01CD aula06 Exemplos de Integrais Duplas(1)

Prévia do material em texto

1 
 
 
Exemplos de Integrais Duplas 
 
1) Momentos e Centros de Massa 
 
Estruturas e sistemas mecânicos se comportam como se sua massa 
estivesse concentrada em um único ponto, chamado centro de massa (ou 
centro de gravidade). Para determinar o centro de massa da lâmina de 
densidade que ocupa a região , precisamos muito mais que a 
noção intuitiva da integral dupla. Precisamos de conteúdos da física 
(Cálculo do Momento de uma força em relação a um ponto) e muito 
desenvolvimento matemático. Não cabe neste contexto, o 
desenvolvimento das fórmulas. 
 
 
 
Exemplos de posicionamento de centos de massa 
 
 
Temos então, as fórmulas dos Primeiros Momentos em relação a , 
em relação a e as Coordenadas do Centro de Massa . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Poderíamos ainda, continuar com Momentos de Inércia; Raios de rotação , 
Centróides de Figuras Geométricas. 
 
2) Probabilidade 
 
No estudo de Probabilidade e Estatística consideramos variáveis aleatórias 
contínuas unidimensionais com função de densidade de probabilidade 
 tal que para todo (probabilidade total 
de é igual a 1) e a probabilidade de que esteja entre e é 
obtida integrando-se de até 
 
 
 Consideramos agora duas variáveis aleatórias contínuas como 
por exemplo, o tempo de vida de dois componentes de um produto 
eletrônico. A função de densidade conjunta de probabilidade de 
 é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de 
esteja uma região do plano seja 
 
 
 
 
 
Lembrando que, as probabilidades não podem ser negativas e de que são 
medidas de . Se são variáveis aleatórias independentes 
com funções de densidade , respectivamente, a função de 
densidade conjunta é dada por 
 
3) Área de Superfície 
 
A área da superfície com equação com derivadas 
parciais contínuas é dada por 
 
 
Obs.: As demonstrações das fórmulas são encontradas no livro texto.