geometria analitica

Prévia do material em texto

Livro Eletrônico
Aula 13
Conhecimentos Específicos p/ SEDU-ES (Professor de Matemática)
Professor: Arthur Lima
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 
AULA 13: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Princípios de contagem ou análise combinatória 01 
2. Resolução de exercícios 30 
3. Questões apresentadas na aula 71 
4. Gabarito 84 
 
 
 
Caro aluno, seja bem-vindo a esta aula! Neste encontro vamos 
estudar o trecho a seguir do seu edital: 
 
Geometria Analítica 
 
Tenha uma excelente aula, e lembre-se de seguir meu Instagram, 
onde posto dicas diárias para complementar sua preparação: 
www.instagram.com/ProfArthurLima 
(@ProfArthurLima) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 
1. TEORIA 
1.1 COORDENADAS CARTESIANAS 
 O plano cartesiano é formado por 2 eixos que se cruzam conforme a 
figura abaixo: 
 
Y
X
0
 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou, 
simplesmente, eixo X. Já o eixo da vertical é chamado de eixo das 
ordenadas ou, simplesmente, eixo Y. O cruzamento dos dois eixos 
representa o ponto de origem, isto é, o ponto onde se localiza o zero de 
cada eixo. A partir dessa origem, os valores de cada eixo crescem no 
sentido das setas. Isto é, no eixo X, os valores crescem para a direita. 
Portanto, à direita da origem teremos os valores positivos de X, e à 
esquerda teremos os valores negativos. Já no eixo Y, os valores crescem 
para cima, de modo que na parte acima da origem teremos os valores 
positivos e, na parte abaixo da origem, os valores negativos. 
 Veja que os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes, 
numerados na figura abaixo no sentido anti-horário: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 
 
 Podemos definir um ponto P em qualquer posição do plano 
cartesiano simplesmente dizendo qual o valor de sua abscissa X e qual o 
valor de sua ordenada Y. Normalmente escrevemos os valores da abscissa 
e da ordenada entre parenteses, sendo que o primeiro valor refere-se ao 
eixo X e o segundo ao eixo Y. Algo como P = (x, y). Por exemplo, se 
tivermos o ponto P = (4, 5), podemos entender que o valor da abscissa 
desse ponto é x = 4 e o valor da ordenada é y = 5. Podemos localizar 
esse ponto no plano cartesiano, como você vê abaixo: 
Y
X
0 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
P (4, 5)
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 
Observe que bastou localizarmos a posição x = 4, traçarmos uma 
linha vertical (perpendicular ao eixo X), e, a seguir, localizar y = 5 e 
traçar uma linha horizontal (perpendicular ao eixo Y). O ponto P (4, 5) 
fica no cruzamento entre as duas linhas pontilhadas que traçamos. Dessa 
forma, você consegue localizar qualquer ponto no plano. 
 Observe ainda que o ponto P que desenhamos encontra-se no 1º 
quadrante. Notou que todos os pontos do primeiro quadrante terão 
valores positivos para a abscissa e também para a ordenada? 
 Já os pontos do segundo quadrante tem valores negativos de X e 
positivos de Y. Para exemplificar, localizei na figura abaixo o ponto A (-5, 
2): 
 
 Da mesma forma, os pontos do 3º quadrante tem valores negativos 
tanto na abscissa (X) quanto na ordenada (Y). E, no 4º quadrante, os 
pontos tem valores positivos na abscissa (X), porém negativos na 
ordenada (Y). Por exemplo, se uma questão disser que um determinado 
ponto A possui x > 0 e y < 0, você facilmente saberá localizar em que 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 
quadrante ele se encontra: o quarto quadrante. A tabela abaixo resume 
este assunto: 
Quadrante Sinal da abscissa (x) Sinal da ordenada 
(y) 
1 + + 
2 - + 
3 - - 
4 + - 
 
 9DOH�DLQGD�D�SHQD�YRFr�FRQKHFHU�XPD�UHWD�FKDPDGD�³ELVVHWUL]�GRV�
TXDGUDQWHV�tPSDUHV´��7UDWD-se de uma reta que divide ao meio tanto o 1º 
quanto o 3º quadrantes, como você vê na figura abaixo. Veja que todos 
os pontos dessa reta tem a abscissa igual à ordenada. Exemplifiquei 
mostrando 2 pontos: 
 
 2XWUD� UHWD� EHP� FRQKHFLGD� p� D� ³ELVVHWUL]� GRV� TXDGUDQWHV� SDUHV´��
Essa reta divide tanto o 2º quanto o 4º quadrantes ao meio. Nessa reta, 
todos os pontos tem a abscissa com o valor oposto da ordenada. O ponto 
C (-3, 3), por exemplo, pertence à esta reta. 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 Dados dois pontos em um plano cartesiano, é fácil calcular a 
distância entre eles utilizando o teorema de Pitágoras. Vamos visualizar 
isso através de um exemplo. Imagine dois pontos A (1, 1) e B (4, 5) cuja 
distância um do outro queremos calcular. Veja-os no plano cartesiano: 
 
 A distância entre os pontos A e B é dada pelo tamanho do segmento 
de reta d, desenhado na figura. Para obtê-lo, podemos desenhar o 
triângulo retângulo visto abaixo: 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 
Observe que, ao desenhar o triângulo, encontramos o ponto C (4, 
1). No triângulo acima, o lado AC tem tamanho dx, e o lado BC tem 
tamanho dy. Veja que é fácil calcular dx: como o segmento AC é paralelo 
ao eixo X, basta vermos que ele começa na posição x = 1 e termina em x 
= 4. Portanto, dx = 4 ± 1 = 3. Da mesma forma, como o segmento BC é 
paralelo ao eixo Y, basta vermos que ele começa em y = 1 e termina em 
y = 5, de forma que dy = 5 ± 1 = 4. Assim, temos: 
 
 Trata-se de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4, e 
com a hipotenusa medindo d. O teorema de Pitágoras diz que a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou seja: 
2 2 23 4 d� 
 Portanto, 
2
2
9 16
25
25 5
d
d
d
� 
 
 
 
 Assim, a distância entre os pontos A e B é de 5 unidades. Observe 
que, tendo os pontos A (1, 1) e B (4, 5), o que fizemos foi a seguinte 
conta: 
2 2 2
2 2 2
(4 1) (5 1)
3 4
d
d
� � � 
� 
 
 Observe que dentro de um dos parênteses temos a subtração entre 
os valores das abscissas (x) dos pontos A e B, e no outro parênteses 
temos a substração entre os valores das ordenadas (y). 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof.Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 
 Logo, podemos criar a seguinte fórmula para calcular a distância (d) 
entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb): 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d� � � 
 A título de exemplo, vamos calcular a distância entre os pontos A (-
2, -7) e B (3, -5). Veja que xa = -2, ya = -7, xb = 3 e yb = -5. Portanto: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
( ) ( )
( 2 3) ( 7 ( 5))
( 5) ( 7 5)
25 ( 2)
25 4
29
xa xb ya yb d
d
d
d
d
d
� � � 
� � � � � � 
� � � � 
� � 
� 
 
 
 Assim, a distância entre os pontos A (-2, -7) e B (3, -5) é de 29 
unidades. 
 
PONTO MÉDIO 
 Quando temos dois pontos A(x, y) e B(z,w), podemos calcular o 
ponto médio entre eles, ou seja, o ponto que se situa à meia distância 
entre ambos. Para isto, basta obter as coordenadas do ponto médio 
PM(xm, ym) assim: 
xm = (x+z)/2 
ym = (y+w)/2 
 
 Veja que nós simplesmente somamos as coordenadas 
correspondentes e dividimos por dois. Se temos os pontos A(3,4) e 
B(5,6), podemos obter o ponto médio fazendo: 
xm = (3+5)/2 = 4 
ym = (4+6)/3 = 5 
 
 Portanto, o ponto médio é PM (4,5). 
 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 
1.2 VETOR 
GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS 
 Imagine uma caixa de sapatos no chão do seu quarto. Você pode 
obter diversas medidas relativas a esta caixa. Por exemplo, você pode 
medir a altura da caixa, a massa da caixa, e até mesmo a temperatura na 
superfície da caixa. Suponha que essas medidas foram: altura de 10cm, 
massa de 450g, temperatura de 25oC. Repare que todas essas grandezas 
(altura, massa e temperatura) podem ser expressas apenas por um 
número seguido de uma unidade de medida (centímetros, gramas, graus 
Celsius). Chamamos de grandezas escalares estas que podem ser 
expressas apenas por um número e sua respectiva unidade de medida. 
 Suponha que você pretenda deslocar a caixa de lugar. Para isto 
você precisará aplicar uma força sobre esta caixa. A unidade de medida 
de força é denominada Newton, e simbolizada pela letra N. Se você 
aplicar uma força de 10N, o que vai acontecer com a caixa? Para onde ela 
YDL�VH�PRYHU"�5HSDUH�TXH�QR�FDVR�GD�JUDQGH]D�³IRUoD´�QmR�p�VXILFLHQWH�
saber o número e a unidade de medida. É preciso saber também a 
direção e o sentido de aplicação da força. Caso você aplique esta força na 
GLUHomR�YHUWLFDO�H�QR�VHQWLGR�³GH�FLPD�SDUD�EDL[R´��YRFr�YDL�FRPSULPLU�D�
caixa em relação ao chão, podendo inclusive amassá-la. Caso você 
DSOLTXH�D�IRUoD�QD�GLUHomR�YHUWLFDO�H�QR�VHQWLGR�³GH�EDL[R�SDUD�FLPD´��YRFr�
vai tirar a caixa do chão. E se você aplicar a força na direção horizontal e 
QR�VHQWLGR�³GD�HVTXHUGD�SDUD�D�GLUHLWD´��SRU�H[HPSOR��YRFr�YDL�GHVORFDU�D�
caixa para a sua direita. 
 Assim, dizemos que a força é uma grandeza vetorial, pois para 
defini-la é preciso saber 3 componentes: o seu módulo (que é o número e 
a unidade de medida), a sua direção e o seu sentido. Exemplificando, 
podemos ter: 
- força com módulo de 10N��GLUHomR�KRUL]RQWDO��VHQWLGR�³GD�HVTXHUGD�SDUD�
D�GLUHLWD´� 
- IRUoD�FRP�PyGXOR���1��GLUHomR�YHUWLFDO��VHQWLGR�³GH�EDL[R�SDUD�FLPD´� 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 
 As grandezas vetoriais são representadas por vetores, que são 
setas como esta abaixo: 
 
 
 Veja que este é um vetor de módulo igual a 10N, direção horizontal 
H� VHQWLGR� ³GD� HVTXHUGD� SDUD� D� GLUHLWD´�� 1RUPDOPHQWH� VLPEROL]DPRV� XP�
vetor por uma letra com uma seta em cima. Algo como V . 
 
SOMA DE VETORES 
 Uma primeira operação que você precisa saber fazer com vetores é 
a soma entre eles. Para somar dois vetores, basta colocar um na 
sequência do outro e escrever então o vetor resultante da soma, que é 
um vetor que parte do início do primeiro e vai até o final do segundo. Por 
exemplo, vamos somar os dois vetores abaixo: 
 
 
 
 Como eu disse, devemos colocar um vetor em sequência do outro e 
então desenhar o vetor resultante (em vermelho): 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 
 
 
 Note que não se trata de somar os módulos dos dois vetores, mas 
sim fazer uma composição entre eles, obtendo o vetor resultante. 
 
 Para você visualizar melhor, vamos imaginar dois vetores no plano 
cartesiano. Suponha que o primeiro vetor parte do ponto A(1,1) e vai até 
o ponto B(2,3). Já o segundo vetor parte do ponto B e vai até o ponto 
C(5,0). Temos algo assim: 
 
 
 Efetuando a soma entre os vetores AB e BC, temos o vetor que 
inicia em A e termina em C, ou seja, o vetor AC, em vermelho: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 
 
 
 &RPR�QyV�ID]HPRV�SDUD�FDOFXODU�R�³WDPDQKR´��LVWR�p��R�PyGXOR��GH�
cada um desses vetores? Basta utilizarmos a fórmula de distância entre 
dois pontos que aprendemos a calcular. Veja abaixo o cálculo dos 
módulos dos três vetores: 
 
|AB| 2 = (2-1)2 + (3-1)2 
|AB| 2 = (1)2 + (2)2 
|AB| 2 = 1 + 4 
|AB| = 5 
|AB| = 2,23 (aproximadamente) 
 
|BC| 2 = (5-2)2 + (0-3)2 
|BC| 2 = (3)2 + (-3)2 
|BC| 2 = 9 + 9 
|BC| = 18 
|BC| = 4,24 (aproximadamente) 
 
|AC| 2 = (5-1)2 + (0-1)2 
|AC| 2 = (4)2 + (-1)2 
|AC| 2 = 16 + 1 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 
|AC| = 17 
|AC| = 4,12 (aproximadamente) 
 
 Repare que, embora o vetor AC seja resultado da soma dos vetores 
AB e BC, o seu módulo é MENOR do que a soma dos módulos (que seria 
2,23 + 4,24). Em realidade, o módulo de AC é menor até mesmo que o 
módulo do vetor BC sozinho. 
 Portanto, repare que a soma vetorial não é tão intuitiva quanto a 
soma de grandezas escalares. 
 
 Quando trabalhamos com um vetor, podemos multiplicá-lo por uma 
grandeza escalar (isto é, multiplica-lo por um número). Por exemplo, 
imagine o vetor abaixo: 
 
 
 Eu posso multiplicar este vetor por 2, por exemplo, obtendo o vetor 
abaixo: 
 
 
 Notou o que acontece quando multiplicamos um vetor por um 
número? Nós simplesmente aumentamos o módulo e, consequentemente, 
o tamanho do vetor. Se eu tivesse multiplicado por ½ , teria reduzido o 
vetor pela metade, ficando com apenas 5N. E se eu tivesse multiplicado 
por um número negativo? Se eu fizer isto, estarei INVERTENDO o sentido 
do vetor! Suponha que eu multiplique este vetor de 20N por -1/4. O que 
acontece? O módulo passa a ser de 20/4 = 5N apenas. E o sentido fica 
invertido, uma vez que multiplicamos por um número negativo. Ficamos 
com: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br14 
 
 
 Simples, não? 
 
 Até aqui trabalhamos vetores em um plano cartesiano, isto é, em 
duas dimensões. Mas nós podemos ter vetores no espaço tridimensional. 
Observe um plano tridimensional abaixo, composto pelas coordenadas X, 
Y e Z, bem como um vetor (em vermelho) neste plano: 
 
 
 Podemos escrever o vetor AB simplesmente subtraindo as 
coordenadas de A das coordenadas de B, isto é, 
Vetor AB = B ± A 
Vetor AB = (4,3,0) ± (0,0,1) 
Vetor AB = (4-0, 3-0, 0-1) 
Vetor AB = (4, 3, -1) 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 
 Se quisermos calcular o módulo deste vetor, basta elevar cada 
coordenada ao quadrado, soma-las e tirar a raiz quadrada, isto é: 
Módulo de AB = raiz de (4)2 + (3)2 + (-1)2 
Módulo de AB = raiz de 16 + 9 + 1 
Módulo de AB = raiz de 26 
Módulo de AB = 5,1 (aproximadamente) 
 
PRODUTO ESCALAR 
 Imagine que temos dois vetores: A(a, b, c) e B(d, e, f). Chamamos 
de produto escalar entre os vetores A e B a seguinte operação: 
 
A.B = a.d + b.e + c.f 
 
 Ou seja, se temos os vetores A(2,4,1) e B (0,1,-1), o produto 
escalar entre esses dois vetores é: 
A.B = 2.0 + 4.1 + 1.(-1) 
A.B = 0 + 4 ± 1 
A.B = 3 
 
 Repare que o produto escalar entre dois vetores é simplesmente um 
número, isto é, uma grandeza escalar, e não vetorial (por isso o nome 
³SURGXWR�HVFDODU´��� 
 Guarde esta simples operação, pois ela nos será bastante útil 
adiante nesta aula, ok? 
 Ainda tratando de produto escalar, precisamos gravar uma 
propriedade importantíssima: o produto escalar entre dois vetores 
ortogonais (isto é, dois vetores perpendiculares entre si, formando um 
ângulo de 90º) é igual a ZERO. 
 
PRODUTO VETORIAL 
 Imagine dois vetores quaisquer. Desenhe-os começando a partir do 
mesmo ponto. Algo como: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 
 
 
 Quando temos dois vetores assim, podemos desenhar um terceiro 
vetor que seja perpendicular aos dois, isto é, um vetor que forme ângulo 
de 90 graus com os dois anteriores. Algo como este vetor em vermelho: 
 
 
 
 &KDPDPRV�HVWH�YHWRU�HP�YHUPHOKR�GH�³YHWRU�QRUPDO´��LVWR�p��YHWRU�
perpendicular aos dois anteriores. Para obter o vetor normal, basta 
calcularmos o produto vetorial entre os dois vetores anteriores. Por 
exemplo, suponha que temos os vetores A(2,4,1) e B (0,1,-1). Para 
calcular o produto vetorial, basta montarmos um determinante 3x3 onde 
a primeira linha é formada pelas variáveis (x, y e z, ou, como 
normalmente fazemos, i, j e k), a segunda linha é composta pelas 
coordenadas do vetor A e a terceira linha pelas coordenadas do vetor B. 
Algo como: 
 
 
i j k 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 
2 4 1 
0 1 -1 
 
 Calculando o determinante, temos: 
A x B = i.4.(-1) + j.1.0 + 2.1.k ± k.4.0 ± j.2.(-1) ± i.1.1 
A x B = -4i + 0 + 2k ± 0 + 2j ± i 
A x B = -5i + 2j + 2k 
 
 Como o próprio nome sugere, o produto vetorial A x B tem como 
resultado um vetor, que neste caso é o vetor (-5, 2, 2), isto é, o vetor 
formado pelos números que multiplicam i, j e k respectivamente. 
 
1.3 ESTUDO ANALÍTICO DA RETA 
EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 
 Imagine que temos uma reta cujo vetor diretor é (2,3,4) e que 
passa pelo ponto A(1,0,3). Podemos calcular qualquer outro ponto (x,y,z) 
desta reta de forma simples: basta partir do ponto A e somar o vetor 
GLUHWRU���������SRU�³W´�YH]HV��,VWR�p�� 
Ponto da reta = Ponto A + t x Vetor 
P = A + t x V 
 
 Esta é a forma vetorial da equação da reta. Podemos substituir P, A 
e V obtendo: 
(x,y,z) = (1,0,3) + t.(2,3,4) 
 
 A partir da equação acima, podemos separar cada uma das 
coordenadas, obtendo a forma paramétrica da equação: 
x = 1 + 2.t 
y = 0 + 3.t 
z = 3 + 4.t 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 
 Esta é a equação paramétrica da reta. Trata-se de uma forma 
bastante útil de se escrever a equação da reta, como veremos em 
momentos posteriores. 
 
 Se forem fornecidos apenas 2 pontos da reta, devemos começar 
calculando o vetor diretor. Por exemplo, suponha que temos os pontos 
A(1,2, 3) e B(0,1, 0), e queremos calcular a equação da reta que passa 
por estes pontos. Podemos começar calculando o vetor AB, que é o vetor 
diretor da reta: 
AB = B ± A = (0,1,0) ± (1,2,3) = (-1, -1, -3) 
 
 Tendo este vetor, e sabendo que a reta passa pelo ponto A, 
podemos escrever a equação vetorial desta reta: 
P = A + t x AB 
 
 Substituindo o que nós temos: 
(x,y,z) = (1,2,3) + t.(-1,-1,-3) 
 
 Podemos ainda separar cada coordenada, chegando na forma 
paramétrica: 
x = 1 ± t 
y = 2 ± t 
z = 3 ± 3t 
 
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS 
 Analisando a posição de duas retas, uma em relação à outra, 
podemos dizer que elas se classificam como: concorrentes, paralelas ou 
reversas. Vejamos cada caso. 
Dizemos que duas retas são concorrentes entre si quando elas se 
cruzam em um ponto: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 
 
 
 
 Duas retas são paralelas quando elas seguem o mesmo caminho 
³ODGR�D�ODGR´��HVWDQGR�VHPSUH�j�PHVPD�GLVWkQFLD�XPD�GD�RXWUD��PDV�QmR�
se cruzam nunca. Veja essas duas: 
 
 
 
 Por fim, duas retas são reversas quando elas nunca se cruzam, mas 
também não são paralelas entre si. Isso acontece apenas no espaço 
tridimensional. Veja isso nas duas retas abaixo: 
 
 Conseguiu visualizar? Repare que essas duas retas não se cruzam 
em um ponto. Uma reta (vermelha) segue uma aresta superior do 
paralelepípedo desenhado, a outra reta (azul) segue uma aresta na base 
do paralelepípedo. No ponto onde elas parecem se cruzar na figura, na 
realidade uma está abaixo da outra. 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 Imagine que temos o ponto P(x0,y0) e a reta r cuja equação é ax + 
by + c = 0. A distância entre este ponto e a reta é dada por: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
e
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 
0 0
2 2
| . |a x by cd
a b
� � � 
 
 Portanto, se temos o ponto P(1,2) e a reta 4x + 3y ± 11 = 0, a 
distância entre eles é dada por: 
0 0
2 2
| . |a x by cd
a b
� � � 
2 2
| 4.1 3.2 11|
4 3
d � � � 
| 4 6 11|
16 9
d � � � 
| 1|
25
d � 
1
5
d 
 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS PARALELAS 
 Imagine que temos duas retas paralelas no plano bidimensional. Se 
HODV� VmR� SDUDOHODV�� HQWmR� SRVVXHP� RV� PHVPRV� FRHILFLHQWHV� ³D´� H� ³E´��
diferindo apenas no coeficiente independente. Isto é, podemos 
representa-lasassim: 
r: ax + by = c 
s: ax + by = d 
 
 Por exemplo, podemos ter as retas: 
r: 3x + 4y = 7 
s: 3x + 4y = 12 
 
 A distância entre elas é constante, afinal são retas paralelas. Essa 
distância pode ser facilmente calculada assim: 
2 2
| |( , ) c dd r s
a b
� � 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
9
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 
2 2
| 7 12 |( , )
3 4
d r s � � 
| 5 |( , )
9 16
d r s � � 
5( , )
25
d r s 
5( , ) 1
5
d r s 
 
 2X� VHMD�� HVVDV� GXDV� UHWDV� ³FRUUHP´� ODGR� D� ODGR�� VHSDUDGDV� SRU�
apenas 1 unidade de distância. 
 
PONTOS COLINEARES 
 Dizemos que 3 pontos são colineares quando fazem parte de uma 
mesma reta, ou seja, quando eles estão perfeitamente alinhados. Dados 3 
pontos, podemos rapidamente verificar se eles são ou não colineares 
calculando o determinante abaixo: 
 
X1 X2 1 
Y1 Y2 1 
 Z1 Z2 1 
 
 Neste determinante, temos os pontos de coordenadas (X1,X2), 
(Y1,Y2) e (Z1,Z2). Se o determinante for igual a zero, então os pontos 
são colineares. 
 Exemplificando, vamos verificar se os pontos a seguir são 
colineares: 
(-1,1) 
(3,5) 
(1,3) 
 
 Preparando o determinante: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
7
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 
-1 1 1 
3 5 1 
 1 3 1 
 
 Calculando-o: 
-1.5.1 + 3.3.1 + 1.1.1 ± 1.5.1 ± 1.3.1 ± 1.3.(-1) = 
-5 + 9 + 1 ± 5 ± 3 + 3 = 
-13 + 13 = 
0 
 
 Portanto, como o determinante foi igual a zero, podemos afirmar 
que os 3 pontos são colineares, pertencendo à mesma reta. De fato, 
verifique que esses 3 pontos pertencem à reta y = x + 2. 
 
1.4 ESTUDO ANALÍTICO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 A circunferência pode ser definida como sendo o lugar geométrico 
dos pontos do plano que se encontram à uma distância definida de um 
determinado ponto. Este ponto é o centro da circunferência, e todos os 
demais pontos devem estar à uma distância fixa dele, que é o Raio da 
circunferência. 
Vale lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer 
é: 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d� � � 
 
 Assim, sendo C o ponto central da circunferência, cujas 
coordenadas podem ser designadas por C (xc, yc), e sendo P um ponto 
qualquer ao longo da circunferência, cujas coordenadas são P(x, y), 
SRGHPRV�FDOFXODU�D�GLVWkQFLD�³G´�HQWUH�HVVHV�GRLV�SRQWRV�HVFUHYHQGR� 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = d2 
 Como queremos que a distância entre o centro e os pontos da 
circunferência seja exatamente igual ao Raio da circunferência, que 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
9
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 
FKDPDUHPRV�GH�5��SRGHPRV�VXEVWLWXLU�³G´�SRU�³5´�QD�H[SUHVVmR�DQWHULRU��
obtendo: 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 
 
 Esta é a equação da circunferência. Para trabalharmos um caso 
concreto, vamos escrever a equação da circunferência que tem centro em 
(3,1) e raio igual a 5. Ou seja, temos xc = 3, yc = 1, e R = 5. Na 
fórmula: 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 
(x ± 3)2 + (y ± 1)2 = 52 
(x ± 3)2 + (y ± 1)2 = 25 
 
 Podemos ainda desenvolver essas fórmulas, retirando os 
parênteses, ficando com: 
x2 ± 6x + 9 + y2 ± 2y + 1 = 25 
x2 + y2 ± 6x ± 2y ± 15 = 0 
 
 Sabendo a equação da circunferência, fica fácil você encontrar 
pontos que fazem parte da mesma. Por exemplo, podemos buscar pontos 
nesta circunferência que tenham coordenada x = 3. Para isto, basta 
substituirmos x = 3 na fórmula da circunferência e verificarmos os valores 
de y: 
(x ± 3)2 + (y ± 1)2 = 25 
(3 ± 3)2 + (y ± 1)2 = 25 
(y ± 1)2 = 25 
y ± 1 = 5 ou y ± 1 = -5 
y = 6 ou y = -4 
 
 Portanto, para x = 3, temos dois pontos da circunferência: 
P1: (3, 6) 
P2: (3, -4) 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
6
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 
 Dizemos que uma reta é TANGENTE à circunferência quando ela só 
tem 1 ponto em comum com a circunferência. Já uma reta é SECANTE 
quando ela tem 2 pontos em comum com a circunferência, ou seja, ela 
cruza a circunferência em 2 pontos. E pode ainda ocorrer de uma 
determinada reta não ter nenhum ponto em comum com a circunferência, 
isto é, ser externa à circunferência. 
 Para descobrir a posição relativa entre uma reta e uma 
circunferência, basta você partir das equações de ambas. Sabendo a 
equação da reta, substitua a sua expressão na equação da circunferência, 
e verifique se você encontra alguma raiz. O número de raízes vai te dizer 
a posição relativa (1 raiz = tangente, 2 raizes = secante, nenhuma raiz = 
externa). 
 Para sabermos se um determinado ponto está DENTRO, FORA ou 
SOBRE a circunferência, basta calcular a sua distância em relação ao 
centro. Se essa distância for MENOR que o raio da circunferência, o ponto 
está DENTRO da mesma. Se a distância for IGUAL ao raio, o ponto está 
SOBRE a circunferência. E se a distância for MAIOR que o raio, o ponto 
está claramente FORA da circunferência. 
 
1.5 ESTUDO ANALÍTICO DA ELIPSE, DA PARÁBOLA E DA 
HIPÉRBOLE 
Elipse 
 Veja abaixo a figura de uma elipse. 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 
 Afinal de contas, o que realmente é uma elipse? Dados dois pontos 
F1 e F2, dizemos que a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma 
das distâncias para F1 e para F2 seja igual a um valor determinado. 
Chamamos os pontos F1 e F2 de focos da elipse. Na figura acima, os 
pontos P1 e P2 fazem parte da elipse. Isto significa que a soma dos 
segmentos em preto (distâncias de P1 para F1 e F2) é igual à soma dos 
segmentos em vermelho (distâncias de P2 para F1 e F2). 
 6HQGR�3�XP�SRQWR�TXDOTXHU�GD�HOLSVH��H�³�D��D�VRPD�GDV�GLVWkQFLDV�
de cada ponto da elipse aos focos, podemos escrever que: 
Distância (P,F1) + Distância(P, F2) = 2a 
 
 Para simplificar as nossas expressões, vamos imaginar que o centro 
desta elipse é a origem do plano cartesiano, isto é, (0,0). Chamando de 
³�F´�D�GLVWkQFLD�HQWUH�)��H�)���SRGHPRV�HQWmR�GHWHUPLQDU�DV�FRRUGHQDGDV�
de F1 e F2 como sendo: 
F1: (-c, 0) 
F2: (c, 0) 
 
 9DPRV� DLQGD� FKDPDU� GH� ³�D´� R� FRPSULPHQWR� GR� HL[R� PDLRU�
�KRUL]RQWDO��GD�HOLSVH��H�GH�³�E´�R�FRPSULPHQWR�GR�HL[R�PHQRU��YHUWLFDO��
da elipse. Veja esses comprimentos representados na figura abaixo: 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 
 Designando por P(x,y) as coordenadas de um ponto qualquer sobre 
a elipse, você deve guardar que a equação desta elipse é dada por: 
x2/a2 + y2/b2 = 1 
 
 Com esta equação você consegue encontrar pontos sobre a elipse. 
Vale a pena você saber ainda que há uma relação entre o semi-eixo maior 
(a), o semi-eixo menor (b)e a distância semi-focal (c), que é dada por: 
a2 = b2 + c2 
 
 Por fim, saiba que a relação abaixo nos dá a excentricidade da 
HOLSVH��LVWR�p��R�JUDX�GH�³DFKDWDPHQWR´�GD�HOLSVH� 
e = c / a 
 
 Quanto MENOR for o valor de c (isto é, quanto menor for a distância 
entre F1 e F2), MENOR é a excentricidade ou o achatamento, de forma 
que a elipse se aproxima do formato de uma circunferência. 
Tal qual a circunferência, quando temos uma elipse com centro 
(xc;yc) deslocado da origem a equação geral dela passa a ser do tipo: 
� � � �2 2
2 2
� ± � � ± �
 1
x xc y yc
a b
� 
 
 
 
Hipérbole 
 Sendo F1 e F2 dois pontos no plano, chamamos de hipérbole o lugar 
geométrico dos pontos tais que a diferença absoluta entre as distâncias 
para F1 e para F2 seja um valor fixo. Veja no desenho abaixo uma 
hipérbole (em AZUL), bem como dois pontos P1 e P2 que fazem parte da 
hipérbole, e os pontos focais F1 e F2: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 
 
 Em uma hipérbole podemos definir um semi-eixo real (a), que é a 
distância entre a origem do gráfico e a hipérbole, uma distância focal 
(2c), que é a distância entre os pontos F1 e F2, e um semi-eixo 
imaginário (b) que obedeça a relação: 
c2 = a2 + b2 
Veja isso na figura abaixo: 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 
 Com isso em mãos, podemos escrever que a equação da hipérbole 
é: 
x2/a2 ± y2/b2 = 1 
 
 Chamamos de excentricidade da hipérbole a relação e = c/a. 
 
Parábola 
 6HQGR�³U´�XPD�UHWD�TXDOTXHU�H�)�XP�SRQWR��FKDPDPRV�GH�SDUiEROD�
o lugar geométrLFR�GRV�SRQWRV�FXMD�GLVWkQFLD�SDUD�D�UHWD�³U´�VHMD�LJXDO�j�
distância para o ponto F. Veja isso na figura abaixo: 
 
 
 Qualquer ponto P(x,y) que fizer parte desta parábola (curva em 
azul) terá distância idêntica entre ele e o ponto F (que é o foco da 
parábola) e entre ele e a reta r (que é chamada reta diretriz). A distância 
HQWUH�D�UHWD�U�H�R�SRQWR�)�p�FKDPDGD�GH�³SDUkPHWUR´�GD�SDUiEROD��VHQGR�
GHVLJQDGD�SHOD�OHWUD�³S´� Sabemos também que como o vértice pertence à 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 
parábola, ele também obedece à regra de ser equidistante de F e da reta 
r, de forma que o vértice está a uma distância de p/2 de ambos. 
 A depender da posição da parábola, ela terá uma equação 
ligeiramente diferente. No caso desenhado acima, temos uma parábola 
com concavidade voltada para cima. A sua equação é dada por: 
x2 = 2.p.y 
 
 Se a concavidade fosse voltada para baixo, teríamos x2 = -2.p.y. 
 
Se a concavidade fosse voltada para a direita, teríamos y2 = 2.p.x, 
e se fosse voltada para a esquerda teríamos y2 = - 2.p.x. 
 
No caso mais geral, em que a parábola não tem vértice na origem 
mas sim em (xo;yo), sua equação fica sendo do tipo:- 
(x-xo)2 = 2.p.(y-yo) Æ reta diretriz paralela ao eixo x 
(y-yo)2 = 2.p.(x-xo) Æ reta diretriz paralela ao eixo y 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 
2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
Os assuntos tratados na aula de hoje são pouco cobrados em 
provas de concurso. No entanto, é importante que você os conheça. 
Vamos trabalhar algumas questões de fixação, elaboradas por mim, para 
que você relembre de todos os principais pontos da aula de hoje e depois 
vamos resolver algumas questões de concursos. 
 
 
 
1. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Calcule a distância entre os pontos 
(2,3) e (-1,9). 
RESOLUÇÃO: 
 A distância é dada por: 
2 2[2 ( 1)] (3 9)d � � � � 
2 2[2 1] ( 6)d � � � 
2 23 ( 6)d � � 
9 36d � 
45d 
5.9d 
3 5d 
Resposta: 3 5d 
 
2. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Calcule o ponto médio entre os pontos 
(2,3) e (-1,9). 
RESOLUÇÃO: 
 As coordenadas do ponto médio são: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 
Xm = [2 + (-1)] / 2 = ½ 
Ym = (3 ± 9) / 2 = -6/2 = -3 
 
 Logo, o ponto médio é PM (½ , -3). 
Resposta: (½ , -3) 
 
3. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Obtenha o produto escalar entre os 
vetores A(1,1,3) e B (-1, 0, 2). 
RESOLUÇÃO: 
 O produto escalar é dado por: 
A.B = 
(1,1,3).(-1,0,2) = 
1.(-1) + 1.0 + 3.2 = 
-1 + 0 + 6 = 
5 
Resposta: 5 
 
4. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Obtenha um vetor ortogonal ao plano 
definido pelos vetores A(1,1,3) e B(-1,0,2). 
RESOLUÇÃO: 
 Para obter um vetor que seja perpendicular aos dois vetores 
fornecidos, basta realizamos o produto vetorial: 
A x B = 
 
i j k 
1 1 3 
-1 0 2 
 
 Calculando o determinante: 
i.1.2 + j.3.(-1) + k.1.0 ± k.1.(-1) ± j.1.2 ± i.3.0 = 
2i ± 3j + 0 + k ± 2j ± 0 = 
2i ± 5j + k 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 
 
 Portanto, o vetor ortogonal é N (2,-5,1). 
Resposta: (2,-5,1) 
 
5. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Calcule a distância entre o ponto 
A(5,5) e a reta y = 2x ± 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Para calcular a distância entre um ponto e uma reta, o primeiro 
passo é escrever a equação da reta no formato ax + by + c = 0. Ou seja, 
no lugar de y = 2x ± 3, devemos escrever 2x ± y ± 3 = 0. Aqui vemos 
que a = 2, b = -1 e c = -3. 
 O ponto em relação ao qual queremos calcular a distância tem 
coordenadas x0 = 5 e y0 = 5. Assim, na fórmula da distância entre ponto 
e reta: 
0 0
2 2
| . |a x by cd
a b
� � � 
2 2
| 2.5 1.5 3 |
2 ( 1)
d � � � � 
|10 5 3 |
4 1
d � � � 
2
5
d 
2 5
5 5
d u 
2 5
5
d 
Resposta: 
2 5
5
d 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 
 
6. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Obtenha a distância entre as retas y 
= 3x ± 2 e y = 3x + 4. 
RESOLUÇÃO: 
 Para calcular a distância entre duas retas, basta escrevê-las no 
formato: 
r: ax + by = c 
s: ax + by = d 
 
 Neste caso, temos: 
r: y = 3x ± 2 
s: y = 3x + 4 
 
 Trocando os termos de lugar, para deixar x e y de um lado da 
equação e o termo independente do outro lado, temos: 
r: -3x + y = ± 2 
s: -3x + y = 4 
 
 Veja que as retas são paralelas, pois os coeficientes a e b são iguais 
para as duas. Temos a = -3 e b = 1 em ambos os casos. Colocando na 
fórmula da distância: 
2 2
| |( , ) c dd r s
a b
� � 
2 2
| 2 4 |( , )
( 3) 1
d r s � � � � 
| 6 |( , )
9 1
d r s � � 
6( , )
10
d r s 
6 10( , )
10
d r s 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRAMATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 
Resposta: 
6 10
10
 
 
7. PROF. ARTHUR LIMA ± 2016) Verifique se é possível traçar uma 
reta passando pelos pontos (1,1), (2,3) e (0,-1). 
RESOLUÇÃO: 
 Para saber se é possível traçar uma reta passando pelos pontos 
fornecidos, precisamos saber se eles são colineares. Para serem 
colineares, basta que o determinante abaixo seja igual a zero: 
X1 X2 1 
Y1 Y2 1 
Z1 Z2 1 
 
 Substituindo os valores: 
 
 
1 1 1 
2 3 1 
0 -1 1 
 
 Calculando o determinante: 
1.3.1 + 1.1.0 + 1.2.(-1) ± 1.3.0 ± 1.2.1 ± 1.1.(-1) = 
3 + 0 ± 2 ± 0 ± 2 + 1 = 
4 ± 4 = 
0 
 
 Como o determinante é igual a zero, então os pontos são 
colineares, ou seja, fazem parte de uma mesma reta. 
Resposta: CORRETO 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 
8. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2014) Considere a reta R1 dada pela 
equação 3y = -4x e a circunferência C1, dada pela equação x² + y² + 5x 
± 7y ± 1 = 0. A partir disso tem-se que: 
a) R1 é tangente à C1 e o centro de C1 é o ponto (-5/2; 7/2). 
b) R1 é exterior à C1 e o centro de C1 é o ponto (-5/2; 7/2). 
c) R1 é secante à C1 e o centro de C1 é o ponto (5/2;7/2). 
d) R1 é secante à C1 e o centro de C1 é o ponto (-5/2; 7/2). 
e) R1 é secante à C1 e o centro de C1 é o ponto (5/2;-7/2). 
RESOLUÇÃO: 
Nos pontos de contato entre a reta e a circunferência, temos os 
mesmos valores x e y. Portanto, da equação da reta podemos escrever: 
3y = -4x 
y = -4x/3 
 
Na equação da circunferência: 
x² + y² + 5x ± 7y ± 1 = 0 
x² + 16x²/9 + 5x ± 7.(-4x/3) ± 1 = 0 
25x² + 129x ± 9 = 0 
 
5HSDUH�TXH�R�³GHOWD´�GHVWD�HTXDomR�p�SRVLWLYR�� 
delta = 1292 + 4 x 9 x 25 
 
Portanto, obteremos dois valores distintos para x, e dois valores 
distintos para y. Isto significa que a reta e a circunferência se cruzam em 
2 pontos, demonstrando que a reta é secante em relação à circunferência. 
Isso nos deixa entre 3 alternativas. 
A equação da circunferência de centro em (xc, yc) e raio R é: 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 
 
A equação x² + y² + 5x ± 7y ± 1 = 0 pode ser reescrita como: 
x² + 5x + y² ± 7y ± 1 = 0 
x² + 2.5x/2 + y² ± 2.7y/2 ± 1 = 0 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 
x² + 2.5x/2 + (5/2)2 + y² ± 2.7y/2 + (7/2)2 ± 1 ± (5/2)2 ± (7/2)2 = 0 
x² + 2.5x/2 + (5/2)2 + y² ± 2.7y/2 + (7/2)2 ± 1 ± (5/2)2 ± (7/2)2 = 0 
(x + 5/2)2 + (y ± 7/2)2 = 1 + (5/2)2 + (7/2)2 
 
Comparando esta equação com (x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 , temos: 
xc = -5/2 
yc = 7/2 
R2 = 1 + (5/2)2 + (7/2)2 
 
Assim, podemos marcar a alternativa D: d) R1 é secante à C1 e o 
centro de C1 é o ponto (-5/2; 7/2). 
Resposta: D 
 
9. ESAF ± ANAC ± 2016) Sejam (3, 2) e (7, 5) dois pontos do espaço 
bidimensional, cuja unidade de medida de cada uma das coordenadas é 
dada em metros. Então, pode-se afirmar que a distância entre os pontos 
é igual a 
 a) 6 metros. 
 b) 5 metros. 
 c) 4 metros 
 d) 7 metros. 
 e) 3 metros. 
RESOLUÇÃO: 
 A distância (d) entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) é dada por: 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d� � � 
 
 Logo, para os pontos (3, 2) e (7, 5) teremos: 
(3 ± 7)2 + (2 ± 5)2 = d2 
(-4)2 + (-3)2 = d2 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 
16 + 9 = d2 
25 = d2 
d = 5 metros 
RESPOSTA: B 
 
10. FGV ± AL/MT ± 2013 - adaptada) No plano cartesiano, o ponto A 
está 4 cm acima e 3 cm à esquerda do ponto B. Este, por sua vez, está 9 
cm abaixo e 6 cm à direita do ponto C. Qual a distância entre os pontos A 
e C? 
RESOLUÇÃO: 
 A partir do enunciado podemos construir o gráfico abaixo: 
 
 Veja que o ponto A está 4 cm acima e 3 cm à esquerda do ponto B 
e que o ponto B está 9 cm abaixo e 6 cm à direita do ponto C. 
 Fixamos a origem do plano cartesiano em B, visto que todas as 
medidas foram dadas em relação a ele. A partir daí, obtemos as 
coordenadas de A e C que são (-3;4) e (-6;9), respectivamente. 
 Substituindo na fórmula: 
(xa-xc)2 + (ya ± yc)2 = d2 
(-3 ± (-6))2 + (4 ± 9)2 = d2 
(3)2 + (-5)2 = d2 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 
9 + 25 = d2 
d2 = 34 
d = ¥���FP 
RESPOSTA: ¥�� 
 
11.CESPE ± SEPLAG/DF ± 2008) Para produzir mensalmente x 
unidades de determinado produto, uma fábrica tem um custo de 100 + 
x2/10 reais. O produto é vendido por R$ 1.000,00 a unidade. Nessa 
situação, julgue os itens seguintes. 
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o gráfico da 
função lucro é uma parábola com concavidade voltada para cima. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos definir o lucro como sendo a receita arrecada com a venda 
de x unidades do produto menos o custo de produção daquelas x 
unidades, ou seja: 
Lucro(x) = Receita(x) ± Custo(x) 
Lucro(x) = 1000x ± (100 + x2/10) 
Lucro(x) = 1000x ± 100 ± x2/10 
 
 Note que na função lucro, a variável de maior expoente (x2) é 
multiplicada por um coeficiente negativo, de forma que a parábola tem 
concavidade voltada para baixo. 
RESPOSTA: E 
 
12. CONSESP - Prefeitura de São José do Rio Preto/SP ± 2012) O 
dobro da distância entre os pontos (6,3) e (8,7) é 
 D��¥� 
 E���¥� 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 
 c) 2 
 d) 4 
 e) 5 
RESOLUÇÃO: 
 A distância entre dois pontos é dada por: 
�[D�í�[E�2 ���\D�í�\E�2 = d2 
�����2 �������2 = d2 
(-2)2 + (-4)2 = d2 
4 + 16 = d2 
G� �¥�� 
G� ��¥� 
 
 2�GREUR�GD�GLVWkQFLD�HQWUH�RV�SRQWRV�������H�������p��G� ��¥�� 
RESPOSTA: B 
 
13. CEPERJ ± FSC ± 2014) Três pontos M, P e Q se situam no plano 
cartesiano, apresentando as seguintes coordenadas: 
M = (1,3) 
P = (2,2) 
Q = (0,4) 
A alternativa que lista os pontos em ordem crescente de suas distâncias 
em relação à origem (0,0) é 
 a) P, M e Q 
 b) P, Q e M 
 c) M, P e Q 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 
 d) M, Q e P 
 e) Q, M e P 
RESOLUÇÃO: 
A distância entre dois pontos é dada por: 
(xa í�[E�2 ���\D�í�\E�2 = d2 
 
Ponto M: 
(1)2 + (3)2 = d2 
G� �¥�� 
Ponto P: 
(2)2 + (2)2 = d2 
G� �¥� 
Ponto Q: 
(0)2 + (4)2 = d2 
G� �¥��� �� 
 
A ordem crescente das distâncias em relação à origem (0,0) é P, M 
e Q. 
RESPOSTA: A 
 
14. VUNESP ± PC/SP ± 2014) O quadrilátero ABCD, representado num 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, foi dividido em duasregiões triangulares, S1 e S2 , pelo segmento , conforme mostra a 
figura. 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 
 
 
Dados A(0,±1) e C(4,5), pode-se afirmar que a distância, em u.c., entre 
os pontos A e C, é igual a 
 D���¥�� 
 E���¥�� 
 F���¥�� 
 G���¥� 
 H���¥�� 
RESOLUÇÃO: 
A distância entre A e C é dada por: 
(xa ± xc)2 + (ya ± yc)2 = d2 
(0 ± 4)2 + (-1 ± 5)2 = d2 
16 + 36 = d2 
d2 = 52 
d = ¥�� 
G� �¥���[���� 
G� ��¥� 
RESPOSTA: A 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 
15. CESPE ± SEDU/ES ± 2010) Acerca de geometria analítica, julgue o 
item abaixo. 
( ) No plano cartesiano xOy, as circunferências de equações x2 + y2 = 49 
e x2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 têm apenas um ponto comum. 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos isolar y na equação de uma das circunferências e 
substituir na equação da outra, para identificar os pontos em comum 
entre elas. Assim, isolando y em x2 + y2 = 49, temos: 
y = ¥(49 ± x2) 
 
 Substituindo x2 + y2 = 49 e y = ¥(49 ± x2) na equação da outra 
circunferência, temos: 
x2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 
49 - 6x ± 8 ¥(49 ± x2) +21 = 0 
- 6x ± 8 ¥(49 ± x2) + 70 = 0 
70 ± 6x = 8 ¥(49 ± x2) 
 
 Elevando os dois lados da igualdade acima ao quadrado, temos: 
4900 ± 840x + 36x2 = 64 (49 ± x2) 
4900 ± 840x + 36x2 = 3136 ± 64x2 
100x2 ± 840x + 1764 = 0 
 
Dividindo os dois lados da igualdade acima por 4, temos: 
25x2 ± 210x + 441 = 0 
delta = zero 
x1 = x2 = 4,2 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 
Veja que obtivemos uma equação de segundo grau cujo delta é 
zero. Portanto, temos uma raiz dupla, de valor 4,2. Substituindo em x2 + 
y2 = 49, temos: 
x2 + y2 = 49 
4,22 + y2 = 49 
y2 = 31,36 
y1 = ¥31,36 = 5,6 
y2 = - ¥31,36 = -5,6 
 
 Portanto, temos os pontos de coordenadas 
(4,2; 5,6) e (4,2; -5,6) 
 
 Vejamos se esses pontos fazem parte da outra circunferência. 
Primeiramente, para (4,2; 5,6) temos: 
x2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 
(4,2)2 + (5,6)2 ± 6(4,2) ± 8(5,6) + 21 = 0 
17,64 + 31,36 ± 25,2 - 44,8 + 21 = 0 
 
 O ponto (4,2; 5,6) faz parte das duas circunferências. Já para (4,2; 
-5,6) temos: 
x2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 
(4,2)2 + (-5,6)2 ± 6(4,2) ± 8(-5,6) + 21 = 0 
17,64 + 31,36 ± 25,2 + 44,8 + 21 = 0 
������� 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 44 
O ponto (4,2; -5,6) não faz parte das duas circunferências. 
Portanto, temos apenas um ponto em comum entre as duas 
circunferências. 
RESPOSTA: C 
 
16. CETRO ± FUNDAÇÃO CASA ± 2014) Considere o seguinte 
triângulo: 
 
Assinale a alternativa que apresenta a área definida pelo interior deste 
triângulo, em unidades de área. 
 a) 80. 
 b) 64. 
 c) 48. 
 d) 32. 
 e) 24. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que se trata de um triângulo retângulo. A hipotenusa tem valor 
10. O cateto paralelo ao eixo x tem comprimento dado pela diferença 
entre as coordenadas em x dos pontos A e B, ou seja, xb ± xa = 12 ± 4 = 
8. Vamos aplica Pitágoras para descobrir o comprimento do outro cateto, 
que vamos chamar de z. 
z2 + 82 = 102 
z2 + 64 = 100 
z2 = 36 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 
z = 6 
 
 A área do triângulo é dada por: 
Área do triângulo = (base x altura)/2 
Área do triângulo = (8 x 6)/2 
Área do triângulo = 24 unidades de área 
RESPOSTA: E 
 
17. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Os vértices imaginários da 
hipérbole de equação 
2
2( 1) ( 1)
4
x y� � �
são 
 a) (2,1) e (2,3) 
 b) (2,0) e (2,2) 
 c) (2,0) e (1,2) 
 d) (1,1) e (1,2) 
 e) (1,0) e (1,2) 
RESOLUÇÃO: 
 Vimos que a hipérbole tem equação do tipo x2/a2 ± y2/b2 = 1. No 
nosso caso temos uma equação um pouco diferente: 
2
2( 1) ( 1)
4
x y� � �
. 
 Vamos criar as variáveis x` e y` e defini-las da seguinte forma: 
x`= x ± 1 
y`= y ± 1 
 
 Substituindo na equação da hipérbole do enunciado, teríamos: 
� � � �
2
2`
`
4
x
y�
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 
 
 Essa hipérbole acima é do tipo que conhecemos anteriormente, com 
centro na origem, semieixo real a = 2 e semieixo imaginário b = 1. Veja 
no entanto, que para ir dessa hipérbole para a do enunciado, precisamos 
somar uma unidade tanto em x` quanto em y`. Assim, a hipérbole 
2
2( 1) ( 1)
4
x y� � �
 tem centro em (1,1), semieixo real a = 2 e semieixo 
imaginário b = 1. Dessa forma, os vértices imaginários ficam na abscissa 
x=1. O que vai variar é a coordena em y. Um deles fica uma unidade (1) 
acima do centro da hipérbole (1,1), ou seja, um vértice imaginário está 
em (1,2). O outro fica uma unidade (1) abaixo do centro da hipérbole 
(1,1), ou seja, em (1,0). 
RESPOSTA: E 
 
18. FUMARC ± PC/MG ± 2013) Um artista recebeu uma encomenda 
para fazer um painel, esculpindo em uma chapa de aço folhas e flores. 
Para determinar o formato do painel, o artista considerou a chapa de aço 
como um plano cartesiano cujos eixos a dividiram em quatro quadrantes. 
Utilizou um segmento de reta e o deslocou nesse plano cartesiano, de tal 
forma que uma das extremidades permanecia sempre no eixo y e o seu 
ponto médio permanecia sempre no eixo x. Dessa maneira, o formato da 
figura desenhada pela outra extremidade é uma 
 a) elipse. 
 b) parábola. 
 c) hipérbole. 
 d) circunferência. 
RESOLUÇÃO: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 
 Veja a figura abaixo. O retângulo externo é a representação da 
chapa de aço. O artista considerou a chapa de aço como um plano 
cartesiano cujos eixos a dividiram em quatro quadrantes. 
 O artista utilizou um segmento de reta (que representamos na cor 
vermelha) e deslocou esse segmento sobre o plano cartesiano, de tal 
forma que uma das extremidades permanecia sempre no eixo y e o seu 
ponto médio permanecia sempre no eixo x. 
Na figura abaixo representamos 5 posições que o segmento de reta 
poderia assumir, desde a posição em que o segmento de reta está sobre 
a parte negativa do eixo x, passando por duas posições intermediárias, 
passando por outra posição na qual o segmento está todo sobre o eixo y 
e chegando finalmente à uma outra posição intermediária no lado direito 
do eixo x. Veja que uma extremidade do segmento de reta está sempre 
sobre o eixo y. Veja que o ponto médio do segmento de retaestá 
sempre sobre eixo x. Dessa forma, veja que a outra extremidade do 
segmento de terra descreve os contornos de uma elipse. 
 
RESPOSTA: A 
 
19. CEPERJ ± SEDUC/RJ ± 2011) No sistema cartesiano, a equação 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 
y2 = (x + 1)2 - (x - 1)2 representa uma: 
 a) reta 
 b) circunferência 
 c) elipse 
 d) hipérbole 
 e) parábola 
RESOLUÇÃO: 
 O examinador colocou a equação de forma que somos induzidos a 
pensar que trata-se de uma circunferência, que tem equação da forma: 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 
 
 No entanto, precisamos trabalhar a equação dada por ele. Vejamos: 
y2 = (x + 1)2 - (x - 1)2 
y2 = x2 +2x + 1 - (x2 ± 2x + 1) 
y2 = 4x 
 
Veja que estamos diante de uma parábola do tipo y2 = 2.p.x, de 
concavidade voltada para a direita. 
RESPOSTA: E 
 
20. PaqTcPB - Prefeitura de Patos ± 2010) Qual das alternativas 
abaixo NÃO pode ser gráfico de uma equação da forma onde 
2 2ax by c� onde , ,a b c ? 
 a) Elipse. 
 b) Parábola. 
 c) Par de retas. 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 
 d) Ponto. 
 e) Hipérbole. 
RESOLUÇÃO: 
 A equação da elipse é do tipo x2/a2 + y2/b2 = 1, logo, é da forma 
ax2 + by2 = c. 
A equação da hipérbole é do tipo x2/a2 ± y2/b2 = 1, logo, é da forma 
ax2 + by2 = c. 
A equação da parábola é do tipo x2 - 2.p.y = 0, logo, não é da 
forma ax2 + by2 = c. 
Perceba que se tivermos a = - 1, b = 1 e c = 0 chegaremos a y2 = 
x2 e, extraindo a raiz quadrada, teremos y = x. Dessa forma, uma 
equação do tipo ax2 + by2 = c pode descrever retas, a depender dos 
coeficientes a, b e c. 
Da mesma forma podemos dizer em relação ao ponto. Imagine que 
temos uma equação do tipo 
2 2ax by c� onde , ,a b c em que x = y = 
1. Estamos descrevendo um ponto. 
RESPOSTA: B 
 
21. FUNINVERSA ± PC/DF ± 2015) Em um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy, a equação x2 + y2 ± 6x + 4y = 3 representa 
 a) uma hipérbole simétrica em relação ao eixo Oy. 
 b) o conjunto vazio. 
 c) uma circunferência de raio igual a 4 e centro em algum ponto do 4.º 
quadrante. 
 d) uma elipse alongada em relação ao eixo Ox. 
 e) uma parábola com concavidade voltada para baixo. 
RESOLUÇÃO: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 
 A equação dada nos parece ser de uma circunferência. Para provar 
HVWD�WHVH��SUHFLVDPRV�³IRUoDU´�R�DSDUHFLPHQWR�GH uma equação do tipo: 
(x ± xc)2 + (y ± yc)2 = R2 
 
 Partindo da equação dada no enunciado temos: 
x2 + y2 ± 6x + 4y = 3 
x2 ± 6x + y2 + 4y = 3 
 
 Somando 9 e 4 aos dois lados da equação temos: 
x2 ± 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = 3 + 9 + 4 
(x ± 3)2 + (y + 2)2 = 42 
 
 Assim, temos uma circunferência de raio 4 e centro em (3,-2), 
ponto este que está no quarto quadrante. 
RESPOSTA: C 
 
22. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) As coordenadas dos focos da 
elipse de equação 
2 2
1
100 36
x y� 
 são 
 D��������H������� 
 E��������H������� 
 F��������H������� 
 G��������H������� 
 H��������H������� 
RESOLUÇÃO: 
 A equação da elipse é dada por x2/a2 + y2/b2 = 1. Comparando com 
a equação que o enunciado nos deu, temos a = 10 e b = 6. 
Como a2 = b2 + c2��WHPRV�TXH�F� �¥�����- ���� �¥��� ��� 
Assim, um dos focos estará no ponto (-8,0) e o outro em (8,0). 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 51 
RESPOSTA: E 
 
23. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2011) A distância focal da elipse de 
equação 3x2 + 4y2 = 36 é 
 a) 6 
 b) 4 
 F����¥� 
 G����¥� 
 H��¥� 
RESOLUÇÃO: 
Dividindo os dois lados da equação por 36, temos: 
2 2
2 2
3 4 36
 1
12 9
x y
x y
� 
� 
 
A equação da elipse é dada por x2/a2 + y2/b2 = 1. Comparando com 
a equação acima, temos: 
a2 = 12 Æ D� ��¥� 
b2 = 9 Æ b = 3 
Como a2 = b2 + c2, temos que c2 = 12 ± ���RX�VHMD�F� �¥�� 
A distância fRFDO�p�GDGD�SRU��F��$VVLP��HOD�p�GH��¥�� 
RESPOSTA: D 
 
24. FCC ± SEE/MG ± 2012) A representação gráfica da circunferência 
(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5 intercepta os eixos coordenados em 
 a) nenhum ponto. 
 b) 1 ponto. 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 52 
 c) 2 pontos. 
 d) 3 pontos. 
RESOLUÇÃO: 
 Basta fazer x = 0 para descobrir onde a circunferência intercepta o 
eixo y e posteriormente fazer y = 0 para descobrir onde a circunferência 
intercepta o eixo x. Vejamos: 
(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5 Æ para x = 0: 
(2)2 + (y - 1)2 = 5 
(y - 1)2 = 1 
y - 1 = ±1 
y1 = 1 - 1 =0 
y2 = 1 + 1 =2 
 
(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5 Æ para y = 0: 
(x + 2)2 + (-1)2 = 5 
(x + 2)2 = 4 
(x + 2) = ±2 
x1 = -2 - 2 = -4 
x2 = -2 + 2 = 0 
 
 Perceba, portanto, que são três os pontos de interceptação dos 
eixos coordenados: (0;0), (-4;0) e (0;2). Teríamos uma situação 
conforme mostra a figura abaixo: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 53 
 
RESPOSTA: D 
 
25. CEPERJ ± SEDUC/RJ ± 2015) A figura abaixo representa, no 
sistema de eixos cartesianos xoy, uma elipse de equação 16x2 + 25y2 = 
400 e um triângulo AFG, retângulo em F. 
 
Se AB é a medida do eixo maior dessa elipse e o ponto F um de seus 
focos, a área do triângulo AFG equivale a: 
 a) 8,0 
 b) 9,6 
 c) 12,8 
 d) 16,4 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 54 
 e) 20,0 
RESOLUÇÃO: 
16x2 + 25y2 = 400 
x2/25 + y2/16 = 1 
 Daí temos a2 = 25 Æ a = 5 e b2 = 16 Æ b = 4. 
 Como a2 = b2 + c2, temos que c2 = 25 ± 16 = 9 Æ c = 3. 
 O ponto G está na abscissa correspondente ao ponto focal F. Para 
descobrir a altura do triângulo basta substituir x = 3 na equação da 
elipse. 
16x2 + 25y2 = 400 
16 x 9 + 25y2 = 400 
25y2 = 400 ± 144 
y2 = 10,24 
y = 3,2 
 
 A base do triângulo é dada por a + c = 5 + 3 = 8. Portanto, a área 
do triângulo é: 
Área = base x altura / 2 
Área = 8 x 3,2 / 2 
Área = 12,8 unidades de área 
RESPOSTA: C 
 
26. NUCEPE ± SEDUC/PI ± 2009 - adaptada) Encontre a equação da 
elipse que passa pelo ponto Q(6,5), cujo eixo maior AB é tal que A=(1,2) 
e B=(11,2). 
RESOLUÇÃO: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
==e9796==
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br55 
Sabemos que os pontos A e B estão nas extremidades do eixo 
maior da elipse. A distância entre eles corresponde a 2a = 11 ± 1 = 10 Æ 
a = 5. 
Repare que o eixo maior da elipse está sobre a ordenada y = 2. Ou 
seja, o centro dessa elipse está deslocado da origem. Sabemos que a 
ordenada dele também é yc = 2. Quanto à abscissa, sabemos que o 
centro estará exatamente na metade do segmento de reta AB. Logo, ele 
estará na abscissa xc = 6. 
 A elipse passa pelo ponto Q(6,5), logo temos a figura abaixo: 
 
 Repare na Figura como fica claro que o semieixo imaginário b mede 
3. Se o centro está em (6;2) e a elipse passa por (6;5), então b = 3. 
Tal qual a circunferência, quando temos uma elipse com centro 
deslocado da origem a equação geral dela passa a ser do tipo: 
 
� � � �2 2
2 2
� ± � � ± �
 1
x xc y yc
a b
� 
 
 Substituindo os valores que encontramos, temos: 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 56 
� � � �2 2
2 2
� ± �� � ± ��
 1
5 3
x y� 
 
RESPOSTA: 
� � � �2 2
2 2
� ± �� � ± ��
 1
5 3
x y� 
 
 
27. FIP ± CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS/SP ± 
2009) Dada a equação da elipse 4y2 + x2 - 12y + 2x + 6 = 0, quais são 
os valores das medidas do eixo menor e do eixo maior? 
 a) 2 e 6 respectivamente 
 b) 1 e 4 respectivamente 
 c) 2 e 4 respectivamente 
 d) 3 e 5 respectivamente 
 e) 1 e 1,5 respectivamente 
RESOLUÇÃO: 
4y2 + x2 - 12y + 2x + 6 = 0 
x2 + 2x + 4y2 - 12y + 6 = 0 
x2 + 2x + 1 + 4y2 - 12y + 9 + 6 = 1 + 9 
(x+1)2 + (2y ± 3)2 = 4 
(x+1)2/4 + (2y ± 3)2/4 = 1 
(x+1)2/4 + ((2y ± 3)/2)2 = 1 
(x+1)2/4 + (y ± 3/2)2 = 1 
 
 A partir daí concluímos que: 
a2 = 4 Æ a = 2 Æ eixo maior = 2a = 4 
b2 = 1 Æ b = 1 Æ eixo menor = 2b = 2 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 57 
RESPOSTA: C 
 
28. CESPE ± CPRM ± 2013) Considerando que, em um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, os pontos de coordenadas (x, y) 
que satisfazem à equação 2x2 ± 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 estão sobre uma 
circunferência, é correto afirmar que: 
( ) a circunferência é tangente ao eixo Oy. 
( ) o raio da circunferência é igual a 3. 
RESOLUÇÃO: 
( ) a circunferência é tangente ao eixo Oy 
Caso a circunferência seja mesmo tangente ao eixo y, ela tem como 
ele apenas um ponto em comum quando x = 0. Assim: 
2x2 ± 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 
2y2 + 4y + 2 = 0 
y2 + 2y + 1 = 0 
(y + 1)2 = 0 
y = -1 
Logo, para x igual a zero chegamos a apenas um valor de y, que é y 
= -1, o que confirma que a circunferência é tangente ao eixo y. 
 
( ) o raio da circunferência é igual a 3 
2x2 ± 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 
x2 ± 6x + y2 + 2y + 1 = 0 
x2 ± 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 9 
(x ± 3)2 + (y + 1)2 = 32 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 58 
 Veja que o raio da circunferência realmente é 3. 
RESPOSTA: C C 
 
29. CONESUL ± CMR/RO ± 2008) Considere a circunferência de 
equação x2 + y2 ± 6x ± 10y = ± 30 
O centro C dessa circunferência tem coordenadas ( x; y) dadas por 
 a) ( 3; 5 ). 
 b) ( 6; 10 ). 
 c) ( 3/2; 5/2 ). 
 d) ( 1 / 5; 1 / 3 ). 
 e) ( -6; -10 ). 
RESOLUÇÃO: 
x2 + y2 ± 6x ± 10y = ± 30 
x2 ± 6x + 9 + y2 ± 10y + 25= ± 30 + 25 + 9 
(x ± 3)2 + (y ± 5)2 = 22 
 
 O centro da circunferência tem coordenadas (3;5). 
RESPOSTA: A 
 
30. CEPERJ ± SEDUC/RJ ± 2015) 6HMD� Į� XPD� FLUFXQIHUrQFLD� FXMD�
equação é (x ± 1)2 + (y + 5)2 = 2. A equação da circunferência que é 
VLPpWULFD�D�Į�HP�UHODomR�DR�HL[R�GDV�RUGHQDGDV�p� 
 a) x2 + y2 ± 2x ± 10y ± 24 = 0 
 b) x2 + y2 + 2x + 10y + 24 = 0 
 c) x2 + y2 + 2x ± 10y ± 24 = 0 
 d) x2 + y2 ± 10x + 2y ± 24 = 0 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 59 
 e) x2 + y2 ± 10x + 2y + 24 = 0 
RESOLUÇÃO: 
A circunferência da pelo enunciado tem centro em (1;-5), ou seja, 
no quarto quadrante. Como o exercício pediu simetria em relação ao eixo 
das ordenadas (eixo y), o centro da nova circunferência estará situado na 
mesma ordenada (-5), porém, na abscissa simetricamente oposta (-1), 
portanto, no terceiro quadrante. O raio é o mesmo. Logo, teremos: 
(x + 1)2 + (y + 5)2 = 2 
x2 + 2x + 1 + y2 + 10y + 25 = 2 
x2 + y2 + 2x + 10y + 24 = 0 
RESPOSTA: B 
 
31. CESPE ± CPRM ± 2011) Considerando que, em um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, os pontos de coordenadas (x, y) 
que satisfazem à equação 2x2 ± 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 estão sobre uma 
circunferência, é correto afirmar que 
( ) o centro dessa circunferência está no primeiro quadrante. 
RESOLUÇÃO: 
2x2 ± 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 
x2 ± 6x + y2 + 2y + 1 = 0 
x2 ± 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 9 
(x ± 3)2 + (y + 1)2 = 32 
 
 O centro dessa circunferência está em (3;-1), ou seja, quarto 
quadrante. 
RESPOSTA: E 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 60 
32. CEPERJ ± SEDUC/RJ ± 2013) Seja (x ± 2)² + (y ± 4)² = 8 a 
equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área da 
circunferência e a área do quadrado inscrito na circunferência, nesta 
ordem, é: 
 a) 4
S
 
 b) 2
S
 
 c) S 
 d) 
3
2
S
 
 e) 3S 
RESOLUÇÃO: 
 Veja abaixo uma figura elucidativa do problema. 
 
Da equação da circunferência temos que R2 = 8 Æ R = ¥�� ��¥�. 
Logo a área da circunferência é: A = S R2 = 8S 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 61 
 O quadrado inscrito nessa circunferência tem como diagonal o 
diâmetro da circunferência. Lembrando que a diagonal do quadrado é 
GDGD�SRU�/¥��WHPRV� 
/¥�� ��5 
/¥�� ��¥� 
L = 4 
 
 A área do quadrado é L2 = 16. A razão entre a área da 
circunferência e a área do quadrado inscrito na circunferência, nesta 
ordem, é 8S /16 = S /2. 
RESPOSTA: B 
 
33. CESPE ± SEPLAG/DF ± 2008) Dois colegas decidiram comprar um 
par de rádios-comunicadores para poderem se comunicar quando um 
deles estivesse em casa e outro na escola. Para isso, precisaram saber 
qual o raio de alcance dos rádios a serem comprados. Sabendo que as 
distâncias de suas casas à escola são iguais, observaram que, colocando a 
casa de um deles na origem de um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais xOy, a escola estaria no ponto de coordenadas (40, 30). 
Observaram também que era possível determinar uma circunferência cujo 
centro estivesse localizado na escola e que passava por cada uma das 
casas. 
Com relação a essa situação, julgue os próximos itens. 
( ) A equação da circunferência mencionada é (x - 40)2 + (y - 30)2 = 702 
RESOLUÇÃO: 
 A circunferência mencionadatem centro em (40, 30). O raio precisa 
ser suficiente para cobrir uma distância desse ponto até a origem (onde 
está a casa de um dos colegas). Como as duas casas tem a mesma 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 62 
distância da escola, automaticamente a casa do outro colega também 
estará coberta. A distância do ponto (40, 30) até a origem é dada por: 
(40 ± 0)2 + (30 ± 0)2 = d2 Æ d = 50 
 
 Logo, o raio é de 50 e não de 70 como mostra a alternativa. 
RESPOSTA: E 
 
34. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) A circunferência de centro 
&���í���H�SHUtPHWUR���Ⱥ�p�UHSUHVHQWDGD�SHOD�HTXDomR 
 D���[���2 + (y + 3)2 = 5 
 b) (x + 1)2 ���\���2 = 5 
 c) (x + 1)2 ���\���2 = 10 
 G���[���2 + (y + 3)2 = 25 
 e) (x + 1)2 ���\���2 = 25 
RESOLUÇÃO: 
 O perímetro da ciUFXQIHUrQFLD�p�GDGR�SRU��Ⱥ5� ���Ⱥ. Isso nos leva 
a R = 5. Logo, a equação da circunferência, com R = 5 e centro em 
�����ILFD�VHQGR� 
�[���2 + (y + 3)2 = 25 
RESPOSTA: D 
 
35. CEPERJ ± SEDUC-RJ ± 2011) São dados os pontos F = (2,0) e F'= 
(-2,0). O ponto P = (x, y) é tal que a soma de suas distâncias aos pontos 
F e F´ é igual a 6. A equação da curva descrita pelo ponto P é: 
 a) 
2 2
1
9 5
x y� 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 63 
 b) 
2 2
1
5 9
x y� 
 
 c) 
1
3 2
x y� 
 
 d) 
2 2
1
9 4
x y� 
 
 e) 
2 2
1
9 5
x y� 
 
RESOLUÇÃO: 
A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias 
para F1 e para F2 seja igual a um valor determinado, que nesse caso é 6. 
Logo a curva descrita pelo ponto P = (x, y) é uma elipse, cuja equação é 
do tipo x2/a2 + y2/b2 = 1. A distância entre os focos é 4, o que nos leva a 
2c = 4 Æ c = 2. Veja a figura: 
 
 
 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 64 
O ponto mais à direita dessa elipse, de coordenadas (a;0), também 
obedece ao fato de que a soma de suas distâncias aos focos é 6. Assim 
temos: 
(a-c) + (a + c) = 6 
2a = 6 
a = 3 
 
 Como a2 = b2 + c2 temos: 
32 = b2 + 22 
b2 = 5 
b = ¥� 
 
 Logo, a equação da elipse é: 
2 2
1
9 5
x y� 
 
RESPOSTA: A 
 
36.FCC ± METRÔ/SP ± 2010) Sabe-se que, num sistema cartesiano 
RUWRJRQDO�[2\��R�SRQWR�3�������¥���SHUWHQFH�D�XPD�SDUiEROD�FRP�YpUWLFH�
na origem do sistema. O foco dessa parábola pode ser igual a 
 D�������¥����� 
 b) ( 4/3, 0 ) 
 F�������¥��� 
 d) ( 3/2, 0 ) 
 H��������¥��� 
RESOLUÇÃO: 
 1º caso: Veja a Figura abaixo na qual retratamos a parábola a que 
se refere o enunciado, supondo que a mesma tenha concavidade para 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 65 
cima. Fica claro nesse caso que, se temos o vértice na origem, o foco F 
terá como valor de abscissa o valor zero e como valor de ordenada p/2. 
Vamos encontrar p: 
x2 = 2.p.y 
(8)2 ���S���¥� 
p = 4,61 
 
 Assim, o foco teria coordenadas (0; 2,3). Nenhuma das alternativas 
retrata essa situação. 
 
 
 
2º caso: Estamos supondo agora que a parábola tenha concavidade 
para a direita. Se temos o vértice na origem, o foco F terá como valor de 
ordenada o valor zero e como valor de abscissa p/2. Vamos encontrar p: 
y2 = 2.p.x 
��¥��2 = 2.p.8 
p = 3 
 
 Assim, o foco teria coordenadas (3/2; 0). 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 66 
RESPOSTA: D 
 
37.NUCEPE ± SEDUC/PI ± 2009) Determine a equação da parábola de 
vértice V(3,±1), sabendo-se que y±1 = 0 é equação de sua diretriz? 
 a) x² ± 6x + 8y + 17 = 0 
 b) x² ± 3x+7y ± 1 = 0 
 c) x² ± 3x ± y = 0 
 d) x² ± 3x ± 1 = 6 
 e) x² ± 6x ± 8y = 15 
RESOLUÇÃO: 
A distância entre o ponto P(x0,y0) e a reta ax + by + c = 0 é dada 
por: 
0 0
2 2
| . |a x by cd
a b
� � � 
 
 No nosso caso o ponto é o vértice V(3,±1) e a reta é y-1=0. Repare 
que a reta y = 1 é paralela ao eixo x. Veja que o vértice está duas 
unidades abaixo da reta diretriz, a reta está em y=1 e o vértice está em y 
= -1. Eles distam de 2 unidades um do outro, que é o valor de p/2, o que 
nos leva a p = 4. Como o vértice está abaixo da reta diretriz, a parábola 
será para baixo. 
 Utilizando a equação da parábola para vértice fora da origem, 
concavidade para baixo e reta diretriz paralela ao eixo x temos: 
(x-xo)2 = -2.p.(y-yo) 
(x-3)2 = -2.4.(y-(-1)) 
x2 ± 6x + 9 = -8y - 8 
x2 ± 6x + 8y + 17 = 0 
RESPOSTA: A 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 67 
 
38.CESPE ± SEE/AL ± 2013) Quando se ensina geometria analítica, o 
estudo das cônicas desperta interesse pela possibilidade de se 
descreverem analiticamente determinados lugares geométricos, como é o 
caso da parábola. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
xOy, a parábola é descrita como o lugar geométrico dos pontos P = (x, y) 
cujas distâncias a um ponto fixo F = (0, y0) ² denominado foco da 
parábola ² e a uma reta r: y = d ² denominada diretriz da parábola ² 
são iguais. 
Tendo como referência o texto acima e a parábola y = 28 ± 7/25 x2 , 
julgue o item abaixo. 
( ) Para essa parábola, o foco F tem coordenadas da forma (0, 28 ± d) e 
a reta diretriz tem equação da forma y = 28 + d, em que d é uma 
constante maior que 1. 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente, vamos encontrar o vértice da parábola. 
2
0
2
4 4 28
4 4 4
v
v
b
x
a
b ac acy c
a a a
� 
' � � � � � 
 
 
 Essa parábola tem concavidade voltada para baixo, visto que o 
coeficiente que multiplica a variável de maior expoente é negativo. Dessa 
forma, o foco ficará na mesma abscissa do vértice (xf = 0), porém abaixo 
do mesmo, ou seja, (yf = 28 ± d), em que d é uma constate positiva. 
Dessa forma, é correto dizer que o foco F tem coordenadas da forma (0, 
28 ± d). 
02056670313 - FRANCISCO GILVAN DE OLIVEIRA
MATEMÁTICA P/ SEDU-ES 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 13 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 68 
 $VVLP�FRPR�R�IRFR�HVWi�D�XPD�GLVWkQFLD�GH�³G´�DEDL[R�GR�YpUWLFH��D�
reta diretriz estará a uma distância d acima do vértice. Logo, é correto 
dizer que a reta diretriz tem equação da forma y = 28 + d 
 $JRUD��SUHFLVDPRV�³IRUoDU´�R�DSDUHFLPHQWR�GD�HTXDomR�GD�SDUiEROD�
para vértice fora da origem, concavidade para baixo e reta diretriz 
paralela ao eixo x: 
(x-xv)2 = -2.p.(y-yv) 
y = 28 ± 7/25 x2 
7/25 x2 = 28 ± y 
7/25 x2 = -(y ± 28) 
 Comparando as equações, percebam que -2p = -1, o que nos leva a 
p = ½. Logo, a constante positiva d a que