Cálculo: Função e Desigualdade

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 7 - Entrega dia 11/05/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio 1:
Existe alguma func¸a˜o diferencia´vel f tal que
. f(0) = 2,
. f(2) = 5,
. f ′(x) ≤ 1
para todo x ∈ (0, 2)?
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1:
Suponha que exista um func¸a˜o f satisfazendo as hipo´teses acima. Como toda func¸a˜o diferencia´vel e´ cont´ınua,
f devera´ ser uma func¸a˜o cont´ınua. Em particular, consideremos f e´ cont´ınua no intervalo fechado [0, 2] e
diferencia´vel no intervalo aberto (0, 2).
Assim, f satisfaz as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio. Logo, devera´ existir um nu´mero c no intervalo (0, 2)
tal que
f ′(c) =
f(2)− f(0)
2− 0 =
5− 2
2
=
3
2
,
o que contradiz a hipo´tese de que f ′(x) ≤ 1, para todo x ∈ (0, 2).
Portanto, na˜o existe func¸a˜o diferencia´vel f que satisfac¸a as hipo´teses do exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 2:
Verifique a desigualdade
e x > x + 1, para x > 0
estudando o sinal da derivada de uma func¸a˜o adequada.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2:
Fac¸amos f(x) = ex − x− 1. Queremos mostrar que f(x) > 0 para todo x > 0.
Notemos que f ′(x) = ex − 1 esta´ definida para todo x ∈ D(f) = R. Logo, os nu´meros cr´ıticos de f sa˜o os
nu´meros reais x para os quais f ′(x) = 0, ou seja, x = 0.
Notemos tambe´m que:
. Se x < 0, ex < 1 e, da´ı, f ′(x) < 0.
. Se x > 0, ex > 1 e, da´ı, f ′(x) > 0.
Assim, f e´ crescente em [0,+∞) e decrescente em (−∞, 0].
Como a derivada de f muda de negativa para positiva em x = 0, segue do Teste da Primeira Derivada que f
tem um mı´nimo relativo em x = 0 e este valor mı´nimo e´ f(0) = 0.
Notemos que este mı´nimo relativo tambe´m e´ um mı´nimo absoluto, pois caso contra´rio, f assumiria um valor
menor que f(0) em algum outro valor, que deveria ser outro extremo relativo de f.
Portanto, f(x) ≥ f(0) para todo x ≥ 0. Como f(x) 6= 0 para x 6= 0, conclu´ımos que f(x) > f(0) para x > 0, ou
seja, ex > x + 1 para todo x > 0.