aula 8 equaçoes diferenciais

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Aula 8: Equac¸o˜es Lineares. O fator integrante.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Uma equac¸a˜o diferencial linear de primeira ordem e´ aquela que pode ser
escrita na forma:
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)
onde P e Q sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um dado intervalo. Esse tipo de equac¸a˜o
ocorre frequentemente em va´rios ramos da cieˆncia.
Um exemplo de uma equac¸a˜o linear e´ xy′+y = 2x onde para x 6= 0 podemos
escrever:
y′ +
y
x
= 2.
Observe que esta equac¸a˜o diferencial na˜o e´ separa´vel, porque e´ imposs´ıvel
fatorar a expressa˜o para y′ como uma func¸a˜o de x vezes uma func¸a˜o de y.
Mas ainda podemos resolver a equac¸a˜o observando que pela regra do produto:
xy′ + y = (xy)′
e assim podemos escrever a equac¸a˜o como
(xy′) = 2x.
Se integrarmos ambos os lados dessa equac¸a˜o, obteremos:
xy = x2 + c ou y = x +
c
x
.
Se nos tivesse sido dada a equac¸a˜o diferencial na forma da equac¸a˜o y′+
y
x
= 2
ter´ıamos de fazer uma etapa preliminar multiplicando cada lado da equac¸a˜o
por x.
1
Ocorre que toda equac¸a˜o diferencial de primeira ordem pode ser resolvida de
uma maneira similar pela multiplicac¸a˜o de ambos os lados da equac¸a˜o
dy
dx
+
P (x)y = Q(x) por uma func¸a˜o adequada I(x) chamada fator integrante.
Tentamos encontrar I de modo que o lado esquerdo da equac¸a˜o
dy
dx
+P (x)y =
Q(x), quando multiplicado por I, torna-se a derivada do produto I(x)y :
I(x)(y′ + P (x)y) = (I(x)y)′
Se pudermos encontrar tal func¸a˜o I, a equac¸a˜o
dy
dx
+ P (x)y = Q(x) ficara´:
(I(x)y)′ = I(x)Q(x)
Integrando ambos os lados teremos:
I(x)y =
∫
I(x)Q(x)dx + c
de modo que a soluc¸a˜o sera´:
y(x) =
1
I(x)
[∫
I(x)Q(x)dx + c
]
Para encontrarmos esse I, expandimos a equac¸a˜o dada anteriormente I(x)(y′+
P (x)y) = (I(x)y)′ e cancelamos termos:
I(x)y′ + I(x)P (x)y = (I(x)y)′
Como (I(x)y)′ = I ′(x)y + I(x)y′, temos:
I(x)y′ + I(x)P (x)y = I ′(x)y + I(x)y′
Assim I(x)P (x) = I ′(x).
Esta e´ uma equac¸a˜o separa´vel para I, a qual resolvemos como a seguir:
2
∫
dI
I
=
∫
P (x)dx⇒ ln |I| =
∫
P (x)dx
I = Ae
∫
P (x)dx
onde A = ±ec. Estamos procurando um fator de integrac¸a˜o particular, na˜o
o mais geral, assim tomamos A = 1 e usamos:
I = e
∫
P (x)dx.
Logo para resolver a equac¸a˜o diferencial linear y′+P (x)y = Q(x), multiplique
ambos os lados pelo fator integrante I = e
∫
P (x)dx e integre ambos os lados.
Exemplo 1:
Resolva a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
+ 3x2y = 6x2.
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o dada e´ linear porque ela tem a forma da equac¸a˜o
dy
dx
+
P (x)y = Q(x) com P (x) = 3x2 e Q(x) = 6x2. Um fator integrante e´:
I(x) = e
∫
3x2 dx = ex
3
Multiplicando ambos os lados da equac¸a˜o diferencial por ex
3
obtemos:
ex
3 dy
dx
+ 3x2ex
3
y = 6x2ex
3
ou
d
dx
(ex
3
y) = 6x2ex
3
Integrando ambos os lados, temos:
ex
3
y =
∫
6x2ex
3
dx = 2ex
3
+ c
3
y = 2 + ce−x
3
Exemplo 2: Encontre a soluc¸a˜o para o problema de valor inicial:
x2y′ + xy = 1 x > 0 y(1) = 2
Soluc¸a˜o: Devemos primeiro dividir ambos os lados pelo coeficiente de y′
para colocar a equac¸a˜o diferencial na fomra padra˜o:
y′ +
1
x
y =
1
x2
x > 0
O fator integrante e´:
I(x) = e
∫
1/x dx = elnx = x
A multiplicac¸a˜o de ambos os lados da equac¸a˜o y′ +
1
x
y =
1
x2
por x fornece:
xy′ + y =
1
x
ou
(xy)′ =
1
x
.
Enta˜o:
xy =
∫
1
x
dx = lnx + c
E assim,
y =
lnx + c
x
.
Como y(1) = 2, temos:
2 =
ln 1 + c
1
= c
Logo a soluc¸a˜o para o problema de valor inicial e´:
y =
lnx + 2
x
.
4