Equação Logística: Crescimento Populacional

Prévia do material em texto

Aula 6: A equac¸a˜o log´ıstica.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
A equac¸a˜o log´ıstica:
Uma populac¸a˜o com frequeˆncia cresce exponencialmente em seus esta´gios
iniciais, mas em dado momento se estabiliza e se aproxima de sua capacidade
de suporte por causa dos recursos limitados. Se P (t) for o tamanho da
populac¸a˜o no instante t, assumimos que
dP
dt
≈ kP se P for pequeno
Isso diz que a taxa de crescimento inicialmente esta´ pro´xima de ser propor-
cional ao tamanho. Em outras palavras, a taxa de crescimento relativo e´
praticamente constante quando a populac¸a˜o e´ pequena. Mas tambe´m que-
remos refletir o fato de que a taxa de crescimento relativo diminui quando
a populac¸a˜o P aumenta e torna-se negativa quando P ultrapassa sua ca-
pacidade de suporte L, a populac¸a˜o ma´xima que um ambiente e´ capaz de
sustentar a longo prazo. A expressa˜o mais simples para a taxa de crescimento
relativo que incorpora essas hipo´teses e´:
1
P
dP
dt
= k
(
1− P
L
)
Multiplicando por P , obtemos o modelo para o crescimento populacional
conhecido como a equac¸a˜o diferencial log´ıstica:
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
Observe que se P for pequeno comparado com L, enta˜o P/L esta´ pro´ximo
de 0, e dessa forma
dP
dt
≈ kP . Contudo se P → L (a populac¸a˜o se aproxima
de sua capacidade de suporte), enta˜o P/L→ 1, assim dP/dt→ 0.
1
Se a populac¸a˜o P estiver entre 0 e L, enta˜o o lado direito da equac¸a˜o e´
positivo, desse modo dP/dt > 0 e a populac¸a˜o aumenta. Mas se a populac¸a˜o
exceder a capacidade de suporte (P > L) enta˜o 1−P/L e´ negativo, portanto
dP/dt < 0 e a populac¸a˜o diminui.
A equac¸a˜o log´ıstica e´ separa´vel e podemos resolveˆ-la:
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
temos:
dP
P (1− P/L) = kdt
Para calcular a integral no lado esquerdo, escrevemos:
1
P (1− P/L) =
L
P (L− P )
Usando frac¸o˜es parciais, temos:
L
P (L− P ) =
1
P
+
1
L− P
Isso nos permite escrever a equac¸a˜o
dP
P (1− P/L) = kdt como:∫ (
1
P
+
1
L− P
)
dP =
∫
kdt
ln |P | − ln |L− P | = kt + c
ln
∣∣∣∣L− PP
∣∣∣∣ = −kt− c
∣∣∣∣L− PP
∣∣∣∣ = e−kt−c = e−ce−kt
2
L− P
P
= Ae−kt
onde A = ±e−c. Assim:
L
P
− 1 = Ae−kt ⇒ P
L
=
1
1 + Ae−kt
P =
L
1 + Ae−kt
Podemos encontrar o valor de A na equac¸a˜o acima. Se t = 0 enta˜o P = P0
(a populac¸a˜o inicial), portanto:
P0 =
L
1 + Ae0
=
L
1 + A
⇒ A = L− P0
P0
Enta˜o a soluc¸a˜o para a equac¸a˜o log´ıstica e´:
P (t) =
L
1 + Ae−kt
onde A =
L− P0
P0
.
Notem que lim
t→∞
P (t) = L, que e´ o esperado.
Exemplo 1:
Escreva a soluc¸a˜o do problema de valor inicial:
dP
dt
= 0, 08P
(
1− P
1.000
)
, P (0) = 100
e use-a para encontrar os tamanhos da populac¸a˜o P (40) e P (80). Quando a
populac¸a˜o alcanc¸ara´ 900?
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o log´ıstica com k = 0, 08,
capacidade de suporte L = 1.000 e populac¸a˜o inicial P0 = 100. Assim a
soluc¸a˜o para a equac¸a˜o log´ıstica, como acabamos de resolver e´:
P =
1.000
1 + Ae−0,08t
onde A =
1.000− 100
100
= 9.
3
Enta˜o
P (t) =
1.000
1 + 9e−0,08t
Assim os tamanhos da populac¸a˜o quando t = 40 e 80 sa˜o:
P (40) =
1.000
1 + 9e−3,2
≈ 731, 6
P (80) =
1.000
1 + 9e−6,4
≈ 985, 3
A populac¸a˜o alcanc¸ara´ 900 quando:
1.000
1 + 9e−0,08t
= 900
Resolvendo esta equac¸a˜o para t, temos:
1 + 9e−0,08t =
10
9
e−0,08t =
1
81
−0, 08t = ln 1
81
= − ln 81
t =
ln 81
0, 08
≈ 54, 9
Dessa forma a populac¸a˜o atinge 900 quando t e´ aproximadamente 55.
4