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Prof. Kenedy A. Freitas 2014 1 Apresentação Este material tem como origem o entendimento da dificuldade dos alunos que ingressam no ensino superior e se deparam com as nuances da matemática apresentada nas disciplinas de cálculo. Seu intuito é complementar os livros textos adotados e auxiliar o aluno no entendimento dos conceitos e resultados desenvolvidos pela Matemática Elementar. O material está dividido de forma a permitir uma breve revisão dos conceitos básicos em matemática e ainda contém exemplos, exercícios resolvidos e listas de exercícios propostos. 2 SUMÁRIO Capítulo 1 – Matemática Capítulo 2 – Potenciação, Radiciação e Logaritmo Capítulo 3 – Cálculos Algébricos Capítulo 4 – Trigonometria Capítulo 1 – Matemática A matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos cientifícos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. Esta constatação de importância deve-se ao fato de que a Matemática desempenha papel decisivo, pois, permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. A Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza. A Matemática move-se quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas interrelações. Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos. Freqüentemente, a Matemática tem sido apontada como disciplina que contribui significativamente para elevação das taxas de retenção. Outra distorção perceptível refere-se a uma interpretação equivocada da idéia de “cotidiano”, ou seja, trabalha-se apenas com o que se supõe fazer parte do dia-a-dia do aluno. Desse modo, muitos conteúdos importantes são descartados ou porque se julga, sem uma análise adequada, que não são de interesse para os alunos, ou porque não fazem parte de sua “realidade”, ou seja, não há uma aplicação prática imediata. Essa postura leva ao empobrecimento 3 do trabalho, produzindo efeito contrário ao de enriquecer o processo ensino- aprendizagem. Portanto, é importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. Capítulo 2 – Potenciação, Radiciação e Logaritmo. Potenciação é o caso particular da multiplicação quando os fatores são todos iguais. Por exemplo: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024 = 4 5 Esse produto pode ser expresso dessa maneira: 4 5 , onde 4 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade de fatores 4. O resultado da operação é chamado de potência. Da mesma forma que podemos calcular o resultado da operação de potência quando sabemos os valores da base e do expoente, também é possível determinarmos o valor da base se conhecemos o resultado e o expoente. Esse processo inverso é denominado radiciação. Utilizando o exemplo acima, temos que: 5 54 1024 1024 4 No entanto, certos cálculos exponenciais não podem ser resolvidos usando-se apenas as propriedades da potenciação ou radiciação. Com as propriedades dos logaritmos podemos resolver problemas de potências com qualquer expoente real, por exemplo: 1,410 , 5 3 , 23 , etc. A seguir temos uma breve revisão das propriedades das operações de potenciação, radiciação e logaritmos. Potenciação Para a , b e c , temos: Definido que: 4 0 1a 1a a se 2n 1 , 0n n a a a → Propriedades: Para m , n , a e b , temos: a) m n m na a a b) : , 0m n m na a a a c) ( )m n m na a d) ( )m m ma b a b e) ( : ) : , 0m m ma b a b b Potenciação com expoente racional, irracional e real Sendo p , *n , temos: * p pnna a a 0 0, 0 0 0 0 p n p n p para n a p não é definido para n * p n p pnn a nem sempre é real se n for par a a a se n for ímpar Obs.: Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são validas para a potenciação com expoente racional. Radiciação Para a , b e *c , temos: Assim, nn b a b a . → Propriedades: a) n nn a b a b b) , 0 n n n a a b bb 5 c) n mn m aa d) *,n p pn aa p e) *, n pn m m pa a p Exemplos: 2 3 3 2 3 2 12 2 2 2 2 1 2 2 2 36 34 2 32 22 2 2 4 Logaritmos Sendo a e b números reais positivos, com 1b , chamamos de logaritmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva b para obter a : log xb a x b a , com 0a , 0b e 1b . As restrições impostas a a e b são chamadas de condições de existência dos logaritmos: 1 0 0 0xb b a Exemplos: 2log 8 3 , pois 32 8 . 10log 100 2 , pois 210 100 . 1 3 log 9 2 , pois 21 9 3 . Consequências da definição a) log 1 0b , pois 0 1b . b) log 1b b , pois 1b b . c) log mb b m , pois m mb b . d) logb ab a , pois, sendo logb a x , xb a . Propriedades dos Logaritmos Logaritmo do Produto: log ( ) log loga a ab c b c Logaritmo do Quociente: log ( ) log loga a a b b c c Logaritmo da Potência: log logma ab m b Onde a , b e c números reais e positivos, 1a e m um numero real. Mudança de Base 6 As propriedades dos logaritmos só são válidas se aplicadas a mesma base. Portanto, às vezes torna-se necessário uma mudança de base. Que pode ser feita da seguinte maneira: log log log c b c a a b Como conseqüências, temos: 1 log log b a a b log log loga c cb a b Exemplos: 1) Dados log2 a e log3 b , calcule 2log 72 . Solução 3 2 2 log72 log(2 3 ) log 72 log 2 log 2 3 log 2 2 log3 3 2 log 2 a b a ▄ 2) Simplifique a expressão: 4 81 27 8log 9 log 16 log 8 log 3 Solução 4 4 4 4 4 4 4 log 16 log 8 log 3 log 9 log 81 log 27 log 8 4 4 4 4 4 log 2 log 3 log 3 log 3 3 log 2 3 4 4 2 1 log 2 2 log 2 3 3 4 4 21 1log 2 log 4 3 3 1 1 1 3 3 ▄ Logaritmo Natural ou Neperiano É um sistema que utiliza a base e = 2,71828... (número irracional), seu nome vem do matemático Jonh Neper (1550-1617), que foi o primeiro a tabalhar com esse tipo de base. O nome natural deve-se ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e. Por definição sua representação é: ln xIsto porque, log lne x x . 7 Todas as propriedades e considerações a cerca dos logaritmos em uma base qualquer são válidas para o logaritmo natural. Antilogaritmo Sejam , ,0 1a b a e 0b , então: log loga ab x b anti x Exemplos: 3log 2 9anti , pois, 3log 9 2 2 1 log 2 4 anti , pois, 2 1 log 2 4 1 2 1 log 3 8 anti , pois, 1 2 1 log 3 8 Na época de seu desenvolvimento o logaritmo tinha como principal utilidade aumentar a capacidade de cálculo dos astrônomos. Notemos que, com as propriedades dos logaritmos podemos transformar uma multiplicação em uma soma, uma divisão em uma subtração e uma potenciação em uma multiplicação, isto é, com o emprego da teoria dos logaritmos podemos transformar uma operação em outra mais simples de ser realizada. Existe uma especial atenção ao estudo dos logaritmos decimais, isto é, àqueles que possuem base 10. Essa atenção surge porque qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, estará necessariamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos. Exemplos 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 0,04 10 0,04 10 0,351 10 0,351 10 3,72 10 3,72 10 45,7 10 45,7 10 573 10 573 10 x x x x x Por definição temos que: 8 log x c m Da definição temos que o logaritmo decimal de x é a soma de um inteiro c com um número decimal m não negativo e menor que 1. O número inteiro c é por definição a característica do logaritmo de x e o número decimal m (0 ≤ m < 1) é por definição a mantissa do logaritmo decimal de x. A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo pode será calculada por uma das duas regras abaixo. Regra para: x > 1 A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, menos 1. Exemplos: logaritmo característica log2,3 0 log31,421 1 log204 2 log6543,2 3 c c c c Regra para: 0 < x < 1 A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Exemplos: logaritmo característica log0,2 1 log0,035 2 log0,00405 3 log0,00053 4 c c c c 9 A mantissa de um logaritmo decimal, em geral, é um número irracional e por esse motivo as tábuas de logaritmos são tabelas que fornecem os valores aproximados dos logaritmos dos números inteiros, geralmente 1 a 10 000. A mantissa possui a propriedade de que em um logaritmo decimal de x sua mantissa não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro. Observação: Os logaritmos de dois números cuja representação decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissa iguais. Exemplo Utiilzando a tabela de mantissa resumida a seguir e as propriedades dos logaritmos decimais, calcule: a) log23,4 b) log234 c) log0,042 d) log420 Solução 10 Para (a), temos que a característica é 1 e a mantissa é 0,3692. Temos então: log23,4 1 0,3692 1,3692 Para (b), a característica é 2 e a mantissa é 0,3692 que é a mesma do número 23,4, conforme a observação sobre a propriedade de mantissa. log234 2,3692 Para (c), a característica é -2 e para (d) a característica é 2, mas a mantissa é 0,6232 é a mesma para ambos. Temos então: log0,042 2 0,6232 1,3768 Então: log420 2,6232 RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES ARITMÉTICAS A resolução de uma expressão aritmética se faz procedendo da seguinte maneira: Resolvem-se as operações que estiverem entre os parêntesis ( ), depois os colchetes [ ] e finalmente as chaves { }, sempre a partir dos mais internos. A ordem das operações devem seguir: Grupo I – adição e subtração Grupo II – multiplicação e divisão Grupo III – potenciação, radiciação e logaritmos Caso hajam duas operações de um mesmo grupo, resolve-se primeiramente a que primeiro aparecer. Caso hajam duas operações de grupos distintos, resolve-se primeiramente as do grupo III, depois as do grupo II e finalmente as 11 do grupo I, levando-se em conta as posições que as operações ocupem com referência a primeira fase. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule: a) 3( 3) b) 0( 4) c) 15( 1) d) 10( 1) e) 70 f) 22 g) 3 2 3 h) 33 2 i) 5 0,1 j) 00 k) 10 l) 4 1 3 m) 3 25 5 n) 32 3 o) 235 p) 7 5 2 2 q) 6 23 3 r) 2 25 4 s) 1 2 3 t) 2 1 0,01 u) 2 0,75 v) 1 3 w) 3 0,5 x) 1 12 3 y) 2 11 2 2 2 2 2 2 2 z) 2 3 3 2 1 1 2 2 1 2 2) Simplifique as expressões, supondo que 0a b e que n : a) 2 3 2 3 4 3 a b a b b) 3 4 2 2 2 a b a b c) 4 2 2 3 3 4 3 3 2 a b a b a b 12 d) 12 3 1 n n n a a a e) 4 3 4 n n n a a a a a 3) Simplifique os radicais e as expressões: a) 3 64 b) 576 c) 3 72 d) 3 729 e) 4 625 f) 8 32 72 50 g) 2000 200 20 2 h) 33 3 3375 24 81 192 i) 3 3 34 4 4 4 33a ab b a b a b ab ab 4) Reduza ao mesmo índice: a) 3 52, 5, 3 b) 63 52 3 4 53 , 2 , 5 , 2 5) Efetua as operações indicadas: a) 34 5 6 15 b) 12 2 27 3 75 3 c) 3 2 5 3 2 d) 4 1 2 e) 3 5 5 1 2 2 f) 20 45 3 125 2 5 g) 43 12 2 48 3 h) 5 2 6 5 2 6 i) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j) 2 a b a ab b ab b a k) 3a a a 6) Racionalize os denominadores das frações: a) 1 3 b) 5 3 7 c) 1 1 2 3 d) 1 3 2 e) 1 2 3 5 f) 3 3 9 1 3 1 13 7) Simplifique a) 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 b) 48 27 125 12 108 180 8) Mostre que 3 4 1 7 2 10 8 4 3 11 2 30 . 9) Expressar na forma de expoente racional os seguintes radicais: a) 2 b) 4 3 5 c) 2 3 22 d) 2 4 1 8 10) Calcular, substituindo as potências de expoente racional pelos correspondentes radicais: a) 1 20,25 b) 0,5 0,01 c) 2327 e) 3 41 16 11) Simplifique as potências de expoente racional e irracional: a) 21 32 1 1 1 5 8 60 3 3 3 3 3 b) 2 2 3 3 3 3 4 427 27 16 16 c) 1 2 11 2 3 32125 16 343 d) 3 2 3 2 35 25 e) 3 27 75 2 48 2 8 4 f) 1 5 20 54 8 14 12) Calcule analiticamente e use quando necessário a tabela de logaritmos: a) 0,25log32 b) 1 2 log 8 c) 25log 0,008 d) 0,01log 0,001 e) 125log 25 f) 3 7 log 49 g) 3 4 5 log 5 h) 4 3 3 3 log 3 i) 1 3 log 27 j) 100 1,5 1,25 4 log 0,001 log log 0,64 9 k) 3 33 6 9 0,5 100 1 log log 8 log 0,1 27 l) 4 3 2 81 0,8 16log log 9 log log 3 log log 32 m) 2log 58 n) 31 log 43 o) 21 log 38 p) 32 log 29 q) 1 2 log 4anti r) 16 1 log 2 anti s) 3 3log log 5anti t) log0,74 u) log25,4 v) log0,00357 w) loge x) 2log 3 y) 3log 2 z) 2log 5 13) Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos, sendo a, b e c reais e positivos. a) 3 2 3 4 log a b c b) 3 2 log a b c c) 2 3 2 4 log a ab b a b d) 2 4 3 2 3 log a ab b bc e) 2 23 2 2 ( ) log a a b a b 14) Sabendo que 20log 2 a e 20log 3 b , calcular 6log 5 (obs.: utilize a mudança de base). 15 15) Se log 4ab a , calcule 3 logab a b . 16) Calcular 3 4 25log 5 log 27 log 2 . Capítulo 3 – Cálculos Álgebricos Considerações preliminares A utilização de letras representando números é denominada Álgebra, que além de ser muito importante para a resolução de uma inifinidade de problemas prátcos e teóricos, nos auxilia em nosso desenvolvimento da capacidade de raciocinar. Algumas vezes estas letras representativas serão chamadas de constantes ou coeficientes e outras vezes serão chamadas de variáveis. A reunião destas variáveis e constantes em expressões matemáticas é denominada de expressões algébricas. As expressões algébricas representando o produto entre constantes e variáveis são denominadas de monômio. 3 42x y Quando as expressões apresentam monômios semelhantes (parte varíavel idêntica) podemos realizar operações matemáticas sobre eles, isto é, podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, elevar a potências, extrair raízes e calcular seus logaritmos. O procedimento para as operações de soma e subtração são semelhantes, onde devemos somar ou subtrair as constantes e conservar a parte literal. Para a multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e logaritmos, devemos recordar das propriedades de potenciação e logaritmos. Exemplos i) 3 2x x x ii) 3 3 312 9 21xy z xy z xy z iii) 3 2 3 3 2 3 4 54 2 4 2 8a b ab c a b b c a b c iv) 2 2 312 2 12 2 24xy x z x x y z x yz 16 v) 3 2 3 2 2 3 2 2 1 2 25 25 5 5 5 5 a y a y a y a y ay a y vi) 2 2 3 2 2 2 21 3 2 4 2 64 4 16a bc a a c a b c Uma expressão algébrica composta por monômios ou pela soma destes é chamada de polinômio, e os monômios que a compõem são chamados de termos. Deve-se atentar ao fato que expoentes fracionários não compõem expressões polinomiais. Exemplos i) 25 2x y b → polinômio de dois termos, chamado de binômio. ii) 3 2 3x yt t → polinômio de três termos, chamado de triinômio. O grau de um polinômio é definido pelo expoente de maior valor entre as variáveis de seus monômios. Exemplos a) Polinômio de uma variável: 2 2 5 5 2 2 x monômiodo primeiro grau x x x monômiodo primeiro grau monômiode grau zeroou constnte b) Polinômio de duas ou mais variáveis 2 3 2 3 2 3 2 3 3 ...(2 3 5) quinto 3 2 21 2 ...(2 3 1 6) 21 x y monômiodo grau x y a b c a b c monômiodo sexto grau monômiode grau zeroou constnte Logo: 2 3 2 33 2 21x y a b c é um polinômio de sexto grau. O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que obtemos quando substituímos as letras da expressão algébrica por números e realizamos todas as operações indicadas. Seja o polinômio 2 33 2 3x y zt xt z , com 1, 2, 1, 3x y z t . O valor numérico dessa expressão será: 17 2 3 2 . . 3 1 2 2 1 3 3 1 3 1 . . 3 1 8 2 1 3 3 1 3 1 . . 24 6 9 1 . . 6 34 . . 28 V N V N V N V N V N OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Adição Para operar com a adição de expressões algébricas, devemos reduzi-las à forma mais simples, ou seja, necessitamos de uma redução de termos semelhantes (os que possuem a mesma parte variável). Para tanto, eliminamos os parênteses e somamos os termos semelhantes. Subtração Partindo da noção de que subtração é a operação inversa da adição, então devemos conservar os sinais dos termos do minuendo e trocar os do subtraendo, recaindo, portanto, na adição. Multiplicação Monômio por polinômio A multiplicação neste caso consiste em determinarmos os produtos do monômio pelos termos do polinômio. 18 Polinômio por polinômio A multiplicação neste caso consiste em determinarmos os produtos de cada termo do polinômio multiplicado pelos termos do polinômio multiplicando, um a um. Divisão com expressões algébricas Divisão de polinômio por monômio A divisão neste caso consiste em determinarmos os quocientes de cada termo do polinômio dividendo pelo monômio divisor e somando o quociente. Divisão de polinômio por polinômio 19 Sejam dois polinômios, f(x) como dividendo e g(x) como divisor, com g(x)≠0. Dividir f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x), tais que: → f(x)=g(x).q(x)+r(x) → grau r < grau g ou r(x)=0 Segue um possível esquema de divisão, já conhecido nos cálculos aritméticos: De modo geral, a divisão de dois polinômios quaisquer é feita através do método da chave. Exemplo Vamos dividir 4 3 26 3 1x x x x por 22 3x x . 1º passo Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. 4 2 2 6 3 2 x x x obtendo assim o 1º termo do quociente. 2º passo Multiplicamos o quociente obtido 23x pelo divisor: 2 2 4 3 23 2 3 6 3 9x x x x x x 3º passo O resultado do 2º passo é somado, com os sinais trocados, aos termos semelhantes do dividendo e os termos que não possuem semelhantes devem ser repetidos. Com esta operação, obtemos um resto parcial. 46x 3 2 2 4 3 1 2 3 6 x x x x x x 3 2 2 3 2 3 9 3 4 12 1 x x x x x x resto parcial 4º passo Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido até que o grau r se torne menor que o grau de g. 20 46x 3 2 2 4 3 1 2 3 6 x x x x x x 3 2 2 3 3 9 3 2 7 4 x x x x x 2 3 12 1 4 x x resto parcial x 2 2 2 6 14 x x resto parcial x 2 7 1 14 x resto parcial x 7 21 14 22 x x O resultado apresenta grau r=1 e grau r=2 e a divisão é encerrada. Então: 2( ) 3 2 7 ( ) 14 22 q x x x r x x (note que: grau q =grau f − grau g = 4−2=2) Exemplo Vamos efetuar a divisão de 3 2( ) 3 14 23 10f x x x x por 2( ) 4 5g x x x . 33x 2 2 3 14 23 10 4 5 3 x x x x x 2 2 12 15 3 2 2 x x x x 8x 10 22x 8x 10 0 Assim: ( ) 3 2 ( ) 0 q x x r x (note que: grau q =grau f − grau g =3−2=1) Dispositivo de Briot – Ruffini É um processo que fornece o quociente q(x) e também o resto r da divisão de um polinômio por outro. O exemplo a seguir ilustra o processo. Exemplo 21 Consideremos a divisão de 3 2( ) 4 5 2f x x x x por ( ) 3g x x , ambos escritos segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, sigamos o seguinte roteiro: 1º Passo Calculamos a raiz do divisor g(x) e, ao seu lado, colocamos os coeficientes ordenados do dividendo f(x). Raiz de g(x): 3 0 3x x 2º Passo Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo (1) e o multiplicamos pela raiz do divisor 1 3 3 . 3º Passo Somamos o produto obtido com o coeficiente seguinte 3 ( 4) 1 . O resultado é colocado abaixo desse coeficiente. 4º Passo Com esse resultado, repetimos as operações (multiplicamos pela raiz e somamos com o coeficiente seguinte), e assim por diante. O último dos números obtidos no dispositivo ou algoritmo de Briot – Ruffini é o resto da divisão. Assim r = 4. 22 Os demais números obtidos nesse algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados do quociente da divisão. Assim: 2 2( ) 1 1 2 2q x x x x x ▄ Exemplo 2 Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, façamos a divisão de 4 3 2( ) 2 5 1f x x x x x por ( ) 2g x x . Temos: Logo: 4 3 2( ) 2 5 15 29q x x x x e 57r . ▄ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Efetue as operações: a) 2 23 10a y a y d) 3 8 45 10x x y z g) 2 213a b b) 4 412 35xz xz e) 2 2 314 : 7a b c abc h) 4 2xy c) 3 4 33 2ab a b c f) 3 4 235 : 5x b x b 2) Encontre o grau dos polinômios. a) 2 23x y t b) 2 3 33 4 1x y x c) 32x y d) 2a e) 6 5 48 15 2 1x x x f) 2 3 4 2 3 43 7 12a b a b a b 3) Suponhamos que a água consumida pelas residências de determinada cidade seja cobrada de acordo com a seguinte tabela: 23 onde p é o preço a ser pago pelo consumo de água em um mês e x é o número de kl de água consumidos. Responda: a) Quanto deverá pagar o dono da residência que consumir 5 kl de água em um mês? b) E se forem consumidos 15 kl de água? c) E se forem consumidos 30 kl de água? 4) Dados os polinômios, calcule o que se pede. 2( ) 7 2 4f x x x a) ( )f g x 2 3( ) 5 5g x x x x b) ( )g h x 4( ) 2 3h x x x c) ( )h f x 5) Sejam os polinômios 2( ) 2 3 4f x x x , 3( ) 1g x x x e 2( ) 4h x x x . Obtenha os polinômios: a) ( ) ( )f x g x b) ( ) ( )g x h x c) ( ) ( ) ( )f x g x h x 6) Dados os polinômios, calcule o que se pede: 2( ) 2 3 4f x x x a) ( )fg x 2( ) 7g x x b) ( )gh x 2 3( ) 2 3h x x x x c) ( )hf x 7) Determine h(x) tal que: ( ) ( 1)( 2) ( 2)( 1) 4( 1)h x x x x x x 8) Sejam os polinômios ( ) 2 3f x x , ( ) 4 5g x x e 2( ) 3 5 4h x x x . Determine o polinômio ( ) ( ). ( ) ( )p x f x g x h x . 9) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de grau 7 e 5, respectivamente. Classifique como V ou F cada sentença seguinte, corrigindo as falsas: a) o grau de f(x).g(x) é 35. 24 b) o grau de f(x)+g(x) é 7. c) o grau do polinômio 2( 1). ( ) ( )x g x f x é 7. 10) Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) em cada caso: a) 2( ) 3 5 7f x x x e ( ) 3 1g x x b) 3 2( ) 4 5 1f x x x x e 2( ) 1g x x c) 4 3 2( ) 5 3 2 4 1f x x x x x e 2( ) 4g x x d) 5 3 2( ) 3 4 2 1f x x x x x e 3 2( ) 1g x x x 11) Em cada caso, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x), utilizando o dispositivo e Briot-Ruffini: a) 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x e ( ) 3g x x ) b ) 2 ( ) 3 2f x x e ( ) 2g x x d) 3( ) 1f x x e ( )g x x 12) Aplicando o dispositivo e Briot-Ruffini, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x): a) 4 3 2( ) 5 12 13f x x x x e ( ) 3g x x b) 5( ) 81 32f x x e 2 ( ) 3 g x x Produtos Notáveis Como o próprio nome diz, são multiplicações (produtos) que se destacam por terem características próprias (notáveis). Devido ao aparecimento freqüente destes produtos na resolução de equações ou no desenvolvimento de expressões, e muitas vezes a utilização de suas características auxiliarem na resolução de um problema torna-se necessário que saibamos quais são estes produtos e, como podemos reconhecê-los em problemas. 25 São vários os produtos notáveis conhecidos, porém focaremos nossa atenção aos que aparecem com mais freqüência. Contudo no Anexo 1 deste material existe uma lista mais completa de produtos notáveis. 1.2.1 Produto da soma e diferença de dois termos Uma das aplicações onde este produto notável aparece é no cálculo da área de figuras geométricas como veremos nas figuras a seguir. Alguém poderia lhe fazer a seguinte pergunta: Qual é a expressão algébrica que representa a área total das figuras? A figura ao lado é um retângulo cuja área total é dada pela multipllicação de sua base por sua altura: A b h Podemos associar à base da figura a expressão albgébrica: ( 3)b x ; E associarmos à altura da figura a expressão algébrica: ( 1)h x Substituindo as expressões matemáticas na equação da área e efetuando a operação matemática da multiplicação distributiva entre as duas expressões algébircas, obtemos o resultado: 2 2( 3) ( 1) 3 3 4 3A b h A x x A x x x A x x Este resultado indica para quais valores de x selecionados na figura poderemos calcular o valor de área utilizando a expressão. A figura ao lado também é um retângulo cuja área total é dada pela multipllicação de sua base por sua altura, mas neste caso nos interessa somente a área colorida. Para podermos selecionar somente a parte colorida temos: Expressão algébrica da base: ( 3)b x Expressão algébrica da altura: ( 1)h x Resolvendo a expressão da área da base, temos: 2 2( 3) ( 1) 3 3 2 3A b h A x x A x x x A x x 26 Para a figura a seguir, podemos calcular sua área através do somatório individual de cada área representada, isto é: A figura vermelha é um quadrado, cuja área é dada por: 2 1A x ; A figura azul é um retângulo que possui lado de tamanho x e base unitária, logo cada figura possui área igual a 2A x ; A figura verde é um quadrado de lado unitário, portanto cada figra possui área igual a 3 1A . Fazendo o somatório das áreas individuais, obtemos a área total da figura: 2 1 2 37 12 7 12T TA A A A A x x Podemos chegar a este mesmo resultado utilizando o seguinte raciocínio, o lado da figura pode ser expresso pela expressão algébrica, ( 3)x , e a base pela expressão algébrica, ( 4)x . Como a área da figura é dada pela multiplicaçãoda base pela altura, temos: 2 2( 3) ( 4) 3 4 12 7 12A b h A x x A x x x A x x Podemos generalizar as idéias apresentadas para encontrar a expressão algébrica associada a área de uma figura geométrica através da seguinte pergunta: Qual é a expressão algébrica que representa a área total de um retângulo de de medidas ( )x a e ( )x b ? A resposta é dada através da expressão da área que é o produto entre a base pela altura, tal produto é dado por: 2 2( ) ( ) ( )A b h A x a x b A x ax bx ab A x a b x ab Note que, temos o um termo quadrado ( 2x ), um termo linear dado pela soma de a e b multiplicados por x e o termo independente dado pelo produto entre a e b. Desta expressão geramos o produto notável denominado trinômio do segundo grau. 27 Podemos generalizar este resultado fazendo as seguintes substituições, S a b e P ab , que gera a equivalência entre as expressões: Trinômio do Segundo Grau - 2 2( )x a b x ab x Sx P Obs.: Este resultado será novamente abordado no estudo de funções do segundo grau. Caso, a figura seja um quadrado teremos o valor de a igual ao valor de b, este resultado gera outro produto notável denominado trinômio quadrado perfeito. 2( ) ( ) ( )A b h A x a x a A x a 2 2 2 22A x ax ax a A x ax a Logo, Trinômio Quadrado Perfeito - 2 2 2( ) 2x a x ax a Obs.: a ampliação do resultado para a diferença entre dois quadrados é feita inserindo um substituindo o sinal positivo na expressão pelo sinal negativo. 1.2.2 Cubo da soma e da diferença de dois termos Quando dizemos o cubo da soma de dois termos não estamos nos referindo a soma de dois cubos, isto porque, apesar das sentenças parecerem iguais a sua expressão algébrica é bem difrente, veja: Cubo da soma de dois termos = 3( )x y Soma de dois cubos = 3 3x y 3 3 3( )x y x y No caso da soma de dois cubos estamos querendo calcular o volume total do sólido gerado por duas figuras geométricas. Já para o cubo da soma de dois termos, desejamos calcular o volume do sólido que possui medidas de valores iguais a x e y. A figura sólida a seguir é um cubo de medias x e y, formado pela relação entre dois cubos e seis prismas. 28 x x x y y y x y y x x y Podemos tentar definir a expressão algébrica que representa o volume do cubo desmembrando-a em seus consituintes: (1) (2) (3) (4) O volume de cada figura sólida que constitui o cubo maior é dado pelas respectivas expressões: 3 1 1. .V x x x V x 3 2 2. .V y y y V y 2 3 3. .V x y y V xy x y x x y y 29 2 4 3. .V x x y V x y O volume total do cubo é dado pelo somatório de cada volume individual, logo: 3 3 2 2 1 2 3 43 3 3 3T TV V V V V V x y xy x y Outra maneira de obtermos o volume do cubo é tomando seu lado como ( )x y e da fórmula do volume do cubo 3volume lado , temos a seguinte expressão matemática: 3 2 2 2( ) ( )( ) ( )( 2 )V x y x y x y x y x xy y 3 2 2 33 3V x x y xy y Sendo idênticos os resultados para o volume do sólidoe devido ao fato de terem sido obtidos por produtos entre expressões algébricas, tal resultado é um produto notável denominado cubo da soma de dois termos. Cubo da soma de dois termos - 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y Obs.: para o cubo da diferença de dois termos substituímos o sinal positivo por um sinal negativo, deixando o produto notável na forma: Cubo da diferença de dois termos - 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y Exemplos: Calcule o cubo da soma e diferença da figura de lados 5x e 3y. Solução 3 3 2 2 3(5 3 ) 125 225 135 27x y x x y xy y 3 3 2 2 3(5 3 ) 125 225 135 27x y x x y xy y ▄ 1.3 Fatoração Fatoraração consiste na operação matemática de decompor o resultado de um produto. 30 1 1 Até agora estávamos determinando o resultado dos produtos e em especial daqueles que aparecem com maior freqüência. Nesta seção faremos o processo inverso, isto é, partiremos do resultado de um produto notável e determinaremos os fatores que geraram tal produto. 1.3.1 Trinômio do segundo grau Vimos nas seções anteriores como definir a expressão algébrica da área total de uma figura, e agora definiremos os fatores que geraram tal expressão algébrica. A área total da figura abaixo é dada pela expressão 2 7 12x x . Sua forma fatorada é escrita pelo produto da expressão da base pela expressão do lado. O nome trinômio do segundo grau é definido porque a expressão algébrica da área total ou do produto gerado possui três termos sendo o primeiro termo um termo quadrado (segundo grau). Matematicamente fazemos a seguinte relação: Podemos generalizar este resultado para, 31 O resultado pode ser resumido na expressão: 2 ( )( )x Sx P x a x b Onde a letra S indica soma e a letra P indica o produto entre os termos a e b. Isto é, S a b P ab Obs.: para encontrar os valores de a e b, determina-se os divisores do produto ab e verica-se quais desses valores combinados geram simultaneamente os valores de S e de P apresentado no produto notável. Exemplos: Fatore os seguintes produtos notáveis: a) 2 7 12x x b) 2 6 8x x c) 2 2 8x x Solução a) Comparando a expressão com a expressão geral do trinômio do segundo grau temos a relação: 7 12 S a b P ab devemos agora determinar os divisores comuns de 12, que são: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Dentre estes divisores temos de encontrar dois valores que adicionados resulte em 7 e que multiplicados resulte em 12. Logo, verificamos que estes valores devem ser 3 e 4. Fazendo 3a e 4b , temos: 2 7 3 4 7 7 12 ( 3)( 4) 12 (3)(4) 12 S a b S x x x x P ab P ▄ b) Para este produto, temos: 6 8 S a b P ab , os divisores de -6 são: 1, 2, 3, 6 Logo a única combinação possível será: 2 6 2 4 6 6 8 ( 2)( 4) 8 ( 2)( 4) 8 S a b S x x x x P ab P ▄ 1.3.2 Agrupamento e Fator Comum 32 Observe a figura: A área total da figura hachurada é dada pela expressão: 2 2 2x xy x y . Como podemos encontrar a forma fatorada desta expressão? A resposta é dada utilizando duas técnicas de fatoração. A primeira é denominada fator comum, que consiste em colocar termos comuns da expressão em evidência e multiplicá-lo pelo restante da expressão. Neste caso, temos: 2 2 2 ( ) 2( )x xy x y x x y x y Note que ainda temos na expressão um fator comum, colocando em evidência obtemos: 2 2 2 ( ) 2( ) ( )( 2)x xy x y x x y x y x y x O termo ( 2)x , aparece através da técnica de agrupamento. Exemplos: Fatore as expressões algébricas a seguir: a) 2 3 46 12 10x x z x a b) xy xz ay az Solução a) Podemos nesta expressão colocar os fatores comuns 22x , com isso temos: 2 3 42 26 12 10 2 (3 6 5 )x x z x a x xz x a b) Para esta expressão, temos: ( ) ( ) ( )( )xy xz ay az x y z a y z y z x a ▄ 1.3.3 Diferença de dois quadrados Observe na figura os quadrados de áreas 2x e 2y os retângulos de áreas xy e yx . 33 A área total da figura é dada pela soma das áreas dos retângulos. A área do retângulo maior é: 2( )x y x x yx A área do retângulo menor é: 2( )x y y xy y Logo a soma das áreas será: 2 2( ) ( )x y x x y y x yx xy y 2 2( ) ( )x y x x y y x y Ou ainda, utilizando as técnicas de fatoração de fator comum e agrupamento, obtemos: 2 2( ) ( ) ( )( )x y x x y y x y x y x y O que nos leva ao resultado geral, que é a diferença de dois quadrados: 2 2( )( )x y x y x y Exemplos: Determine a forma fatorada da expressão algébrica: 2 2xa xb Solução: 2 2 2 2( ) ( )( )xa xb x a b x a b a b ▄ 1.3.4 Fatoração Combinada Observe a figura abaixo, sua área total é dada pela expressão algébrica, 2 2 4 4x y x xy Verifica-se que não existem fatores comuns entre os termos da expressão (polinômio). Porém, verificamos que organizando a expressão podemos encontrar produtos sentenças que permitem a utilização de técinas de fatoração. Vejamos como: Sendo 34 2 2 4 4x y x xy verifica-se que organizando a expressão obtemos um trinômio quadrado perfeito: 2 22 4 4 4 4 2x y x xy x x xy y Podemos escrevê-lo na sua forma fatorada e ainda no segundo termo colocar o fator comum em evidência: 2 2 22 4 4 4 4 2 ( 2) ( 2)x y x xy x x xy y x y x Ainda temos um fator comum que podemos colocá-lo em evidência: 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2) ( 2)[( 2) ]x y x x x y x x x y Podemos ainda organizar o colchetes e obter a seguinte expressão fatorada: 2 2 4 4 ( 2)( 2 )x y x xy x x y Tal fatoração é conhecida como fatoração combinada. 1.4 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo múltiplo comum ou MMC é o valor que dentro de um conjunto de números representa o menor múltiplo de todos. Exemplos: Determine o MMC de: a) 2, 3, 6 e 12 b) 4, 5, 15, 30 Solução: O processo consiste em decompor os números do conjunto em fatores primos e, depois multiplicar os valores primos encontrados na fatoração. a) 22,3,6,12 31,3,3,6 21,1,1,2 1,1,1,1 2 2 3 12 Logo o MMC da sequencia é 12. b) 24,5,15,30 22,5,15,15 51,5,15,15 31,1,3,3 1,1,1,1 2 2 5 3 60 Log o MMC da sequencia é 60. ▄ 35 Máximo divisor comum (MDC) é o maior valor capaz de dividir um conjunto de números gerando um quociente inteiro. Exemplos: Determine o MDC de: a) 60,30,15,5 b) 120,60,30,45,75 Solução: O processo do MDC consiste em decompor os números do conjuto em números primos e verificar dentre os primos o fator comum. Caso existam mais fatores comuns estes deverão ser multiplicados entre si. Lembre-se que neste caso deve-se multiplicar o fator uma única vez caso ele se repita. a) 260,30,15,5 230,15,15,5 515,15,15,5 33,3,3,1 1,1,1,1 5 fator comum O MDC do conjunto é 5 pois é o único fator comum do conjuto. b) 2120,60,30,45,75 260,30,15,45,75 230,15,15,45,75 515,15,15,45,75 33,3,3,15,15 51,1,1,5,5 1,1,1,1,1 5 3 15 fator comum fator comum O MDC será 15, pois 5 e 3 são fatores comuns. ▄ 1.5 MMC e MDC de expressões algébricas Da mesma forma que na aritmética o MMC de expressões algébricas, consiste na fatoração quando possível das expressões dadas e na multiplicação de todos os fatores obtidos, comuns e não comuns, com os maiores expoentes. Para o MDC, multiplicamos todos os fatores comuns elevados aos menores expoentes. Exemplos: 1) Determine o MMC dos monômios: 2 37 ,14 ,4x x x . 36 Solução: Calcula-se inicialmente o MMC dos coeficientes; 2 27,14,4 27,7,2 77,7,1 1,1,1 2 7 28 Depois determinamos o fator comum da parte algébrica de maior expoente entre os monômios, que neste caso será, 3x . Logo, a resposta será a multiplicação destes termos encontrados, isto é, 2 3 37 ,14 ,4 28MMC x x x x ▄ 2) Determine o MMC dos polinômios: 2 249, 2 14, 14 49x x x x . Solução: Como não temos coeficientes numéricos, devemos encontrar os fatores comuns entre os polinômios e depois multiplicarmos todos os fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes. 2 2 2 49 ( 7)( 7) 2 14 2( 7) 14 49 ( 7) x x x x x x x x Verificamos que o fator comum é ( 7)x , então devemos selecionar este fator comum com seu maior exponte. Logo, 2 2 249, 2 14, 14 49 2( 7)( 7)MMC x x x x x x ▄ 3) Determine o MDC dos polinômios: 2 249, 2 14, 14 49x x x x . Solução: Decompomos as expressões em suas formas fatoradas mais simples e verificamos o fator comum aos termos, neste caso: 2 2 2 49 ( 7)( 7) 2 14 2( 7) 14 49 ( 7) x x x x x x x x onde o fator comum aos termos é a expressão fatorada ( 7)x , logo: 37 2 249, 2 14, 14 49 ( 7)MDC x x x x x ▄ 1) Escreve as expressões abaixo em sua forma fatorada mais simples. a) 2 10 25x x b) 2 25x c) 3 27x d) 3 27x e) 3 227 27x x x f) 2 2 2 2 xa xb x a x b Solução: a) 2 2 2 210 25 2(5 ) 5 ( 5)x x x x x b) 2 25 ( 5)( 5)x x x c) 3 227 ( 3)( 3 9)x x x x produto notável conhecido como soma de cubos. d) 3 227 ( 3)( 3 9)x x x x produto notável conhecido como diferença de cubos. e) 3 2 2 227 27 ( 27) ( 27) ( 27)( 1) ( 27)( 1)( 1)x x x x x x x x x x x f) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) xxa xb x a b x a x b x a b ( ) ( )a b a b 2x ( )a b ( )a b x ▄ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Desenvolva e simplifique as expressões algébricas. a) 2 2 2 2 2 2 2 2( )( )x a y b x a y b b) 2(2 3 ) (2 3 )(2 3 )x y x y x y c) xa xb xa xb ya yb d) 2 2 6 9 4 3 x x x x e) 2 2 2 2 22a x a xy a y f) 21 2 x g) 2 2 3 2 3 2 x y x y h) 2 2 6 9 9 x x x Exercícios Resolvidos 38 i) 2 2 5 6 6 9 x x x x j) 2 a b a b a b k) 3 2 2 32a b a b ab l) 2 2 8 16 16 x x x m) 2 3 2 3 2 4 4 214 12 16a b c a b c a b c n) 3 3 2 2abx aby cdx cdy o) 6 9 6 4abx aby cdy cdx p) 2 2 a b a b q) 6 3 26 9a a b b r) 2 9 18x x s) 2 7 6y x t) 4 4 4 3 3 3 25 5 a b c a b c 2) Determine o MMC e o MDC das expressões abaixo: a) 2 5 2 4 225 ,20a b c a b cd b) 2 3 3 3 2 212 ,24ab c d a b c d c) 2 22 4 2 ,a ab b a b d) 3 2 23 6 ,12m m n m n 3) Efetue as operações: a) 2 1 5 1 1 1 1 a a a a a a b) 2 2 3 5 8 3 4 a b c d c ab c) 2 3 2 3 2 4 25 6 9 25 4 a b c m p m n a b n d) 23 3 2 3 a b mn e) 3 1 1 a a f) 2 2 2 2 2 3 7 10 6 5 6 x x x x x x x x Equações e Inequações A primeira equação que a maioria de nós aprende é o sinônimo de simplicidade: 1+1=2 Os primeiros seres humanos viviam sem equações e não precisavam delas. Não havia equações no Jardim do Éden, nem na Árvore do Conhecimento ou em qualquer dos outros lugares descritos nos mitos de criação. Os seres humanos nem tinham o conceito de equação. Este conceito é uma invenção humana, resultado de nossos esforços para dar sentido ao mundo. E mais: os homens não acordaram certo dia e de repente decidiram que iriam inventar equações. A necessidade foi surgindo ao longo do tempo, e o conceito de equação foi sendo aprimorado ao decorrer do tempo. 39 A palavra latina aequare significa “tornar plano” ou “tornar nivelado”. Com o decorrer do tempo os números e a contagem tornaram-se importantes para os homens e isso gerou a necessidade de se criar símbolos que representassem números e quantidades. No século III AEC, o matemático grego Diofanto deu outro passo: usou símbolos para representar quantidades desconhecidas e providenciou algumas regras para lidar com essas quantidades. O conceito que precebemos hoje sobre as equações passou por uma grande jornada e acabou por ter um significado técnico, como parte de uma linguagem especialmente construída, referindo-se à afirmação de que duas quantidades mensuráveis, ou dois conjuntos de quantidades mensuráveis, são iguais. Nessa linguagem codificada, indispensável para a moderna matemática e para a ciência, os símbolso substituem conjuntos de outras coisas sobre as quais várias operações matemáticas podem ser feitas. Existem equações de grande importância, como o Teorema de Pitágoras, a Segunda Lei de Newton, a célebre equação de Einstein, E=mc 2 , entre tantas outras de suma importância para os seres humanos. Assim como temos as equações, caracterizadas pelo sinal de igualdade, algumas relações não são representadas por equivalência e sim por uma desigualdade. Estas relações são chamadas de inequações, que são sentenças matemáticas, onde seus sinais representativos são os de maior (>) e menor (<). No entanto, em alguns momentos, os valores ou incógnitas relacionados na sentença matemática ainda permitem a utilização de símbolos como maior-igual (≥), menor-igual (≤) e diferente (≠) A balança de dois pratos é uma alternativa simples e eficaz de entender as sentenças matemáticas relacionadas às equações e as inequações. Na figura acima percebemos que existe um desiquilíbrio entre os pratos da balança, e realizando operações matemáticas podemos descobrir qual o peso associado ao x circunscrito. 40 Escrevendo de forma simbólica a situação e a resolvendo: 3 5 2 8 3 2 8 5 3x x x x x O resultado nos informa que se x < 3, a situação representada na figura não é verdadeira, pois, ao substituirmos estes valores, o prato da direita (2x+8), abaixará fazendo o lado esquerdo subir. 3(2) 5 2(2) 8 11 12 Absurdo matemático! Por outro lado, se utilizarmos x > 3, a situação apresentada se confirma: 3(4) 5 2(4) 8 17 16 Se ao invés da situação de desequilíbrio, procurássemos um valor para x, de forma a manter ambos os pratos em equilíbrio, teríamos a seguinte equação: 3 5 2 8 3 2 8 5 3x x x x x Logo, se x = 3, os pratos da balança se encontrariam nivelados. Regras básicas sobre Álgebra A equação, 3 5x , traz como leitura que devemos encontrar o valor de x de forma que ao subtrairmos dele três unidades, teremos como resultado 5 unidades. Em uma equação, assim como nos pratos de uma balança, se alterarmos isoladamente um dos lados com qualquer quantidade, o outro lado sentirá a diferença e responderá aumentando ou diminuindo seu valor ou nível, no caso da balanço. Dessa forma, para que a equação ou a balança permaneça nivelada, faz-se necessário que as alterações sejam feitas simultaneamente em ambos os lados ou pratos, garantindo que não existirá um desnível. Seguindo esta analogia na equação 3 5x , percebemos que precisamos determinar o valor da incógnita ou variável x, de forma a garantir a igualdade. Para tanto, devemos isolar a variável x em um dos lados da equação e do outro lado devemos colocar seu valor numérico ou quantidade representativa. Logo, para que respeitemos o nivelamento ou igualdade dos lados da equação e ainda consigamos isolar a variável x, procedemos: 3 5 3 3 5 3 8x x x 41 Verifica-se facilmente que ao adicionarmos simultaneamente 3 unidades em ambos os lados da equação, conseguimos manter seu equilíbrio e ainda determinar o valor de x. Para um entendimento, vamos resolver da mesma forma a equação, 4 9x : 4 9 4 4 9 4 5x x x No entanto, podemos simplificar o processo, percebendo que realizar a soma ou subtração em ambos os lados da equação é o mesmo que isolarmos a variável em um lado da equação e transferirmos todas as outras parcelas da equação para depois do sinal de igualdade, lembrando nesta etapa o sinal das parcelas transferidas ficará invertido. Isto é: 3 5 5 3 8x x x 4 9 9 4 5x x x Podemos utilizar a mesma regra para os sinais de desigualdade. Veja: 8 8 5 8 5 8 13x x x 8 5 5 8 13x x x 9 9 2 9 2 9 7x x x 9 2 2 9 7x x x Essa regra pode ser resumida através da seguinte explicação: “ao transferirmos varráveis ou quantidades para um dos lados da igualdade devemos lembrar que estas devem ter seus sinais invertidos.” Existem situações onde o valor da variável está negativo na equação, e como se espera determinar o valor dessa variável e não o valor do negativo da variável, é necessário fazer a inversão dos sinais do resultado de forma a permitir a inversão do sinal sem alterar o resultado final da equação. O exemplo abaixo ilustra esta situação. 1ª Forma de resolução 3 7 3 3 7 3 4x x x 4 4 4x x x 4 4 4 4 4x x x x x 2ª Forma de Resolução ( 1) ( 1)3 7 3 3 7 3 4 4 4x x x x x Forma de Resolução usual ( 1) ( 1)3 7 7 3 4 4 4x x x x x 42 Quando o problema da variável negativa está em uma desigualdade, isto é, temos uma inequação para resolvermos, precisamos de uma maior atenção com o resultado final, uma vez que o procedimento de inversão do sinal das quantidades envolvidas também envolverá a inversão do sinal de desigualdade. O exemplo abaixo ilustra este tipo de situação. ( 1) ( 1)3 7 7 3 4 4 4x x x x x Ao resolvermos a inequação, o resultado nos informa que precisamos utilizar valores de x menores que -4. Para melhor entendimento, vamos fazer as substituições: Se utilizarmos x = 4 na inequação, temos como resultado: 3 (4) 7 1 7 Absurdo matemático! Se utilizarmos x = - 3 na inequação, temos como resultado: 3 ( 3) 7 6 7 Absurdo matemático! Se utilizarmos x = - 4 na inequação, temos como resultado: 3 ( 4) 7 7 7 Absurdo matemático! (7 =7) Se utilizarmos x = - 5 na inequação, temos como resultado: 3 ( 5) 7 8 7 desigualdade coerente! Portanto, a inversão do sinal de desigualdade ocorre devido à simetria dosnúmeros. Essa inversão devido à simetria pode ser melhor entendida na seguinte situação: Tomemos os valores 3 e 4 e comparando-os, temos que: 3 4 Isto é, 3 é menor que 4. Se tomarmos os simétricos de 3 e 4, que são respectivamente, -3 e -4, como ilustrado na reta métrica abaixo A desigualdade agora resultará: 3 4 4 3 Logo podemos concluir que, -3 é maior que -4, ou ainda, -4 é menor que -3. 43 Tal resultado nos informa que tomar o “simétrico” significa multiplicar a desigualdade por -1, portanto, numa inequação, quando a multiplicamos por -1, estamos tomando os simétricos, e assim devemos inverter o sinal da desigualdade. Outra propriedade importante na álgebra consiste na multiplicação e divisão em ambos os lados da equação ou da inequação. O problema seguir ilustra um exemplo de aplicação desta propriedade numa situação do cotidiano. João trabalha no centro de uma grande metrópole, mas mora em uma cidade do interior. Para ir ao trabalho todos os dias ele toma duas conduções: um trem e um ônibus e caminha mais 3 km a pé. Sabendo-se que a distância entre sua casa e o trabalho é de 36 km e que a distância que ele percorre de trem é duas vezes maior que a distância que ele percorre de ônibus, quanto ele percorre em cada uma dessas conduções? Resolução Separando as distâncias, temos: distância de ônibus: x distância de trem: 2x distância a pé: 3 km Total = 36 km Assim: 2 3 36x x Logo a equação acima, nos fornece uma forma de descobrirmos quanto ele percorre em cada uma das conduções. Resolvendo para a variável x, temos: 2 3 36 3 36 3 3 33x x x x Como não queremos o valor de 3 unidades de x e sim o valor de x, procedemos da seguinte forma: 3 33 11 3 3 x x Este resultado nos informa que ele percorre 11 km de ônibus e 22 km de trem. Apesar de obtermos a resposta do problema, a resolução da equação pode ser simplificada ao percerbemos que dividir ambos os lados da equação para a simplificarmos é o mesmo que passarmos o termo que acompanha a variável como divisor para o outro lado do sinal de igualdade. Perceba que não há neste caso uma 44 inversão no sinal do termo, uma vez que nossa intenção é simplesmente simplifica-la. Esse procedimento é expresso como: 33 3 33 11 3 x x x Existem situações onde o coeficiente que acompanha a variável x, pode ser um número racional, conforme os exemplos a seguir. Exemplo a) 3 4 6 5 x b) 3 4 6 5x Resolução a) 3 3 3 3 5 5 10 4 6 6 4 2 2 5 5 5 5 3 3 3 x x x x x ^ b) 3 3 3 3 5 5 4 6 6 4 2 2 5 5 5 5 3 3 x x x x x x 10 10 3 1 1 3 3 10 x x x O mesmo procedimento pode ser utilizado para inequações. Por exemplo, resolva as inequações: a) 5 3 28x b) 3 5 28x Resolução a) 5 3 28 5 28 3 5 25 5x x x x b) 3 5 28 5 28 3 5 25 5x x x x Toda a discussão até este momento, sobre os sinais e suas inversões, pode ser resumida nos princípios: Princípio Aditivo da Igualdade Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número dos dois lados de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade. Princípio Multiplicativo da Igualdade 1) Se multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número, diferente de zero, os dois lados de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade. 45 2) Sejam dois números racionais, a b e c b e se a c b b então, a c . Princípio Aditivo da desigualdade Se adicionarmos aos dois membros de uma desigualdade uma mesma quantidade “m” (m > 0 ou m < 0), a desigualdade não muda de sentido. Princípio Multiplicativo da desigualdade Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por uma mesma quantidade “m” (m > 0), a mesma não muda de sentido; mas se multiplicarmos ambos os membros por uma quantidade “m” (m < 0), a mesma mudará de sentido. Observação: quando multiplicamos ambos os membros da desigualdade por um número negativo, é invertido o sentido da desigualdade. Os polinômios mais comuns que aparecem nas equações que envolvem os problemas do cotidiano são o de primeiro grau e o de segundo grau. Dessa forma, vale a atenção as propriedades e forma de resolução destas equações, conhecidas como equações de primeiro grau e de segundo grau. Equações e Inequações de 1º Grau Para resolvermos qualquer tipo de equacão do 1º grau é necessário que conheçamos as propriedades apresentadas acima. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Resolva: a) Se da metade de um número subtrairmos 7, obteremos 2. Qual é o número? b) Se da metade da sua idade tirarmos a terça parte dela, obteremos 6. Qual é a sua idade? c) Enigma: Sobre o túmulo de Diofanto havia sua história, e quem conseguisse decifrá- la descobriria sua idade. Vamos tentar desvendar esse mistério? 1º) Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; 2º) um duodécimo na adolescência; 3º) um sétimo no casamento, sem ter filhos; 4º) depois de cinco anos, nasceu seu primeiro filho; 46 5º) esse filho, ao atingir a metade da idade de seu pai, morreu; 6º) após quatro anos da morte de seu filho, morreu Diofanto. Quantos anos viveu Diofanto? d) Um terço do que ganho é reservado ao pagamento do aluguel e dois quintos são gastos em alimentação. Se do que sobra, coloco metade na poupança, ficando com R$ 150,00 para gastos gerais, qual é o meu salário? 2) Resolva as seguintes inequações do 1º grau. a) 5 7 8 3x x b) 3 2 1 3 5 1x x x c) 2 1 1 3 6 4 x x d) 3 12 1 3 6 2 yy e) 3 2 2 3 2 3 2 7x x x x 3) Dona Maria possui uma quantidade x de galinhas em seu quintal. Se ela acrescentar 5 galinhas à sua criação ela ficará ainda com menos de 40 galinhas. Qual o número máximo de galinhas que ela possui atualmente? 4) Para preparar um suco de guaraná Jandira utilizou uma quantidade n de concentrado de guaraná e adicionou 2 litros de água. Ela obteve 8 vezes mais de suco do que a quantidade utilizada de concentrado. Quanto ela utilizou no máximo de concentrado? Equações e Inequações de 2º Grau As raízes ou zeros são as soluções para a equação de 2° grau. Para determinarmos as raízes da equação quadrática a igualamos a zero, i.e. ( ) 0f x e utilizamos os conhecimentos de fatoração ou a fórmula de Baskara para resolvê-la. → Demonstração da Fórmula de Baskara: Para que seja possível encontrar as soluções é necessário um estudo analítico detalhado e para isso devemos transformar a forma da equação de 2° grau em outra mais conveniente chamada forma canônica. 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 4 b c b b b c f x ax bx c a x x a x x a a a a a a 22 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 b b b c b b ac a x x a x a a a a a a Representando 2 4b ac por , também chamado discriminante do trinômio do 2° grau, temos a forma canônica. 47 2 2 ( ) 2 4 b f x a x a a Para determinar as raízes da forma canônica, devemos igualar ( ) 0f x . Isso nos dá: 2 2 2 ( ) 0 0 2 4 b f x ax bx c a x a a 2 2 2 2 2 2 0 0 2 4 2 4 2 4 b b b a x x x a a a a a a 22 4 2 2 2 2 b b b x x x a a a a a a 2 b x a Cqd. Onde o termo dentro da raiz quadrada no denominador é indicado por 2 4b ac . Portanto, as raízes da função quadrática 1x e 2x , são abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo x , 1( ,0)x e 2( ,0)x . Temos três casos a considerar, que são: Quando 0 , 1 2x x e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes: 1 2 b x a e 2 2 b x a ; Quando 0 , 1 2x x e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. 1 2 2 b x x a Quando 0 , não existem raízes reais, , e a parábola não intercepta o eixo x . Para a solução de uma inequação determinamos suas raízes e o sinal do coeficiente a . Se > 0, ( )f x possui duas raízes reais e diferentes: Quando a > 0: Quando a < 0: 48 Se = 0, ( )f x possui duas raízes reais e iguais: Quando a > 0: Quando a < 0: Se < 0, ( )f x não possui raízes reais. Quando a > 0: Quando a < 0: Exemplos: 1) Resolva a inequação 2 20 0x x . Solução Determinando as raízes, temos: 1 4x e 2 5x . Analisando o sinal, temos: Como 1 0a , Portanto, ( ) 0f x para x < -4 ou x > 5. A solução é: { | 4 5}S x x ou x As formas que as inequações-produto e inequações-quociente do 2º assumem, são iguais a do 1º grau. Portanto, para resolvê-las seguimos os mesmos procedimentos da resolução de uma inequação do primeiro grau: determinam-se as raízes, estudam-se os sinais e monta-se o quadro-produto ou o quadro-quociente. Exemplos: 1) Determine o valor de x em 2 2( 6)( 2 1) 0x x x x . Solução Temos uma equação do tipo ( ) ( ) 0f x g x . Devemos resolver cada equação determinando suas raízes e verificando os sinais. 49 Fazendo: ( )f x 2( 6) 0 ( 3)( 2) 0 3x x x x x e 2x . Como 1 0a , temos: Fazendo: 22 0( ) ( 2 1) 0 ( 1) 1g x x x x x . Como 1 0a , temos: Fazendo o quadro-produto: Portanto, { | 2 3}S x x ou x . ▄ 2) Determine o valor de x na inequação 2 2 4 5 6 0 x x x . Solução Temos uma equação do tipo, ( ) ( ) 0 f x g x , tomando: 2 2( ) 4 0 4 2f x x x x Como 1 0a , temos: 2( ) 5 6 0 ( 3)( 2) 0 3g x x x x x x e 2x Como 1 0a , temos: Fazendo o quadro-quociente: 50 ▄ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Resolva as equações: a) 2 5 1 4 0 1 x x x x x com 1x e 0x b) 2 2 1 5 2 6 1 6 6 x x x x x x x com 1x e 0x c) 2 6 72 3 3 9 x x x x com 3x e 3x d) 2 8 2 9 3 3 x x x x x com 3x e 3x e) 2( 1)( 1) 2( 1) ( 1) 3( 1)x x x x x f) 1 2 1 2 4 2 3 x x g) 2 22 ( 2) ( 3)( 3) 2( 1)x x x x x x h) 2 4 1 1 9 3 x x x i) 2 2 2 5 4 3 9 6 9 2 18x x x x , para 3x j) 2 2 5 6 2 6 9 x x x x k) 2 14 2 1 1 1 x x x x l) 2 3 18 3 3 9 x x x x x 2) Resolva as inequações em : a) 22 1 0x x b) 24 4 1 0x x c) 2x x d) 2 2 1 0x x 51 e) 2 2( 1)( 4 3) 0x x x f) 2 2(1 4 )(2 3 ) 0x x x g) 3 22 6 3 0x x x h) 2 2 2 1 0 3 2 x x x x i) 2 2 4 5 0 2 3 2 x x x x j) 2 2 6 12 17 1 2 7 5 x x x x Equação e Inequação Exponencial São aquelas que possuem a seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ),f x g xa a f x g x * 1acom ea Para resolvê-las, devemos igualar os expoentes determinando o valor da variável. Exemplos: 1 21 2 3 28 4 2 2( ) ( ) x xx x 3 3 2 42 2 3 3 2 4x x x x 1x Uma inequação é exponencial quando a incógnita está no expoente. Para resolver este tipo de inequação procedemos das seguintes maneiras: Se 1a : ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x com ( ) 0f x e ( ) 0g x . Se 0 1a : ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x com ( ) 0f x e ( ) 0g x . Exemplos: 2 1 4 3 0,1 0,1 2 1 4 3 x x x x 2 4 2x x ( , 2]S 32 2 3, 2( 1)x x a ]3, )S ▄ Equação Logaritimica As equações logaritimicas são resolvidas utilizando a definição e as propriedades dos logaritmos, além do cálculo das raízes das funções que a compõem. Exemplos 1) Resolva a equação log (2 15) 2x x em . Solução Pela definição de logaritmo, temos: 2 22 15 2 15 0x x x x 5 3x ou x 52 Comparando os resultados obtidos com as condições de existência dos logaritmos, temos: - Para o logaritmando: 15 2 15 0 2 x x - Para a base: 1 0x Verifica-se, então, que x = -3 é incompatível. Logo: {5}S ▄ 2) Resolva a equação em : 2 ( 1)log ( 4 7) 2x x x Solução Pela definição de logaritmos: 2 2( 1) 4 7x x x 2 22 1 4 7x x x x 2 6 3x x ▄ Inequação Logaritimica As variáveis a serem calculadas podem aparecer no logartimando ou na base. Na resolução, sendo ( ) 0f x e ( ) 0g x , e respeitadas às condições de existência dos logaritmos, temos: Quando 1a , a relação de desigualdade entre ( )f x e ( )g x se mantém: log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x Quando 0 1a , a relação entre ( )f x e ( )g x se inverte: log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x Quando a inequação é redutível a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real: log ( )a f x r ou log ( )a f x r Para resolver uma inequação deste tipo, basta notarmos que o número r pode ser expresso como: .log log ra ar r a a Escrevendo o número real desta forma, recaímos numa inequação dos tipos: 53 log ( ) log ( ) log log ( ) log ( ) log r a a a r a a a f x r f x a f x r f x a Exemplos: 1) Resolva a inequação 2(log ) log 6 0x x em : Solução Fazendo log x y , temos: 2 6 0y y ( 3)( 2) 0y y 3y e 2y Fazendo a reta com a concavidade da parábola: Logo, 2 3y . Como log x y e a base é maior que 1, podemos escrever: 2 32 log 30 10 10x x 1 1000 100 x Considerando a condição de existência ( 0x ), temos que a solução será: 1 { | 1000} 100 S x x ▄ 1) Resolva a inequação 2(log 2 1) 4x em : SoluçãoTemos, 4 2 2 2 1 17 ( ( 0 2 1 16 1 2 17 2 2 log 2 1) 4 log 2 1) log 2 x x xx x Logo, 1 17 | 2 2 S x x ▄ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Resolva em as equações exponenciais: 54 a) 9 118 ( ) 2 x x b) 100 0,001x c) 2 18 4x x x d) 3 1 4 8 x e) 1 2 32 4 8 16x x x x f) 4 4 2 5 x x 2) Resolva as seguintes inequações em : a) 5 11 1024 2 x b) 3 1 21 1 2 2 x x c) 21 1 3 9 x x x d) 2 1 2 1 13 9 3 9 126x x x x e) 19 4 3 27 0x x f) 2 3 25 1x x 3) Resolva as equações em : a) 2 2 2log (2 3) logx x b) 2 ( 1)log ( 4 7) 2x x x c) 2 3 3 3log ( 6) log 4 log ( 3)x x x d) log( 9) 2 log 2 1 2x x e) 16 4 2log log log 7x x x 4) Resolva as inequações em : a) 1 2 1 log ( 1) 0x b) 1 2 1 log (2 ) 2 x c) 2 2 2log 1 log ( 1)x x d) 2 2 2log 4( 1) log ( 1) 2 2 log 3x x Capítulo 4 – Trigonometria Na geometria, um ângulo fica determinado por duas semi-retas com mesma origem O, o vértice do ângulo. Se A e B são pontos das retas r1 e r2 na figura abaixo, temos o ângulo AOB ou AOB . Costumamos denotar um ângulo por uma letra grega. 55 Na trigonometria também podemos interpretar AOB como uma rotação do raio r1 (lado inicial do ângulo) em torno de O até uma posição especificada por r2 (o lado final). A quantidade e a direção de rotação são arbitrárias; podemos fazer r1 dar várias voltas em qualquer das duas direções em torno de O antes de para em r2. Assim, infinitos ângulos podem ter os mesmos lados inicial e final. Introduzindo um sistema retangular de coordenadas, a posição padrão de um ângulo θ é obtida tomando a origem como vértice e o lado incial ao longo do eixo-x positivo, como na figura a seguir. O ângulo θ é positivo para uma rotação anti-horária, e negativo para uma rotação horária. A magnitude de um ângulo pode ser expressa seja em graus, grado ou em radianos. No sistema brasileiro legal de medida temos como unidade legal o grau sexagesimal, ou grau, ou também o radiano. Um ângulo de medidas em graus, 1º corresponde a 1 360 de uma revolução completa na direção anti-horária. Um minuto (1’) é 1 60 de um grau, e um segundo (1”) é 1 60 de um minuto. No cálculo, a unidade de medida angular mais importante é o radiano. Como a circunferência do círculo unitário é 2π, segue-se que 2π radianos = 360º π radianos = 180º Aproximando π/180 e 180/ π, obtemos: 1º 0,01745 rad e 1 rad 57,29578º Observa-se que se a medida é feita em radianos, não se indica unidade. Assim, se um ângulo tem medida em radianos 5, escrevemos θ = 5 em lugar de θ = 5 radianos. Quando se trata de medida em graus, escrevemos θ = 5º. Um ângulo central de um círculo é um ângulo θ cujo vértice coincide com o centro do círculo. Dizemos então que o arco AB subtende o ângulo θ. Podemos a partir 56 desse arco definir uma relação entre o comprimento s de AB , a medida em radianos de θ e o raio do círculo r. Se um arco de comprimento s num círculo de raio r subtende um ângulo central de medida θ em radianos, então s r Se θ é a medida em radianos de um ângulo central de um círculo de raio r e se A é a área do setor circular definido por θ, então 21 2 A r As seis funções trigonométricas são o seno, o cosseno, a tangente, a cosecante, a secante e a cotangente, respectivamente. Podemos definir as funções trigonométricas em termos de um ângulo θ ou de um número real x. Há dois métodos padrões que utilizam ângulos: 1. Se θ á gudo (0 < θ < π/2 ), podemos utilizar um triângulo retângulo. 2. Se θ é qualquer ângulo (em posição padrão), podemos utilizar o ponto P(a,b) em que o lado terminal de θ intercepta o círculo 2 2 2x y r . Nas designações que seguem as abreviaturas adj, op e hip são usasdas para designar os comprimentos do lado adjacentes, do lado oposto e da hipotenusa de um triângulo retângulo tendo θ como ângulo. 57 As definições no círculo trigonométrico são: As funções seno e cosseno são as projeções do vetor nos eixos vertical e horizontal respectivamente. A função tangente é definida como a razão entre as funções seno e cosseno por ser a inclinação do vetor e a função cotangente é o prolongamento do vetor. As funções cosecante e secante são as recíprocas de cosseno e seno, representadas em verde no círculo trigonométrico acima. 58 Estas definições indicam algumas relações importantes entre as funções trigonométricas, que são conhecidadas como identidades fundamentais. As comumente utilizadas são: As identidades fundamentais são úteis para mudar a forma de uma expressão que envolva funções trigonométricas. A figura abaixo indica esquematicamente como o sinal do valor da função depende do quadrante que contém o lado terminal do ângulo θ. Há vários métodos para achar valores de funções trigonométricas. Para certos casos especiais podemos referir-nos aos triângulos retângulos da figura abaixo. Existem os valores especiais que ocorrem com frequência em trigonometria. Estes valores são apresentados na tabela a seguir: θ Radianos θ Graus sin θ cos θ tg θ cot θ sec θ csc θ 30º 2 59 45º 1 1 60º 2 As calculadoras científicas têm teclas SIN, COS e TAN que podem ser usadas para obter os valores dos ângulos. Os valores das outras funções podem ser obtidos nas calculadoras utilizando a tecla de inverso 1/X. Outra observação importante a cerca do uso de calculadoras é verificar o modo de ângulo em que ela está operando. Uma equação ou inequação trigonométrica contém expressões trigonométricas além das expressões algébricas, e em geral, obtemos as soluções utilizando técnicas análogas às usadas para equações algébricas. A principal diferença é que primeiro resolvemos a equação trigonométrica em relação às funções trigonométricas e em seguida achamos os valores das variáveis que satisfaçam o problema. Se não se especifica a medida em graus, então as soluções de uma equação ou inequação trigonométrica devem ser expressas em radianos (ou números reais). Exemplo 1 Se a > 0, expresse em termos de uma função trigonométrica de θ sem radicais, fazendo a substituição trigonométrica: x a sen para 2 2 Solução Façamos x a sen : 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 cos cosa x a a sen a a sen a sen a a A última igualdade é verdadeira porque, primeiro, 2a a se a > 0, e segundo, se 2 2 , então cosθ ≥ 0 e daí 2cos cos . Existem muitas realações importantes entre as funções trigonométricas. As fórmulas para as negativas são: ( )sen u senu cos( ) cosu u ( )tg u tg u csc( ) cscu u sec( ) secu u cot( ) cotu u 60 As fórmulas de adição e subtração para
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