Vetor posição e vetor deslocamento

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FÍSICA MECÂNICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Até o momento consideramos o estudo do movimento de objetos, 
partículas, movendo-se em uma única dimensão. Como o movimento ocorre ao 
longo de uma linha reta, chamamos de movimento retilíneo e consideramos 
apenas um eixo cartesiano como referência, porém existem muitos movimentos 
que ocorrem em duas ou três dimensões. 
Por exemplo: um atleta de atletismo na prova de lançamentos de dardos, 
ao efetuar o lançamento, o dardo viaja em movimento parabólico realizando em 
sua trajetória uma espécie de arco. Se o movimento do dardo ocorrer em um 
único plano, partindo do ponto de lançamento, o dardo irá subir afastando do 
solo e depois descer, aproximando-se do solo, mas ao mesmo tempo irá 
afastar-se em linha reta do ponto de lançamento. 
 
Neste caso o movimento ocorreu em duas dimensões, uma na vertical e 
outra na horizontal. O mesmo tipo de movimento ocorre quando uma bola é 
lançada em tiro de meta pelo goleiro, ou na trajetória de uma bola de vôlei após 
o saque em direção ao campo adversário. O movimento em duas dimensões 
também pode ser observado no movimento de rotação de um disco ou outro 
objeto qualquer girando. 
Para todos esses exemplos, que envolvem mais de uma dimensão, é 
necessário estender a descrição do movimento visto na aula 1 e considerar 
todos outros eixos cartesianos, eixo x, eixo y e ou eixo z. Continuaremos 
expressar grandezas vetoriais de deslocamento, velocidade e aceleração, que 
 
 
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até o momento possuíam apenas uma direção, um eixo cartesiano, e o sentido 
era determinado pelos sinais positivo ou negativo, porém essas grandezas 
agora possuíram mais de um componente vetorial, uma para cada eixo 
cartesiano considerado. 
Nesta aula, iremos continuar estudando o movimento sem a 
preocupação de identificar suas causas. Para um melhor aproveitamento desta 
aula, você irá precisar conhecer a linguagem da matemática vetorial e a 
linguagem cinemática vistas na aula 1, o que irá lhe proporcionar o 
entendimento de uma ferramenta essencial para estudo das relações entre 
força e movimento em aulas futuras. 
Assista ao vídeo a seguir, em que um atleta faz um arremesso com o 
movimento do móvel em mais dimensões. 
https://www.youtube.com/watch?v=zT__XesemEA 
 
TEMA 1 – VETOR POSIÇÃO E VETOR DESLOCAMENTO 
Vetor Posição 
Durante o estudo de uma partícula em movimento retilíneo, a posição da 
partícula em relação ao sistema de referência era determinada por uma 
coordenada no eixo considerado para representar o movimento. Quando o 
movimento ocorrer em duas dimensões, uma maneira de localizar a posição da 
partícula é utilizando um vetor posição. 
Entenda o exemplo para definição do vetor posição. Considere uma 
partícula que esteja localizada em um ponto P em dado instante de tempo, veja 
figura. 
https://www.youtube.com/watch?v=zT__XesemEA
 
 
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Figura 1 – O vetor posição localiza o ponto P, partindo da origem do 
sistema cartesiano até o ponto P. 
O vetor posição , chamado de vetor posição, localiza o ponto P no 
espaço em referência a um sistema cartesiano. O módulo desse vetor informa 
a que distância o ponto P encontra-se da origem do sistema de referência. O 
vetor posição pode ser escrito na forma de vetor unitário através das suas 
componentes cartesianas x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
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Vetor Deslocamento 
Quando uma partícula desloca-se de um ponto para outro, ela mudou 
sua posição. Vamos supor que durante um deslocamento uma partícula mova-
se do ponto P1, para o ponto P2 e leve um intervalo de tempo para 
completar esse deslocamento. Utilizando o vetor posição para localizar os 
pontos P1 e P2, teremos a seguinte situação, veja a figura 2. 
 
Figura 2 – Vetor deslocamento 
 
O ponto P1 é localizado pelo vetor posição , e o ponto P2 pelo vetor 
posição . Quando a partícula saiu do ponto P1 em direção ao ponto P2, ela 
realizou um deslocamento . 
Por definição, o deslocamento é dado pela variação da posição, ou seja: 
 
Escrevendo os vetores e na forma de vetor unitário, temos: 
 e 
 
 
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Logo: 
 
 
 
 
 
TEMA 2 - VETOR VELOCIDADE E VETOR ACELERAÇÃO 
Vetor Velocidade 
Da mesma maneira que fizemos na aula 1, quando o movimento ocorria 
em um único eixo, agora iremos definir a velocidade média por meio do vetor 
velocidade média , obtido pela razão (divisão) entre o vetor deslocamento 
 e o intervalo de tempo para realizar tal deslocamento. 
 
 
 
 
Vetor Velocidade Instantânea 
 
 
 
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O vetor velocidade instantânea é obtido como o limite da velocidade 
média quando o intervalo de tempo tende a zero, sendo igual a taxa de 
variação do vetor posição com o tempo. Matematicamente, podemos escrever 
a velocidade instantânea como: 
(vetor velocidade instantânea) 
 
O módulo do vetor velocidade instantânea em determinado instante é 
igual à velocidade escalar da partícula no referido instante. É importante 
lembrar que esse vetor é tangente a trajetória em cada um dos seus pontos. 
Cada componente do vetor velocidade instantânea pode ser determinado pela 
derivada das coordenadas x, y e z em relação ao tempo. 
 
 
(componentes da velocidade instantânea) 
O módulo do vetor velocidade instantânea é dado em termos dos 
componentes da velocidade, pelo teorema de Pitágoras: 
 
Quando a partícula se move no plano xy, a coordenada z e a 
componente são nulos e o módulo da velocidade instantânea será obtido 
por: 
 
 
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A direção da velocidade instantânea será dado pelo ângulo que pode 
ser calculado por: 
 
Tome cuidado, pois a partir de agora sempre que mencionarmos a 
palavra velocidade vamos nos referir ao vetor velocidade instantânea . Cabe 
a você lembrar de que a velocidade é uma grandeza vetorial e, portanto, possui 
módulo, direção e sentido. 
Vetor Aceleração 
Vimos que a grandeza aceleração representa como a velocidade da 
partícula está variando no decorrer do tempo do movimento, mas, como até o 
momento o movimento ocorria em uma única dimensão, a variação da 
velocidade ocorria apenas em módulo. Lembre-se que agora estamos tratando 
a velocidade com todas as características de um vetor, deve ficar claro, 
portanto, que a velocidade pode variar em módulo e também na direção e 
sentido durante o movimento. Por exemplo, um avião de acrobacias aéreas 
durante um voo realiza a manobra destacada na imagem. 
 
Figura 3 – Variação da velocidade entre os instantes t1 e t2 
 
 
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Os vetores velocidades instantâneas nos instantes t1 e t2 quando o avião 
passa pelas posições P1 e P2 estão indicadas respectivamente por e . 
No intervalo de tempo , a variação vetorial da velocidade será: 
 
Define-se o vetor aceleração média entre os instantes t1 e t2 como a 
divisão da variação do vetor velocidade pelo intervalo de tempo . 
 
O vetor aceleração média é uma grandeza vetorial. Ela possui a mesma 
direção e o mesmo sentido do vetor . 
Como: 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
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Vetor Aceleração Instantânea 
O vetor aceleração instantânea é definido como o limite da aceleração 
média quando o vetor , simultaneamente com o intervalo de tempo , 
tendem a zero. 
 
Como: 
Então: 
 
 
As componentes retangulares da 
aceleração instantâneas são: 
Clique no ícone a seguir e confira um vídeo 
que mostra as consequências da força G. 
https://www.youtube.com/watch?v=KxVic7FwIkU 
 
TEMA 3 - MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL 
Iremos considerar um projétil, qualquer objeto que quando lançado com 
certa velocidade inicial descreve uma trajetória curva influenciado apenas pela 
aceleração da gravidade e pela resistência do ar. 
Com a intenção de simplificarmos o movimento iremos propor um 
modelo idealizado no qual o objeto lançado pode ser consideradocomo uma 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=KxVic7FwIkU
 
 
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partícula que move-se sob a ação da aceleração da gravidade, constante em 
módulo, direção e sentido, e também com a resistência do ar desprezada, nula. 
Como a aceleração da gravidade tem direção sempre vertical com 
módulo na superfície do planeta Terra, g = 9,8 m/s2, e sentido para baixo ela 
não irá proporcionar ao projétil movimento lateral algum, portanto o movimento 
irá ocorrer apenas em duas dimensões, ou seja, com essas características o 
movimento de um projeto sempre será descrito em um plano vertical. Iremos 
considerar dois eixos cartesianos, plano xy. O eixo y estará posicionado na 
vertical de baixo para cima e o eixo x localizado na horizontal na direção do 
vetor velocidade inicial de lançamento. 
Clique nos ícones a seguir para ver alguns movimentos que podem ser 
tratados com a teoria envolvida no lançamento de projéteis. 
 
 
 
 
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O movimento de um projétil ocorre em um plano vertical contendo o 
vetor velocidade inicial . A trajetória depende somente da velocidade inicial e 
da aceleração descendente em função da gravidade. 
O grande segredo para o estudo desse tipo de movimento é tratar cada 
um dos eixos, coordenadas x e y, separados. Como a aceleração da gravidade 
atua apenas na vertical, não haverá aceleração no eixo horizontal x, aceleração 
igual a zero; já no eixo vertical y, a aceleração é constante e igual a - g. Com 
essas características o movimento de um projétil será a combinação de um 
movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com 
aceleração constante. 
Nesse contexto, podemos expressar todas as relações vetoriais para 
posição, velocidade e aceleração usando equações separadas para os 
componentes horizontais e verticais. O movimento efetivo do projétil é a 
superposição desses movimentos separados. 
Utilizando as equações do movimento estudadas na aula 1, e 
considerando o eixo x onde e , podemos escrever: 
 
 
 
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Já para o eixo y, onde a aceleração , escrevemos: 
 
 
Para simplificar, iremos considerar as posições iniciais na origem dos 
eixos cartesianos, quando o tempo inicial do movimento to = 0. 
 
Figura 4 – Composição do movimento de um projétil, movimento 
horizontal com velocidade constante e movimento vertical com aceleração 
constante. 
O movimento de lançamento de projéteis pode ser separado em dois 
movimentos distintos, movimento horizontal e vertical. No movimento 
horizontal, o projétil segue com velocidade constante, pois a aceleração 
horizontal é zero, , como a velocidade é constante 
o projétil percorre no eixo x distâncias iguais em intervalo de tempo iguais. Já 
no movimento vertical, o movimento possui aceleração constante devido à 
atração gravitacional da Terra, consequentemente sua velocidade na vertical 
varia quantidades iguais em tempos iguais. 
 
 
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Na competição olímpica de lançamento de dardos, o atleta corre numa 
pista de lançamento com 34,9 metros de comprimento para tomar impulso e 
lançar o dardo. O lançador faz um giro rápido com o corpo e lança o dardo. O 
ganhador da competição é o atleta que atinge a maior distância desde o ponto 
de lançamento até o local de queda do dardo. É claro que para conseguir a 
melhor marca o atleta necessita impor condições ideais ao dardo no exato 
momento em que esse deixa sua mão, como a velocidade inicial de 
lançamento e o ângulo inicial de lançamento . 
A figura acima mostra os vários momentos do lançamento de um dardo, 
passo a passo, desde a corrida até o momento exato do lançamento (quando o 
dardo deixa a mão do atleta), o qual está destacado na figura. Conhecendo-se 
o ângulo de lançamento , a velocidade inicial pode ser decomposta em 
suas componentes retangulares . 
Fig
ura 5 – Etapas do lançamento de um dardo passo a passo, destaque para o 
momento em que o lançamento ocorre. 
Observe que se posicionarmos os vetores de forma diferente, obteremos 
o seguinte triângulo: 
 
 
 
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Figura 6 – Triângulo retângulo formado pelo vetor (hipotenusa) e suas 
componentes retangulares e (catetos) 
 
O módulo da velocidade do projétil em qualquer instante pode ser 
calculado pela equação: 
 
Conhecendo essas relações de velocidade, e considerando 
, iremos substituir nas equações do movimento, 
temos para o eixo horizontal: 
 
E para o eixo vertical: 
 
 
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Com essas equações podemos determinar a posição no eixo x e y, e 
também as velocidades do projétil em qualquer instante de tempo t. 
Obtendo as coordenadas de posição x e y em determinado instante de 
tempo, podemos encontrar o módulo do vetor posição do projétil para esse 
instante por: 
 
O vetor velocidade em cada instante de tempo é tangente a linha da 
trajetória do projétil na posição em que se encontra naquele instante. Sua 
direção e sentido pode ser determinada em função do ângulo α que o vetor 
velocidade forma com o eixo x positivo por: 
 
Outra equação que em alguns cálculos pode ser útil é a que descreve a 
forma da trajetória do movimento, a equação de uma parábola, sendo: 
 
 
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TEMA 4 - MOVIMENTO CIRCULAR 
Em muitas situações do nosso dia a dia nos deparamos com objetos que 
descrevem trajetórias circulares, por exemplo, os ponteiros do relógio, as facas 
do liquidificador, as rodas dos carros em movimento, a hélice do ventilador, o 
disco rígido do seu computador, um satélite em órbita na Terra, entre tantos 
outros. 
Sempre que um objeto se move em uma trajetória curva o vetor 
velocidade instantânea do movimento varia a cada posição da trajetória, 
mesmo que o módulo dessa velocidade seja constante (velocidade escalar 
constante), pois, nesse caso, a variação do vetor velocidade ocorre em direção 
e sentido (lembre-se que a velocidade é uma grandeza vetorial). Quando temos 
esse tipo de movimento, dizemos ser um movimento circular uniforme e, sendo 
assim, não há aceleração tangente a trajetória, pois se essa aceleração não 
fosse nula, haveria mudança na aceleração escalar do movimento. 
A única aceleração envolvida no movimento é o vetor aceleração 
perpendicular à trajetória. Um vetor que aponta no centro da trajetória e que 
proporciona variação na direção e sentido do vetor velocidade. 
A figura abaixo ilustra o movimento de uma partícula que se move no 
intervalo de tempo Δt do ponto P1 para o ponto P2 em movimento curvilíneo 
uniforme de raio R. Repare que, ao mover-se do ponto P1 para P2, a direção 
entre os vetores velocidade e varia em cada ponto. A variação da 
velocidade pode ser obtida pela operação vetorial , como as 
velocidades e são perpendiculares ao raio da trajetória (R), o triângulo 
formado por R e e o triângulo formado por são triângulos 
semelhantes. 
 
 
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Figura 7 – Vetor aceleração média 
Quando dois triângulos são ditos semelhantes entre si, eles satisfazem 
duas condições simultaneamente. Seus lados correspondentes possuem 
medidas proporcionais e os ângulos internos correspondentes a cada lado são 
iguais (congruentes). 
Logo, para os triângulos supracitados, o lado do primeiro triângulo é 
proporcional ao módulo de do lado do segundo triângulo e lado do 
triângulo de raio R é proporcional ao módulo dos lados indicados por 
no segundo triângulo. Portanto, matematicamente, as razões entre os lados 
dos triângulos serão iguais. 
 ou 
Sabendo que o módulo da aceleração média durante o intervalo de 
tempo Δt é dado por , podemos escrever: 
Para encontrarmos o módulo da aceleração no ponto P1, teremos a 
aceleração instantânea nesse ponto, dado por: 
 
 
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Mas o limite de no ponto P1, quando Δt tende a zero é a velocidade 
escalar instantânea nesse ponto, ou seja . Como o ponto P1 pode estar em 
qualquer local da trajetória, ou seja, pode ser qualquer ponto nessa trajetória, 
podemos retirar o índicee escrever: 
 
O índice “rad” indica que a aceleração é radial, ou seja, ela está 
orientada apontando ao centro da trajetória, por essa característica, a 
aceleração também é chamado de aceleração centrípeta. Como a velocidade 
escalar é constante, o vetor aceleração é sempre perpendicular ao vetor 
velocidade instantânea. 
Outra maneira de se determinar a velocidade escalar é através do 
período de rotação (T). O período é o tempo necessário para a partícula 
realizar uma revolução completa na circunferência. A velocidade escalar da 
partícula será determinada pela razão entre o deslocamento percorrido em uma 
volta completa pelo período de rotação, sendo: 
 
Substituindo essa equação na equação da aceleração radial, temos uma 
equação alternativa para o cálculo dessa aceleração: