Domínio de uma Função Quadrática

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 1 - Entrega dia 23/03/2017:
Nome: Matr´ıcula:
Exerc´ıcio 1:
Determine o domı´nio de
f(x) =
√
x2 + x− 6
6− | x |
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1:
Queremos determinar o maior conjunto de nu´meros reais para os quais a regra da func¸a˜o f possa ser aplicada.
Neste caso, devemos ter
D(f) =
{
x ∈ R ; x
2 + x− 6
6− | x | ≥ 0
}
.
Estudaremos, separadamente, o sinal de g(x) = x2 + x− 6 e h(x) = 6− | x | .
Notemos que g e´ uma func¸a˜o quadra´tica com a = 1, b = 1, c = −6 e ∆ = 12 − 4(1)(−6) = 25. Logo, g tem duas
ra´ızes reais distintas: x1 =
−1− 5
2
= −3 e x2 = −1 + 5
2
= 2. Como a > 0, a func¸a˜o g e´ uma paa´bola coˆncava
para cima.
Assim, o sinal de g e´:

g(x) < 0 se −3 < x < 2
g(x) = 0 se x = −3 ou x = 2
g(x) > 0 se x < −3 ou x > 2
Agora, vamos determinar o sinal de h(x) = 6− | x | . Observemos que:
(i) h(x) ≥ 0 ⇔ 6− | x | ≥ 0 ⇔ 6− | x | + | x | ≥ | x | ⇔ | x | ≤ 6 ⇔ −6 ≤ x ≤ 6.
(ii) h(x) < 0 ⇔ 6− | x |< 0 ⇔ 6− | x | + | x |< | x | ⇔ | x |> 6 ⇔ x < −6 ou x > 6.
Continuac¸a˜o da Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1:
Utilizando o quadro-quociente
obtemos
D(f) = {x ∈ R ; −6 < x ≤ −3 ou 2 ≤ x < 6} .