENG. DE BIOSSISTEMAS 
 
 
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO – UATEC 
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I / PROFESSORA: Aldinete Barreto 
 
LISTA II (limites) 
1. Usando as propriedades de limite, calcule: 
2
4 0 4
2 2
4
3
3 3
2 (3 ) 9
.lim .lim . lim (5 2)
4
4
. lim (5 ) .lim .lim
x h x
y x p x
x h
a b c x
x h
x p x
d y e f
x p
  
  
  


 


2 2
3 22 1 4
3 2
3 2 23 2
5
5 1
5 8 1 3 4
.lim .lim .lim
2 6 3 2 1
2 5 2 3 2
.lim . lim 
4 13 4 3 4
x x x
x x
x
x x x x
g h i
x x x x
x x x x
j k
x x x x
  
 

   
   
   
   
3
2
2
22
2
2 23 9
2
3 20 1
2 3 2
 . lim
6 16
5 6 2 -3 3
. lim . lim .lim
12 4 9 9
2 4 2 3
.lim . lim
2
x
x x x
x x
x x
l
x x
x x x x
m n o
x x x x
x x x
p q
x x x

  
 
 
 
  
   
   
 
3
2
1
2 2 3
24 2
2
23 0
1
1
 .lim
6 5 1
4 9 3 8 16 8
. lim .lim . lim
2 3 2 9 4 2
9 2 2
. lim .lim 
2 7 3
x
x x x
x x
x
r
x x
x x x x
s t u
x x x x
x x
v w
x x x

  
 

 
   
   
  
 
3
0
1 1
 .lim
x
x
x
x
 
 
 
GABARITO 
 
a) ¼ 
b) 6 
c) -18 
d) 16 
e) 2P 
f) ½ 
g) -1/22 
h) 3/2 
i) 8/27 
j) 11/17 
k) ∞ 
l) ½ 
m) 1/7 
n) 1/6 
o) 1/6 
p) ¼ 
q) -1 
r) ½ 
s) 0 
t) 16/7 
u) 12 
v) (6/5)1/2 
w) (2)1/2/4 
x) 1/3 
Dica da questão x: 
Cálculo de um limite com mudança de variável 
Fazendo y = ( x + 1)
1/3
, temos y
3
 = x + 1, e portanto x = y
3
 - 1. 
Quando x tende a 0, y tende a 1 
Outra forma seria: 
 Sabe-se que: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
Considere a=( x + 1)
1/3
 e b=1 daí então multiplique a função pelo segundo fator da multiplicação 
(parte vermelha) 
 
 
 
 
 
 
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2. Por causa de sua conexão com retas secantes, tangentes, taxas de variação instantâneas, os 
limites da forma: 
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
 
 
ocorrem frequentemente no Cálculo Diferencial. Nos itens a seguir, calcule o limite para 
x
e 
função 
f
dadas. 
 2
3 2
. ( ) 3 5 1, 2 . ( ) , 1 
1
. ( ) 3 1, 0 . ( ) , 2 
. ( ) 2 , 1 .
a f x x x x b f x x x
c f x x x d f x x
x
e f x x x x f f
     
     
  
2
1
( ) , 1 x x
x
 
 
3. Ache os limites laterais de f(x), se existir, nos pontos indicados: 
a) 𝑓(𝑥) = 
|𝑥 |
𝑥 
 ; x = 0 
b) 𝑓(𝑥) = 
|𝑥 − 4|
𝑥 − 4
 ; x= 4 
c) 𝑓(𝑥) = 
|3− 𝑥|
3−𝑥
 ; x = 3 
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 ; x = - 2 
e) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 6 + 𝑥 ; x = 6 
f) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 ; x = 0 
g) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥2
 ; x = 0 
h) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥3
 ; x = 0 
4. Dado que f é a função definida por: 2 9, se 3
( )
4, se 3
x x
f x
x
   
 
 
. Ache 
3
lim ( )
x
f x

 e verifique 
que 
3
lim ( ) ( 3)
x
f x f

 
. 
5. Considere a função 
2
, se 1
3, se 1
( )
2 , se 1 2
3, se 2
x x
x
f x
x x
x x

 
 
  
  
 
 
a) Calcule, se existirem, os limites: 
a) lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) 
b) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) 
c) f (1) 
d) lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) 
e) lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) 
f) lim𝑥→2 𝑓(𝑥) 
 
b) Esboce o gráfico de f . 
 
 
 
 
 
 
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6. Se 
2 25 2 ( ) 5x f x x   
 para 
1 1x  
, determine 
0
lim ( )
x
f x

. 
7. Seja 
f
uma função e suponha que para todo xR temos que 
2| ( ) |f x x
. Mostre que 
0
lim ( ) 0
x
f x


. 
8. Considere a função 
2 1 , se 0
( )
, se 0
x sen x
xf x
x x
  
 
  
 
 
Determine: 
a) 
0 0
lim ( ) e lim ( )
x x
f x f x
  
; 
b) Com base no item a) é possível dizer algo sobre 
0
lim ( )
x
f x

? Justifique sua resposta. 
9. Calcule os limites 
 
a) lim𝑥→∞
3𝑥2−𝑥+4
2𝑥2+5𝑥−8
 
b) lim𝑥→∞√
12𝑥3−5𝑥+2
1+4𝑥2+3𝑥3
 
c) lim𝑥→∞
1
2𝑥+3
 
d) lim𝑥→−∞
1−𝑥−𝑥2
2𝑥2−7
 
e) lim𝑥→∞
3𝑥+5
𝑥−4
 
f) lim𝑥→∞
𝑥3+5𝑥
2𝑥3−𝑥2+4
 
g) lim𝑥→∞
4𝑥4+5
(𝑥2−2)(2𝑥2−1)
 
h) lim𝑥→∞
2−3𝑥2
5𝑥2+4𝑥
 
i) lim𝑥→−∞
𝑥2+2
𝑥3+𝑥2−1
 
j) lim𝑥→∞
𝑥+2
√9𝑥2+1
 
k) lim𝑥→∞
√9𝑥6−𝑥
𝑥3+1
 
l) lim𝑥→−∞
√9𝑥6−𝑥
𝑥3+1
 
m) lim𝑥→∞ √9𝑥2 + 𝑥 − 3𝑥 
n) lim𝑥→∞ √𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑥2𝑏𝑥 
o) lim𝑥→∞ √𝑥 
p) lim𝑥→−∞(𝑥 + √𝑥2 + 2𝑥) 
q) lim𝑥→∞ (𝑥 − √𝑥) 
r) lim𝑥→−∞ √𝑥
3
 
s) lim𝑥→+∞ 𝑥
3 − 𝑥2 
t) lim𝑥→+∞ 5𝑥
2 − 𝑥 
10. Considere a função 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
𝑥2 − 2 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥 − 3 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 6 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2
𝑥 + 2 𝑠𝑒 2 < 𝑥 < 3
2 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−3𝑥 + 14 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
Calcule 
a) lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) 
b) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) 
c) f (1) 
d) lim𝑥→3− 𝑓(𝑥) 
e) lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) 
f) 𝑓(3) 
 
g) Investigue a continuidade de f (x) no ponto x = 1 
(justifique sua resposta) 
h) Investigue a continuidade de f (x) no ponto x = 3 
(justifique sua resposta) 
 
 
 
 
 
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11. Calcule k de modo que as funções abaixo sejam continuas 
a) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥2 − 𝑘2, 𝑥 < 1
4 − 4𝑘, 𝑥 ≥ 1
 𝑒𝑚 𝑥 = 1 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
 (1 + 𝑥)
1
𝑥⁄ , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
𝑒𝑘 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
12. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam continuas 
a) 𝑓(𝑥) = {
sin𝑥
𝑥
, 𝑥 ≠ 0
𝑝 − 1, 𝑥 = 0
 em x = 0 b) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−𝑥
𝑥2−1
, 𝑥 ≠ 1
𝑝, 𝑥 = 1
 em x = 1 
c) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑥2, 𝑥 < 1
4 − 𝑝, 𝑥 ≥ 1
 𝑒𝑚 𝑥 = 1