derivadas de segunda ordem respostas

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Centro Universitário de Várzea Grande - UNIVAG 
Devidas de Segunda ordem 
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de cada função: 
a) z = 3x4 – 4xy – 2y3 b) f(x,y) = 3exy 
Solução: 
a) z = 3x4 – 4xy – 2y3 
a.1)
yx
x
z
412 3 


 
236x
x
z
x











 a.2) 
264 yx
y
z



 
y
y
z
y
12










 
a.3) 
yx
x
z
412 3 


 
  4412 3 


 yx
y
 a.4) 
264 yx
y
z


   464 2 


 yx
x
 
1- Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função: 
a) f(x,y) = 5x4 – 2y2 + 3xy b) z = 2e-3xy 
c) f(p,q) = Ln(p2 + q2) d) 
23 yxz 
 
e) 
13
12



y
x
z
 f) z = ye-x + 2x.e2y 
Resposta: 
a) fxx = 60x
2, fyy = -4, fxy = fyx = 0 
b) zxx = 18y
2.e-3xy, zyy = 18x
2.e-3xy e zxy = zyx =6.e
-3xy.(3xy – 1) 
c) 
222
22
)(
)(2
qp
pq
f pp



, 
222
22
)(
)(2
qp
qp
fqq



 e 
222 )(
4
qp
pq
ff qppq



 
d) 
 3234
9
yx
zxx


, 
 323
3
yx
x
z yy



 e 
 yxxy zz
 3232
3
yx
y

 
e) 
0xxz
, 
3)13(
)12(18



x
x
z yy
 e 
2)13(
6



y
zz yxxy
 
f) 
x
xx eyz
 .
, 
y
yy exz
2.8
e 
xy
yxxy eezz
 24
 
2) Sabendo que z = 2x.Ln(x.y), determine: 
a) 
x
z


(e2,e3) b) 
),( 32 ee
y
z


 c) 
2
2
x
z


(e2,e3) 
d) 
),( 32
2
2
ee
y
z


 e) 
),( 32
2
ee
xy
z


 f) 
),( 32
2
ee
yx
z


 
Resposta: 
a) 12 b) 2/e c) 2/e2 d) -2/y4 e) 2/e3 f) 2/e3 
3) A produção mensal de determinado produto por uma indústria é dada pela 
regra P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3 unidades, onde q representa o número 
de operários e r o número de máquinas utilizados pela indústria. Atualmente, a 
indústria apresenta 52 operários e 10 máquinas em atividades. Encontre a 
variação da produção se mais 1(um) operário for contratado e o número de 
máquinas permanece constante. 
Solução: Como varia o número de operários e permanece constante o número de 
máquinas, a derivada parcial de P(q,r) dá a taxa de variação da produção com o 
número de operários. 
P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3 
P(q,r) = 2.340q + 750r + q2r – 3q2 – r3 
068.3)10,52(
52.610.52.22340)10,52(
622340),(









q
P
q
P
qqrrq
q
P
 
A produção mensal é de 3.068 produtos