Matemática Financeira

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25/04/2018
Juros Simples
Matemática Financeira
Juro
▪ A matemática financeira estuda o valor do dinheiro ao longo do 
tempo.
▪ Uma unidade monetária hoje deve valer mais que a mesma unidade 
monetária amanhã...
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Juro
▪ ... afinal, postergar um recebimento envolve um sacrifício (abre-se 
mão da oportunidade de uso do dinheiro)...
▪ ... o JURO é, portanto, a recompensa recebida por esse sacrifício.
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Taxa de Juro
▪ A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro.
▪ Exemplo: Se o capital emprestado for $100 e a taxa de juro for 
10% ao ano, então o juro anual será $10. 
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Taxa de Juro
▪ Uma taxa de juro deve remunerar:
 O risco envolvido na operação;
 A perda do poder de compra (inflação);
 O custo de oportunidade do capital.
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Taxa de Juro
▪ Taxas de juro se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, 
ano etc)...
▪ ... e podem ser representadas de duas maneiras: taxa percentual 
(10% a.a.) ou taxa unitária (0,1 a.a.)
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Diagrama do Fluxo de Caixa
▪ O diagrama do fluxo de caixa exprime os movimentos financeiros 
de entradas e saídas ao longo do tempo.
0 1 2 3 4 5 6 (tempo)
Entradas (+)
Saídas (-)
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Regras Básicas
▪ O prazo da operação e a taxa de juros devem 
necessariamente estar expressos na mesma 
unidade de tempo.
▪ Exemplo: Um fundo oferece juros de 1% a.m.
com rendimentos creditados mensalmente.
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Regras Básicas
▪ Se prazo da operação e a taxa de juros não 
estiverem na mesma unidade de tempo 
devemos transformar a taxa de juros.
▪ Veremos mais adiante como fazer tais 
transformações (taxa proporcional ou taxa 
equivalente).
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Regimes de Capitalização dos Juros
▪ Capitalização Simples: Os juros incidem somente 
sobre o capital inicial da operação. Juros crescem de 
forma linear.
▪ Capitalização Composta: Os juros incidem sobre o 
saldo do período anterior. Juros crescem de forma 
exponencial (juros sobre juros).
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Fórmulas de Juros Simples
▪ O valor dos juros (simples) é calculado a partir da seguinte 
expressão:
▪ J = valor dos juros (em $)
▪ C = capital (em $)
▪ i = taxa de juros (na forma unitária)
▪ n = prazo
niCJ 
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% a.m. durante um trimestre sob o 
regime de capitalização simples. Calcule o valor dos juros acumulados no período.
▪ Resposta: 
▪ C = $ 80.000,00
▪ i = 2,5% a.m. (0,025)
▪ n = 3 meses
▪ J = 80.000,00 × 0,025 × 3 = $ 6.000,00
Exemplo
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros (simples) de 1,8% 
a.m. produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. 
Calcule o prazo da aplicação.
▪ Resposta: 
▪ C = $ 250.000,00
▪ i = 1,8% a.m. (0,018)
▪ J = $ 27.000,00
▪ n = 27.000,00 / (250.000,00 × 0,018) = 6 meses
Exercício
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Montante e Capital
▪ O montante (M) é constituído do capital mais o valor acumulado 
dos juros:
▪ No entanto, sabemos que
JCM 
niCJ 
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
Montante e Capital
▪ Substituindo e colocando C em evidência temos:
▪ Neste caso, (1 + i × n) é chamado fator de capitalização (ou valor futuro) 
dos juros simples.
)1( niCM 
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Montante e Capital
▪ Isolando C, podemos reescrever como:
▪ Neste caso, 1/(1 + i × n) é chamado fator de atualização (ou valor 
presente) dos juros simples.
)1( ni
MC


CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% a.m. durante 8 
meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
▪ Resposta: 
▪ C = $ 18.000,00
▪ i = 1,5% a.m. (0,015)
▪ n = 8 meses
▪ M = 18.000,00 × (1 + 0,015 × 8) = $ 20.160,00
Exemplo
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ Uma dívida de $900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um
desconto de 7% ao mês caso o devedor aceite antecipar o pagamento para hoje.
Calcule o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
▪ Resposta: 
▪ M = $ 900.000,00
▪ n = 4 meses
▪ i = 7% a.m. (0,07)
▪ C = 900.000,00 / (1 + 0,07 × 4) = $ 703.125,00
Exercício
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Taxa proporcional: obtida através da divisão entre a taxa de 
juros e o número de vezes em que ocorrerão os juros.
▪ Exemplo: Suponha uma taxa de juros de 18% a.a. com 
capitalização mensal, teremos que a taxa proporcional será 
18% / 12 = 1,5% a.m.
Taxa Proporcional
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ Utiliza-se taxas proporcionais em operações 
de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo 
de juros de mora, descontos bancários, 
créditos de curtíssimo prazo etc.
Taxa Proporcional
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Duas taxas de juros simples serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo volume de 
juros.
▪ Exemplo: Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. 
pelo prazo de um ano, produz o mesmo volume de juros ($ 150.000,00). 
Verifique.
Taxa Equivalente no Regime de Juros 
Simples
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas 
equivalentes são consideradas a MESMA COISA!!!
▪ No regime de juros composto, que veremos em breve, estas 
taxas serão diferentes.
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ No regime simples, calcular a taxa de juros semestral proporcional 
(equivalente) a:
a) 60% a.a.
Resp: i = 60% / 2 = 30% a.s.
b) 9% a.t.
Resp: i = 9% × 2 = 18% a.s.
Exemplos
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ No regime simples, calcular a taxa de juros mensal proporcional (equivalente) a:
a) 12% a.a.
Resp: i = 12% / 12 = 1% a.m.
b) 0,1% a.d.
Resp: i = 0,1% × 30 = 3% a.m.
Exercícios
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Juro Exato: utiliza-se o calendário do ano 
civil. Portanto, ano com 365 dias.
▪ Juro Comercial: admite-se que cada mês tem 
30 dias. Portanto, ano com 360 dias.
Juro Exato e Juro Comercial
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
▪ Dois ou mais capitais são equivalentes se, dada uma taxa de juros,
produzem resultados iguais em uma determinada data comum.
▪ Exemplo: Se a taxa de juros (simples) for 20% a.a., então $ 100,00
hoje ou $ 120,00 daqui a um ano são financeiramente equivalentes.
Equivalência Financeira
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
25/04/2018
▪ Determinar se $ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber, hoje, 
$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% a.m..
▪ Resp:
▪ M = 296.000,00 × (1 + 8 × 0,06) = $ 438.080,00
▪ Sim, são financeiramente equivalentes!
Exercício
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
Juros Compostos
25/04/2018
Juros Compostos
▪ No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros 
sobre juros periodicamente.
JUROS COMPOSTOS
Fórmulas de Juros Compostos
e
Sendo:
FV = Valor futuro
PV = Valor presente
i = taxa de juros
n = prazo
niPVFV )1( 
ni
FVPV
)1( 

JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
HP 12C
JUROS COMPOSTOS
▪ Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 em um ano, quanto deverá 
depositar hoje em um alternativa de poupança que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês?
▪ Resp:
▪ FV = $ 27.500,00
▪ n = 12 meses
▪ i = 1,7% a.m.(0,017)
▪ PV = 27.500,00 / (1 + 0,017)12 = $ 22.463,70
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um 
título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% 
a.m.?
▪ Resp:
▪ PV = $ 12.000,00
▪ n = 8 meses
▪ i = 3,5% a.m. (0,035)
▪ FV = 12.000,00 × (1 + 0,035)8 = $ 15.801,71
Exercício
JUROS COMPOSTOS
▪ Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 
40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um 
quadrimestre.
▪ Resp:
▪ PV = $ 40.000,00
▪ FV = $ 43.894,63
▪ n = 4 meses
▪ i = 2,35% a.m.
Exercício
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa 
composta de juros de 2,4% a.m., um montante de $ 26.596,40 em 
certa data futura. Calcular o prazo da operação.
▪ Resp:
▪ PV = $ 22.000,00
▪ FV = $ 26.596,40
▪ i = 2,4% a.m.
▪ n = 8 meses
Exercício
JUROS COMPOSTOS
▪ Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo 
de 5 meses à taxa composta de 4,5% a.m..
▪ Resp:
▪ PV = $ 88.000,00
▪ n = 5 meses
▪ i = 4,5% a.m.
▪ FV = 88.000,00 × (1 + 0,045)5 = $ 109.664,01
▪ J = $ 109.664,01 - $ 88.000,00 = $ 21.664,02
Exercício
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Duas taxas de juros compostas serão equivalentes se, aplicadas a um 
mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo 
volume de juros.
▪ Exemplo: Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 
15,97% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo volume de juros ($ 
172.444,41). Verifique.
Taxa Equivalente no Regime de Juros Compostos
JUROS COMPOSTOS
▪ Qual a taxa de juros compostos mensal equivalente a 25% a.a.?
▪ Resp:
▪ C × (1 + im)12 = C × (1 + ia)1
▪ C × (1 + im)12 = C × (1 + 0,25)1
▪ im = 1,877% a.m.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Qual a taxa de juros compostos trimestral equivalente a 25% 
a.a.?
▪ Resp:
▪ C × (1 + it)4 = C × (1 + ia)1
▪ C × (1 + im)4 = C × (1 + 0,25)1
▪ im = 5,737% a.m.
Exercício
JUROS COMPOSTOS
▪ Qual a melhor opção: aplicar um capital de $ 60.000,00 à taxa de 
juros compostos de 9,9% a.s. ou à taxa de 20,78% a.a.?
▪ Resp:
▪ FV(9,9% a.s.) = 60.000,00 × (1 + 0,099)2 = $ 72.468,00
▪ FV(20,78% a.a.) = 60.000,00 × (1 + 0,2078)1 = $ 72.468,00
▪ Ambas geram, para o mesmo capital e o mesmo prazo, o mesmo montante. 
Portanto, são equivalentes!
Exercício
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ A taxa efetiva de juros é a taxa apurada durante todo o prazo da 
operação, sendo formada exponencialmente através dos 
períodos de capitalização.
▪ Exemplo: Uma taxa de 3,8% a.m. determina uma taxa efetiva de 
juros de 56,45% a.a..
Taxa Efetiva de Juros
JUROS COMPOSTOS
▪ Quando o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo daquele
definido para a taxa de juros, dizemos que esta taxa de juros é nominal.
▪ Exemplo: Considere a taxa de juros de 36% a.a. capitalizada
mensalmente. Como os prazos (da taxa e da capitalização) não são
coincidentes dizemos que 36% a.a. é a taxa nominal de juros.
Taxa Nominal de Juros
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a 
capitalização ocorre por juros proporcional.
▪ Continuação do exemplo: Para a taxa nominal de 36% a.a. a taxa 
por período de capitalização será 36%/12 = 3% a.m. 
Taxa Nominal de Juros
JUROS COMPOSTOS
▪ Continuação do exemplo: Ao capitalizarmos mensalmente a taxa de 3% a.m.
durante um ano, encontraremos uma taxa efetiva de 42,6% a.a. (bem
superior à taxa nominal de 36% a.a.).
▪ Portanto, a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma
operação. Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados
mensalmente, apura-se que a taxa efetiva de juros atinge 42,6% a.a.!!!
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Continuação do exemplo: Para que 36% a.a. fosse
considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos
juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente
composta de 2,6% a.m..
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
JUROS COMPOSTOS
▪ Quando os prazos não forem coincidentes e não houver menção explicita 
de se tratar de uma taxa efetiva, usaremos a taxa proporcional para alinhar 
os prazos.
▪ Quando eu omitir o prazo da capitalização, use o mesmo prazo da taxa. 
Exemplo: Se aparecer uma expressão única do tipo “10% a.a.” é porque o 
prazo da capitalização é anual também. 
Convenção
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de 
um ano à taxa nominal de juros de 32% a.a., capitalizados 
trimestralmente. Determine o montante e o custo efetivo do 
empréstimo.
▪ Resp:
▪ Taxa trimestral proporcional = 32% / 4 = 8% a.t.
▪ FV = 11.000,00 × (1,08)4 = $ 14.965,40
▪ Taxa efetiva = (1,08)4 – 1 = 36% a.a.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
▪ A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com 
capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade 
efetiva dessa aplicação financeira.
▪ Resp:
▪ Taxa efetiva = (1+ 0,005)12 – 1 = 6,17% a.a.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ A equivalência financeira se verifica quando dois ou mais capitais 
produzem o mesmo resultado se expressos em certa data 
comum (data focal) de comparação, usando uma mesma taxa de 
juros.
Equivalência Financeira em Juros 
Compostos
JUROS COMPOSTOS
▪ Uma empresa deve $ 180.000,00 a um banco, sendo o vencimento daqui a 3 
meses. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o 
banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos 
meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de juros, pede-se 
calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal:
▪ a) Hoje;
▪ b) Daqui a 3 meses;
▪ c) Daqui a 5 meses; 
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
0 1 2 3 4 5 6 (tempo)
Dívida atual
Dívida proposta
Graficamente
$ 180.000,00
PP
JUROS COMPOSTOS
Solução item a)
653 )036,1()036,1()036,1(
00,000.180 PP 
P


  653 )036,1(
1
)036,1(
1
)036,1(
00,000.180
64,304.98 $
646718,1
00,880.161 P
▪ Data focal = hoje
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
Solução item b)
32 )036,1()036,1(
00,000.180 PP 
P


  32 )036,1(
1
)036,1(
100,000.180
64,304.98 $
831042,1
00,000.180 P
▪ Data focal = 3º mês
JUROS COMPOSTOS
Solução item c)
 
)036,1(
036,100,000.180 2 PP 
  P 965251,0130,193.193
64,304.98 $
965251,1
30,193.193 P
▪ Data focal = 5º mês
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Você possui um título vencível daqui a 4 meses com valor nominal (resgate) de $
407.164,90. Lhe é proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $
480.000,00 vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% a.m. a rentabilidade mínima
exigida por você, avalie se a troca lhe é vantajosa.
Exercício
JUROS COMPOSTOS
0 4 8 (tempo)
Graficamente
$ 407.164,90
$ 480.000,00
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Inicialmente, precisamos calcular a rentabilidade implícita na 
proposta.
▪ Como? Escolhendo uma data focal (qualquer) e calculando 
qual taxa torna os dois títulos equivalentes.
▪ Em seguida, comparamos esta taxa com a rentabilidade 
mínima (5% a.m.) exigida por você.
Comentários
JUROS COMPOSTOS
Solução
4)1(
00,000.48090,164.407
i

▪ Data focal = 4º mês
178884,1)1( 4  i
    41414 178884,11  i
 vantajosaNão a.m. %2,4 042,11  ii
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
▪ Outra forma de resolver é calculando o valor presente do título que vence em 8 meses 
no momento do vencimento do outro título, usando SUA taxa de atratividade (5% a.m.)
Comentário
JUROS COMPOSTOS
Solução
20,897.394 $
)05,1(
00,000.480
4 PV
▪ Data focal = 4º mês
▪ Como este valor émenor que $ 407.164,90 a 
troca não é vantajosa.
JUROS COMPOSTOS
25/04/2018
Fluxos de Caixa
FLUXOS DE CAIXA
Introdução
▪ Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos (ou recebimentos) em
determinado intervalo de tempo.
0 1 2 3 4 5 6 (tempo)
25/04/2018
Classificação
▪ Período de Ocorrência: Postecipados, Antecipados ou Diferidos;
▪ Periodicidade: Periódicos ou Não Periódicos;
▪ Duração: Finitos ou Infinitos;
▪ Valores (PMT): Constantes ou Variáveis.
Modelo-padrão (Série Uniforme)
▪ PMT inicial em t = 1 (postecipado);
▪ Diferença entre a data de um PMT e outro é constante (periódico);
▪ O prazo do fluxo é fixo = n (finito);
▪ Os valores dos PMT são iguais (constante).
0 1 2 3 n-1 n (tempo)
.....
PMTPMTPMTPMTPMT
25/04/2018
Valor Presente
0 1 2 3 n-1 n (tempo)
.....
PMTPMTPMTPMTPMT
PV
ni
PMT
i
PMT
i
PMTPV
)1(
...
)1()1( 2 





Valor Presente
▪ Podemos reescrever o PV como:
▪ Note que o valor presente de um fluxo de caixa uniforme é função do
valor do pagamento (PMT), do prazo (n) e da taxa (i).
i
iPMTPV
n )1(1
25/04/2018
Valor Presente na HP-12C
Exemplo
▪ Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais,
iguais e consecutivos de $ 4.000,00, sendo a primeira
parcela paga ao final do primeiro mês. Para uma taxa de
juros de 2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o
aparelho à vista?
▪ Resp: Usando a HP-12C (modo END).
▪ 7 » n » 4000 » CHS » PMT » 2,6 » i » PV = $ 25.301,18
25/04/2018
Exercício
▪ Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais iguais e
sucessivos de $ 700,00, sendo a primeira parcela paga ao final do primeiro mês e a
taxa de juros igual a 1,7% a.m.
Exercício
▪ Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido para pagamento em 5
prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 4.300,00, sendo a primeira
parcela paga ao final do primeiro mês. Calcular o custo mensal deste
empréstimo.
25/04/2018
Exercício
▪ Um veículo está sendo vendido por $ 4.000,00 de entrada mais
6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00
sendo a primeira parcela paga ao final do primeiro mês. Sendo
5,5% a.m. a taxa de juros, determinar até que preço compensa
pagar o veículo à vista.
Valor Futuro
0 1 2 3 n-1 n (tempo)
.....
PMTPMTPMTPMTPMT
FV
1)1(...)1(  niPMTiPMTPMTFV
25/04/2018
Valor Futuro
▪ Podemos reescrever o FV como:
▪ Note que o valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é função 
do valor do pagamento (PMT), do prazo (n) e da taxa (i).
i
iPMTFV
n 1)1( 
Valor Futuro na HP-12C
25/04/2018
Exemplo
▪ Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma
sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de
$ 800,00 cada, sendo o primeiro depósito feito ao final do
primeiro mês numa conta de poupança que remunera a uma
taxa de juros de 2,1% a.m.
▪ Resp: Usando a HP-12C (modo END).
▪ 7 » n » 800 » CHS » PMT » 2,1 » i » FV = $ 5.965,41
Exercício
▪ Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a 1 ano para
realizar uma viagem. Para tanto, está depositando $ 1.250,00
mensalmente (sendo o primeiro depósito feito ao final do
primeiro mês) em uma conta de poupança que rende 4%
a.m. de juros. Ao final de 1 ano essa pessoa terá o montante
suficiente para fazer a viagem?
25/04/2018
Exercício
▪ No exercício anterior, calcule o valor mínimo dos depósitos mensais para que a
pessoa consiga realizar a viagem.
Exemplo: Previdência Privada
▪ Uma pessoa planeja se aposentar daqui há 20 anos. Quanto ela
deve depositar mensalmente em uma conta poupança que rende
0,5% a.m. para que consiga fazer retiradas de $ 1.000,00 durante
30 anos após se aposentar?
▪ Resp: Usando a HP-12C (modo END).
▪ 360 » n » 1.000 » CHS » PMT » 0,5 » i » PV = $ 166.791,61
▪ 240 » n » 166.791,61 » FV » 0,5 » i » PMT = $ 360,99
25/04/2018
Exercício: INSS
▪ Um cidadão que contribui com o INSS pagando 20% do salário mínimo
durante 35 anos consegue se aposentar recebendo um salário mínimo
integral. Considerando uma expectativa de vida de 73 anos, quanto um
cidadão que começa a contribuir com 18 anos de idade paga mensalmente
a mais do que o valor atuarialmente justo?
Equivalência Financeira e Fluxos de Caixa
▪ Diz-se que dois fluxos de caixa são equivalentes se produzirem 
valores presentes idênticos em uma mesma data focal, usando uma 
mesma taxa de juros.
25/04/2018
Exemplo
▪ Uma empresa financiou $ 300.000,00 e pode escolher entre dois planos de
pagamento: (A) 10 prestações mensais de $ 42.713,25 ou (B) 3 prestações
trimestrais de $ 148.033,10. Ambos os planos são uniformes e com taxa de
juros de 7% a.m. Qual deles é melhor?
▪ Resp: Ambos os planos são financeiramente equivalentes, pois geram o
mesmo valor presente ($ 300.000,00) na data 0 (Verifique!). O fator
determinante será a disponibilidade de caixa.
Exercício
▪ Determinado produto é vendido por $ 1.000,00 à vista, ou em
2 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $ 520,00
cada, vencendo o primeiro somente daqui à 30 dias.
Determinar a taxa de juros que torna essas duas alternativas
de pagamento equivalentes.
25/04/2018
Exercício
▪ Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 90.000,00 para ser
pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 16.284,90 cada.
No entanto, no 2º mês (após pagar a 2ª prestação), a empresa
solicita ao banco que re-financie o saldo de sua dívida em 12
prestações uniformes, vencendo a primeira após 30 dias. A taxa
de juros cobrada pelo banco no re-financiamento é de 3,5% a.m.
Determinar o valor de cada prestação.
Antecipado
0 1 2 3 4 n (tempo)
.....
PMTPMTPMTPMTPMTPMT
• No fluxo antecipado, o primeiro pagamento 
ocorre na data 0.
• Usar o modo BEGIN da HP-12C.
Antecipado
25/04/2018
Exemplo
▪ Calcule o valor presente de um fluxo de caixa com 10
pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 70,00
cada. A taxa de juros é 4% a.m. e o primeiro pagamento
se dá na data 0.
▪ Resp: Usando a HP-12C (modo BEG).
▪ 10 » n » 70 » CHS » PMT » 4 » i » PV = $ 590,47
Exercício
▪ Determinado produto é vendido numa loja por $ 1.120,00 a
vista, ou em 5 prestações mensais de $ 245,00 cada. Calcular
a taxa de juros implícita neste empréstimo caso a primeira
prestação seja paga como entrada.
25/04/2018
Diferido
0 1 2 3 4 n (tempo)
.....
PMTPMTPMTPMT
• No fluxo diferido há carência.
• Mesclar técnicas de fluxo uniforme com juros 
compostos.
Carência
Exemplo
▪ Calcule o valor presente de um fluxo de caixa com 7 pagamentos
mensais, iguais e consecutivos de $ 100,00 cada. A taxa de juros é
2,2% a.m. e o primeiro pagamento se dá ao final do 3º mês.
25/04/2018
Solução
▪ Devemos resolver em duas etapas. Primeiro, calculamos 
o valor presente no mês 3 (modo BEG):
▪ 7 » n » 100 » CHS » PMT » 2,2 » i » PV = $ 656,38
▪ Em seguida, descontamos esse valor diretamente para a 
data zero:
▪ 656,38 » CHS » FV » 3 » n » 2,2 » i » PV = $ 614,90
Exercício
▪ Um financiamento no valor de $ 70.000,00 está sendo
concedido a uma taxa de juros de 4% a.m. O pagamento da
dívida será feito em 7 prestações mensais e iguais. A primeira
prestação se dá ao final do 5º mês. Calcule o valor das
prestações.
25/04/2018
Não Periódicos
0 1 4 6 10 (tempo)
PMTPMTPMTPMT
• Pagamentos em intervalos irregulares de tempo.
• Mesclar técnicas de fluxo uniforme com juros 
compostos.
3 períodos 2 períodos 4 períodos
Exemplo
▪ Para uma taxa de juros de 1% a.m. calcule o valor presente e o
valor futuro do seguinte fluxo de caixa:
0 1 4 6 10 (mês)
$ 10$ 10$ 10$ 10
25/04/2018
Solução
984,37
7984,310
)01,1(
1
)01,1(
1
)01,1(
1
)01,1(
110
)01,1(
10
)01,1(
10
)01,1(
10
)01,1(
10
1064
1064





 
PV
Solução 
958,41
1958,410
1)01,1()01,1()01,1(10
10)01,1(10)01,1(10)01,1(10
469
469



FV
25/04/2018
Perpetuidades
• Pagamentos em intervalos regulares de tempo por prazo 
infinito.
0 1 2 3 4 5 (tempo)
PMTPMTPMTPMTPMT

i
PMTPV 
Exemplo
▪ Admita que um imóvel esteja rendendo $ 1.000,00 de aluguel
mensalmente. Sendo de 1% a.m. o custo de oportunidade de
mercado (ganho da melhor alternativa de aplicação
disponível), avalie o valor do imóvel hoje.
▪ Resp:
▪ PV = 1.000 / 0,01 = $ 100.000,00
25/04/2018
Pagamentos Variáveis
▪ Sendo CFj o fluxo de caixa na data j.
0 1 2 3 4 n (tempo)
CF1
n
n
i
CF
i
CF
i
CFPV
)1(
...
)1()1( 2
21






CF2 CF3 CF4 CFn
.....
Pagamentos Variáveis na HP-12C
25/04/2018
Exemplo
▪ Admita um fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo
respectivamente ao final de cada um dos próximos 5 anos: $ 80,00,
$ 126,00, $ 194,00, $ 340,00 e $ 570,00. Para uma taxa de juros de
4% a.a., calcule o valor presente e o valor futuro.
Solução
▪ Devemos “escrever” o fluxo na HP-12C, seguindo a 
seguinte ordem (agora a ordem importa!):
▪ 0 » CF0 » 80 » CFj » 126 » CFj » 194 » CFj » 340 » CFj » 570 » CFj
0 1 2 3 4 5 (tempo)
80,00 126,00 194,00 340,00 570,00
25/04/2018
Solução
▪ Em seguida, devemos informar a taxa:
▪ 4 » i
▪ E pedir o valor presente:
▪ NPV = $ 1.125,00
Exercício
▪ Considere a taxa de juros de 2% a.m. e calcule o valor presente do seguinte fluxo: 
0 1 2 3 4 5 (meses)
50,00 50,00 90,00 100,00
6 7 8 9
25/04/2018
DESCONTOS
Introdução
▪ Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um
título em sua data de vencimento.
▪ A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado.
▪ Dessa forma, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal
de um título e seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.
▪ O valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto
Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto
25/04/2018
Introdução
▪ As operações de desconto podem ser realizadas no regime de juros simples ou 
composto.
▪ Descontos no regime de juros simples são amplamente adotados em operações de 
curto prazo.
▪ Descontos no regime de juros compostos são adotados em operações de longo prazo.
Introdução
▪ Tanto no regime de juros simples como no composto ainda são
identificados dois tipos de descontos:
1) Desconto “por dentro” (ou racional)
2) Desconto “por fora” (ou bancário, comercial)
25/04/2018
Desconto Racional (ou “por dentro”)
▪ No regime simples, o valor descontado racional é dado pela seguinte expressão:
▪ Vr = valor descontado racional
▪ N = valor nominal do título
▪ i = taxa de juros
▪ n = prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes do vencimento)
ni
NVr 

1
Desconto Racional (ou “por dentro”)
▪ Assim, da definição de desconto,
▪ Substituindo o valor descontado, tem-se
rr VND 
ni
niNDr 

1
25/04/2018
▪ Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que
está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42%
a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o valor descontado
e o desconto desta operação.
Exemplo
▪ Primeiro, calculamos a taxa de juros proporcional 
(equivalente) i = 3,5% a.m.
Solução
90,619.3 $
3035,01
00,000.4 

rV
80,103 $90,619.300,000.4  rr VND
25/04/2018
▪ Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $
26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10.
Exercício
▪ Substituindo os dados na equação do valor 
descontado, temos
▪ Isolando i, teremos i = 3,2% a.m.
Solução
21
00,000.2610,436.24


i
25/04/2018
Desconto Bancário (ou “por fora”)
▪ Este tipo de desconto incide sobre o valor nominal do título. Portanto,
gera maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
▪ Ao contrário dos juros “por dentro”, que calcula os encargos sobre o
capital (valor presente) efetivamente liberado na operação, o critério “por
fora” apura os juros sobre o montante, gerando custos adicionais ao
tomador.
▪ Esta modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo
mercado, notadamente em operações de crédito bancário e comercial a
curto prazo.
Desconto Bancário (ou “por fora”)
▪ O desconto é calculado sobre o valor nominal, então
▪ Sendo d a taxa de desconto “por fora”contratada na operação.
ndNDF 
25/04/2018
Desconto Bancário (ou “por fora”)
▪ Então, o valor descontado será
)1( ndNVF 
▪ Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que
está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42%
a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o
valor descontado “por fora” desta operação. Calcule a taxa de juros
efetiva desta operação.
Exemplo
25/04/2018
▪ Primeiro, calculamos a taxa de juros proporcional 
(equivalente) i = 3,5% a.m.
Solução
00,580.3 $00,42000,000.4 FV
20,004 $3035,000,000.4 FD
▪ A taxa de juros efetiva desta operação não equivale à taxa de 
desconto utilizada. Paga-se $ 420,00 de juros sobre um valor 
atual de $ 3.580,00. Portanto,
▪ 3,91% a.m. pela equivalente simples.
▪ 3,77% a.m. pela equivalente composta.
Solução
 trimestreao %73,11
00,580.3
00,420 i
25/04/2018
▪ No desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de
desconto (d) e a taxa efetiva de juros (i) da operação. Em
toda operação de desconto “por fora” há uma taxa implícita
(efetiva) de juro superior à taxa declarada.
Comentário
▪ Determinar a taxa mensal de desconto “por fora” de um título
negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de
resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $
24.436,10.
Exercício
25/04/2018
▪ O desconto é
▪ Portanto, a taxa de desconto “por fora” será
Solução
90,563.1 $10,436.2400,000.26 FD
ndNDF 
a.m. %0,3 200,000.2690,563.1  dd
▪ Esta taxa (3% a.m.) não indica o custo efetivo da operação.
▪ O custo efetivo da operação é 3,2% a.m.
Comentário
25/04/2018
Despesas Bancárias
▪ Em operações de desconto com bancos comerciais, em
geral, são cobradas taxas adicionais a pretexto de cobrir
“despesas administrativas”.
▪ Estas taxas são, em geral, pré-fixadas e incidem sobre o
valor nominal do título no momento do desconto.
Despesas Bancárias
▪ O desconto total “por fora” será então
)()( NtndNDF 
)( tndNDF 
25/04/2018
Despesas Bancárias
▪ Assim, o valor descontado (incluíndo a “despesa administrativa” t) 
será
FF DNV 
)](1[ tndNVF 
▪ Uma duplicata de valor nominal de $ 60.000,00 é descontada num
banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo 2,8% a.m. a taxa de
desconto usada na operação e 1,5% a taxa administrativa sobre o valor
nominal, calcular o desconto, o valor descontado e a taxa efetiva de
juros nesta operação.
Exemplo
25/04/2018
▪ Desconto:
▪ Valor descontado:
Solução
00,260.4 $)015,02028,0(00,000.60 FD
)( tndNDF 
00,740.55 $00,260.400,000.60 FV
▪ Taxa efetiva de juros:
▪ Com equivalente simples igual a 3,82% a.m.
▪ E equivalente composta igual a 3,75% a.m.
Solução
bimestre ao %64,7
00,740.55
00,260.4 i
25/04/2018
▪ Um título é descontado num banco 3 meses antes de
seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco
é de 3,3% a.m. A taxa de “despesasadministrativas” é
de 1%. Sendo $ 25.000,00 o valor nominal do título e
sabendo que o banco usa o desconto “por fora”, pede-
se: (a) o valor do desconto; (b) o valor descontado e; (c)
as taxas efetivas simples e composta implícitas nesta
operação.
Exercício
▪ Desconto:
▪ Valor descontado:
Solução
00,725.2 $)01,03033,0(00,000.25 FD
)( tndNDF 
00,275.22 $00,725.200,000.25 FV
25/04/2018
▪ Taxa efetiva de juros:
▪ Com equivalente simples igual a 4,08% a.m.
▪ E equivalente composta igual a 3,92% a.m.
Solução
 trimestreao %23,12
00,275.22
00,725.2 i
Desconto Composto
25/04/2018
Desconto Racional (ou “por dentro”)
▪ O desconto composto “por dentro” é estabelecido segundo as 
conhecidas relações do regime de juros composto. De modo 
que o valor descontado será
 nr i
NV


1
Desconto Bancário (ou “por fora”)
▪ Raramente empregado no Brasil. Não apresenta uso prático.
Portanto, pularemos.
25/04/2018
INFLAÇÃO
Índices de Preços e Taxas de Inflação
▪ Índices de preços são números que agregam e representam os
preços de uma determinada cesta de produtos.
▪ Sua variação mede, portanto, a variação média dos preços dos
produtos da cesta.
▪ Podem se referir a, por exemplo, preços ao consumidor, preços ao
produtor, custos de produção ou preços de exportação e importação.
25/04/2018
Parâmetros Implícitos nos Índices
 A região/cidade e a faixa de renda da população coberta. Em geral, usa-se
a pesquisa de orçamentos familiares (POF) para identificar a cesta de
consumo da população da região e da faixa de renda selecionada;
 A metodologia empregada no cálculo, de forma a combinar em uma única
medida estatística a variação do preço do conjunto de bens e dos serviços
pesquisados;
 A definição da periodicidade e das fontes para a coleta de preços (tipo e
tamanho de pontos comerciais, coleta de informações de preços de
serviços e aluguéis, entre outras).
IPCA
▪ O período de coleta do IPCA vai do dia 1º ao dia 30 ou 31, dependendo do
mês. A pesquisa é realizada em estabelecimentos comerciais, prestadores
de serviços, domicílios (para verificar valores de aluguel) e concessionárias
de serviços públicos. Os preços obtidos são os efetivamente cobrados ao
consumidor, para pagamento à vista.
▪ São considerados nove grupos de produtos e serviços: alimentação e
bebidas; artigos de residência; comunicação; despesas pessoais; educação;
habitação; saúde e cuidados pessoais; transportes e vestuário. Eles são
subdivididos em outros itens. Ao todo, são consideradas as variações de
preços de 465 subitens.
25/04/2018
IPCA
▪ O indicador reflete o custo de vida de famílias com renda mensal de 1 a
40 salários mínimos, residentes nas regiões metropolitanas de São
Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Porto Alegre, Curitiba, Salvador,
Recife, Fortaleza e Belém, além do Distrito Federal e do município de
Goiânia.
▪ É utilizado pelo Banco Central como medidor oficial da inflação do país.
O governo usa o IPCA como referência para verificar se a meta
estabelecida para a inflação está sendo cumprida.
IPCA
▪ Como exemplo, o IPCA alcançou 2.579,81 em maio de 2006 e 2.574,39
em junho (a data-base, referente a um índice igual a 100, refere-se a
dezembro de 1993).
▪ Desses dados se conclui que a inflação de junho de 2006 foi de -0,21%
e que a inflação acumulada entre dezembro de 1993 e junho de 2006
atingiu 2.474,39%, isto é, os preços medidos por esse indicador ficaram
25,744 vezes maior no período.
25/04/2018
Taxa Nominal e Taxa Real de Juros
▪ A taxa nominal indica o juro em termos simplesmente 
monetários.
▪ A taxa real indica o juro em termos de bens (poder de compra), 
livre dos efeitos inflacionários.
Exemplo
▪ Imagine que hoje você possua $100,00 e deva escolher
entre aplicar esse dinheiro à taxa nominal de 10% a.m. ou
comprar um bem cujo preço, hoje, é $1,00.
▪ Se você optar pela aplicação financeira, estará abdicando
de 100 unidades do bem hoje.
25/04/2018
Exemplo
▪ Suponha que no mês que vem o bem esteja custando $ 1,02
(inflação de 2% no período).
▪ Então, no mês que vem você terá $ 110,00 e um poder de compra
de 107,84 unidades do bem.
▪ Portanto, sua rentabilidade real (em termos de bens) foi de 7,84%
a.m.
Fórmula Juro Real
▪ A formula geral para calcular a taxa real de juro é
▪ r = taxa real de juro
▪ i = taxa nominal de juro
▪ I = taxa da inflação
)1(
)1()1(
I
ir


25/04/2018
Comentário
▪ É muito comum, em economias com inflação baixa, as
pessoas aproximarem a fórmula anterior pela seguinte:
▪ Claramente existe um trade-off entre rapidez e precisão do
cálculo
Iir 
Exercício
▪ Uma pessoa aplicou $ 400.000,00 num título por 3 meses à taxa
nominal de 6,5% a.t. Sendo de 4% a inflação deste período,
calcular a taxa de juros real desta aplicação.
25/04/2018
Solução
▪ Taxa nominal: 6,5% a.t. ou 2,12% a.m.
▪ Taxa real:
 a.t. %4,21
)04,01(
)065,01( 

r
Caderneta de Poupança
▪ A caderneta de poupança é a modalidade de aplicação
financeira mais popular do mercado.
▪ Seus principais atrativos são: baixo custo de transação,
liquidez imediata, garantia de recebimento dada pelo
governo e isenção de impostos.
25/04/2018
Caderneta de Poupança
▪ A caderneta de poupança rende juros compostos de 0,5% a.m. Além
disso, a cada mês o montante é capitalizado pela TR (Taxa Referencial,
um indexador usado para tentar “acompanhar” a inflação).
Exemplo
▪ Admita uma aplicação de $ 7.500,00 em caderneta de poupança por 2 meses.
A TR definida para cada mês (na data de aniversário) é a seguinte:
▪ Mês 1 = 0,6839% a.m.;
▪ Mês 2 = 0,7044% a.m.
▪ Pede-se determinar o saldo disponível ao final de cada período
25/04/2018
Solução
▪ Mês 1:
▪ Mês 2:
05,589.7 $)005,1()006839,1(00,500.7 1 FV
72,680.7 $)005,1()007044,1(05,589.7 1 FV
AMORTIZAÇÃO
25/04/2018
Amortização de Empréstimos
▪ Quando os recursos próprios são insuficientes as empresas tomam
empréstimo.
▪ O valor desse empréstimo (o principal) terá que ser devolvido à instituição
financeira, acrescido de sua remuneração (os juros).
▪ Um sistema de amortização nada mais é do que uma forma de devolução do
principal mais os juros ao longo do tempo.
Amortização de Empréstimos
▪ Em todos os sistemas de amortização o valor da prestação é dado
pela soma dos juros mais a amortização:
Prestação = Juros + Amortização
25/04/2018
Sistema de Amortização Francês
▪ Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação
Constante” é muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito
direto ao consumidor.
▪ Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a um
fluxo uniforme.
▪ A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de
amortização aumenta com o tempo.
Exemplo
▪ Montar o quadro de amortização para um financiamento de
$ 100.000,00, a juros de 15% a.a., com prazo de 5 anos,
amortizável pelo sistema PRICE em 5 prestações anuais.
25/04/2018
Solução
1
2
3
4
5
$ 29.831,56 $ 15.000,00$ 14.831,56$ 85.168,44
$ 12.775,27$ 29.831,56 $ 17.056,29$ 68.112,16
$ 10.216,82$ 29.831,56 $ 19.614,73$ 48.497,42
$ 7.274,61$ 29.831,56 $ 22.556,94$ 25.940,48
$ 3.891,07$ 29.831,56 $ 25.940,480
▪ Notem que quanto menor o saldo devedor menores serão os juros e,
dado que as prestações são constantes, a amortização cresce com o
tempo.
Exercício
▪ Uma instituição financeira emprestou $ 20.100,00 à um indivíduo. O pagamento se
dará em 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas. A primeira prestação é
postecipada e a taxa de juros é 2,9% a.m. Pede-se: monte as 3 primeiras linhas da
tabela PRICE.
25/04/2018
Sistema de Amortizações Constantes
▪ Nesse sistema as amortizações são constantes e calculadasda seguinte forma:
n
PrincipaloAmortizaçã 
Exemplo
▪ Montar o quadro de amortização para um financiamento de
$ 100.000,00, a juros de 15% a.a., com prazo de 5 anos,
amortizável pelo sistema SAC em 5 prestações anuais.
25/04/2018
Solução
1
2
3
4
5
$ 35.000,00 $ 15.000,00$ 20.000,00$ 80.000,00
$ 12.000,00$ 32.000,00 $ 20.000,00$ 60.000,00
$ 9.000,00$ 29.000,00 $ 20.000,00$ 40.000,00
$ 6.000,00$ 26.000,00 $ 20.000,00$ 20.000,00
$ 3.000,00$ 23.000,00 $ 20.000,000
▪ Ao longo do tempo, os juros e as prestações vão decrescendo, de tal modo que a
amortização permaneça constante.
Exercício
▪ Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um empréstimo no
valor de $ 18.000,00, para ser pago em 8 prestações, com amortização
mensal pelo sistema SAC e taxa de juros de 1,5% a.m. Pede-se: monte
as 3 primeiras linhas da tabela SAC.
25/04/2018
Outros Sistemas de Amortização
▪ Sistema de Amortização Misto: Cada PMT é dado pela
média aritmética dos PMTs dos sistemas PRICE e SAC.
▪ Sistema de Amortização Americano: A devolução do
principal é efetuada de uma só vez ao final do período, ou
seja, a cada período intermediário paga-se apenas os juros.
Nota sobre Carência
▪ A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas
instituições financeiras.
▪ Durante o período de carência, em geral, paga-se somente os
juros do período, enquanto o principal permanece inalterado.
▪ Mas também há casos em que não se paga os juros, sendo estes
capitalizados e acrescidos ao principal.
25/04/2018
Análise de Investimentos
Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR)
▪ A taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala, em
determinado momento do tempo, o valor presente das
entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos)
previstas em caixa.
▪ Geralmente, adota-se a data de início da operação como
data focal.
25/04/2018
Exemplo
▪ Admita um empréstimo de $ 30.000,00 a ser liquidado por meio de
dois pagamentos mensais e sucessivos de $ 15.500,00 cada.
Calcule a TIR.
Solução Algébrica
▪ Da definição temos que a TIR é aquela que resolve a
seguinte equação:
▪ Ou seja, TIR = 2,21% a.m.
2)1(
00,500.15
)1(
00,500.1500,000.30
ii 



25/04/2018
Solução na HP-12C
▪ Primeiramente, precisamos “escrever” o fluxo de caixa na
calculadora:
▪ 30.000 » CF0 » 15.500 » CHS » CFj » 2 » Nj
▪ Depois “pedimos” a TIR:
▪ IRR = 2,21% a.m.
Exercício
▪ Admita que um investimento de $ 70.000,00 promova expectativas de
benefícios de caixa de $ 20.000,00, $ 40.000,00, $ 45.000,00 e $
30.000,00, respectivamente, ao final dos próximos 4 anos. Calcule a TIR.
25/04/2018
TIR e a Tomada de Decisão
▪ Do ponto de vista estritamente financeiro, se tivermos que escolher entre
dois projetos de investimento devemos escolher aquele que apresentar a
maior TIR, ou seja, a maior taxa de rentabilidade efetiva.
TIR e a Tomada de Decisão
▪ Ao decidirmos a execução, ou não, de um investimento
devemos comparar a TIR com o custo de oportunidade do
capital (melhor rentabilidade disponível no mercado).
▪ Se a TIR for maior, vale a pena investir! Caso contrário, não!
25/04/2018
Comentários
▪ Se o prazo do investimento for muito longo e com muitas
mudanças de sinais no fluxo de caixa, então pode ser que
haja múltiplas TIRs ou nenhuma.
▪ Se o custo de oportunidade mudar ao longo do tempo
devemos comparar a TIR com qual deles?
Valor Presente Líquido (VPL ou NPV)
▪ O valor presente líquido de um fluxo de caixa é obtido pela diferença
entre o valor presente dos recebimentos (ou pagamentos) previstos e
o valor presente do fluxo de caixa inicial.
25/04/2018
Valor Presente Líquido (VPL ou NPV)
▪ Comparativamente ao método da TIR, o VPL exige a
definição prévia da taxa de desconto a ser empregada na
atualização dos fluxos de caixa.
▪ Na verdade, o VPL não identifica diretamente a taxa de
rentabilidade da operação, mas sim o resultado econômico
em moeda atualizada.
Exemplo
▪ Admita que uma empresa esteja avaliando um investimento
no valor de $ 750.000,00 do qual esperam-se benefícios
anuais de caixa de $ 250.000,00 no primeiro ano, $
320.000,00 no segundo, $ 380.000,00 no terceiro e $
280.000,00 no quarto. Supondo uma taxa de desconto de
20% a.a., calcule o VPL.
25/04/2018
Solução
▪ Da definição de VPL temos:
0
1 2 3 4 (ano)
$ 750.000,00
$ 250.000,00 $ 320.000,00 $ 380.000,00 $ 280.000,00
82,493.35$000.750
)20,1(
000.280
)20,1(
000.380
)20,1(
000.320
)20,1(
000.250
432 VPL
Solução na HP-12C
▪ Precisamos “escrever” o fluxo na HP-12C (em ordem):
▪ 750.000 » CHS » CF0 » 250.000 » CFj » 320.000 » CFj » 380.000 » CFj » 280.000 » CFj
▪ Inserir a taxa e “pedir” o VPL:
▪ 20 » i » NPV = $ 35.493,82
25/04/2018
Comentário
▪ Mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20% a.a. o VPL é
maior do que zero, indicando que a alternativa de investimento oferece
uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20%. Nesta situação
(VPL > 0) o investimento se torna financeiramente aceitável.
VPL e a Tomada de Decisão
▪ Obviamente, entre dois investimentos possíveis devemos
escolher aquele que apresentar o maior VPL.
▪ Lembra do conceito de equivalência de fluxos em juros
compostos? Pois é, comparar VPLs significa fixar a data
focal em 0 e comparar os fluxos!
25/04/2018
VPL e a Tomada de Decisão
▪ Ao decidirmos a execução, ou não, de um investimento devemos
comparar o VPL com a alternativa de “fazer nada”:
▪ VPL > 0 então investe.
▪ VPL < 0 então não investe.
Comentários
▪ O método do VPL é útil pois reconhece o valor do dinheiro no tempo.
▪ Além disso, VPLs de projetos diferentes podem ser somados, o que 
nos permite comparar grupos de projetos.
25/04/2018
Relação entre TIR e VPL
▪ Do ponto de vista do investidor o VPL decresce com a taxa de desconto,
ou seja, quanto maior a taxa de desconto, menor o VPL.
▪ A TIR é a taxa de desconto que zera o VPL.
▪ Logo, do ponto de vista do investidor, a TIR é a maior taxa de desconto
que ainda produz um VPL positivo.
▪ Portanto, se a taxa de desconto dos fluxos for menor que a TIR então o
projeto é lucrativo pelo método VPL.
TIR e VPL Graficamente: Investidor
Taxa de 
Desconto
VPL ($)
TIR
Ponto de Vista do Investidor 
(aquele que desembolsa na data 0)
25/04/2018
Relação entre TIR e VPL
▪ Do ponto de vista do tomador de capital o VPL cresce com a
taxa de desconto, ou seja, quanto maior a taxa de desconto,
maior o VPL.
▪ A TIR é a taxa de desconto que zera o VPL.
▪ Logo, do ponto de vista do tomador, a TIR é a menor taxa de
desconto que ainda produz um VPL positivo.
Taxa de 
Desconto
VPL ($)
TIR
Ponto de Vista do Tomador 
(aquele que recebe na data 0)
TIR e VPL Graficamente: Tomador
25/04/2018
Exercício
▪ Uma empresa está avaliando um investimento no valor de $
100.000,00 prevendo-se os seguintes fluxos de caixa ao final
dos próximos 4 anos: $ 15.000,00, $ 20.000,00, $ 90.000,00
e 110.00,00. Admitindo uma taxa de desconto de 20% a.a.,
calcule o VPL, a TIR e diga se esse projeto é financeiramente
atrativo.