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2 1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 1yx2 1xylnz g) )yxarccos(z e) x 1yxlnz c) 2y 1 1x 1z a) 2 22 2 +− −−= −= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= −+−= 22 xy1 22 2 2 )yx(11z h) ez f) yx xyz d) )yxln(.4yz b) −−−= = − −= −−= − 2) Determine o domínio, trace as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= −−=+= =−−= −−=+= )0,0()y,x( se ; 0 )0,0()y,x( se ; yx 1 )y,x(f g) y4x28)y,x(f f) yx)y,x(f e) x)y,x(f d) yx16)y,x(f c) yx16)y,x(f b) y4x9)y,x(f )a 22 22 222 2222 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (1,3) 3) Determine os limites a seguir: x ( 4)( )a) lim b) lim c) lim ( 1) ( 3)x y x y x y x x y y x y x y x xy x y x yx y→ → → − + − + − + + − + −+ )3,1(P e x4y se ; 2 x 4y se ; )3y()1x( )xyx)(4yx( y)f(x, )e )1,0(P e 1y xy2)y,x(f d) (2,0)P e y)2x(2 )2x(y)y,x(f c) (0,0)P e yx xy )y,x(f b) (0,0)P e )yx( xy2yx3x)y,x(f a) :se existe não )y,x(flim que Mostre 4) o 2 oo oo 2 33 43 222 3224 o PP ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −≠−+− +−+ = −=+− −−= +=+ ++= → o o o 2 2 5) Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados: a) ( , ) ln( . ) ; P (1,2) b) ( , ) cos( ) ; P (0,1) c) ( , ) 4 ; P (1, x xf x y e x y f x y x y f x y arctg x y π= = + = − o o 1 2 2 2 2 2 1) d) ( , , ) (sen ) tan ; P (4, , ) 4 4 3 2 ; se e) ( , ) ; P (1,0) e P (1,1) 3 ; se f x y z x y z x y y x f x y x y y x π π= + ⎧ + ≠⎪= −⎨⎪ =⎩ 6) Considere a função . Mostre que z xy x y x z x y z y z= + + = 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ . 4 7) Seja :IR IR uma função de uma variável real, diferenciável e tal que '(1)=4. Seja ( , ) ( ). Calcule: a) (1,1) b) (1,1) xg x y y g g x y φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ → = 48) Considere a função dada por , onde ( , ). Se (1,1) 4 e (1,1) 1, calcule (1,1) zw xy z z f x y f x w x ∂ ∂ ∂ ∂ = + = = = 22 2 2 9) Seja ( , ) . Calcule: a) ( , ) b) (2,1) y t x f ff x y e dt x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∫ (1,2,2/e) ponto no ; 2y )b (1,2,2/e) ponto no ; 1= xa) :plano o com superfície dessa interseção curva uma à tangente reta da equação a Determine f).(D )2,1(P e superfície uma ye)y,x(f Seja 10) o 2x = ∈= − 11) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xoy de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é dada por T x y x y( , ) ( ) .= +10 2 2 2 Determine a taxa de variação de T em relação à distância, no ponto Po(1,2) no sentido positivo do eixo: a) OX b) OY 12) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dada por A = π.r h r2 2+ . a) Se r é mantido fixo em 3cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h, no instante em que h = 7cm. b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação a r, no instante em que r = 3cm. 13) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal de produção conjunta dado por 22 8215000),( yxyxC ++= reais. Num determinado mês, foram produzidas 2000 unidades de A e 1000 de B. a) Calcule o custo de produção neste mês. b) Determine ∂∂ ∂ ∂ C x e C y , neste mês. c) Usando o resultado do ítem b), o que é mais conveniente: aumentar a produção de A e manter a de B constante ou ao contrário? Justifique. 5 14) Numa loja, o lucro diário L é uma função do número de vendedores x, e do capital investido em mercadorias y, (y em milhares de reais). Numa certa época tem-se, L x y x y( , ) ( ) ( )= − − − −500 10 2 40 2 , em milhares de reais. a) Calcule o lucro diário se a loja tem 4 vendedores e 30.000 reais investidos. b) Calcule ∂∂ ∂ ∂ L x no ponto (4,30) e L y , no mesmo ponto. c) É mais lucrativo aumentar o número de vendedores de uma unidade mantendo o capital investido ou investir mais 1000 reais mantendo o número de vendedores? 15) Uma função f de x e y é harmônica se 2 2 2 2 0 f f x y ∂ ∂+ =∂ ∂ . Mostre que as funções a seguir são harmônicas: a f x y x y f x y arctg y x ) ( , ) ln ( , ) b) = + =2 2 16) Sendo yxyez x cossenln ⋅+= , calcule ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2z y x z x y e . 17) Encontre a diferencial total para as funções: xzyeyzxezyxf y xyxfa +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ),,( b) arcsen),( ) 18) Seja ( ) ( )232 ,, yxyxgyxf = , onde f e g são funções diferenciáveis. Sabendo-se que ( ) 161,2 = x f ∂ ∂ e ( ) ,81,2 = y f ∂ ∂ calcule as derivadas parciais de g no ponto (4,8). 19) Considere ( ) ( ) ( ).ln, 22 yxarctgxyyxf −+= ( ).3,2 calcule ) 2 xy fa ∂∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) Se , 2 , , , 0,1 3, 0,1 2 e 0,1 4, calcule.h fb x g u v uv v y h u v h u v ∂ ∂= = + = = = = −∂ ∂ ( ) ( )1,0) 1,0) v hii u fi ∂ ∂ ∂ ∂ 6 20) Se w = ( ) + ( + ), com f e g dotadas de derivadas parciais segundas, mostre que w satisfaz a equação da onda f x at g x at w t a w x − =∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 . 21) Seja ( ) ( )222,,, zyxegzyxf xyz= . Determine o valor da constante β , sabendo-se que β ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x f x y f y z f z = + . 22) Usando derivada total, resolva os seguintes problemas: a) Num dado instante, o comprimento de um lado de um retângulo é 6cm e cresce à taxa de 1cm/seg e o comprimento do outro lado é 10cm e decresce à taxa de 2 cm/seg. Encontre a taxa de variação da área do retângulo, no dado instante. b) A altura de um cilindro reto de base circular está diminuindo à taxa de 10 cm/min e o raio está aumentando à taxa de 4 cm/min. Encontre a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50cm e o raio é de 16cm. c) Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10cm e cresce à razão de 1cm/min e o comprimento do outro é 12cm e decresce à razão de 2cm/min. Encontre a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 12cm de comprimento, no dado instante. 23) Se z é função de x e y definida implicitamente pela equação ( ) ,121 =++ − zyxy z determine ( ).0,2z∇G 24) Calcule ∂∂ f u xo yoG ( , ) sendo dados: a x yy o o) , ( , ) ( , ) f (x,y) = e e u é o versor de (3,4). x2 2 1 1− = G b yo c f x y x y yo i j ) , ) ( , ) , ) ) ( , ) , ) ( , ) f (x, y) = arctg x y ; (xo e u = ( 1 2 ; (xo e u = 5 13 = = + = + 3 3 1 2 1 2 2 3 2 12 13 G G G G 25) Para cada função e o ponto indicado determine: i) Um vetor unitário na direção da derivada direcional máxima. ii) O valor máximo da derivada direcional. a) f x y x xy y Po( , ) , ( , )= − + −2 7 4 2 1 1 7 b) f x y x y y Po( , ) sen , ( , )=− −2 2 1 2 π 26) Ache um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado: a) x2 , Po b) e 2x-y , Po+ = + + =y x y2 2 1 1 2 2 4 1 2 1( , ) ( , ) 27) Uma chapa de metal aquecida está situada em um plano xy de tal modo que a temperatura T é inversamente proporcional à distânciada origem. Se a temperatura em P(3,4) é de 100º, determine a taxa de variação de T em P na direção do vetor jiu GGG += . Em que direção e sentido T cresce mais rapidamente em P? Em que direção a taxa de variação é nula? 28) O potencial elétrico V em um ponto P(x,y,z) num sistema de coordenadas retangulares é dado por V x y z= + +2 4 2 9 2 . Determine a taxa de variação de V em P(2,-1,3) na direção de P para a origem. Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de V em P. Qual a taxa máxima de variação em P? 29) Encontre a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos pontos indicados: a y z) x2 em P = (1,1,1) b) xyz = 6 no ponto cuja projeção no plano y = 0 é (1,0,3) c) cos(xy) + sen(yz) = 0 em P = (1, 6,-2) d) x3 + y3 + z - 6xy = 0 para x = y = 2 e) g(x,y) = xy em (1,1,1) + + =2 2 3 2 6 π 30) Dada a superfície x y z2 2 2 3 2 21+ + = , determine as equações dos planos tangentes que são paralelos ao plano x y z+ + =4 6 0. 31) Ache os pontos da superfície x y z x2 2 2 2 0+ − − = para os quais os planos tangentes são paralelos aos planos coordenados. 32) Encontre o vetor direção da reta tangente no ponto dado da curva C que é interseção das superfícies: 2,0)(1, ponto no 6,=2yz+3xy e 1zyxz2 x)b )61(2,5, ponto no 56,=6z+3y+4xy e 5=4z+2x+ xza) 22 −−=+− 8 33) Calcule as seguintes integrais iteradas: ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ π 4 0 2 x )y/x(1 0 1 x 1 0 1 y 2x 0 y 0 1 0 y 0 )y/x(2 1 x2 0 3 dydx3 y x f) dydx y )ysen( e) dxdye d) 2 dxdy) y xsen( )c 2 dxdye b) dydxxy )a 22 ∫ ∫ ∫ ∫π π π − 6 30 x /2 0 y 0 222 dxdy)x(sen4)y2cos( h) dydx)ysen(x )g 34) Calcule: a) ∫∫ − R dAyx 22 9 , onde R é a região do plano limitada pela circunferência x y2 2 9+ = . b) ∫∫ R dAx.sen , onde R é a região do plano limitada pelas retas y = 2x, y = x/2 e x = π. c) ∫∫ + R dAyx )cos( , onde R é a região plana limitada pelas retas y = x, x = π e y = 0. 35) Encontre (por integração dupla), a área limitada pelas curvas: 2223 x9=y e 9x=y b) x=y e x=y a) −− 36) Calcule de duas maneiras ∫∫ R xydA , onde R é a região do plano xoy limitada por x.2y e xy 2 +== 37) Encontre (por integração dupla), o volume do sólido: a) no 1° octante limitado pelo plano z = 8 - x - 2y b) abaixo do plano z = 4y e acima do círculo x y2 2 16+ = no plano xy. c) limitado pelos cilindros x y z2 2 4 2 4+ = + = e x2 d) limitado por x a y b z c + + = 1 ; x = 0, y = 0 e z = 0. e) situado no 10 octante e limitado por 0. xe2x y ,y4z 2 ==−= f) situado no 10 octante e limitado por 1. xe x2y ,0y ,y4z 2 ===−= 9 Respostas 1) 10 2) a) b) c) d) 11 e) f) g) 3) a) zero b) zero c) 4 5)a) 2 e)P(f , )2ln1(e)P(f oyox =+= 0)P(f , 1)P(f )b oyox =−= c)fx Po Po( ) ( )= = −33 3 12 , fy 1)P(f , 1)P(f , 4 1)P(f )d ozoyox === )P(f e )P(f , 5)P(f , 0)P(f )e 1y1xoyox ∃/∃/== 7) a) 4 b) - 4 8) 17 9) a) − −2 4xe x b) 4 4e− 10) a) ⎩⎨ ⎧ = = ezy x 1 b) ⎩⎨ ⎧ =+ = 64 2 ezx y 12 11) a) 200 b) 400 12) a) 21 58 π b) 67 58 π 13) a) 19000 b) 1;2 c) Manter B constante 14) a) R$ 364.000,00 b) 12;20 c) Investir R$1.000,00 17) 2222 xyy xdy xy dx )a − − − b) ( ) ( ) ( )eyz yzexz dx xzeyz exz dy xyeyz xyexz dz+ + + + + 18) 2)8,4( v g e 10)8,4( u g −=∂ ∂=∂ ∂ 19) 2)3,2( xy f)a 2 =∂∂ ∂ 54)1,0( v hii) 6 17)1,0( u fi) )b −=∂ ∂=∂ ∂ 21) 2=β 22)a) -2cm2/seg b) 3840πcm3/min c) -8/61rad/min 23) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=∇ 2ln 1, 0)0,2(z G 24) a) -2/5 b) zero c) -6/169 25) a) 306 ; j 34 345i 34 343 GG − b) 2+4 ; j 24 i 24 2 π π+ π− π+ GG 26) 03yx4 ;ji4 b) 02yx ;j2i2 )a =−++=−++ GGGG 27) 0 ; ) j3-i(4 ; 12,-16)( ; 2 28 ≠λλ−− GG 28) 2996 , k54+j8i4 ; 14 178 GGG −− 29) 6 1z 4 1y 2 1x 6;3z2y x)a −=−=−=++ 9z34y21 x18;2z3y6x )b −=−=−=++ π +−= π− =π −π=π−+π 2z 18 6 y1x ; 6z18yx )c IR t);1,0,0(t)0,2,2()z,y,x( ;8z )d ∈+== IR t );1,0,1(t)1,1,1()z,y,x( ; 0xz )e ∈−+==− 30) 21z6y4x e 21z6y4x −=++=++ 31) Não existe plano tangente à superfície paralelo ao plano z = 0. Os planos tangentes à superfície nos pontos )0,1,1( e )0,1,1( − são paralelos ao plano y = 0. Os planos tangentes à superfície nos pontos )0,0,2( e )0,0,0( são paralelos ao plano x = 0. 32) )6,4,6( b) ) 6 143,107 ,66( )a −− 33) 3 83 h) 3 1 g) 3ln 3ln20 f) cos(1)1 e) 2 )1(e d) 2 2 c) 2 1 b) 42 a) 2 2 −−− −π+ 34) 864 3) b) c) 2 5 2 a π − 35) 72 b) 12 1)a 36) 8 45 37) 3 10 f) 2 e) 3 abc d) 3 128 c) 3 512 b) 3 128)a
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