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LIMITES,LIMITES LATERAIS, LIMITES DE FUNÇÃO RACIONAL - PARA ALUNOS UFMA

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Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2011 
1 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2012 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO 
2 
A sociedade, de um modo geral, está sempre 
preocupada em maximizar lucro e minimizar despesas. 
Em uma determinada construção de um edifício de 
uma renomada construtora de São Luís, foram 
encontradas as seguintes situações para serem 
resolvidas: 
 
1. Achar as dimensões do lote com menor área onde 
um edifício 2000 m2 de base possa ser construído, 
sendo exigido, recuos de 5 m na frente e nos fundos e 
de 4 m nas laterais. 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 
3 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 
4 
2. Uma viga de comprimento L embutida em 
paredes de concreto. Se uma carga constante W for 
distribuída uniformemente ao longo de seu 
comprimento, como ficaria a deformação dessa viga. 
 
 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 
5 
3. Encontrar as dimensões de uma caixa d’água 
para que esta tenha a maior capacidade de 
armazenamento possível sendo que a caixa d’água 
desse edifício vai ser um cilindro circular reto inscrito 
em um cone circular que é a ponta do edifício. 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 
6 
4. Dados dois locais estratégicos do canteiro de 
obras, em que ponto do encanamento deve ser 
instalado um reservatório de modo que a metragem de 
cano a ser utilizada seja mínima? 
 
 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 
7 
1. Determinar o melhor preço de venda para um novo 
aparelho. A companhia estima que o custo inicial de 
planejamento do produto e montagem das fabricas. 
O custo adicional de fabricação de cada produto pode 
ser modelado por uma função onde é o número de 
aparelhos produzidos e o custo de fabricação em 
milhões de dólares. A companhia estima que se cobre 
um preço em milhões de dólares para cada aparelho. 
a) Encontre as funções custo, demanda e rendimento. 
b) Encontre o nível de produção e o preço de venda 
associado do produto que maximiza o lucro. 
 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 
8 
3. Produzir x milhares de unidades mensais de um 
determinado artigo. Se o custo de produção é dado por 
uma função a ser modelada, e o valor obtido na venda 
é dado por é dado por outra função, determinar o 
numero ótimo de unidades mensais que maximiza o 
lucro. 
 4. Comprar caixas de embalagens, retangulares, exige 
que o comprimento de cada caixa seja x m e o volume 
y m³. Para gastar a menor quantidade de material 
possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas 
dimensões. 
 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 
9 
5. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força 
à margem de um rio de x m de largura até uma fábrica 
situada do outro lado do rio, y m rio abaixo. O custo 
para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, 
enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o 
metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? 
 
APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 
10 
Essas questões serão respondidas no estudo de 
derivadas antes trabalharemos com questões como a 
seguinte : 
Em uma indústria de São Luis acontece a seguinte 
situação. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de 
água é bombeada para dentro do tanque (contendo 
5000 litros de água pura) a uma taxa 25 litros/mim. O 
que acontece com a concentração quando t aumenta 
infinitamente (t→∞)? 
Situações como essa necessitam do estudo de limites 
que daremos inicio agora. 
 
11 
Noção Intuitiva de Limites. 
Exemplo 1. Seja f uma função definida por: 
 
 
 
 
Nosso objetivo é estudar o comportamento de f (x) 
quando x se aproxima de um dado valor 1, diremos que 
x tende a 1 e vamos usar a notação x → 1. 
 
 
Claramente, existem duas possibilidades para x se 
aproximar de 1: 
f : - {1} 
x x
2 - 1 
x - 1 
12 
Noção Intuitiva de Limites. 
(1) x se aproxima de 1 por valores 
inferiores a 1, neste caso, 
diremos que x tende para 1 pela 
esquerda e indicaremos x → 1 −: 
 
 
 
 
 
13 
f : - {1} 
x x
2 - 1 
x - 1 
Y 
X 
4 
3 
2 
1 
1 2 -1 
Y 
X 
1 
-1 
1 
2 
2 
0,3 0,5 0,7 0,999 
1,3 
1,5 
1,7 
1,999 
x 
y 
0,3 0,5 0,7 0,9 0,999 
1,3 1,5 1,7 1,9 1,999 
0,9 
1,9 
14 
Noção Intuitiva de Limites. 
(1) x se aproxima de 1 por valores 
inferiores a 1, neste caso, 
diremos que x tende para 1 pela 
esquerda e indicaremos x → 1 −: 
 
 
 
(2) x se aproxima de 1 por valores 
superiores a 1 neste caso, 
diremos que x tende para 1 pela 
direita indicaremos x → 1 +: 
 
 
 
Y 
X 
4 
3 
2 
1 
1 2 -1 
X 0,3 0,5 0,7 0,9 0,999 
Y 1,3 1,5 1,7 1,9 1,999 
X 1,9 1,7 1,5 1,3 1,001 
Y 2,9 2,7 2,5 2,3 2,001 
15 
 
Em ambos os casos, os valores de f (x) se aproximam 
de 2 à medida que x se aproxima de 1. 
Assim, podemos tornar f (x) tão próximo de 2 quanto 
desejarmos, bastando para isso tomarmos x 
suficientemente próximo de 1. Daí, dizemos que existe 
o limite de f (x) quando x tende a 1 e seu valor é 2. 
Simbolicamente: 
 
 
 
 
O limite, portanto, estabelece qual o comportamento 
da função na vizinhança de um ponto, sem que este 
pertença necessariamente ao seu domínio. 
Noção Intuitiva de Limites. 
lim x
2 -1 
x - 1 
= 2. 
x 1 
16 
Noção Intuitiva de Limites. 
 
Esta noção de proximidade, simbolicamente, é 
representada pelos ε e δ que aparecem na definição de 
limite que veremos a seguir. 
Observe o exemplo 2. lim(3x + 2) = 5. 
 x → 1 
 
Reforço que para tal exemplo, você deve estar dizendo 
era muito mais fácil substituir, mas, em certas 
circunstâncias, como no exemplo ANTERIOR, a função 
pode nem estar definida no ponto, então como 
determinar seu comportamento? 
17 
Definição e Exemplos de Limites. 
 
Com a definição de limite seremos capazes de 
responder a esta pergunta. 
 
O nosso objetivo a seguir é dar uma definição de 
Limite de uma maneira convencional já que a intuitiva 
foi vista. 
 
Precisaremos da definição de vizinhança numérica que 
apresentaremos a seguir. 
18 
Vizinhança numérica. 
Seja a um número real. Chama-se vizinhança numérica de 
a, ou simplesmente vizinhança de a, a todo intervalo 
aberto Va que contém a. Se a é o centro da vizinhança, 
então diz-se que a vizinhança é simétrica. 
 
 
 
 
 
 
A distância δ a qualquer um dos extremos da vizinhança 
simétrica é chamada de raio da vizinhança. Denotaremos 
por V(a; δ) uma vizinhança simétrica de centro em a e 
de raio δ. 
δ 
δ 
a – δ 
 
a a + δ 
 
19 
Vizinhança numérica. 
Exemplo: Determinar o conjunto dos x ∈ R que estão 
próximos de 2, com distância inferior a 0, 01. 
Solução: |x − 2| < 0, 01 ⇒ 
−0,01 < x − 2 < 0, 01 ⇒ 
1, 99 < x < 2, 01. 
Logo, V(2; 0, 01). 
δ 
a – δ 
 
a + δ 
 
20 
Limite Definição. 
Definição. Sejam uma vizinhança V(a; δ) de a e f uma função 
real de variável real definida para todo 
x ∈ V(a; δ) -{a}. 
Dizemos que o limite de f (x), quando x tende para a, é L 
e escrevemos lim f (x) = L, 
 x→a 
 
se, para toda vizinhança V(L; ε) de L, existir, em 
correspondência, uma vizinhança V(a; δ) de a. Em símbolos, 
temos: lim f (x) = L 
 x→a 
 
⇔ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0; 0<|x − a|<δ ⇒|f (x)−L|< ε) 
21 
Definição. 
 
OBS: Nesta definição, é importante observar que a 
função f não precisa necessariamente estar definida no 
ponto a visto que para determinarmos o limite de 
f(x) quando x tende para a, o que interessa é o 
comportamento da função f quando os valores de x 
tendem para a. 
22 
Definição e Exemplosde Limites. 
Exemplo: Usando a definição anterior, mostre que 
lim(3x + 2) = 5. 
x→1 
Solução: Devemos mostrar que, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0; 
0 < |x − 1| < δ ⇒ |(3x + 2) − 5| < ε. 
Notemos que: 
|(3x + 2) − 5| < ε ⇔ 
|3x − 3| < ε ⇔ 
3|x − 1| < ε ⇔ 
|x − 1| < ε/3. 
 
Assim, se escolhermos δ = ε/3, teremos: 
∀ ε > 0, ∃ δ = ε/3 ; 0 < |x − 1| < δ⇒|(3x + 2)−5| < ε. 
 
De fato, se 0 < |x − 1| < δ =ε/3 > 0 ⇒ |x − 1| < ε/3 ⇒ 
3|x − 1| < ε ⇒ |3x − 3| < ε ⇒ |(3x + 2) − 5| < ε. 
23 
Definição e Exemplos de Limites. 
Exemplo: Usando a definição, mostre que 
lim(2x + 1) = 3. 
x→1 
24 
Teorema. [Unicidade do Limite] 
Teorema. [Unicidade do Limite] Seja f uma função 
definida num intervalo com valores reais. Se existe o 
limite de uma função num ponto, então ele é único. 
 
 
 
Exemplos: Usando a definição de limites demonstre as 
seguintes igualdades. 
 
(a) lim (4x − 1) = −5. 
 x → −1 
 
(b) lim (mx + n) = ma + n, m ≠ 0. 
 x → a 
lim f(x) = b1 e lim f(x) = b2 → b1 = b2. 
25 
Propriedades de Limite 
26 
Propriedades de Limite 
27 
Propriedades de Limite 
 Corolário 
28 
29 
 
 Exemplos 
 
 
 
 
 
30 
 
 Exemplos 
 
 
 
 
 
31 
 
 Exemplos 
 
 
 
 
 
32 
 
 Exemplos 
 
 
 
 
 
33 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
34 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
35 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
36 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
37 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
38 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
39 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
40 
 
 Problemas de Organização e Erros Frequentes 
 
 
 
 
 
Limites Laterais 
Limites Laterais 
 
Definição 1. Seja f(x) uma função definida num 
intervalo I com valores em R e a ∈ I . Ao tomarmos 
valores em I maiores que a e que se aproximam de a, 
obtemos valores para f(x) que se aproximam de um 
valor b1. Dizemos então que 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
lim f(x) = b1 
x → a+ 
41 
Definição e exemplos de Limites 
No caso em que tomamos valores em I menores que a e 
que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se 
aproximam de um valor b2. Dizemos então que 
 
 
Exemplo: 
 
 
Definição 2. Os limites à direita e à esquerda 
mencionados são chamados limites laterais. Segue da 
definição que, quando os limites laterais coincidem, 
lim f(x) = b2 
x → a- 
lim 
x → 1- 
x2 - 1 
x - 1 
 = 2. 
lim f(x) = lim f(x), 
x → a- x → a+ 
42 
Definição e exemplos de Limites 
então f (x) possuirá limite b, quando x → a. 
Simbolicamente, 
 
 
ou, equivalentemente, 
 
 
Exemplo: Seja f uma função definida por 
lim f(x) = b ⇔ lim f(x) = lim f(x) = b. 
x → a x → a- x → a+ 
lim f(x) lim f(x) lim f(x). 
x a- x a + x a 
E 
f : - {0} 
x x + = 
|x| 
x x – 1 , se x < 0 
x + 1 , se x > 0 
43 
Definição e exemplos de Limites 
Observemos o comportamento de f quando: 
f : \ {0} 
x x + = 
|x| 
x x – 1 , se x < 0 
x + 1 , se x > 0 
x 0,999 0,8 0,6 0,4 0,1 
F(x) 1,999 1,8 1,6 1,4 1,1 
x -0,999 -0,8 -0,6 -0,4 -0,1 
F(x) -1,999 -1,8 -1,6 -1,4 -1,1 
(1)x→0+ 
(2)x → 0- 
44 
lim f(x) lim f(x) lim f(x). 
x 0 - x 0 + x 0 
E 
2 
2 
1 
1 
X 
Y 
0,8 
0,999 
1,999 
1,8 
1,1 
1,6 
1,4 
0,6 0,4 0,1 
- 2 
- 1 
- 2 - 1 
- 0,999 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,1 
- 1,999 
- 1,8 
- 1,6 
- 1,4 
- 1,1 
(2) x 0 – 
0+ (1) x 
x 
y 
0,999 0,8 0,6 0,4 0,1 
1,999 1,8 1,6 1,4 1,1 
x 
y 
- 0,999 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,1 
- 1,999 - 1,8 - 1,6 - 1,4 - 1,1 
45 
Definição e exemplos de Limites 
OBS: É possível que o número a pertença ao domínio da 
função f. Logo, existe f(a). Porém, talvez não exista o 
limite de f(x), quando x tende para a. Por exemplo, a 
função f definida por: 
 
 
 
 
 
temos que f (0) = 0. Mas, não existe 
limf(x), pois limf(x) = -1 e limf(x) = 1 
f : 
x x + = 
|x| 
x x – 1 , se x < 0 
x + 1 , se x > 0 
 0 , se x = 0 
x → 0 - x → 0 + x → 0 + 
46 
47 
 
 Gráficos de limites laterais 
48 
 
 Gráficos de limites laterais 
49 
 
 Gráficos de limites laterais 
50 
 
 Gráficos de limites laterais 
51 
 
 Gráficos de limites laterais 
52 
 
 Gráficos de limites laterais 
53 
 
 Gráficos de limites laterais 
54 
 
 Gráficos de limites laterais 
Exemplos 
Exemplo: Seja f uma função definida por 
 
 
 
 
 
 
 
Sol: 
 
Exemplo: 
 
 
f : 
x f (x) = 2 , se x = 1 
3x - 2 , se x > 1 
4x + 1 , se x < 1 
Determine lim f(x), lim f(x) e, caso exista lim f(x). 
 x → 1- x → 1 + x → 1 
lim f(x) = 5, lim f(x) = 1. lim f(x). 
 x → 1- x → 1 + x → 1 
Determine, caso exista lim f(x), em que 
 x 0 
f (x) = 
x2 – x; se x ≥ 0 
 - x; se x < 0 
lim f(x) = 0 
 x →0 
Sol: 
55 
Exemplos 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: b = -10. 
f (x) = 3 , x = -1 
3x - 2 , x > -1 
5 - bx , x < -1 
 Determine, se possível, b Є para que exista lim f(x), sendo: 
 x - 1 
56 
Limite de uma Função Racional 
Já somos capazes de calcular limites de funções 
definidas por polinômios e, usando a propriedade, 
podemos determinar alguns limites cujas funções são 
dadas como quociente de polinômios. Porém, ainda nos 
restam alguns casos, que tratemos detalhadamente 
agora. 
Sejam e 
 
 
duas funções polinomiais, com an ≠ 0 e bm ≠ 0. Uma 
função racional é qualquer função do tipo 
f(x) = p(x) / q(x). 
p (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 e 
q (x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 
57 
Limite de uma Função Racional 
Para calcularmos o limite de f (x) quando x → a, temos 
três casos à considerar: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1. Se q (a) 0, então lim f (x) = 
 x a 
p (a) 
q (a) 
 lim 
x -1 
x2 + 2x - 3 
4x - 3 
 lim 
x → -1 
(x2 + 2x – 3) 
 lim 
x → -1 
(4x – 3) 
(-1)2 + 2(-1) -3 
4(-1) -3 
= 
= = 
-4 
-7 
= 
4 
7 
58 
Limite de uma Função Racional 
2. Se q(a) = p(a) = 0, então f(a) é uma indeterminação e 
isto não significa a inexistência do limite. Geralmente, 
afasta-se esta indeterminação através de uma divisão 
dos polinômios p(x) e q(x) por x − a, visto que a é uma 
raiz de p(x) e q(x), obtendo-se o limite desejado. 
59 
Limite de uma Função Racional 
3. Se p(a) ≠ 0 e q(a) = 0, então f(a) não está definido. 
Neste caso, limite de p(x) / q(x) quando x → a depende dos 
limites laterais de f (x) (quando x → a− e quando x → a+) e 
do sinal p(x)/ q(x). Como vemos nos exemplos de limites 
infinitos ou como a seguir. 
60 
61 
Limite de uma Função Racional 
 
Exercícios Propostos 
Calcule os limites usando as propriedades: 
 
1) 5) 
 
2) 
 
3) 6) 
 
 
4) 7) 
 
solução: 1)3 2)8 3)6/5 4)2 5)5 6)6 
7)-9/4 
 
62 
Limite de uma Função Racional 
Exercícios Propostos 
Calcule os limites usando as propriedades: 
 
1) 5) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
4) 
 
Solução: 1) 3/2 2) 1/3 3) -3/2 4) -4/5 5) -2 
63 
Limite de uma Função Racional 
Exercícios Propostos 
Calcule os limites usando as propriedades: 
 
1) 2) 
 
 
3) 4) 
 
 
5) 6) 
 
 
Solução: 1) 3/10 2) 1/2 3) 1/12 4) 1/3b2 5) 4/3 
 
6) 1 
 Referencias Bibliográficas 
 
 
71 [1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São 
Paulo: LTC, 2001. 
 [2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / 
ISBN-10: 8588639068. 
 [3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson 
Learning, 2005. ISBN: 8522104794. 
 [4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 
v.1. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 Referências Bibliográficas 
[5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5ª edição. São 
Paulo: Makron Books Ltda., 1992 
 
[6] HOFFMANN, Laurense D.; BRANDLEY, Gerald L. 
Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 978852166023. 
 
[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com 
aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 
9788521614333. 
[8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte - Vol.1. 
6ª edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65

Outros materiais