estimadores regressão NOTA DE AULA 4

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CAMPUS ALTA FLORESTA 
FACULDADE DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS E AGRÁRIAS 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FLORESTAIS 
 
 
 
 
 
 
INVENTÁRIO FLORESTAL 
Nota de aula IV 
 
 
Prof.: Vinícius Augusto Morais 
 viniciusmorais@unemat.br 
Lattes: http://lattes.cnpq.br/9860717809502990 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALTA FLORESTA - MT 
2016/1
1 
 
 
7. ESTIMADORES DE RAZÃO E REGRESSÃO 
 Na ACS as estimativas foram realizadas com base na variável de interesse y. Entretanto, existem 
situações em que variáveis auxiliares podem contribuir para melhoria da estimativa da média da 
população. 
 
7.1. COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO 
 Comumente obtemos informações sobre duas ou mais características de interesse em um 
levantamento. Podemos conhecer a correlação simples entre essas características, para tanto, 
utilizamos a análise de correlação ou covariância. Existindo a correlação podemos determinar qual sua 
magnitude. 
Fornece estimativas tendenciosas, embora para amostras maiores este viés possa ser negligenciado. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Covariância 
 
𝑪𝑶𝑽𝒙𝒚 = 
∑ 𝒙𝒚 − 
∑ 𝒙 ∑ 𝒚
𝒏
𝒏 − 𝟏
 
 
A covariância gera resultados na mesma unidade das variáveis envolvidas no cálculo. Portanto, é de 
difícil interpretação. 
b) Correlação 
𝝆 = 
𝑪𝑶𝑽𝑿𝒀
√𝑺𝑿
𝟐 ∗ 𝑺𝒀
𝟐
 
 
Nada mais é que a padronização da covariância. É adimensional e gera valores entre -1 e 1. 
y 
x x x 
y y 
2 
 
 
Ex.: Calcule a correlação entre a altura (y) e DAP (x) de 8 árvores medidas em um plantio de eucalipto. 
Árvore DAP (x) (cm) Altura (y) (m) x*y 
1 32,56 25,30 
2 30,20 22,00 
3 29,00 23,00 
4 28,30 24,00 
5 32,00 21,00 
6 33,40 26,00 
7 33,70 20,50 
8 25,80 22,30 
Total 
 
7.2. RAZÃO 
 É utilizada quando: 
 existem parcelas com áreas desiguais; 
 existe forte correlação entre a variável de interesse e auxiliar (ρ ≥ 0,9 ou ≤ -0,9 pode ser 
considerada forte); 
 a linha de regressão passa pela origem (β0 = 0); 
 a área da floresta é conhecida. 
7.2.1. Estimadores 
 Calculo de Betas (β's) 
a) 𝛽0 
𝛽0 = �̅� − 𝛽1 ∗ �̅� 
 
b1) �̅� = área média da parcela a partir da amostra 
 
𝜇�̅� = �̅� = 
∑ 𝑥
𝑛
 
 
 
 
b2) �̅� = área média da parcela a partir da população 
 
𝜇�̅� = �̅� = 
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑁
 
 
 
c) �̅� 
�̅� =
∑ 𝑦
𝑛
 
 
3 
 
 
d) 𝛽1 
𝛽1 = 
∑ 𝑥𝑦 − 
∑ 𝑥 ∗ ∑ 𝑦
𝑛
∑ 𝑥2 − 
(∑ 𝑥)²
𝑛
 
 
a) RAZÃO DA ESTIMATIVA 
�̅� = 
∑ 𝒚𝒊
∑ 𝒙𝒊
 
yi = valores de volume em m³ 
xi = tamanho das parcelas em ha 
 
b) VARIÂNCIA 
𝑺�̂�
𝟐 = 
∑(𝒚𝒊 − �̅�𝒙𝒊)²
𝒏 − 𝟏
= 
𝟏
𝒏 − 𝟏
∗ [∑ 𝒚𝒊
𝟐 − ( 𝟐 ∗ �̅� ∗ ∑ 𝒚𝒊𝒙𝒊) + (𝑹 ̅
𝟐 ∗ ∑ 𝒙𝒊
𝟐)] 
 
Obs.: A razão nada mais é que uma fração de correção de cada dado observado. 
 
c) DESVIO PADRÃO 
𝑺�̂� = √𝑺�̂�
𝟐 
d) VARIÂNCIA DA MÉDIA 
 
 𝑺
�̅̂�
𝟐 = (
𝑵 − 𝒏
𝑵
) ∗ (
𝟏
𝒏
) ∗ 
𝑺�̂�
𝟐
�̅�𝟐
 
 
�̅� = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 (𝜇𝑥) 
N = número total de parcelas cabíveis na população 
 
e) DESVIO PADRÃO DA MÉDIA (precisão) 
 𝑺�̅̂� = √𝑺�̅̂�
𝟐 
 
f) ERRO DO INVENTÁRIO 
4 
 
𝑬 = 𝒕 ∗ 𝑺�̅̂� 
𝑬% = 
𝒕 ∗ 𝑺�̅̂�
�̅�
∗ 𝟏𝟎𝟎 
 
g) INTERVALO DE CONFIANÇA 
𝝁 ∶ 𝑹 ̂ ∓ 𝒕 ∗ 𝑺�̅̂� 
 
𝑹 ̂ − 𝒕 ∗ 𝑺�̅̂� ≤ 𝝁 ≤ 𝑹 ̂ + 𝒕 ∗ 𝑺�̅̂� 
 
7.3. REGRESSÃO 
 É utilizada quando: 
 existem parcelas com áreas desiguais; 
 a correlação não é forte entre a variável de interesse e auxiliar (ρ ≥ 0,6 e < 0,9 ou ρ ≤ -0,6 e > - 
0,9); 
 a linha de regressão não passa pela origem (β0 ≠ 0) 
 a área da floresta é conhecida. 
Obs.: Se a correlação for: > - 0,6 e < 0,6 (fraca) não utilizar Razão ou Regressão, processar como ACS. 
7.3.1. Estimadores 
a) MÉDIA AJUSTADA 
�̅̂�𝑟𝑒𝑔 = �̅� + 𝛽1 ∗ (𝑋 ̅ − �̅�) 
�̅� = á𝑟𝑒𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
�̅� = á𝑟𝑒𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
b) VARIÂNCIA 
𝑺𝒓𝒆𝒈
𝟐 = 
𝟏
𝒏 − 𝟐
∗ {[∑ 𝒚² − 
(∑ 𝒚)²
𝒏
] − [𝜷𝟏 ∗ (∑ 𝒙𝒚 − 
∑ 𝒙 ∗ ∑ 𝒚
𝒏
)]} 
 
c) VARIÂNCIA DA MÉDIA 
𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅
𝟐 = (
𝑵 − 𝒏
𝑵
) ∗ 
𝑺𝒓𝒆𝒈
𝟐
𝒏
 
 
d) DESVIO PADRÃO DA MÉDIA 
𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅ = √𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅
𝟐 
5 
 
e) ERRO DO INVENTÁRIO 
𝑬 = 𝒕 ∗ 𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅ 
𝑬% = 
𝒕 ∗ 𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅
𝒀𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅̅
∗ 𝟏𝟎𝟎 
 
g) INTERVALO DE CONFIANÇA 
𝝁 ∶ �̅̂�𝑟𝑒𝑔 ∓ 𝒕 ∗ 𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅ 
 
�̅̂�𝑟𝑒𝑔 − 𝒕 ∗ 𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅ ≤ 𝝁 ≤ �̅̂�𝑟𝑒𝑔 + 𝒕 ∗ 𝑺𝒓𝒆𝒈̅̅ ̅̅ ̅ 
 
7.4.1 APLICAÇÃO 1 (Razão ou regressão?) 
 Deseja- se inventariar uma área de 28,65 ha de Cerrado. As parcelas terão formato de faixas com 
largura fixa de 10 metros e comprimento variável. Conforme revisão de literatura, para parcelas de 100 
m² o CV é de 38%. O erro máximo admitido é de 1,5% com 95% de probabilidade de acerto. A área tem 
2540 metros de largura. 
Parcela x (ha) y (m³) x² y² xy 
1 0,0900 7,9 0,00810 62,41 0,7110 
2 0,1200 9,0 0,01440 81,00 1,0800 
3 0,0950 8,1 0,00903 65,61 0,7695 
4 0,1100 9,0 0,01210 81,00 0,9900 
5 0,1250 9,1 0,01563 82,81 1,1375 
6 0,0800 6,9 0,00640 47,61 0,5520 
7 0,0800 6,9 0,00640 47,61 0,5520 
8 0,0820 6,8 0,00672 46,24 0,5576 
9 0,0986 8,2 0,00972 67,24 0,8085 
10 0,1000 8,7 0,01000 75,69 0,8700 
11 0,1020 8,8 0,01040 77,44 0,8976 
12 0,1023 9,0 0,01047 81,00 0,9207 
13 0,1254 9,0 0,01573 81,00 1,1286 
14 0,0951 8,2 0,00904 67,24 0,7798 
15 0,0963 8,0 0,00927 64,00 0,7704 
16 0,0862 7,6 0,00743 57,76 0,6551 
17 0,0842 7,5 0,00709 56,25 0,6315 
18 0,0852 7,5 0,00726 56,25 0,6390 
19 0,0882 7,7 0,00778 59,29 0,6791 
20 0,0954 8,1 0,00910 65,61 0,7727 
21 0,0964 8,1 0,00929 65,61 0,7808 
22 0,0892 7,0 0,00796 49,00 0,6244 
23 0,1025 8,8 0,01051 77,44 0,9020 
24 0,1200 9,6 0,01440 92,16 1,1520 
25 0,0900 7,1 0,00810 50,41 0,6390 
 
7.4.2 APLICAÇÃO 2 
Para aplicação do outro método, não utilizado na aplicação 1, para fins didáticos utilizaremos os 
mesmos dados da aplicação 1, mesmo sem atender os pressupostos do método.