Espaços Vetoriais APOSTILA GAAL PRISCILA UTFPR MD

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1 
 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 Campus Medianeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
Prof.
a 
Priscila Pigatto Gasparin 
 
 
 
 
 
 
Medianeira 
2017 
 
2 
 
1. Espaços Vetoriais 
1.1 Historico 
Ao final do século XIX após o estabelecimento das bases matemática da teoria 
de matrizes foi observado que várias entidades matemáticas que eram tratadas de 
formas diferentes possuíam propriedades semelhantes, o que motivou os matemáticos 
da época a criarem uma teoria consistente que viabilizasse um tratamento uniforme a 
tais entidades. Como exemplo vetores pertecentes ao 
2
e ao 
3
, funções 
polinomiais e funções diferenciáveis apresentam as mesmas propriedades de adição e 
da multiplicação por escalar, observadas para o caso matricial. Tal constatação deu 
origem à definição de espaço vetorial. 
Historicamente contextualizando a ideia original associado a definição de 
espaço vetorial foi publicada em 1844 por Hermann Grassmann (1808-1887). Na 
época em que publicou seu trabalho não houve muita repercursão e somente 44 anos 
depois da publicação do trabalho de Grassmann é que o matemático italiano Giuseppe 
Peano (1858-1932) publicou uma interpretação condensada dos conceitos 
estabelecidos por Grassmann. No entanto as definições correntes de espaço vetorial, 
subespaço vetorial, bases e dimensão foram estabelecidos por um matemático alemão 
chamado Weul (1895-1955) que reconheceu a magnitude e a importância do trabalho 
originalmente proposta por Grassmann. 
 
1.2 Espacos Euclidianos 
O espaço euclidiano n – dimensional (
n
) é o produto cartesiano de n fatores 
iguais a 

. 
 xxxn ...
 
Se n=1 
1
 temos a reta 
Se n=2 
 x2
 temos o plano 
Se n=3 
 xx3
 temos o espaço euclidiano tridimensional 
 
1.3 Espaco Euclidiano Tridimensional 
O espaço euclidiano tridimensional é definido pelo conjunto: 
},,/),,{(3  zyxzyx
. 
Logo os elementos de 
3
são termos ordenados. Dados 
3),,( zyx
 e 
3
111 ),,( zyx
tem-se que 
),,(),,( 111 zyxzyx 
se e somente se, 
1xx 
, 
1yy 
, 
1zz 
. 
3 
 
Em 
3
podem ser definidas duas operações: 
Definição 1: Dados 
3
111 ),,(),,(  zyxzyx
 e 
3
 definimos: 
1) Adição de elementos de 
3
 
),,(),,(),,( 111111 zzyyxxzyxzyx 
 
2) Multiplicação de elementos de 
3
 por escalares de 

 
),,(),,( zyxzyx  
 
Estas duas operações satisfazem as seguintes propriedades: 
 
Proposição 1: Dados 
zyx ,,
 e 
)0,0,0(0 
 elementos 
3
 e 
,
 então: 
1) 
xyyx 
 
2) 
)()( zyxzyx 
 
3) 
xxx  00
 
4) 
xx ).().(  
 
5) 
yxyx   )(
 
6) 
xxx   )(
 
7) 
xxx  1..1
 
8) 
0)()( que tal)(- 3  xxxxx
 
Note que, se 
),,( zyxx 
 então 
),,( zyxx 
 
 
Em geral, um conjunto onde são definidas as operações de adição e multiplicação por um 
número real (escalar) como na definição anterior, satisfazendo às propriedades anteriores é 
chamado espaço vetorial sobre 

e seus elementos são chamados vetores. Logo 
3
é 
um espaço vetorial (de dimensão 3) sobre 

. De forma analoga, 
2
é um espaço 
vetorial de dimensão 2 sobre 

. 
 
2 Vetores no plano 
No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) 
de números reais onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P. 
4 
 
 
Temos que o conjunto de pontos 
PQ
e 
QP
sejam iguais considerando a 
orientação, eles são distintos. Temos segmento que: 
Definição: Para qualquer segmento orientado no plano existe outro equivalente a este 
cujo ponto inicial é a origem. 
 
 
Definição: Os segmentos orientados com ponto inicial na origem são denominandos 
vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma vez 
que o ponto inicial é fixo na origem. 
 Desta forma, um vetor 
OPv 
é representado pelas coordenadas do seu ponto 
final P(a,b). Usamos a notação: 







b
a
v
ou v=(a,b) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b). 
Note que: 
- O vetor nulo é representado por 0 = (0,0) 
- O oposto de um vetor é v= (a,b) então w=(-a,-b) 
 
2.1 Operações com vetores no plano 
a) A adição de dois vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d) então v+w=(a+c,b+d) 
 
O segmento 
OA
tem a mesma 
orientação de 
PQ
, uma vez que 
eles têm mesma direção e mesmo 
sentido, eles são equivalentes. 
5 
 
b) Multiplicação 
Se v=(a,b) e w=k.v então w=(k.a,k.b) 
 
Exemplo 
1) Dados os vetores 
)1,4(u
 e 
)6,2(v
. Então u + v, represente geometricamente 
 
 
 
 
 
2) Dados os vetores 
)1,3(v
e 
)2,6(.21  vw
 e 
)2,6().2(2  vw
. Faça a 
representação geometrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Vetores no Espaço 
 A ideia de vetor no espaço tridimensional pode ser dado por um ponto P do 
espaço é identificado como uma terna de números reais (x,y,z) onde x,y,z são as 
coordenadas do ponto P. 
 
 
6 
 
Cada ponto do espaço 
),,( cbaP
 é associado um único vetor 
OPv 
e reciprocamente 
dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço que é seu ponto final. 
 Assim, um vetor 
OPv 
 é representado pelas coordenadas do seu ponto final 
),,( cbaP
. Denotamos 











c
b
a
v
 ou 
),,( cbav 
para identificar um vetor cujo o ponto 
final é 
),,( cba
. 
A origem do espaço representa o vetor nulo 
)0,0,0(0 
. Se 
V
 é o conjunto de 
vetores no espaço então: 
3
321 });,,{(  xxxxxxV i
 
 
3.1 Operação com vetores no espaço 
Temos as seguintes operações no espaço: 
1) 
uvvu 
 (comutativa) 
2) 
)()( wvuwvu 
 (associativa) 
3) Vetor nulo: 
V 0 
chamado vetor nulo, ou vetor zero tal que 
Vu 00  uuu
 
4) Inverso aditivo: Para cada vetor 
Vu 
 existe um vetor 
Vu- 
chamado inverso 
aditivo, ou simétrico de 
u 
 ta que 
0)(u-  uuu
 
5) 
uuu   )(
 
6) 
vuvu   )(
 
7) 
).().( uu  
 (Associativa da multiplicação) 
8) 
uuu  1..1
 (Elemento neutro da multiplicação) 
 
4 Espaços Vetoriais 
Definição: Um espaço 
V
é um conjunto, cujos os elementos são chamados vetores no 
qual, estão definidas duas operações: 
 Adição que a cada par de vetores 
Vvu  , 
faz corresponder um novo vetor 
denotado por 
Vvu  
chamado a soma de 
vu , 
 
 Multiplicação por um número real que a cada 

e a cada vetor 
Vu
faz 
corresponder um vetor denotado por 
u.
, chamado produto de 

por 
u
. 
Estas operações devem satisfazer, para quaisquer 
Vwvu  ,, e ,
 
 
 
(Distribuitiva da Multiplicação) 
7 
 
Exemplos 
1) Seja 
},/),{(2  yxyxV
é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um número real. Mostre que 
V
é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere agora 
V
como o conjunto das matrizes de ordem 2 cujos elementos são 
números complexos, ou seja, 












 Cz
zz
zz
V i;
45
21
. Assim, se 
Vvu ,
, então 
verifique se 
V
é um espaço vetorial utilizando a soma 
vu 
 e 
u.8 
 
5 Subespaços Vetoriais 
Definição: Seja 
V
um espaço vetorial. Dizemos que 
VW 
é um subespaço vetorial 
de 
V
 se forem satisfeitas as seguintes condições: 
a) Se 
WvuWvu  então ,
 
b) Se 
  então WuWu 
Observações: 
a) As condições da definição garantem que ao operarmos em 
W
(soma e multiplicação 
por escalar) não obteremos um vetor de 
W
. Isto é suficiente para afirmar que 
W
é ele 
próprio um Espaço Vetorial. 
b) Qualquer subespaço 
W
 de 
V
precisa conter o vetor nulo; 
c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços o conjunto formado pelo 
vetor nulo e o próprio espaço vetorial. 
Exemplos 
1) Seja 
5V
 e 
 ),,,,0( 5432 xxxxW 
 
W
é um subespaço vetorial? 
 
9 
 
6 Combinação Linear 
Definição: Seja 
V
um espaço vetorial real 
 n2121 a,...,a,a ,...,, Vvvv n
. Então o 
vetor: 
nnvavavav  ,...,2211
 é um elemento de 
V
ao que chamamos de 
combinação linear de 
nvvv ,...,, 21
 
Exemplo 
1) Em 
2
os vetores 
)16,10(v
é uma combinação linear dos vetores 
)2,1(1 v )4,3(2 v
 pois 
21 24 vvv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
7 SUBESPAÇOS GERADOS 
Considere um espaço vetorial 
V
. Seja 
 1 2, ,..., nA v v v V 
, com 
A 
. 
Designando por 
S
, o conjunto de todos os vetores de 
V
 que são combinações 
lineares dos vetores de 
A
 é um subespaço de 
V
. 
De fato. Se 
1 1 2 2 ... n nu a v a v a v   
 e 
1 1 2 2 ... n nv b v b v b v   
 são dois vetores 
quaisquer de 
S
, pode-se escrever: 
     1 1 1 2 2 2 ... n n nu v a b v a b v a b v       
 
     1 1 2 2 ... n nu a v a v a v      
 
Logo, 
S
 é um subespaço vetorial de 
V
. Simbolicamente 
},...,,,.../{ 212211  nnn aaavavavavVvS
 
 
Observações 
1) O subespaço S diz-se gerado pelos vetores 
nvvv ,...,, 21
ou gerado pelo conjunto A, e 
representa-se por: 
],...,,[ 21 nvvvS 
 ou S = G(A) 
Os vetores 
nvvv ,...,, 21
 são chamados geradores do subespaço S, enquanto A 
é o conjunto gerador de S. 
 2) Para o caso particular de 
A
 define-se 
}0{][ 
 
3) 
)(AGA
 ,ou seja, 
],...,,[},...,,{ 2121 nn vvvvvv 
 
4) Todo conjunto 
VA
gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A)=V. 
Nesse caso, A é um conjunto gerador de V. 
 
Exemplos 
1) Os vetores 
 1,0i 
 e 
 0,1j 
 geram o espaço vetorial 
2
, pois qualquer 
2),( yx
 é combinação linear de 
i
 e 
j
, ou seja, 
           , 1,0 0,1 ,0 0, ,x y xi yj x y x y x y      
. 
2) Os vetores 
 1 1,0,0e 
, 
 2 0,1,0e 
 e 
 3 0,0,1e 
 geram o espaço vetorial 
3
, 
pois qualquer é combinação linear de 
1 2 3, ee e e
: 
       , , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y z  
 
 
11 
 
3) Os vetores 
 1 1,0,0e 
 e 
 2 0,1,0e 
 do 
3
 geram um subespaço 
},/)0,,{( 3  yxyxS
, pois: 
     , ,0 1,0,0 0,1,0x y x y 
 
S
 é um subespaço do 
3
, geometricamente o 
plano xy. 
4) Seja 
3V
. Determinar o subespaço gerado pelo vetor 
)3,2,1(1 v
 
 
5) Seja 
3V
. Determinar o subespaço gerado pelo conjunto 
},,{ 321 vvvA 
sendo 
)1,1,1(1 v
 
)0,1,1(2 v
 
)0,0,1(3 v
 
 
 
Sejam V = M(2,2) e o subconjunto 











 









11
13
32
21
A
 , determine o subespaço 
G(A). 
 
 
 
12 
 
8 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Definição: Sejam V um espaço vetorial e 
Vvvv n ,...,, 21
. Dizemos que o conjunto 
 nvvv ,...,, 21
é linearmente independente (LI) ou que os vetores 
nvvv ,...,, 21
 são LI se a 
equação 
0,...,2211  nnvavava
 implica que 
0,...,21  naaa
. No caso em que 
exista algum 
0ia
dizemos que 
 nvvv ,...,, 21
é linearmente dependente (LD) ou que 
os vetores 
nvvv ,...,, 21
 são LD. 
Teorema: 
 nvvv ,...,, 21
 é LD se, e somente se, um destes vetores for uma 
combinação linear dos outros. 
Note que: Um conjunto de vetores é LI se e somente se nenhum deles for uma 
combinação linear dos outros. 
 
Exemplos 
1) Seja 
2V
 e 
)2,1(1 v
 
)1,0(2 v
 e 
)1,1(3 v
. Verifique se os vetores são LD 
ou LI. 
 
 
 
2) Seja 
 )1,1(),1,1( A
em 
2
são independentes se 
)0,0()1,1()1,1( 21 
 
 
 
3) Seja 
 )2,1(),1,1(),1,1( A
 em 
2
são dependentes se 
)0,0()2,1()1,1()1,1( 321  
 
 
 
4) Seja 
)}(),(),({ 321 xpxpxpV 
 onde 
1)( 21  xxxp
 
32)(2  xxp
 
1)( 23  xxp
. Verifique se V é um conjunto LD ou LI. 
 
 
5) Em 
2V
 
)0,1(1 e
 
)1,0(2 e
são LI. 
13 
 
6) Considere o espaço vetorial 
3
e os conjuntos de vetores 
 )0,0,1(),1,1,1(),3,2,1(
 
 )7,5,3(),1,1,1(),3,2,1(
. Os conjuntos 
 ,
são LI ou LD. 
 
Teorema: Um conjunto 
},...,,...,,{ 21 ni vvvvV 
é LD se, e somente se, pelo menos um 
destes é combinação linear dos outros. 
Demonstração: 
)(
Seja V LD. Por definição, existe pelo menos uma constante 
0i
 tal que: 
02211  nnii vvvv   logo 
n
i
n
ii
i vvvv 





 2
2
1
1
 ou seja, 
iv
 é 
combinação linear dos outros vetores. 
)(
Seja 
iv
uma combinação linear dos outros vetores: 
01 11112211
11112211




nniiiii
nniiiii
vvvvvv
vvvvvv



ou ainda, 
Verifica-se 
01i
 então 
},,,{ 21 nvvv 
é LD 
 
Corolário: Um conjunto 
},...,,...,,{ 21 ni vvvvV 
é LI se, e somente se, nenhum desses 
vetores for combinação linear dos outros. 
Exemplo: 
Considere 
},,{ 321 vvvV 
e 
},{ 21 vvW 
, onde 
)2,1(1 v
 
)1,0(2 v
 
)1,1(3 v
. Mostre 
que 
3v
é combinação linear de 
1v
e 
2v
 
 
 
 
Teorema: 
a) Um conjunto finito que contenha 0 é linearmente dependente 
b) Um conjunto de exatamente um vetor é linearmente independente se, e só se, esse 
vetor não é 0 
c) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e só se, 
nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro. 
 
Propriedades de Dependência e Independência Linear. 
Seja V um espaço vetorial 
a) Se 
0}{  vVvS
 então S é LI 
14 
 
b) Considera-se, por definição que 
V
é LI 
c) Se 
SS 1
é LD 

S é LD 
d) Se S é LI então 
SS 1
também é LI 
e) Se 
VvvvS n  },...,,{ 211
é LI e 
VwvvvS n  },,...,,{ 21
é LD então 
nnvvvw   ...2211
 
 
 
 
Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos: 
a) 
)2,2(
912
63
34
21
M


















 
b) 
2)}3,1(),1,2{( 
 
c) 
2
222 }743,32,21{ Pxxxxxx 
 
15 
 
9 Base de um Espaço Vetorial 
 Agora queremos encontrar dentro de um espaço vetorial V um conjunto finito 
de vetores, tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles. 
Queremos determinar um conjunto de vetores que gere V tal que todos os elementos 
sejam realmente necessários para gerar V. Se pudermos encontrar tais vetores, 
teremos os alicerces do nosso espaço, com estes vetores fazendo o mesmo papel 
que i,j,k na Geometria Analítica no espaço. Chamaremos um conjunto desse tipo de 
base. 
 
Definição: Um conjunto  Vvvv n  ,...,, 21
 é uma base do Espaço Vetorial se: 
a) 

 é linearmente independente (L.I) 
b) 

 gera V (

 é gerador de V, ou seja, 
Vvvv n  ],...,,[ 21
). 
 
Observações: 
1) Quando 
)}1,0(),0,1{(
então 

é uma base de 
2
, denominada canônica. De 
fato: 
a) 

é LI pois 
00)1,0()0,1( 2121   
b) 
)1,0()0,1(),(,),( 2 yxyxyx 
 
2) De forma análoga temos que: 
)}1,...,0,0(,),0,...,1,0(),0,...,0,1{(  é uma base do n denominada base canônica 
3) Para 
}1{
então temos a base canônica do 

 
 
Exemplos 
1) Dado 
 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(B
verifique se B é base de 
3
. 
 
 
 
2) Seja 
 )1,1(),1,1( A
é base de 
2
 
 
 
 
3) Verifique se o conjunto 
 )2,0(),1,0(
é base de 
2
 
 
 
16 
 
 
4) O conjunto 
 nxxx ,...,,,1 2
é base do espaço vetorial 
nP
. Verifique. 
 
Observação: Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele 
gerado. 
Exemplo: Seja 
3)}0,3,1(),1,2,1{(  é LI e gera o subespaço 
}03/),,{( 3  zyxzyxS
então 

 é uma base de S. 
 
Teorema:Se
},...,,{ 21 nvvv
é uma base de um espaço vetorial V então todo 
conjunto com mais de n vetores é LD. 
De fato, 
Seja 
},...,,{ 21
'
mwww
um conjunto de m vetores de V, com m > n. Queremos 
mostrar que 
'
 é LD. Sejam 
mxxx ,...,, 21
não todos nulos tais que: 
 
0,...,2211  mmwxwxwx
 (01) 
Como 

é uma base de V e 
Vw  '1 
 então 
iii  ,...,,
 tal que 
 
12211
22112
22111
...
...
...
...
nnn
nn
nn
vvvw
vvvw
vvvw








 (02) 
 
Substituindo (02) em (01) e ordenando os termos: 
 
0),...,(
),...,(
),...,(
21
222212
112111



nmnnn
m
m
vxxx
vxxx
vxxx




 (03) 
 
Como os vetores 
},...,,{ 21 nvvv
são uma base para V então eles são LI. Logo: 
 











0...
0..
0
0
21
22212
12111
mnn
m
m
nxxx
xxx
xxx







 
Sendo m > n, o sistema admite mais de uma solução, além da solução trivial. 
17 
 
},...,,{' 21 nwww
é LD. 
 
Corolário: Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de 
vetores. 
De fato, sejam: 
},...,,{ 21 nvvvA 
e 
},...,,{ 21 mwwwB 
duas bases para V. 
Como A é base e B é LI 
mn 
 
Como B é base e A é LI 
nm 
 
Então m = n 
 
Teorema: Seja 
V
um espaço vetorial tal que 
nV )dim(
 então: 
a) qualquer conjunto com 
1n
ou mais vetores é LD. 
b) qualquer conjunto LI com 
n
 vetores é base de 
V
 
 
Exemplos 
1) A base canônica do 
3
tem três vetores. Logo, qualquer outra base do 
3
 terá 
também três vetores. 
2) A base canônica de M(2 , 2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de M(2 , 2) 
terá quatro vetores. 
 
 
 1) Verifique se 

é uma base de 
2
 
a) 
)}3,3(),1,1{( 
 
b) 
)}1,1{( 
 
2) Seja 































10
00
,
01
00
,
00
10
,
10
01
Mostre que 

é uma base para M2x2( ) 
 
 
 
 
18 
 
9 DIMENSÃO 
Definição: A dimensão de um espaço vetorial V não nulo é o número de vetores de 
uma base para V, ou seja, se V possui uma base com n vetores, então V tem 
dimensão n e adota-se 
nV dim
. 
Se V não possui uma base, ou seja, a base é 

 então 
0dim V
(por exemplo 
}0{V
 é LD). 
Se V possui uma base com infinitos vetores então 
Vdim
é infinita e adota-se 
Vdim
. 
 
Exemplos 
1) 
2dim 2 
pois toda a base de 
2
tem dois vetores 
2) 
nmnmM .),(dim 
 
3) 
4)2,2(dim M
 
4) 
1 ndiimPn
 
A dimensão de qualquer subespaço W do 
3
só poderá ser 0,1,2 ou 3. Temos os 
seguintes casos: 
1) 
0dim W
 então W = {0} é a origem 
2) 
1dim W
 então W é uma reta que passa pela origem 
3) 
2dim W
 então W é um plano que passa pela origem 
4) 
3dim W
então W = 
3
 
5) Seja o conjunto 
 )3,1(),1,2( 
é uma base do 
2
.De fato, a 
2dim 2 
e os 
dois vetores dados são LI pois nenhum vetor é múltiplo escalar do outro eles forma 
uma base do 
2
. 
6) Determine uma base e a dimensão para o polinômio 
2,1,12  xxx
, para que 
este seja base de 
 2P
 
 
Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Qualquer conjunto de vetores LI 
em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V. 
19 
 
 
Exemplo: Sejam 
)2,0,1(1v
 
)3,1,0(2 v
. Complete o conjunto 
},{ 21 vv
de modo a formar 
uma base do 
3
. 
 
Teorema: Se 
WU e 
são subespaços de uma espaço vetorial 
V
 que tem dimensão 
finita então 
VU dimdim 
 e 
VW dimdim 
. Além disso, 
)dim(dimdim)dim( WUWUWU 
 
 
 
Sejam os vetores 
)3,2,1(1v
, 
)2,1,0(2v
 
)1,0,0(3v
. Mostrar que o conjunto 
},,{ 321 vvvB 
é uma base do 
3
 
 
20 
 
10 COORDENADAS 
Definição: Seja V um espaço vetorial gerado e 

 uma base de V formada pelos 
vetores 
nuuu ,...,, 21
. Em que 
Vv
 sendo 
nnuxuxuxv  ...21211
 os coeficientes 
nxxx ..., 21
 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação a base 

e 
se representa por: 
 















nx
x
x
v

2
1
 
Exemplos 
1) No 
2
consideremos as bases 
 )1,0(),0,1(
 
 )3,1(),0,2(
 
 )4,2(),3,1( 
.Dado o vetor v = (8,6). Encontre as coordenadas de v em relação a 
 ,,
 
 
 
 
2) Mostre que os vetores 
)1,0,0(),1,1,0(),1,1,1(
formam uma base de 
3
. Encontre as 
coordenadas de 
3)0,2,1( 
com relação a base 

formada pelos vetores acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
11 MUDANÇA DE BASE 
 Em um problema de Física (cinemática ou estática) torna-se muito mais 
simples se for escolhido um referencial conveniente para descrever o movimento. Por 
exemplo, num problema em que um corpo se move no plano xy, cuja a trajetória é 
uma elipse de equação 
0322  yxyx
a descrição do movimento torna-se 
simplificado se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y (isto é, o referencial 
determinado pela base formada por i e j) utilizamos um referencial que se apoia nos 
eixos principais da elipse. 
 
 Neste novo referencial a equação da trajetória será mais simples: 
623
2
1
2
1  yx
. Desta forma, temos duas questões a resolver: 
1) Como escolher o novo referencial? 
2) Uma vez escolhido qual a relação entre as coordenadas de um ponto no antigo 
referencial e suas coordenadas no novo? 
Então como mudar de um sistema de coordenada para outro. 
 Sejam 
 nuu ,...,1
 e 
 nww ,...,' 1
 duas bases ordenadas de um mesmo 
espaço vetorial V. Dado um vetor 
Vv
 podemos escrevê-lo como: 
 
 
 
Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação a base 

. 
 













nx
x
x
v

2
1
 
Com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base 
'
 
 













ny
y
y
v

21
' 
Já que 
 nuu ,...,1
é base de V, podemos escrever os vetores wi como combinação 
linear dos uj, isto é, 
nn
nn
wywyv
uxuxv


...
...
11
11
 (1) 
22 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (1) temos: 
nnn
nnnnnnnnnn
uyayaya
uauauayuauauaywywyv
)...(
)...(...)...(...
1221111
22111221111111


Mas, 
nnuxuxv  ...11
e como as coordenadas em relação a base são únicas, 
temos: 
nnnnnn
nn
nn
yayayax
yayayax
yayayax



...
...
...
2211
22221212
12121111

 
Em forma matricial: 

































nnnn
n
n
y
y
aa
aa
x
x
x


1
1
111
2
1
...
...
 
Logo, se usarmos a notação 
 











nnn
n
aa
aa
I
...
...
1
111
' 
 
Temos a relação: 
      '
'


 vIv 
 
A matriz 
  'I
é chamada matriz mudança de base 

’ para a base 

. 
Compare 
  'I
com (2) e observe que esta matriz é obtida colocando as coordenadas 
em relação a 

 de wi na i-ésima coluna. Note que uma vez obtida 
  'I
podemos 
encontrar as coordenadas de qualquer vetor em relação à base 

, multiplicando a 
matriz pelas coordenadas de v na base 

’. 
 
 
nnnnnn
nn
nn
uauauaw
uauauaw
uauauaw



...
...
...
2211
22221122
12121111

 
(2) 
23 
 
Exemplos 
1) Sejam 
 )4,3(),1,2( 
 e 

’=
 )1,0(),0,1(
bases de 
2
. Encontre 
  'I
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Use a matriz mudança de base para encontrar as coordenadas de v em relação à 
base 

 em que 
 v
 sendo v = (5, -8) 
 
 
 
 
 
 
 
3) Considere as bases em 
3
. 
 )2,1,1(),1,1,1(),1,0,1(
 e 

’ 
 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(
. 
Encontre 
  'I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
12 INVERSA DA MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE 
Se em (1) começarmos escrevendo os ui em função dos wj chegaremos à relação: 
     

 vIv '' 
 
Um fato importante é que as matrizes 
  'I  

 'I
são inversíveis e 
      '
1'
II 

 
Exemplo 
1) No exemplo anterior podemos obter 
  'I
 a partir de 
   'I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
13 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS 
Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de V x V em 

que todo par de vetores 
VxVvu ),(
 associa um número real indicado por 
vu.
 ou 
 vu,
 tal que os seguintes axiomas sejam verificados: 
1) 
uvvu .. 
 
2) 
wuvuwvu ..).( 
 
3) 
)..()..( vuvu  
 

 
4) 
0. uu
e 
00.  uuu
 
 
Observações: 
a) O número real u.v é chamado produto interno dos vetores u e v. 
b) Dos quatro axiomas da definição acima decorrem as propriedades: 
I) 
00..0  uu
 
Vu
 
II) 
wvwuwvu ..).( 
 
III) 
)..()..( vuvu  
 
IV) 
nn uvuvvuvvvu  ....)...( 2121
 
 
Exemplos 
1) No espaço vetorial 
2V
, a função que associa a cada par de vetores 
),( 11 yxu 
 
e 
),( 22 yxv 
 o número real 
2121 4.3. yyxxvu 
é um produto interno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Observações 
1) O produto interno que acabamos de apresentar é diferente do produto interno usual 
no 
3
. Este seria definido por: 
2121. yyxxvu 
donde se depreende ser possível a 
existência de mais de um produto interno num mesmo espaço vetorial. 
2) Se 
),,( 111 zyxu 
 e 
),,( 222 zyxv 
 são vetores quaisquer do 
3
o número real 
212121. zzyyxxvu 
 define o produto interno usual no 
3
. De forma análoga, 
nn yxyxyxvu  .... 2211
define o produto interno usual no 
n
. 
3) Sejam 
2PV 
 e 
01
2
2 axaxap  01
2
2 bxbxbq 
vetores quaisquer de P2. A 
fórmula 
001122. bababaqp 
 define um produto interno em P2. 
 
Exemplo 
Seja 
2.4.3 2  xxp
 e 
1.3.2 2  xxq
então 
8)1(23).4(2.3. qp
 
Note que: 
1122. babaqp 
 não define, sobre V um produto interno. Nesse caso, falha 
o axioma P4, pois existem polinômios 
Vp
tais que p.p=0 sem que p=0. Por exemplo 
300 2  xxp
 
 
4) Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo 
 ba,
. Se f e g pertencem 
a V, 

b
a
dxxgxfgf )().(.
 define sobre V um produto interno. 
5) O número 
2
2
1
2
212. yyxxvu 
sendo 
),( 11 yxu 
 
),( 22 yxv 
não define no 
2
um 
produto interno. Nesse caso não se verificam os axiomas P2 e P3. Considerando o 
axioma P3, tem-se: 
2
2
1
22
212211 2),).(,()..( yyxxyxyxvu   enquanto 
2
2
1
2
212
2
1
2
21 2)2()..( yyxxyyxxvu   
Portanto: 
)..()..( vuvu  
 
 
Exemplos 
1) Em relação ao produto usual do 
2
calcular u.v, dados: 
a) u = (-3,4) v=(5,-2) 
 
 
b) u = (6,-1) v = (1/2,-4) 
27 
 
2) Para os mesmos vetores do exercício anterior, calcular u.v em relação ao produto 
interno do exemplo 1. 
2121 ..4..3. yyxxvu 
 
 
 
 
3) Consideremos o 
3
munido do produto interno usual. Sendo v1= (1,2,3) 
v2 = (3,-1,-1) v3 = (2,-2,0) de 3 . Determinar o vetor u tal que u.v1 = 4, u.v2 =6 
u.v3=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Seja 
  fécontinuafV ;1,0: 
o espaço vetorial munido do produto interno: 

1
0
)().(. dttgtfgf
. Determinar h1.h2 e h1.h1 tais que h1 e h2  V e h1(t)=t e h2(t)=t
2 
a) h1.h2 
 
 
 
 
b) h1.h1 
 
 
28 
 
14 ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO 
Um espaço vetorial real de dimensão finita, no qual está definido um produto 
interno é um espaço vetorial euclidiano. 
 
- Módulo de um vetor 
Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V chama-se módulo, norma ou 
comprimento de v o número real não negativo indicado por 
v
definido por: 
vvv .
 
Note que: Se 
),( 1,11 zyxu 
for um vetor do 
3
com produto interno usual tem-se: 
1
2
1
2
1
2
111111 ),,).(,,( zyxzyxzyxv 
 
 
Distância entre dois vetores 
Chama-se distância entre dois vetores (ou pontos) u e v o número real representado 
Sendo 
),,( 111 zyxu 
 
),,( 222 zyxv 
vetores do 
3
com produto usual tem-se: 
2
21
2
21
2
21
212121
)()()(),(
),,(),(
zzyyxxvud
zzyyxxvuvud

 
 
Observações: 
1) Se 
1v
, isto é, v.v = 1, o vetor é chamado vetor unitário. Diz-se, nesse caso que v 
está normalizado. 
2) Todo vetor não nulo 
Vv
pode ser normalizado fazendo: 
v
v
u 
 
Note que: 
1
.
.
2
2
2

v
v
v
vv
v
v
v
v portanto 
v
v
é unitário 
 
Exemplo 
Consideremos o espaço 
3V
com o produto interno 
21212121 23 zzyyxxvv 
 
sendo 
),,( 1111 zyxv 
 
),,( 2222 zyxv 
. Dado o vetor 
3)2,1,2( v
em relação a 
esse produto interno tem-se: 
 
 
 
29 
 
Propriedades do módulo de um vetor 
Seja V um espaço vetorial euclidiano: 
I) 
0v
 
Vv
 
0v
 se, e somente se, v = 0 
II) 
vv  .
 
Vv 
 
III) 
vuvu .. 
 
Vvu  ,
 (Desigualdade de Schwarz ou Inequaçãode Cauchy – 
Schwarz) 
IV) 
vuvu 
 
Vvu  ,
 
 
Observação: 
Essa desigualdade, denominada desigualdade triangular vista no 
2
ou no 
3
confirma a propriedade geométrica de que num triângulo a soma dos 
comprimentos de dois lados é maior que o comprimento do terceiro lado. A igualdade 
somente ocorre quando os dois vetores u e v são colineares. 
 
Ângulo de dois vetores 
Sejam u e v vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano V a desigualdade de 
Schwarz: 
vuvu .. 
 pode ser escrita assim: 
1
.

vu
vu ou 
1
.

vu
vu
 o que implica em 
1
.
1 
vu
vu
. Por esse motivo, pode-se dizer que a fração 
vu
vu.
é igual ao cosseno de 
um ângulo 

 denominado ângulo dos vetores u e v. 
vu
vu.
cos 
 
 0
 
Exemplos 
1) Consideremos o 
3
com o produto interno usual. Determinar a componente c do 
vetor v = (6,-3,c) tal que 
7v
 
 
 
 
 
2) Seja o produto interno usual no 
3
 e no 
4
. Determine o ângulo entre os seguintes 
pares de vetores. 
a) u = (2,1,-5) v = (5,0,2) 
 
30 
 
b) u = (1,-1,2,3) v=(2,0,1,-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja V um espaço vetorial euclidiano 
Vvu ,
. Determinar o cosseno do ângulo 
entre os vetores u e v, sabendo que 
3u
 
7v
 
54 vu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
15 VETORES ORTOGONAIS 
Seja V um espaço vetorial euclidiano 
Diz-se que dois vetores u e v de V são ortogonais e se representa 
vu 
 se, e 
somente se u.v = 0. 
 
Exemplo 
Seja 
2V
um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno 
21212211 ,2,),).(,( yyxxyxyx 
. Em relação a este produto interno, os vetores 
u= (-3,2) v = (4,3) são ortogonais pois: 
u.v = -3.(4) +2.(2).(3) = 0 
 
Note que: O vetor 0 

 V é ortogonal a qualquer v 

 V, 0.v = 0 
 
Conjunto Ortogonal de Vetores 
Seja V um espaço vetorial euclidiano. 
Diz-se que um conjunto de vetores 
  Vvvv n ,...,, 21
é ortogonal se dois vetores 
quaisquer, distintos são ortogonais, isto é vivj = 0 para i  j . 
 
Exemplo 
No 
3
o conjunto 
 )3,5,1(),1,0,3(),3,2,1( 
é ortogonal em relação ao produto interno 
usual pois: 
 
 
 
Teorema 
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos 
 nvvvA ,...,, 21
é linearmente 
independente (LI). De fato: Consideremos a igualdade 
0...2211  nnvavava
 
Fazendo o produto interno de ambos os membros da igualdade por 
iv
 
iinn vvvavava .0)....( 2211 
 ou 
0).(...)(....)( 11  inniiii vvavvavva
 
Como A é ortogonal 
0. ij vv
para 
ij 
 e 
0. ii vv
 pois 
0iv
. Então 
0).( iii vva
 
implica ai=0 para i = 1,2,..., n. Logo, 
 nvvvA ,...,, 21
é LI. 
 
 
 
32 
 
Base Ortogonal 
Diz-se que uma base 
 nvv ,...,1
 de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois 
ortogonais. Temos que, no exemplo 
 )3,5,1(),1,0,3(),3,2,1( 
 é uma base ortogonal do 
3
. 
 
Base Ortonormal 
Uma base 
 nvvvB ,...,, 21
de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é 
ortogonal e todos os seus vetores são unitários, ou seja, 




1
o
vv ji
 
Exemplos 
1) 
 )1,0(),0,1(B
 é uma base ortonormal do 
2
( é a base canônica) 
2) 

























2
3
,
2
1
,
2
1
,
2
3
B
é também base ortonormal do 
2
 
3) 
 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(B
é uma base ortonormal do 
3
(é a base canônica) 
4) 
 321 ,, uuuB 
 sendo 







3
1
,
3
1
,
3
1
1u
 







6
1
,
6
1
,
6
2
2u
 







2
1
,
2
1
,03u
 é também base ortonormal do 
3
, pois 
 
 
 
 
Obs: Se v é um vetor não nulo o vetor 
v
v
é unitário. Diz-se nesse caso que v está 
normalizado. O processo que transforma v em 
v
v
chama-se normalização de v. 
Assim uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma ortogonal normalizando 
cada vetor. 
 
Exemplo 
A base 
 321 ,, uuuB 
 sendo 
)1,1,1(1 v
 
)1,1,2(2 v
 
)1,1,0(3 v
é ortogonal em 
relação ao produto interno usual. Normalizando cada vetor obtemos: 
 
para i 

 j 
para i = j 
33 
 
16 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 
Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer 
 nvvvB ,...,, 21
 
desse espaço é possível a partir dessa base determinar uma base ortogonal de V. 
De fato, supondo que 
nvvv ,...,, 21
são ortogonais considere-se w1 = v1. 
Determine o valor de 

de modo que o vetor
122 wvw 
 seja ortogonal a w1: 
11
12
111.21112
112
.
.
).(0).(.
0).(
ww
wv
wwwvwwwv
wwv






 
Substituindo o valor de 

 temos: 
1
11
12
22
.
w
ww
wv
vw 






 Assim, os vetores w1 e w2 são ortogonais. 
Por indução podemos concluir o Teorema admitindo que por esse processo, tenham 
sido obtidos (n-1) vetores 
121 ,...,, nwww
e considerar o vetor: 
112211 ... wawawavw nnnn  
 sendo 
121 ,...,, naaa
 tais que o referido vetor wn 
seja ortogonal aos vetores 
121 ,...,, nwww
. 
 Os valores de 
121 ,...,, naaa
 que aparecem em wn são: 
11
1
1
ww
wv
a n
, 
22
2
2
ww
wv
a n
, 
33
31
3
ww
wv
a n
, ... , 
11
1
1


 
nn
nn
n
ww
wv
a
 
Assim, a partir de 
 nvvvB ,...,, 21
 obtivemos a base ortogonal 
121 ,...,, nwww
. O 
processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base 
qualquer chama-se processo de ortogonalização de Gram – Schmidt. 
 Para obter uma base ortonormal, basta normalizar cada wi. Fazendo 
i
i
i
w
w
u 
 
obtemos a base 
B
'
 nuuu ,...,, 21
que é uma base ortonormal obtida a partir da base: 
 nvvvB ,...,, 21
. 
 
Obs: Tendo em vista que: 
1
1
11
1
2
1
1
11
1
11
1
1
1
)..(
1
...
w
uv
w
x
w
w
v
w
w
v
ww
w
v
ww
wv
a nnnn
n 
 
 
34 
 
1
1
11
1
2
1
1
11
1
11
1
1
3
3
33
3
2
3
3
33
3
33
3
3
2
2
22
2
2
2
2
22
2
22
2
2
1
)..(
1
...
1
)..(
1
...
1
)..(
1
...










 


n
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nn
n
nnnn
n
nnnn
n
w
uv
w
x
w
w
v
w
w
v
ww
w
v
ww
wv
a
w
uv
w
x
w
w
v
w
w
v
ww
w
v
ww
wv
a
w
uv
w
x
w
w
v
w
w
v
ww
w
v
ww
wv
a

 
Os vetores 
nwww ,...,, 21
 podem ser expressos do seguinte modo: 
I) 
11 vw 
 
II) 
11222
1
1
122122
)..(
)..(.
uuvvw
w
w
uvvwavw

 
III) 
11.211
11322333
1
1
13
2
2
2333
112233
)..().(...)..(
).()..(
)..()..(
.
uuvuvuuvvw
uuvuuvvw
w
w
uv
w
w
uvvw
wawavw
nnnnnnn 




 
 
Exemplo 
Sejam 
)1,1,1(1 v
 
)1,1,0(2 v
 
)1,0,0(3 v
 vetores do 
3
. Esses vetores constituem 
uma base 
 321 ,, vvvB 
 não ortogonal em relação ao produto interno usual. 
Pretendemosobter a partir de B, uma base B’ 
 321 ,, uuu
que seja ortonormal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
1) Determinar o valor de m para que os vetores 
)3,,2(  mu
 
)4,2,1(  mv
sejam 
ortogonais em relação ao produto interno usual do 
3
 
 
2) Seja 
3V
e o produto interno 
212121222111 32),,).(,,( zzyyxxzyxzyx 
 
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
)1,2,1(u
e 
)1,1,1(v
 
 
3) Construir a partir do vetor 
)1,2,1(1 v
 uma base ortogonal do 
3
 relativamente ao 
produto interno usual e obter, a partir dela uma base ortonormal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
1) Seja V o espaço vetorial 
n
. Qual é o vetor nulo de V e o que é 
),...,,( 21 nxxx
? 
2) Mostre que os seguintes subconjuntos do 
4
 são subespaços do 
4
: 
a) 
}03/),,,{( 4  zyxtzyxW
 
b) 
02/),,,{( 4  zyxtzyxK
 
}0t
 
c) Seja 
3V
 e 
}2/),,{( yxzzyxS 
 
d) Seja 
3V
 e 
2/),,{(  xyzyxR }0z
 
 
3) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) 
a) 









 dcba
dc
ba
V ,,,
 e 
cb 
 
b) 









 dcba
dc
ba
W ,,,
e 
1 cb
 
 
4) Sejam vetores 
)2,3,2( u
e 
)4,2,1(v
em 
3
: 
a) Escreva 
)2,11,7( W
 como combinação linear de u e v. 
b) O vetor (2,-5,4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Por quê? 
c) Para que valor de k, 
),14,8( kW 
é uma combinação linear de u e v? 
 
5) Consideremos no espaço 
},,/.{ 22  cbacbttaP
os vetores 
1221  ttp
 
22  tp
 
ttp  23 2
. 
a) Escrever o vetor 
755 2  ttp
como combinação linear de 
321 ,, ppp
 
b) Escrever o vetor 
755 2  ttp
como combinação de 
1p
e 
2p
 
c) É possível escrever 
1p
como combinação linear de 
2p
e 
3p
 
 
6) Escrever o vetor 
20 
como combinação linear dos vetores: 
a) 
)3,1(1 v
 e 
)6,2(2 v
 
b) 
)3,1(1 v
 e 
)5,2(2 v
 
 
37 
 
7) Expressar o vetor 
)6,4,4,1( u
 como combinação linear dos vetores 
)0,1,3,3(1 v
 
)2,1,1,0(2 v
 
)0,0,1,1(3 v
 
 
8) Classificar os seguintes subconjuntos do 
3
em L.I ou L.D. 
a) 
)}3,1,2{( 
 
b) 
)}1,1,1(),1,1,1{( 
 
c) 
)}0,5,3(),0,3,1(),0,1,2{( 
 
d) 
)}2,5,1(),0,0,0(),3,1,2{(
 
e) 
)}0,3,1(),2,4,2(),1,2,1{( 
 
f) 
)}3,0,1(),1,1,2(),2,1,1{( 
 
g) 
)}2,1,3(),2,1,0(),0,0,1(),1,2,1{( 
 
 
9) Determinar o valor de k para que seja L.I o conjunto 
)}0,2,(),1,1,1(),2,0,1{(  k
 
 
10) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de 
2
 
a) 
)}3,1(),2,1{( 
 
b) 
)}8,4(),6,3{( 
 
c) 
)}3,2(),1,3{( 
 
 
11) Para que valores de K o conjunto 
)}4,(),,1{( kk
é base do 
2
 
 
12) O conjunto 
}143,32,{ 2323  ttttttA
é base de P3? Justifique: 
 
13) Determinar o vetor coordenada de 
)2,6(v
em relação às seguintes bases. 
a) 
)}2,0(),0,3{(
 
b) 
)}1,2(),2,1{(
 
c) 
)}1,0(),0,1{(
 
d) 
)}0,1(),1,0{(
 
 
14) No espaço vetorial 
3
 consideremos a seguinte base 
)}1,1,1(),0,1,0(),0,0,1{(  . 
Determinar o vetor coordenada de 
3v
em relação a base 

 se: 
a) 
)4,3,2( v
 
38 
 
b) 
)6,5,3(v
 
c) 
)1,1,1( v
 
 
15) Seja 
},2,3{ 2xxA 
uma base de P2. Determinar o vetor coordenada de 
2346 xxv 
 em relação a base A. 
 
16) Sejam 
)}1,0(),0,1{(
 
)}1,1(),1,1{(1 
 
)}1,3(),1,3{(2 
 
)}2,0(),0,2{(3 
bases ordenadas de 
2
 
a) Ache as matrizes de mudança de base 
i) 

1][I
 
ii) 
1
][ 
I
 
iii) 
2][ 
I
 
iv) 
3][ 
I
 
 
b) Quais são as coordenadas do vetor 
)2,3( v
em relação à base: 
i) 

 
ii) 
1
 
iii) 
2
 
iv) 
3
 
 
c) As coordenadas de um vetor v em relação à base 
1
 são dados por 







0
4
][
1
v
 
Quais são as coordenadas de v em relação à base: 
i) 

 
ii) 
2
 
 
17) Sejam 
),( 11 yxu 
 e 
),( 22 yxv 
. Mostrar que cada operação a seguir define um 
produto interno no 
2
 
a) 
2121. yyxxvu 
 
b) 
2121 52. yyxxvu 
 
 
 
39 
 
18) Calcular o produto interno dos vetores 
)1,1(u
e 
)2,3(v
segundo cada produto 
do exercício 17 
 
19) Consideremos o seguinte produto interno em 
0011222 .: bababaqpP 
sendo 
01
2
2 axaxap 
 e 
01
2
2 bxbxbq 
. Dados os vetores 
3221  xxp
 
432  xp
e 
2
3 1 xp 
, calcular: 
a) 
21 pp
 
b) 
31 pep
 
c) 
21 pp 
 
d) 
2
2
p
p
 
e) cosseno do ângulo entre 
2p
e 
3p
 
 
20) Se 







11
11
dc
ba
u
 







22
22
dc
ba
v
 são matrizes quaisquer de M(2,2) a seguinte 
fórmula define um produto interno nesse espaço: 
21212121. ddccbbaavu 
 
Dados os vetores 








11
21
u
 







11
10
v
 determinam: 
a) 
vu 
 
b) o ângulo entre u e v 
 
21) Consideremos o 
3
 o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e 
v são ortogonais? 
a) 
),2,3( mmu 
 e 
)5,1,4(v
 
b) 
)4,1,0(  mu
e 
)1,1,5(  mv