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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 6 - Entrega dia 04/05/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio 1:
Calcule
dy
dx
, supondo que a equac¸a˜o
(x + 2)3 + (y − 4)3 = 6 (x + 2) (y − 4)
defina y implicitamente como func¸a˜o da varia´vel x.
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente ambos os lados da igualdade
(x + 2)3 + (y − 4)3 = 6 (x + 2) (y − 4)
em relac¸a˜o a x, obtemos:
d
dx
[(x + 2)3 + (y − 4)3] = d
dx
[6 (x + 2) (y − 4)]
3(x + 2)2 · d
dx
(x + 2) + 3(y − 4)2 · d
dx
(y − 4) = 6
[
d
dx
(x + 2) · (y − 4) + (x + 2) · d
dx
(y − 4)
]
3(x + 2)2 · 1 + 3(y − 4)2 · dy
dx
= 6
[
1 · (y − 4) + (x + 2) · dy
dx
]
3(x + 2)2 + 3(y − 4)2 · dy
dx
= 6(y − 4) + 6(x + 2) · dy
dx
[3(y − 4)2 − 6(x + 2)] · dy
dx
= 6(y − 4)− 3(x + 2)2
3[(y − 4)2 − 2(x + 2)] · dy
dx
= 3[2(y − 4)− (x + 2)2]
dy
dx
=
3[2(y − 4)− (x + 2)2]
3[(y − 4)2 − 2(x + 2)] =
2(y − 4)− (x + 2)2
(y − 4)2 − 2(x + 2) , se (y − 4)
2 − 2(x + 2) 6= 0.
Exerc´ıcio 2 :
Verifique se a func¸a˜o
F (x) =
√
x3 + 3x, x ∈ (0,+∞)
e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, encontre (F −1)′ (2).
Soluc¸a˜o:
Observemos que F ′(x) =
3x2 + 3
2
√
x3 + 3x
6= 0, para todo x ∈ (0,+∞). Logo, pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, F e´
invert´ıvel e F −1(y) =
1
F ′(x)
=
1
3x2 + 3
2
√
x3 + 3x
, para todo x ∈ (0,+∞).
Para encontrar (F −1)′ (2), precisamos determinar x ∈ R tal que F (x) = 2. Temos:
F (x) = 2 ⇒ √x3 + 3x = 2 ⇒ x3 + 3x = 4 ⇒ x3 + 3x− 4 = 0.
As poss´ıveis ra´ızes racionais do polinoˆmio x3 + 3x − 4 pertencem ao conjunto {±1,±2,±4}. Notemos que
13 + 3 · 1− 4 = 1 + 3− 4 = 0, ou seja, 1 e´ raiz do polinoˆmio x3 + 3x− 4.
Como a func¸a˜o dada e´ invert´ıvel, 1 e´ a u´nica raiz real do polinoˆmio x3 + 3x− 4 pois caso contra´rio F na˜o seria
injetora.
Logo, x = (F −1) (2) = 1.
Assim,
(F −1)′ (2) =
1
F ′(1)
=
1
3 · 12 + 3
2
√
13 + 3 · 1
=
1
6
2
√
4
=
1
3
2
=
2
3
.