esboço quadricas

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Esboc¸o de qua´dricas...Algumas te´cnicas e exemplos
Um esboc¸o de um hiperbolo´ide de uma folha de equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (a > 0, b > 0, c > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro o trac¸o (elipse) no plano
XOY, depois os trac¸os nos planos z = ±c , e por fim as curvas
hiperbo´licas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses.
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Exemplo
Esboce o gra´fico do hiperbolo´ide de uma folha de equac¸a˜o
x2 + y2 − z
2
4
= 1
.
O trac¸o no plano XOY, obtido fazendo z = 0 na equac¸a˜o, e´
x2 + y2 = 1 (z = 0)
que e´ uma circunfereˆncia de raio 1 e centro na origem.
Os trac¸os nos planos z = 2 e z = −2 sa˜o
x2 + y2 = 2
que sa˜o c´ırculos de raio
√
2 e centro no eixo dos zz. Juntando os
pontos extremos dos eixos das circunfereˆncias com hipe´rboles
obtemos o esboc¸o final que se encontra no slide seguinte
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O esboc¸o...
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Um esboc¸o de um hiperbolo´ide de duas folhas de equac¸a˜o
z2
c2
− x
2
a2
− y
2
b2
= 1 (a > 0, b > 0, c > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro as intersecc¸o˜es com o eixo
dos zz, depois os trac¸os (elipses) nos planos z = ±2c , e por fim as
curvas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses com
os pontos da intersecc¸a˜o com o eixo dos zz.
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Exemplo
Esboce o gra´fico do hiperbolo´ide de duas folhas de equac¸a˜o
z2 − x2 − y
2
4
= 1
. As intersecc¸o˜es com o eixo dos zz acontecem em z = ±1. Os
trac¸os nos planos z = 2 e z = −2 sa˜o dados pela equac¸a˜o:
x2
3
+
y2
12
= 1 (z = ±2)
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Desenhando estas elipses e as hipe´rboles nos planos coordenados
verticais obtemos o esboc¸o do slide seguinte
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O esboc¸o...
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Um esboc¸o de um parabolo´ide hiperbo´lico de equac¸a˜o
z =
y2
b2
− x
2
a2
(a > 0, b > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro os dois trac¸os ( para´bolas )
que passam na origem ( um no plano YOZ e outra no plano XOZ
), depois os trac¸os (hipe´rboles) nos planos z = ±1, e por fim
preencher os lados que faltam.
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Exemplo
Esboce o gra´fico do parabolo´ide hiperbo´lico de equac¸a˜o
z =
y2
4
− x
2
9
. Fazendo x = 0 na equac¸a˜o vem:
z =
y2
4
(x = 0)
que e´ uma para´bola no plano YOZ com ve´rtice na origem e a
“abrir”para o lado positivo do eixo dos zz. Fazendo y = 0 na
equac¸a˜o vem:
z = −x
2
4
(y = 0)
que e´ uma para´bola no plano XOZ com ve´rtice na origem e a
“abrir”para o lado negativo do eixo dos zz.
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O trac¸o no plano z = 1 e´
y2
4
− x
2
9
= 1 (z = 1)
que e´ uma hipe´rbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos yy. O trac¸o no plano z = −1 e´
x2
9
− y
2
4
= 1 (z = −1)
que e´ uma hipe´rbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos xx.
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O esboc¸o...
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