Apostila de Analise de Circuitos Unidade II Circuitos Monofasicos em CA 3a Parte

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Curso Técnico em 
Telecomunicações 
(EaD) 
 
Escola Técnica 
de Brasília ETB 
Carlos Wesley da Mota Bastos 
Análise de Circuitos 
NEaD/ETB
 II
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL (CEP) 
ESCOLA TÉCNICA DE BRASÍLIA (ETB) 
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEaD) 
CURSO TÉCNICO EM TELECOMUNICAÇÕES 
 
 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA (SECT) 
GOVERNO DO DISTRITO FEDERAL (GDF) 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Análise de Circuitos em Corrente Alternada 
 
 
 
 
 
Carlos Wesley da Mota Bastos 
 
 
 
 
 
Brasília – DF 
Junho 2010 
III 
 
 
PROGRAMA E-TEC BRASIL 
 
 
Amigo (a) estudante! 
 
O Ministério da Educação vem desenvolvendo Políticas e Programas para expansão da 
Educação Básica e do Ensino Superior no País. Um dos caminhos encontrados para que essa 
expansão se efetive com maior rapidez e eficiência é a modalidade a distância. No mundo inteiro são 
milhões os estudantes que frequentam cursos a distância. Aqui no Brasil, são mais de 300 mil os 
matriculados em cursos regulares de Ensino Médio e Superior a distância, oferecidos por instituições 
públicas e privadas de ensino. 
Em 2005, o MEC implantou o Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB), hoje, 
consolidado como o maior programa nacional de formação de professores, em nível superior. 
Para expansão e melhoria da educação profissional e fortalecimento do Ensino Médio, o MEC 
está implementando o Programa Escola Técnica Aberta do Brasil (e-Tec Brasil). Espera, assim, 
oferecer aos jovens das periferias dos grandes centros urbanos e dos municípios do interior do País 
oportunidades para maior escolaridade, melhores condições de inserção no mundo do trabalho e, 
dessa forma, com elevado potencial para o desenvolvimento produtivo regional. 
O e-Tec é resultado de uma parceria entre a Secretaria de Educação Profissional e 
Tecnológica (SETEC), a Secretaria de Educação a Distância (SEED) do Ministério da Educação, as 
universidades e escolas técnicas estaduais e federais. 
O Programa apóia a oferta de cursos técnicos de nível médio por parte das escolas públicas 
de educação profissional federais, estaduais, municipais e, por outro lado, a adequação da infra-
estrutura de escolas públicas estaduais e municipais. 
Do primeiro Edital do e-Tec Brasil participaram 430 proponentes de adequação de escolas e 
74 instituições de ensino técnico, as quais propuseram 147 cursos técnicos de nível médio, 
abrangendo 14 áreas profissionais. O resultado desse Edital contemplou 193 escolas em 20 unidades 
federativas. A perspectiva do Programa é que sejam ofertadas 10.000 vagas, em 250 pólos, até 2010. 
Assim, a modalidade de Educação a Distância oferece nova interface para a mais expressiva 
expansão da rede federal de educação tecnológica dos últimos anos: a construção dos novos centros 
federais (CEFETs), a organização dos Institutos Federais de Educação Tecnológica (IFETs) e de 
seus campi. 
O Programa e-Tec Brasil vai sendo desenhado na construção coletiva e participação ativa 
nas ações de democratização e expansão da educação profissional no País, valendo-se dos pilares 
da educação a distância, sustentados pela formação continuada de professores e pela utilização dos 
recursos tecnológicos disponíveis. 
A equipe que coordena o Programa e-Tec Brasil lhe deseja sucesso na sua formação 
profissional e na sua caminhada no curso a distância em que está matriculado (a). 
 
Brasília, Ministério da Educação – setembro de 2008. 
IV 
 
 
 
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presença no caderno ajudará você a compreender melhor as atividades e exercícios 
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V 
 
 
 
SUMÁRIO 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 
2.8. Circuito RLC Série em CA 06 
2.8.1. Frequência de Ressonância 08 
2.8.2. Largura de Faixa 09 
2.9. Circuito RLC Paralelo em CA 11 
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 13 
ANEXOS 14 
 
 6 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.8 Circuito RLC Série em CA 
 
 
 
 
 
 
 
- O circuito RLC se caracteriza por possuir resistência (R) , indutância (L).e 
capacitância (C). Quando os componentes resistivos, indutivos e capacitivos são 
ligados em série a corrente total é a mesma em todos os pontos do circuito, dada 
pela expressão: 
 
i = Im Sen (Wt + θ) [A] 
 
-
 Quando se aplica uma tensão sobre um circuito RLC série, a corrente provoca 
quedas de tensão sobre a resistência, a indutância e a capacitância, de acordo 
com a LTK, terão: Vt = VR + VL + VC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí a tensão total será vt = RIm Sen ( Wt +θθθθ) + WLIm Cos (Wt + θθθθ) - 1/WCIm Cos 
(Wt + θθθθ). 
vt = RIm Sen ( Wt +θθθθ) + [WL - 1/WC] Im Cos (Wt + θθθθ) 
OBS. 1: Se WL > 1/WC ⇒ Circuito com característica indutiva 
 Se WL < 1/WC ⇒ Circuito com característica capacitiva 
 
ω 
VL 
VC 
VR 
VL-VC 
V φ
 
 7 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
- Característica Indutiva 
 
vt = RIm Sen ( Wt +θθθθ) + [WL - 1/WC] Im Cos (Wt + θθθθ) 
Supondo que: WL > 1/WC ou XL > XC 
 
Vm = Im √ R2 + (XL - XC)2 
 
Z = Vm/Im ⇒⇒⇒⇒ 
 
 Z = √ R2 + (XL - (XC)2 
 
Tg θ = WL - 1/WC 
 R 
 
θθθθ = arc tg WL - 1/WC 
 R 
 
OBS. 2: Podemos expressar a impedância do circuito em duas formas: 
Z = R ± jX ⇒ Forma Retangular 
Onde: X = XL - XC 
Z = √ R2 + X2 arctg X/R ⇒ Forma Polar 
 
OBS. 3: No caso de característica capacitiva, basta fazer : X = XC - XL 
 
OBS. 4: Se a reatância indutiva for igual à reatância capacitiva (XL = XC), ou seja, se 
a reatância do circuito for nula, dizemos que o circuito está em ressonância. Daí, 
surge a freqüência de ressonância, expressa pela fórmula: fr = 1/ 2pi√LC 
 
OBS. 5: A partir destes dados acima podemos fazer uma série de diagramas, tais 
como: diagrama de tensão, corrente, impedância, etc. 
 
 8 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.8.1 Freqüência de Ressonância 
Observe que VL e VC tem mesma direção, mas sentidos opostos , logo a resultante 
da operação VL - VC terá o sentido de VL. 
Para o circuito da figura acima valem as seguintes expressões: 
 
22 )(+= CL VVRV - e 22 )(+= CL XXRZ - IMPORTANTE !!! 
 
Da equação que dá o calculo da impedância observamos que se XL = XC a 
impedância será igual a R, isto é, o circuitoserá puramente resistivo e a corrente 
estará em fase com a tensão. Esta situação é conhecida como ressonância, e 
ocorre numa freqüência f0 calculada por: 
CLf ...2
1
=0 pipipipi
 IMPORTANTE !!! 
Sendo L dado em Henry (H) e C em Faraday (F) e f0 em Hertz (Hz) 
O circuito da figura acima tem as seguintes características: 
 
• Na freqüência de ressonância(f0), o circuito é puramente resistivo, sendo a 
corrente máxima de valor V/R, estando em fase com a tensão. 
• Abaixo da freqüência de ressonância, a impedância será capacitiva (XC > XL), 
estando a corrente adiantada em relação à tensão. 
• Acima da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL), 
estando a corrente atrasada em relação à tensão. 
• O gráfico da corrente em função da freqüência será dado pelo gráfico da figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
V/R 
I 
0,707(V/R) 
 FCI F0 FCS 
 9 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.8.2 Largura de Faixa 
 
Em relação à figura acima definimos Largura de Faixa (LF) como sendo: 
 
LF = FCS - FCI (IMPORTANTE !!!) 
 
Onde: 
 
 FCS = freqüência de corte superior é a freqüência na qual a corrente cai para um 
valor igual a 70,7% do valor da corrente máxima. 
 
FCI = freqüência de corte inferior é a freqüência na qual a corrente cai para um valor 
igual a 70,7% do valor da corrente máxima. 
 
Exemplo para Fixação: 
 
Para o circuito da figura abaixo se pede determinar : 
a) Freqüência de ressonância (f0) 
b) Valor da corrente na freqüência de ressonância 
c) Defasagem do circuito na ressonância 
d) Se f = 20KHz, calcular a corrente e a defasagem 
e) Se f = 10KHz, calcular a corrente e a defasagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Hz
LC
f 15923
10.1,0.10.12
1
.2
1
630
===
−−pipi
 
 
 
 
 
 10 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
b) Na ressonância XL = 2pi .15923.10-3 = 100Ω e XC = 1 (2pi 0,1.10-6) = 100Ω, 
portanto a impedância do circuito será igual a Z = 150 Ω = R, a corrente será 
máxima e valerá IMáx = 15V / 150Ω = 100mA. 
 
c) Como na ressonância o circuito é puramente resistivo a defasagem entre a 
corrente e a tensão será zero. 
 
d) Se f = 20KHz XL = 2pi .20.103.1.10-3 = 125,6Ω e XC = 1/( 2pi .20.103.0,1.10-6 ) = 
79,6Ω, desta forma a impedância será dada por: 
 
Ω=−+= 157)6,796,125()150( 22Z 
I = 15V/157 = 95,5mA defasagem cosφ = R/Z = 0,955 φ = 17º 
 
e) Se f= 1KHz XL = 2pi .10.103.1.10-3 = 62,8Ω e XC = 1/( 2pi .10.103.0,1.10-6 ) = 
159,2Ω, desta forma a impedância será dada por: 
 
Ω=−+= 178)8,622,159()150( 22Z 
I = 15V/178 = 84mA defasagem φ = 32º 
 
 11 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.9 Circuito RLC Paralelo em CA 
 
No circuito da figura abaixo a tensão é a mesma em todos os elementos,ao lado 
temos o diagrama fasorial com a representação das três correntes e da tensão total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este circuito são válidas as expressões: 
 
 
22 )(+= LCR IIII - e 2222 ).(+
..
=
CLLC
CL
XXRXX
XXR
Z
-
 IMPORTANTE !!! 
 
Se XL = XC na expressão da impedância obteremos Z = R, isto é, o circuito será 
puramente resistivo sendo esta situação chamada de ressonância, e isso ocorre na 
freqüência f0 dada por: 
CLf ...2
1
=0 pipipipi
 IMPORTANTE !!! 
 
 
 
IC 
IL 
IR 
V 
IL - IC 
IR V 
φ
 
ω 
 12 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
Este circuito tem as seguintes características: 
 
• Na freqüência de ressonância (f0), o circuito é puramente resistivo, sendo a 
corrente mínima de valor V/R, estando em fase com a tensão. 
• Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL), 
estando a corrente atrasada em relação à tensão. 
• Acima da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva (XC > XL), 
estando a corrente adiantada em relação à tensão. 
• O gráfico da impedância em função da freqüência será dado pelo gráfico da 
figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
f 
R 
0,707.R 
 FCI F0 
F 
 13 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALBUQUERQUE, Rômulo. Circuitos em Corrente Alternada. 2ª Ed. - São Paulo. 
Érica,1997. 
 
CUTLER, John. Análise de Circuitos – Corrente Alternada. 2ª Ed. - São Paulo. 
Makron Books, 1991. 
 
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos Elétricos. 2ª Ed. - São Paulo. Makron 
Books,1991. 
 
O´MALLEY, John. Análise de Circuitos. 2ª Ed. - São Paulo. Makron Books, 1993. 
 
 
 14 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
ò Resumo das principais fórmulas dos circuitos série e paralelo em CA 
 
è Circuito RLC série em CA 
 
Corrente 
i = Im Sen ( Wt ±θ) [A] 
 
Tensão total 
Vt = VR + VL + VC [V] 
Vt = RIm Sen ( Wt +θ) + WLIm Cos (Wt + θ) - 1/WC Im Cos (Wt + θ) [V] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (R)2 + (WL - 1/WC)2 [Ω] 
 RLC com Característica Indutiva 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = WL - 1/WC 
 R 
θ = arc tg WL - 1/WC 
 R 
 
A tensão total será: 
Vt = Im √ R2 + (WL - 1/WC)2 Sen (Wt + arc tg [(WL - 1/WC)/R] [V] 
 
 16 
 
è Circuito RLC paralelo em CA 
 
Tensão 
v = Vm Sen ( Wt ±θ) [V] 
 
Corrente total 
It = IR + IL + IC [A] 
It = Vm/R Sen ( Wt +θ) + Vm/WL Cos (Wt + θ) - VmWC Cos (Wt + θ) [A] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (1/R)2 + (1/WL -WC)2 [ΩΩΩΩ] 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = [(1/WL - WC)/R] 
θ = arc tg[ (1/WL - WC)/R] 
 
A corrente total será: 
It = Vm √ (1/R)2 + (1/WL - WC)2 Sen Wt + arc tg[ (1/WL - WC)/R] [V]