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Prof. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com São Luis 2011 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I Prof. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com São Luis 2012 APLICAÇÕES DE CÁLCULO 2 A sociedade, de um modo geral, está sempre preocupada em maximizar lucro e minimizar despesas. Em uma determinada construção de um edifício de uma renomada construtora de São Luís, foram encontradas as seguintes situações para serem resolvidas: 1. Achar as dimensões do lote com menor área onde um edifício 2000 m2 de base possa ser construído, sendo exigido, recuos de 5 m na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 3 APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 4 2. Uma viga de comprimento L embutida em paredes de concreto. Se uma carga constante W for distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento, como ficaria a deformação dessa viga. APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 5 3. Encontrar as dimensões de uma caixa d’água para que esta tenha a maior capacidade de armazenamento possível sendo que a caixa d’água desse edifício vai ser um cilindro circular reto inscrito em um cone circular que é a ponta do edifício. APLICAÇÕES DE CÁLCULO EC 6 4. Dados dois locais estratégicos do canteiro de obras, em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima? APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 7 1. Determinar o melhor preço de venda para um novo aparelho. A companhia estima que o custo inicial de planejamento do produto e montagem das fabricas. O custo adicional de fabricação de cada produto pode ser modelado por uma função onde é o número de aparelhos produzidos e o custo de fabricação em milhões de dólares. A companhia estima que se cobre um preço em milhões de dólares para cada aparelho. a) Encontre as funções custo, demanda e rendimento. b) Encontre o nível de produção e o preço de venda associado do produto que maximiza o lucro. APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 8 3. Produzir x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por uma função a ser modelada, e o valor obtido na venda é dado por é dado por outra função, determinar o numero ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro. 4. Comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja x m e o volume y m³. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões. APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 9 5. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de x m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, y m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? APLICAÇÕES DE CÁLCULO EP 10 Essas questões serão respondidas no estudo de derivadas antes trabalharemos com questões como a seguinte : Em uma indústria de São Luis acontece a seguinte situação. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de água é bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de água pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a concentração quando t aumenta infinitamente (t→∞)? Situações como essa necessitam do estudo de limites que daremos inicio agora. 11 Noção Intuitiva de Limites. Exemplo 1. Seja f uma função definida por: Nosso objetivo é estudar o comportamento de f (x) quando x se aproxima de um dado valor 1, diremos que x tende a 1 e vamos usar a notação x → 1. Claramente, existem duas possibilidades para x se aproximar de 1: f : - {1} x x 2 - 1 x - 1 12 Noção Intuitiva de Limites. (1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x → 1 −: 13 f : - {1} x x 2 - 1 x - 1 Y X 4 3 2 1 1 2 -1 Y X 1 -1 1 2 2 0,3 0,5 0,7 0,999 1,3 1,5 1,7 1,999 x y 0,3 0,5 0,7 0,9 0,999 1,3 1,5 1,7 1,9 1,999 0,9 1,9 14 Noção Intuitiva de Limites. (1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x → 1 −: (2) x se aproxima de 1 por valores superiores a 1 neste caso, diremos que x tende para 1 pela direita indicaremos x → 1 +: Y X 4 3 2 1 1 2 -1 X 0,3 0,5 0,7 0,9 0,999 Y 1,3 1,5 1,7 1,9 1,999 X 1,9 1,7 1,5 1,3 1,001 Y 2,9 2,7 2,5 2,3 2,001 15 Em ambos os casos, os valores de f (x) se aproximam de 2 à medida que x se aproxima de 1. Assim, podemos tornar f (x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Daí, dizemos que existe o limite de f (x) quando x tende a 1 e seu valor é 2. Simbolicamente: O limite, portanto, estabelece qual o comportamento da função na vizinhança de um ponto, sem que este pertença necessariamente ao seu domínio. Noção Intuitiva de Limites. lim x 2 -1 x - 1 = 2. x 1 16 Noção Intuitiva de Limites. Esta noção de proximidade, simbolicamente, é representada pelos ε e δ que aparecem na definição de limite que veremos a seguir. Observe o exemplo 2. lim(3x + 2) = 5. x → 1 Reforço que para tal exemplo, você deve estar dizendo era muito mais fácil substituir, mas, em certas circunstâncias, como no exemplo ANTERIOR, a função pode nem estar definida no ponto, então como determinar seu comportamento? 17 Definição e Exemplos de Limites. Com a definição de limite seremos capazes de responder a esta pergunta. O nosso objetivo a seguir é dar uma definição de Limite de uma maneira convencional já que a intuitiva foi vista. Precisaremos da definição de vizinhança numérica que apresentaremos a seguir. 18 Vizinhança numérica. Seja a um número real. Chama-se vizinhança numérica de a, ou simplesmente vizinhança de a, a todo intervalo aberto Va que contém a. Se a é o centro da vizinhança, então diz-se que a vizinhança é simétrica. A distância δ a qualquer um dos extremos da vizinhança simétrica é chamada de raio da vizinhança. Denotaremos por V(a; δ) uma vizinhança simétrica de centro em a e de raio δ. δ δ a – δ a a + δ 19 Vizinhança numérica. Exemplo: Determinar o conjunto dos x ∈ R que estão próximos de 2, com distância inferior a 0, 01. Solução: |x − 2| < 0, 01 ⇒ −0,01 < x − 2 < 0, 01 ⇒ 1, 99 < x < 2, 01. Logo, V(2; 0, 01). δ a – δ a + δ 20 Limite Definição. Definição. Sejam uma vizinhança V(a; δ) de a e f uma função real de variável real definida para todo x ∈ V(a; δ) -{a}. Dizemos que o limite de f (x), quando x tende para a, é L e escrevemos lim f (x) = L, x→a se, para toda vizinhança V(L; ε) de L, existir, em correspondência, uma vizinhança V(a; δ) de a. Em símbolos, temos: lim f (x) = L x→a ⇔ (∀ ε > 0, ∃ δ > 0; 0<|x − a|<δ ⇒|f (x)−L|< ε) 21 Definição. OBS: Nesta definição, é importante observar que a função f não precisa necessariamente estar definida no ponto a visto que para determinarmos o limite de f(x) quando x tende para a, o que interessa é o comportamento da função f quando os valores de x tendem para a. 22 Definição e Exemplosde Limites. Exemplo: Usando a definição anterior, mostre que lim(3x + 2) = 5. x→1 Solução: Devemos mostrar que, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0; 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(3x + 2) − 5| < ε. Notemos que: |(3x + 2) − 5| < ε ⇔ |3x − 3| < ε ⇔ 3|x − 1| < ε ⇔ |x − 1| < ε/3. Assim, se escolhermos δ = ε/3, teremos: ∀ ε > 0, ∃ δ = ε/3 ; 0 < |x − 1| < δ⇒|(3x + 2)−5| < ε. De fato, se 0 < |x − 1| < δ =ε/3 > 0 ⇒ |x − 1| < ε/3 ⇒ 3|x − 1| < ε ⇒ |3x − 3| < ε ⇒ |(3x + 2) − 5| < ε. 23 Definição e Exemplos de Limites. Exemplo: Usando a definição, mostre que lim(2x + 1) = 3. x→1 24 Teorema. [Unicidade do Limite] Teorema. [Unicidade do Limite] Seja f uma função definida num intervalo com valores reais. Se existe o limite de uma função num ponto, então ele é único. Exemplos: Usando a definição de limites demonstre as seguintes igualdades. (a) lim (4x − 1) = −5. x → −1 (b) lim (mx + n) = ma + n, m ≠ 0. x → a lim f(x) = b1 e lim f(x) = b2 → b1 = b2. 25 Propriedades de Limite 26 Propriedades de Limite 27 Propriedades de Limite Corolário 28 29 Exemplos 30 Exemplos 31 Exemplos 32 Exemplos 33 Problemas de Organização e Erros Frequentes 34 Problemas de Organização e Erros Frequentes 35 Problemas de Organização e Erros Frequentes 36 Problemas de Organização e Erros Frequentes 37 Problemas de Organização e Erros Frequentes 38 Problemas de Organização e Erros Frequentes 39 Problemas de Organização e Erros Frequentes 40 Problemas de Organização e Erros Frequentes Limites Laterais Limites Laterais Definição 1. Seja f(x) uma função definida num intervalo I com valores em R e a ∈ I . Ao tomarmos valores em I maiores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um valor b1. Dizemos então que Exemplo: lim f(x) = b1 x → a+ 41 Definição e exemplos de Limites No caso em que tomamos valores em I menores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um valor b2. Dizemos então que Exemplo: Definição 2. Os limites à direita e à esquerda mencionados são chamados limites laterais. Segue da definição que, quando os limites laterais coincidem, lim f(x) = b2 x → a- lim x → 1- x2 - 1 x - 1 = 2. lim f(x) = lim f(x), x → a- x → a+ 42 Definição e exemplos de Limites então f (x) possuirá limite b, quando x → a. Simbolicamente, ou, equivalentemente, Exemplo: Seja f uma função definida por lim f(x) = b ⇔ lim f(x) = lim f(x) = b. x → a x → a- x → a+ lim f(x) lim f(x) lim f(x). x a- x a + x a E f : - {0} x x + = |x| x x – 1 , se x < 0 x + 1 , se x > 0 43 Definição e exemplos de Limites Observemos o comportamento de f quando: f : \ {0} x x + = |x| x x – 1 , se x < 0 x + 1 , se x > 0 x 0,999 0,8 0,6 0,4 0,1 F(x) 1,999 1,8 1,6 1,4 1,1 x -0,999 -0,8 -0,6 -0,4 -0,1 F(x) -1,999 -1,8 -1,6 -1,4 -1,1 (1)x→0+ (2)x → 0- 44 lim f(x) lim f(x) lim f(x). x 0 - x 0 + x 0 E 2 2 1 1 X Y 0,8 0,999 1,999 1,8 1,1 1,6 1,4 0,6 0,4 0,1 - 2 - 1 - 2 - 1 - 0,999 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,1 - 1,999 - 1,8 - 1,6 - 1,4 - 1,1 (2) x 0 – 0+ (1) x x y 0,999 0,8 0,6 0,4 0,1 1,999 1,8 1,6 1,4 1,1 x y - 0,999 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,1 - 1,999 - 1,8 - 1,6 - 1,4 - 1,1 45 Definição e exemplos de Limites OBS: É possível que o número a pertença ao domínio da função f. Logo, existe f(a). Porém, talvez não exista o limite de f(x), quando x tende para a. Por exemplo, a função f definida por: temos que f (0) = 0. Mas, não existe limf(x), pois limf(x) = -1 e limf(x) = 1 f : x x + = |x| x x – 1 , se x < 0 x + 1 , se x > 0 0 , se x = 0 x → 0 - x → 0 + x → 0 + 46 47 Gráficos de limites laterais 48 Gráficos de limites laterais 49 Gráficos de limites laterais 50 Gráficos de limites laterais 51 Gráficos de limites laterais 52 Gráficos de limites laterais 53 Gráficos de limites laterais 54 Gráficos de limites laterais Exemplos Exemplo: Seja f uma função definida por Sol: Exemplo: f : x f (x) = 2 , se x = 1 3x - 2 , se x > 1 4x + 1 , se x < 1 Determine lim f(x), lim f(x) e, caso exista lim f(x). x → 1- x → 1 + x → 1 lim f(x) = 5, lim f(x) = 1. lim f(x). x → 1- x → 1 + x → 1 Determine, caso exista lim f(x), em que x 0 f (x) = x2 – x; se x ≥ 0 - x; se x < 0 lim f(x) = 0 x →0 Sol: 55 Exemplos Exemplo: Solução: b = -10. f (x) = 3 , x = -1 3x - 2 , x > -1 5 - bx , x < -1 Determine, se possível, b Є para que exista lim f(x), sendo: x - 1 56 Limite de uma Função Racional Já somos capazes de calcular limites de funções definidas por polinômios e, usando a propriedade, podemos determinar alguns limites cujas funções são dadas como quociente de polinômios. Porém, ainda nos restam alguns casos, que tratemos detalhadamente agora. Sejam e duas funções polinomiais, com an ≠ 0 e bm ≠ 0. Uma função racional é qualquer função do tipo f(x) = p(x) / q(x). p (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 e q (x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 57 Limite de uma Função Racional Para calcularmos o limite de f (x) quando x → a, temos três casos à considerar: Exemplo: 1. Se q (a) 0, então lim f (x) = x a p (a) q (a) lim x -1 x2 + 2x - 3 4x - 3 lim x → -1 (x2 + 2x – 3) lim x → -1 (4x – 3) (-1)2 + 2(-1) -3 4(-1) -3 = = = -4 -7 = 4 7 58 Limite de uma Função Racional 2. Se q(a) = p(a) = 0, então f(a) é uma indeterminação e isto não significa a inexistência do limite. Geralmente, afasta-se esta indeterminação através de uma divisão dos polinômios p(x) e q(x) por x − a, visto que a é uma raiz de p(x) e q(x), obtendo-se o limite desejado. 59 Limite de uma Função Racional 3. Se p(a) ≠ 0 e q(a) = 0, então f(a) não está definido. Neste caso, limite de p(x) / q(x) quando x → a depende dos limites laterais de f (x) (quando x → a− e quando x → a+) e do sinal p(x)/ q(x). Como vemos nos exemplos de limites infinitos ou como a seguir. 60 61 Limite de uma Função Racional Exercícios Propostos Calcule os limites usando as propriedades: 1) 5) 2) 3) 6) 4) 7) solução: 1)3 2)8 3)6/5 4)2 5)5 6)6 7)-9/4 62 Limite de uma Função Racional Exercícios Propostos Calcule os limites usando as propriedades: 1) 5) 2) 3) 4) Solução: 1) 3/2 2) 1/3 3) -3/2 4) -4/5 5) -2 63 Limite de uma Função Racional Exercícios Propostos Calcule os limites usando as propriedades: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Solução: 1) 3/10 2) 1/2 3) 1/12 4) 1/3b2 5) 4/3 6) 1 Referencias Bibliográficas 71 [1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São Paulo: LTC, 2001. [2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068. [3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794. [4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. v.1. São Paulo: Harbra, 1994. 64 Referências Bibliográficas [5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5ª edição. São Paulo: Makron Books Ltda., 1992 [6] HOFFMANN, Laurense D.; BRANDLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 978852166023. [7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333. [8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte - Vol.1. 6ª edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 65
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