Matemática para Administradores AP2 2013.2

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Gabarito da Avaliação Presencial – AP 2 
Período – 2013 / 2º. 
 
Disciplina: MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES 
Coordenador da Disciplina: Profa. Patrícia Alves P. de Sousa 
 
1a Questão – (Valor 0,4 – cada item) Observe o gráfico da função f e determine os seguintes limites: 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
2a Questão – (Valor 2,0) Sabe-se que a Receita de uma empresa é dado por 
1
800100200)( 2
2
−
−−
=
x
xx
xRT , onde x é o tempo em anos. Determine: 
2.1) a Receita daqui a 1 ano; 
RESOLUÇÃO: 
0
700
1
800100200lim 2
2
1
−
=
−
−−
→ x
xx
x
. Neste caso, constante sobre zero, estuda-se o sinal das 
funções do numerador e do denominador e após fazer o quociente destes sinais. Pois constante (não 
nula) dividido por zero pode ser + ∞, – ∞ ou ±∞ ( )∃/ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
∃/=
−
−−
→ 1
800100200lim 2
2
1 x
xx
x
, pois os limites laterais são distintos. 
 
2.2) a Receita quando o tempo crescer indefinidamente, ou seja, quando +∞→x 
200
11
800100200
lim
1
800100200lim
2
2
2
2
2
2
=






−/






−−/
=
−
−−
+∞→+∞→
x
x
xx
x
x
xx
xx
 
 
1.1) )(lim2 xfx −→ = 0 
1.2) )(lim0 xfx→ = 0 
1.3) )(lim1 xfx→ = ∃/ 
1.4) )(lim xf
x −∞→
=-2 
1.5) )(lim xf
x +∞→
=-∞ 
x 2 1 
y 
-1 -2 
1 
-2 
200x2 – 100x – 800 
1 
x
2
 – 1 
1 
(200x2 – 100x – 800) / (x2 – 1) 
1 
– – 
– + 
– + 
 2 
3a Questão – (Valor 2,0) O Lucro Total de se produzir q unidades de um produto é 
10150
2
25
3
)(
23
−+−= qqqqL . Determine o(s) valor(es) de q para o lucro ser máximo, o lucro 
máximo e os intervalos de crescimento e decrescimento do lucro total. 
 
RESOLUÇÃO SIMPLIFICADA: 
Derivando a função Lucro temos: 150252 +−=′ qqL . 
Os valores de q que são “candidatos“ a máximo ou mínimo desta função acontece para L’ = 0. 
Resolvendo esta equação temos: ( )( )



=
=
⇒=−−⇒=+−
15
ou 10
015100150252
q
q
qqqq . 
(Quem calculou usando a Fórmula de Báskara encontrou: ∆ = 25) 
Para saber se 10 ou 15 é valor de máximo ou mínimo faz-se o Teste da Primeira ou Segunda 
Derivada: 
Optei pelo Teste da Primeira Derivada: 
 
Observe que em q = 10 a função L’ muda de sinal de mais para menos, significando que a função 
Lucro L é crescente no intervalo de 0 ≤ q ≤ 10 e decresce em 10 ≤ q ≤ 15. Então em q = 10 temos 
um ponto de máximo. Ponto de Máximo é (q , L(q)) = (10 , 573). O valor 573 foi obtido do valor da 
FUNÇÁO L em q = 10, ou seja, o lucro máximo é L (10) ≅ 573, 33 u.m. (unidades monetárias). 
Lucro é crescente onde a função derivada (L’) é positiva: 0 ≤ q ≤ 10 ou q ≥ 15. 
Lucro é decrescente onde a função derivada (L’) é negativa: 10 ≤ q ≤ 15. 
 
 
4a Questão – (Valor 0,5 – cada item) Derivem as funções da primeira coluna (esquerda) no ponto xo 
indicado e o resultado associem com a segunda coluna (direita). 
(A) f (x) = 5x3 + 2x(x+1), xo = 0 ( ) 2 ln2 
(B) x
xx
xf +−
−
= 21)( 3 , xo = 2 ( A ) ln2 + 1 
(C) 
13
221)( 2
−
+−=
xxx
xf
x
, xo = 1 ( D ) 4
2
2
1
+ 
(D) 
1
21)(
+
++=
x
x
xxf , xo = 1 ( B ) 4
2
36
11
+ 
RESOLUÇÃO: 
(A) f (x) = 5x3 + 2x(x+1) ⇒ f ‘(x) = 15x2 + 2xln2(x+1) + 2x ⇒ f ‘(0) = 15(0)2 + 20ln2(0+1) + 20 ⇒ 
f ‘(0) = 0 + ln2 + 1 = ln2 + 1. 
(B) x
xx
xf +−
−
= 21)( 3 ⇒ ( ) ( ) xxxxxf 2
10311)( 223 +−−
−
−
=′ ⇒ 
( ) ( ) 22
10)2(31
22
1)2( 223 +−−
−
−
=′f ⇒ 
22
1
36
11)2( +=′f . 
(C) 
13
221)( 2
−
+−=
xxx
xf
x
 ⇒ ( )232 13
32)13(2ln241)(
−
−−
++
−
=′
x
x
xx
xf
xx
⇒ 
( )2
11
32 11.3
32)11.3(2ln2
1
4
1
1)1(
−
−−
++
−
=′f ⇒ 
2ln
2
32ln
4
62ln
4
612
4
62ln3
4
62ln441)1( +=+=+−=−+=−++−=′f . (não tem 
alternativa) 
(D)
1
21)(
+
++=
x
x
xxf ⇒ ( )
1
21)( 2/1
+
++=
x
x
xxf ⇒ ( ) ( )2
2/1
1
1.2)1(21
2
1)(
+
−+
++=′ −
x
xx
xxf ⇒
( )21
2
12
1)(
+
+
+
=′
xx
xf ⇒ ( )211
2
112
1)1(
+
+
+
=′f ⇒ 
2
1
4
2
4
2
22
1)1( +=+=′f . 
10 15 
+ 
+ - 
 3 
5a Questão – (Valor 2,0) Verifique se a função Lucro Total 





>−
=
<+
=
10 se ,21
10 se ,10
10 se ,1
)(
xx
x
xx
xLT é 
contínua ao se produzir 10 (mil) unidades, onde x já está expresso na ordem de mil unidades. 
 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente calcula-se o limite da função quando x tende a 10. Visto que a função é 
definida por leis diferentes na vizinhança de x = 10 então se calcula os limites laterais: 
11)(lim e )(lim 
1121lim)(lim
111lim)(lim
)(lim
1010
1010
1010
10
=∃⇒




=−=
=+=
=
→→
→→
→→
→
++
−−
xLxL
xxL
xxL
xL
xx
xx
xx
x
 
Agora, precisa-se saber o valor do lucro L no ponto x = 10 que é: L(10) = 10. 
Por fim, verificamos se )10(lim
10
LL
x
=
→
 para saber se L é contínua. Neste caso, verificamos que 
)10(1011lim
10
LL
x
=≠=
→
. Logo a função Lucro Total não é contínua ao produzir 10(mil) unidades.