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lista Calc. B

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2
 
 
1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 
1yx2
1xylnz g)
)yxarccos(z e)
 
x
1yxlnz c)
2y
1
1x
1z a)
2
22
2
+−
−−=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
−+−=
 
22
xy1
22
2
2
)yx(11z h)
ez f)
yx
xyz d)
)yxln(.4yz b)
−−−=
=
−
−=
−−=
−
 
 
 
2) Determine o domínio, trace as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+=
−−=+=
=−−=
−−=+=
)0,0()y,x( se ; 0
 )0,0()y,x( se ; 
yx
1
)y,x(f g)
 y4x28)y,x(f f) yx)y,x(f e)
x)y,x(f d) yx16)y,x(f c)
 yx16)y,x(f b) y4x9)y,x(f )a
22
 22
222
2222
 
 
3
 
3 2 2 3 2 2
2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (1,3)
3) Determine os limites a seguir:
x ( 4)( )a) lim b) lim c) lim 
( 1) ( 3)x y x y x y
x x y y x y x y x xy
x y x yx y→ → →
− + − + − +
+ − + −+
 
 
 
)3,1(P e 
x4y se ; 2
x 4y se ; 
)3y()1x(
)xyx)(4yx(
y)f(x, )e
)1,0(P e 
1y
xy2)y,x(f d) (2,0)P e 
y)2x(2
)2x(y)y,x(f c)
 
 (0,0)P e 
yx
xy
)y,x(f b) (0,0)P e 
)yx(
xy2yx3x)y,x(f a)
:se existe não )y,x(flim que Mostre 4)
o
2
oo
oo
2
33
43
222
3224
o
PP
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−≠−+−
+−+
=
−=+−
−−=
+=+
++=
→
 
o o
o
2 2
5) Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
a) ( , ) ln( . ) ; P (1,2) b) ( , ) cos( ) ; P (0,1)
c) ( , ) 4 ; P (1,
x xf x y e x y f x y x
y
f x y arctg x y
π= = +
= − o
o 1
2
2
2
2
2
1) d) ( , , ) (sen ) tan ; P (4, , )
4 4
3 2 ; se 
e) ( , ) ; P (1,0) e P (1,1)
3 ; se 
f x y z x y z
x y y x
f x y x y
y x
π π= +
⎧ + ≠⎪= −⎨⎪ =⎩
 
 
6) Considere a função . Mostre que z xy
x y
x z
x
y z
y
z= + + =
2
2 2
∂
∂
∂
∂ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
7) Seja :IR IR uma função de uma variável real, diferenciável e tal que '(1)=4. Seja ( , ) ( ). 
Calcule:
a) (1,1) b) (1,1)
xg x y
y
g g
x y
φ φ φ
∂ ∂
∂ ∂
→ =
 
 
48) Considere a função dada por , onde ( , ). Se (1,1) 4 e (1,1) 1, 
calcule (1,1)
zw xy z z f x y f
x
w
x
∂
∂
∂
∂
= + = = =
 
 
22 2
2
9) Seja ( , ) . Calcule: a) ( , ) b) (2,1)
y
t
x
f ff x y e dt x y
x y
∂ ∂
∂ ∂
−= ∫ 
 
(1,2,2/e) ponto no ; 2y )b (1,2,2/e) ponto no ; 1= xa)
:plano o com superfície dessa interseção curva uma à tangente
reta da equação a Determine f).(D )2,1(P e superfície uma ye)y,x(f Seja 10) o
2x
=
∈= −
 
 
11) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xoy de modo que a temperatura 
T no ponto (x,y) é dada por T x y x y( , ) ( ) .= +10 2 2 2 Determine a taxa de variação de T em 
relação à distância, no ponto Po(1,2) no sentido positivo do eixo: 
a) OX b) OY 
 
12) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é 
dada por A = π.r h r2 2+ . 
 
a) Se r é mantido fixo em 3cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em 
relação a h, no instante em que h = 7cm. 
 
b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em 
relação a r, no instante em que r = 3cm. 
 
13) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um 
produto B, sendo o custo mensal de produção conjunta dado por 
22 8215000),( yxyxC ++= reais. Num determinado mês, foram produzidas 2000 
unidades de A e 1000 de B. 
 
a) Calcule o custo de produção neste mês. 
 
b) Determine ∂∂
∂
∂
C
x
 e C
y
 , neste mês. 
c) Usando o resultado do ítem b), o que é mais conveniente: aumentar a produção de A e 
manter a de B constante ou ao contrário? Justifique. 
 
 
5
14) Numa loja, o lucro diário L é uma função do número de vendedores x, e do capital 
investido em mercadorias y, (y em milhares de reais). Numa certa época tem-se, 
L x y x y( , ) ( ) ( )= − − − −500 10 2 40 2 , em milhares de reais. 
 
a) Calcule o lucro diário se a loja tem 4 vendedores e 30.000 reais investidos. 
 
b) Calcule ∂∂
∂
∂
L
x
 no ponto (4,30) e L
y
, no mesmo ponto. 
 
c) É mais lucrativo aumentar o número de vendedores de uma unidade mantendo o capital 
investido ou investir mais 1000 reais mantendo o número de vendedores? 
 
15) Uma função f de x e y é harmônica se 
2 2
2 2 0
f f
x y
∂ ∂+ =∂ ∂ . Mostre que as funções a seguir 
são harmônicas: 
 
a f x y x y f x y arctg y
x
) ( , ) ln ( , ) b) = + =2 2 
 
16) Sendo yxyez x cossenln ⋅+= , calcule ∂∂ ∂
∂
∂ ∂
2 2z
y x
z
x y
 e . 
 
17) Encontre a diferencial total para as funções: 
 
xzyeyzxezyxf
y
xyxfa +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ),,( b) arcsen),( ) 
 
18) Seja ( ) ( )232 ,, yxyxgyxf = , onde f e g são funções diferenciáveis. Sabendo-se que 
( ) 161,2 =
x
f
∂
∂ e ( ) ,81,2 =
y
f
∂
∂ calcule as derivadas parciais de g no ponto (4,8). 
 
19) Considere ( ) ( ) ( ).ln, 22 yxarctgxyyxf −+= 
 
( ).3,2 calcule ) 2
xy
fa ∂∂
∂ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )) Se , 2 , , , 0,1 3, 0,1 2 e 0,1 4, calcule.h fb x g u v uv v y h u v h
u v
∂ ∂= = + = = = = −∂ ∂ 
( ) ( )1,0) 1,0)
v
hii
u
fi ∂
∂
∂
∂ 
 
 
 
 
 
6
20) Se w = ( ) + ( + ), com f e g dotadas de derivadas parciais segundas, mostre
que w satisfaz a equação da onda 
f x at g x at
w
t
a w
x
−
=∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
.
 
 
21) Seja ( ) ( )222,,, zyxegzyxf xyz= . Determine o valor da constante β , sabendo-se que 
β ∂∂
∂
∂
∂
∂ x
f
x
y f
y
z f
z
= + . 
 
22) Usando derivada total, resolva os seguintes problemas: 
 
a) Num dado instante, o comprimento de um lado de um retângulo é 6cm e cresce à taxa de 
1cm/seg e o comprimento do outro lado é 10cm e decresce à taxa de 2 cm/seg. Encontre a 
taxa de variação da área do retângulo, no dado instante. 
 
 
b) A altura de um cilindro reto de base circular está diminuindo à taxa de 10 cm/min e o 
raio está aumentando à taxa de 4 cm/min. Encontre a taxa de variação do volume no 
instante em que a altura é 50cm e o raio é de 16cm. 
 
 
c) Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10cm e 
cresce à razão de 1cm/min e o comprimento do outro é 12cm e decresce à razão de 
2cm/min. Encontre a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 
12cm de comprimento, no dado instante. 
 
 
23) Se z é função de x e y definida implicitamente pela equação ( ) ,121 =++ − zyxy z 
determine ( ).0,2z∇G 
 
24) Calcule ∂∂
f
u
xo yoG ( , ) sendo dados: 
 
a x yy o o) , ( , ) ( , ) f (x,y) = e e u é o versor de (3,4).
x2 2 1 1− = G 
b yo
c f x y
x y
yo i j
) , ) ( , ) , )
) ( , ) , ) ( , )
 f (x, y) = arctg x
y
 ; (xo e u = (
1
2
 ; (xo e u =
5
13
=
=
+
= +
3 3 1
2
1
2 2 3 2
12
13
G
G G G 
 
25) Para cada função e o ponto indicado determine: 
 i) Um vetor unitário na direção da derivada direcional máxima. 
 ii) O valor máximo da derivada direcional. 
a) f x y x xy y Po( , ) , ( , )= − + −2 7 4 2 1 1 
 
 
7
b) f x y x y y Po( , ) sen , ( , )=− −2 2 1 2
π 
 
26) Ache um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado: 
 
a) x2 , Po b) e
2x-y , Po+ = + + =y x y2 2 1 1 2 2 4 1 2 1( , ) ( , ) 
 
 
27) Uma chapa de metal aquecida está situada em um plano xy de tal modo que a 
temperatura T é inversamente proporcional à distânciada origem. Se a temperatura em 
P(3,4) é de 100º, determine a taxa de variação de T em P na direção do vetor jiu
GGG += . 
Em que direção e sentido T cresce mais rapidamente em P? Em que direção a taxa de 
variação é nula? 
 
 
28) O potencial elétrico V em um ponto P(x,y,z) num sistema de coordenadas retangulares 
é dado por V x y z= + +2 4 2 9 2 . Determine a taxa de variação de V em P(2,-1,3) na direção 
de P para a origem. Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de 
V em P. Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
29) Encontre a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos 
pontos indicados: 
 
a y z) x2 em P = (1,1,1)
b) xyz = 6 no ponto cuja projeção no plano y = 0 é (1,0,3)
c) cos(xy) + sen(yz) = 0 em P = (1, 6,-2)
d) x3 + y3 + z - 6xy = 0 para x = y = 2
e) g(x,y) = xy em (1,1,1) 
+ + =2 2 3 2 6
π 
 
30) Dada a superfície x y z2 2 2 3 2 21+ + = , determine as equações dos planos tangentes que 
são paralelos ao plano x y z+ + =4 6 0. 
 
31) Ache os pontos da superfície x y z x2 2 2 2 0+ − − = para os quais os planos tangentes 
são paralelos aos planos coordenados. 
 
32) Encontre o vetor direção da reta tangente no ponto dado da curva C que é interseção 
das superfícies: 
 
2,0)(1, ponto no 6,=2yz+3xy e 1zyxz2 x)b
)61(2,5, ponto no 56,=6z+3y+4xy e 5=4z+2x+ xza)
22 −−=+− 
 
 
 
 
 
 
8
33) Calcule as seguintes integrais iteradas: 
 
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
π
4
0
2
x
)y/x(1
0
1
x
1
0
1
y
2x
0
y 
0
1
0
y 
0
)y/x(2
1
x2 
0
3
dydx3
y
x f) dydx
y
)ysen( e)
 dxdye d) 
2
dxdy)
y
xsen( )c
2
dxdye b) dydxxy )a
22
 
 
∫ ∫ ∫ ∫π π π −
6
30 x
/2
0
y
0
222 dxdy)x(sen4)y2cos( h) dydx)ysen(x )g 
 
34) Calcule: 
 
a) ∫∫ −
R
dAyx 22 9 , onde R é a região do plano limitada pela circunferência x y2 2 9+ = . 
 
b) ∫∫
R
dAx.sen , onde R é a região do plano limitada pelas retas y = 2x, y = x/2 e x = π. 
 
c) ∫∫ +
R
dAyx )cos( , onde R é a região plana limitada pelas retas y = x, x = π e y = 0. 
 
 
35) Encontre (por integração dupla), a área limitada pelas curvas: 
 
2223 x9=y e 9x=y b) x=y e x=y a) −− 
 
36) Calcule de duas maneiras ∫∫
R
xydA , onde R é a região do plano xoy limitada por 
 x.2y e xy 2 +== 
 
37) Encontre (por integração dupla), o volume do sólido: 
 
a) no 1° octante limitado pelo plano z = 8 - x - 2y 
b) abaixo do plano z = 4y e acima do círculo x y2 2 16+ = no plano xy. 
c) limitado pelos cilindros x y z2 2 4 2 4+ = + = e x2 
d) limitado por x
a
y
b
z
c
+ + = 1 ; x = 0, y = 0 e z = 0. 
e) situado no 10 octante e limitado por 0. xe2x y ,y4z 2 ==−= 
f) situado no 10 octante e limitado por 1. xe x2y ,0y ,y4z 2 ===−= 
 
 
9
Respostas 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
2) 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
11
e) 
 
f) 
 
g) 
 
 
3) a) zero b) zero c) 4 
5)a)
2
e)P(f , )2ln1(e)P(f oyox =+= 0)P(f , 1)P(f )b oyox =−= 
c)fx Po Po( ) ( )= = −33
3
12
 , fy 1)P(f , 1)P(f , 4
1)P(f )d ozoyox === 
 )P(f e )P(f , 5)P(f , 0)P(f )e 1y1xoyox ∃/∃/== 
7) a) 4 b) - 4 8) 17 9) a) − −2 4xe x b) 4 4e− 10) a) ⎩⎨
⎧
=
=
ezy
x 1
 b) ⎩⎨
⎧
=+
=
64
2
ezx
y
 
 
12
11) a) 200 b) 400 12) a) 21
58
π b) 67
58
π 13) a) 19000 b) 1;2 c) Manter B constante 
 
14) a) R$ 364.000,00 b) 12;20 c) Investir R$1.000,00 
 
17) 
2222 xyy
xdy
xy
dx )a
−
−
−
 b) ( ) ( ) ( )eyz yzexz dx xzeyz exz dy xyeyz xyexz dz+ + + + + 
 
18) 2)8,4(
v
g e 10)8,4(
u
g −=∂
∂=∂
∂ 19) 2)3,2(
xy
f)a
2
=∂∂
∂ 54)1,0(
v
hii) 
6
17)1,0(
u
fi) )b −=∂
∂=∂
∂ 
21) 2=β 22)a) -2cm2/seg b) 3840πcm3/min c) -8/61rad/min 
23) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=∇
2ln
1, 0)0,2(z
G
 24) a) -2/5 b) zero c) -6/169 
25) a) 306 ; j
34
345i
34
343 GG − b) 2+4 ; j
24
i
24
2 π
π+
π−
π+
GG
 
26) 03yx4 ;ji4 b) 02yx ;j2i2 )a =−++=−++ GGGG 
27) 0 ; ) j3-i(4 ; 12,-16)( ; 
2
28 ≠λλ−− GG 28) 2996 , k54+j8i4 ; 
14
178 GGG −− 
29) 
6
1z
4
1y
2
1x 6;3z2y x)a −=−=−=++ 9z34y21 x18;2z3y6x )b −=−=−=++ 
 π
+−=
π−
=π
−π=π−+π 2z
18
6
y1x ; 6z18yx )c IR t);1,0,0(t)0,2,2()z,y,x( ;8z )d ∈+== 
 IR t );1,0,1(t)1,1,1()z,y,x( ; 0xz )e ∈−+==− 
 
30) 21z6y4x e 21z6y4x −=++=++ 
 
31) Não existe plano tangente à superfície paralelo ao plano z = 0. Os planos tangentes à 
 superfície nos pontos )0,1,1( e )0,1,1( − são paralelos ao plano y = 0. Os planos tangentes 
 à superfície nos pontos )0,0,2( e )0,0,0( são paralelos ao plano x = 0. 
 
 32) )6,4,6( b) )
6
143,107 ,66( )a −− 
33) 
3
83 h) 
3
1 g) 
3ln
3ln20 f) cos(1)1 e) 
2
)1(e d) 
2
2 c) 
2
1 b) 42 a) 
2
2
−−−
−π+
 
34) 864 3) b) c) 2
5 2
a π − 35) 72 b) 
12
1)a 36) 
8
45 
 
37) 
3
10 f) 2 e) 
3
abc d) 
3
128 c) 
3
512 b) 
3
128)a

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