aula1 4ModMat2017

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Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Modelagem Matemática
Antônio Calixto de Souza Filho∗
Escola de Artes, Ciências e Humanidades∗
Universidade de São Paulo
1 de março de 2018
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
1 Modelagem Matemática
2 Modelagem Matemática para LCN
3 Equações Diferenciais
Preliminares
4 Referências
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
subject
1 Modelagem Matemática
2 Modelagem Matemática para LCN
3 Equações Diferenciais
Preliminares
4 Referências
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Para melhor introdução à Modelagem Matemática em seus
diversos aspectos e aplicabilidades, passamos a analisar o primeiro
capítulo da livro [3], em alguns pontos pricipais, recomendando a
leitura integral do texto.
Existem vários conceitos para Modelagem Matemática (MM), as
referências [3, 2] trazem tanto alguns destes conceitos como de
que modo podem ser aplicados. O que percebemos é que o termo
MM é utilizado, e compreendido, de formas distintas. Também o
mesmo termo aparece de vários modos: como conceito, como
disciplina, como uma parte intrinseca à Matemática, como
aplicação da Matemática na resolução de problemas, entre outros.
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Inicialmente, vamos considerar a MM como aplicação da
Matemática na resolução de problemas. Segundo [3, pág. 24] a
MM "é um processo para a obtenção e validação de modelos
matemáticos ... consiste ... na arte de transformar situações da
realidade em problemas matemáticos", uma vez que a própria
Matemática faz parte de nossa realidade, isso pode ocorrer tanto
para problemas Matemáticos, isto é, da Matemática em si, quanto
para problemas de outras ciências. Neste caso, costuma-se referir a
isso por Aplicação da Matemática na solução de problemas da
realidade. Nesta disciplina, vamos considerar MM como a disciplina
que trata da aplicação da Matemática na resolução de problemas.
Assim, tanto para problemas Matemáticos, quando para problemas
da realidade e não considerados como problemas Matemáticos.
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Equações Diferenciais
Referências
Independente do tipo de aplicação da MM, parece haver consenso
sobre o modo como podemos aplicá-la na resolução de problemas.
Segundo [3, págs. 26,27,43], uma das etapas é o levantamento de
dados. Porém todas as etapas consideradas levam em conta certa
experiência ou mesmo habilidade tanto na área de aplicação
quanto no objeto de estudo.
Uma destas etapas, a "formulação de hipóteses"e em certo grau a
"validação", [3, págs. 28, 30] é extensivamente trabalhada no ciclo
básico da EACH na disciplina Resolução de Problemas, conhecida
por levantamento das hipóteses do problema. Já a etapa de
aquisição de dados nem sempre é abordada em RP. Um dos
motivos é que exige, dependendo do problema a ser estudado
experiência e habilidade no assunto.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Assim, temos até o momento um obstáculo substancialmente
complexo que é a necessidade de experiência e amplo
conhecimento do assunto o qual será aplicada a MM para a
resolução de um problema importante. Muitos autores tratam a
MM como uma disciplina de pós-graduação. Diante disso é
essencial que tratemos inicialmente o modo o qual a disciplina MM
irá ser trabalhada no curso de LCN, mais especificamente no 30.
semestre, cuja característica de experiência e conhecimento de área
ainda encontra-se em construção.
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Equações Diferenciais
Referências
subject
1 Modelagem Matemática
2 Modelagem Matemática para LCN
3 Equações Diferenciais
Preliminares
4 Referências
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Equações Diferenciais
Referências
Se por um lado uma das etapas da MM é a escolha de um
problema o qual exista experiência no problema a ser resolvido, por
outro lado a disciplina de MM encontra-se no início do curso, não
atendendo este requisito. Parece haver alguma contradição?
A resposta é que não há contradição. A disciplina de MM deve ser
mesmo no início do curso para que o aluno de LCN possa utilizar a
MM como ferramenta de aprendizado, posteriormente, ou
concomitantemente como ferramenta de ensino e, eventualmente,
prosseguir com pesquisa. Para isso, na disciplina MM, iremos
apresentar técnicas ou exemplos de modelagem que possam ser
utilizadas ao longo do curso, mas sem restringir a utilização da
MM na resolução de problemas analisados nos exemplos.
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Equações Diferenciais
Referências
Uma das formas de fazer isso, ou o modo como iremos proceder é
partir da MM para resolução de problemas matemáticos. Isso pode
ser observado ao longo da história da Matemática. Um exemplo
que analisaremos, e que está relacionado a uma questão clássica,
abstrata e ainda, de certo modo, aberta em Matemática, que é o
estudo dos números primos, mais especificamente a distribuição
dos primos. Em [1, pág. 53], é apresentada uma correspondência
de Gauss a qual relata suas experimentações com a contagem de
números primos, indicando que haveria um expressão matemática
para este cálculo. No entanto, Gauss pode enunciar semelhante
afirmação após fazer inúmeras experiências contando o número de
primos menores que um certo número N. Embora este seja um
exemplo bastante peculiar, é neste sentido que iremos utilizar a
modelagem matemática para resolução de problemas matemáticos.
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Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Para melhor introdução à Modelagem Matemática em seus
diversos aspectos e aplicabilidades, passamos a analisar o primeiro
capítulo da livro [3], em alguns pontos pricipais, recomendando a
leitura integral do texto.
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Vamos considerar um histórico problema conhecido como parodoxo
de Zenão: Aquiles e a tartaruga:
1 Propõe-se uma corrida entre Aquiles e a tartaruga.
2 Pelo fato da velocidade de aquiles V ser maior que a da
tartaruga v , a corrida inicia-se com a tartaruga à frente de
Aquiles.
3 O paradoxo afirma que para alcançar a tartaruga, Aquiles deve
chegar, no mínimo, na posição inicial dela. Mas como decorre
um certo intervalo de tempo, para chegar a qualquer posição
determinada, haverá um deslocamento da tartaruga e assim
sucessivamente.
4 Assim Aquiles nunca chegará à posição da tartaruga e não irá
ultrapassá-la.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Vamos aplicar algumas técnicas de modelagem para estudar a
situação proposta. Restringindo-se à condiçãoproposta no
paradoxo: isto é, Aquiles deve percorrer, em cada instante, uma
distância menor ou igual a posição da tartaruga. Esta condição
pode ser pensada como uma limitação da teoria da época sobre o
movimento, em particular o conceito de movimento relativo.
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Equações Diferenciais
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Para o que segue, iremos considerar o conceito de sequência,
maiores detalhes [3, págs. 86,87]. Vamos considerar
N = {1, 2, · · · } o conjunto dos números naturais, N0 = N ∪ {0} e
Z = {±n, n ∈ N0}. Seja A ⊂ N0 um conjunto de índices. A cada
i ∈ A, podemos associar um número real xi ∈ R. Uma sequência é
um conjunto {xi , i ∈ A} que também denotamos por (xi)i∈A. Uma
vez que a sequência é uma relação entre dois conjuntos, podemos
defini-la como a função f : A −→ R que a cada índice i ∈ A
associa o real xi ∈ R, ou seja f (i) = xi . Neste caso o conjunto
imagem de f é a sequência {xi , i ∈ A}.
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Referências
Sejam X = (xn)n∈N0 e Y = (yn)n∈N0 duas sequências em que cada
termo da sequência X corresponde à posição de Aquiles e Y a
posição da tartaruga, segundo as condições do paradoxo:
xi+1 ≤ yi , i > 0, por exemplo no paradoxo original xi+1 = yi , ou
seja Aquiles sempre deve chegar à posição em que se encontra a
tartaruga, como condição para ultrapassá-la. Vamos, inicialmente
considerar esta condição.
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Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Assim:
1 x0 = 0 e y0 = d > 0 a tartaruga está à frente de aquiles no
início da corrida; sejam v a velocidade da tartaruga e V a
velocidade de Aquiles.
2 x1 = d e y1 = d + v ∗ t1, sendo t1 o tempo decorrido entre a
posição p0 e p1, p ∈ {x , y}.
3 Assim: V = xi−xi−1ti−ti−1 e v =
yi−yi−1
ti−ti−1 e podemos obter a equação
xi − xi−1
V =
yi − yi−1
v
4 Daí as equações.
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Equações Diferenciais
Referências
Assim:
1 x0 = 0 e y0 = d > 0 a tartaruga está à frente de aquiles no
início da corrida; sejam v a velocidade da tartaruga e V a
velocidade de Aquiles.
2 x1 = d e y1 = d + v ∗ t1, sendo t1 o tempo decorrido entre a
posição p0 e p1, p ∈ {x , y}.
3 Assim: V = xi−xi−1ti−ti−1 e v =
yi−yi−1
ti−ti−1 e podemos obter a equação
xi − xi−1
V =
yi − yi−1
v
4 Daí as equações.
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
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Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Assim:
1 x0 = 0 e y0 = d > 0 a tartaruga está à frente de aquiles no
início da corrida; sejam v a velocidade da tartaruga e V a
velocidade de Aquiles.
2 x1 = d e y1 = d + v ∗ t1, sendo t1 o tempo decorrido entre a
posição p0 e p1, p ∈ {x , y}.
3 Assim: V = xi−xi−1ti−ti−1 e v =
yi−yi−1
ti−ti−1 e podemos obter a equação
xi − xi−1
V =
yi − yi−1
v
4 Daí as equações.
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Equações Diferenciais
Referências
Assim:
1 x0 = 0 e y0 = d > 0 a tartaruga está à frente de aquiles no
início da corrida; sejam v a velocidade da tartaruga e V a
velocidade de Aquiles.
2 x1 = d e y1 = d + v ∗ t1, sendo t1 o tempo decorrido entre a
posição p0 e p1, p ∈ {x , y}.
3 Assim: V = xi−xi−1ti−ti−1 e v =
yi−yi−1
ti−ti−1 e podemos obter a equação
xi − xi−1
V =
yi − yi−1
v
4 Daí as equações.
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Referências
{
xi+1 − yi = 0
xi − xi−1 = Vv (yi − yi−1)
.
Com a relação da primeira equação xi+1 = yi , temos que xi = yi−1
e xi−1 = yi−2 e a segunda equação fica:
(yi−1 − yi−2)v = V (yi − yi−1) e Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0
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Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Equações relacionadas a sequências como a obtida no problemas
anterior Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0, podem ser resolvidas a
partir da seguinte técnica:
1 utilizamos a relação yi = kλi de modo que obtemos
2 Vkλi − (v + V )kλi−1 + vkλi−2 = 0 ou
λi−2K (Vλ2 − (v + V )λ+ v) = 0
3 Daí Vλ2 − (v + V )λ+ v = 0 é uma equação cujas raízes são
λ′ = 1 ou λ′′ = vV
4 Para i = 1, obtemos y1 = k ∗ λ. Assim há um valor k ′
associado a λ′ e k ′′ associado a λ′′
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Equações relacionadas a sequências como a obtida no problemas
anterior Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0, podem ser resolvidas a
partir da seguinte técnica:
1 utilizamos a relação yi = kλi de modo que obtemos
2 Vkλi − (v + V )kλi−1 + vkλi−2 = 0 ou
λi−2K (Vλ2 − (v + V )λ+ v) = 0
3 Daí Vλ2 − (v + V )λ+ v = 0 é uma equação cujas raízes são
λ′ = 1 ou λ′′ = vV
4 Para i = 1, obtemos y1 = k ∗ λ. Assim há um valor k ′
associado a λ′ e k ′′ associado a λ′′
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Referências
Equações relacionadas a sequências como a obtida no problemas
anterior Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0, podem ser resolvidas a
partir da seguinte técnica:
1 utilizamos a relação yi = kλi de modo que obtemos
2 Vkλi − (v + V )kλi−1 + vkλi−2 = 0 ou
λi−2K (Vλ2 − (v + V )λ+ v) = 0
3 Daí Vλ2 − (v + V )λ+ v = 0 é uma equação cujas raízes são
λ′ = 1 ou λ′′ = vV
4 Para i = 1, obtemos y1 = k ∗ λ. Assim há um valor k ′
associado a λ′ e k ′′ associado a λ′′
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Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Equações relacionadas a sequências como a obtida no problemas
anterior Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0, podem ser resolvidas a
partir da seguinte técnica:
1 utilizamos a relação yi = kλi de modo que obtemos
2 Vkλi − (v + V )kλi−1 + vkλi−2 = 0 ou
λi−2K (Vλ2 − (v + V )λ+ v) = 0
3 Daí Vλ2 − (v + V )λ+ v = 0 é uma equação cujas raízes são
λ′ = 1 ou λ′′ = vV
4 Para i = 1, obtemos y1 = k ∗ λ. Assim há um valor k ′
associado a λ′ e k ′′ associado a λ′′
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Referências
A solução geral será yi = k ′(λ′)i + k ′′(λ′′)i . Tal afirmação pode ser
verificada, simplesmente, substituindo as expressões de
yi ,yi−1 = k ′(λ′)i−1 + k ′′(λ′′)i−1 e yi−2 = k ′(λ′)i−2 + k ′′(λ′′)i−2 na
equação Vyi − (v + V )yi−1 + vyi−2 = 0 (fica como exercício).
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Equações Diferenciais
Referências
Devemos agora obter os valores de k ′ e k ′′. Substituimos
yi = k ′(λ′)i + k ′′(λ′′)i , observando que y0 = d e y1 = d + v ∗ t1.
Sabemos que t1 é o tempo decorrido para Aquiles percorrer a
distância d , então t1 = dV
1 d = y0 = k ′ ∗ 1+ k ′′ ∗ 1 e d + v ∗ dV = y1 = k ′ ∗ 11 + k ′′ ∗ ( vV )1,
então devemos resolver o sistema
2
{
k ′ + k ′′ = d
k ′ + k ′′ ∗ vV = d + v ∗ dV
.
3 A solução é k ′ = dVV−v e k ′′ =
−dv
V−v
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Modelagem Matemática
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Equações DiferenciaisReferências
Devemos agora obter os valores de k ′ e k ′′. Substituimos
yi = k ′(λ′)i + k ′′(λ′′)i , observando que y0 = d e y1 = d + v ∗ t1.
Sabemos que t1 é o tempo decorrido para Aquiles percorrer a
distância d , então t1 = dV
1 d = y0 = k ′ ∗ 1+ k ′′ ∗ 1 e d + v ∗ dV = y1 = k ′ ∗ 11 + k ′′ ∗ ( vV )1,
então devemos resolver o sistema
2
{
k ′ + k ′′ = d
k ′ + k ′′ ∗ vV = d + v ∗ dV
.
3 A solução é k ′ = dVV−v e k ′′ =
−dv
V−v
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Equações Diferenciais
Referências
Devemos agora obter os valores de k ′ e k ′′. Substituimos
yi = k ′(λ′)i + k ′′(λ′′)i , observando que y0 = d e y1 = d + v ∗ t1.
Sabemos que t1 é o tempo decorrido para Aquiles percorrer a
distância d , então t1 = dV
1 d = y0 = k ′ ∗ 1+ k ′′ ∗ 1 e d + v ∗ dV = y1 = k ′ ∗ 11 + k ′′ ∗ ( vV )1,
então devemos resolver o sistema
2
{
k ′ + k ′′ = d
k ′ + k ′′ ∗ vV = d + v ∗ dV
.
3 A solução é k ′ = dVV−v e k ′′ =
−dv
V−v
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Equações Diferenciais
Referências
A solução geral será:
xi =
dV
V − v + (
−dv
V − v )(
v
V )
i−1 yi =
dV
V − v + (
−dv
V − v )(
v
V )
i .
O método apresentado permitiu que obtivéssemos as soluções dos
deslocamentos de Aquiles xi e da tartaruga yi , desacoplados, ou
independentes um do outro. Assim, podemos fazer afirmações
sobre como é o movimento de cada um deles. Iremos, ao longo da
disciplina, estudar algumas propriedades de uma sequência. Nesta
sequência, no entanto, podemos afirmar: a medida que Aquiles
alcança a posição anterior da tartaruga, a distância entre ambos
diminui, isso porque yi − xi = ( −dvV−v )( vV )i − ( −dvV−v )( vV )i−1 =
(( −dvV−v )(
v
V )i−1) ∗ (( −dvV−v )( vV )− 1).
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Equações Diferenciais
Referências
Assim, a distância entre aquiles e a tartaruga é determinada pela
sequência
∆i = ((
−dv
V − v )(
v
V )
i−1) ∗ (( −dvV − v )(
v
V )− 1)
1 Esta sequência é uma progressão geométrica de razão vV ,
como V > v , pois Aquiles é mais rápido, a razão da
progressão é menor que 1.
2 Sabemos que quando a razão de uma PG é menor que 1 a
sequência converge para 0, assim quando i →∞, ∆i → 0,
portanto a distância entre Aquiles e a tartaruga converge para
0, logo limi→∞(yi − xi) = 0.
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Equações Diferenciais
Referências
Assim, a distância entre aquiles e a tartaruga é determinada pela
sequência
∆i = ((
−dv
V − v )(
v
V )
i−1) ∗ (( −dvV − v )(
v
V )− 1)
1 Esta sequência é uma progressão geométrica de razão vV ,
como V > v , pois Aquiles é mais rápido, a razão da
progressão é menor que 1.
2 Sabemos que quando a razão de uma PG é menor que 1 a
sequência converge para 0, assim quando i →∞, ∆i → 0,
portanto a distância entre Aquiles e a tartaruga converge para
0, logo limi→∞(yi − xi) = 0.
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Equações Diferenciais
Referências
Podemos afirmar ainda que limi→∞yi = limi→∞xi = dVV−v , que é a
distância que Aquiles percorre até alcançar a tartaruga. Como
V > v , em seguida Aquiles ultrapassa a tartaruga.
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Referências
Mas podemos nos perguntar, como haverá a ultrapassagem se a
posição limite de Aquiles é a mesma da tartaruga? A resposta a
esta pergunta resolve o paradoxo de Zenão. Uma forma simples de
compreender esta resposta é calcular o tempo limite
tlim = limi→∞ti que simplemente é o tempo que aquiles leva para
percorrer a distância dVV−v , ou seja tlim =
d
V−v . Sendo este um
intervalo de tempo finito, no instante seguinte Aquiles ultrapassa a
tartaruga.
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Referências
É importante, e será essencial no decorrer da disciplina,
compreender que uma sequência (xi)i∈N não é uma
correspondência entre o índice i e todos os valores possíveis para a
variável x , apenas uma enumeração de um subconjunto dos
possíveis valores de x . Por exemplo, digamos que uma variável x
pode assumir um número real qualquer, os valores xi = 1i , i ∈ N
são apenas alguns dos possíveis valores que x pode assumir no
intervalo ]0, 1] neste caso N = 1, 2, · · · é o conjunto dos números
reais. O valor limite xi = 0 nunca será atingido, embora
limi→∞xi = 0. Além disso x ∈ R pode ser qualquer número real,
embora na sequência considerada. Para índices i arbitrariamente
elevados este valor fique sempre próximo de zero.
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Equações Diferenciais
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Fica como exercício obter a sequência dos deslocamentos possíveis
no paradoxo de Zenão, para uma condição muito comum nos
enunciados do paradoxo que seria: Aquiles dever percorrer sempre
a metade do distância entre ele e a tartagura.
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Equações Diferenciais
Referências
Para fixar melhor o método apresentado, vamos resolver um
problema bastante antigo: a sequência de fibonacci. Definimos
f0 = 1, f1 = 1 e fi = fi−2 + fi−1, assim
(fn)n∈N0 = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, · · · , }. Podemos
utilizar o método anterior para determinar o termo geral da
sequência.
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Equações Diferenciais
Referências
Segundo a definição da sequência, fi − fi−2 − fi−1 = 0. Podemos
utilizar a mesma técnica fi = kλi e obter a equação:
λ2 − λ− 1 = 0, λ′ = 1+
√
1−4(1)(−1)
2 ou λ′′ =
1−√5
2 . A solução,
que é o termo geral será: fi = k ′(1+
√
5
2 )i + k ′′(
1−√5
2 )i
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Referências
{
f0 = k ′ + k ′′ = 1
f1 = k ′(1+
√
5
2 ) + k ′′(
1−√5
2 ) = 1
, que equivale a{
k ′ + k ′′ = 1
k ′ − k ′′ =
√
5
5
.
k ′ = 5+
√
5
10 e k ′′ =
5−√5
10
O termo geral será fi = 5+
√
5
10 ∗ (1+
√
5
2 )i +
5−√5
10 ∗ (1−
√
5
2 )i .
Observe que fi ∈ N,∀i ∈ N0.
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Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
subject
1 Modelagem Matemática
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3 Equações Diferenciais
Preliminares
4 Referências
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Nesta disciplina iremos tratar, basicamente, de equações
diferenciais. Ao longo da disciplina, vamos procurar entender
melhor o papel essencial das equações diferenciais em modelagem
Matemática. Podemos, inicialmente, nos perguntarmos por que as
Equações Diferenciais. A correspondência entre os nomes Cálculo
Diferencial e Modelagem Matemática não é mera coindidência.
Veremos que as equações de diferenças é uma versão discreta das
equações diferenciais, formuladas a partir de funções contínuas.
A. C SouzaFilho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
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Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Lembremos a definição: Seja f uma função real, f : A −→ R, em
que A ⊂ Domf , sendo Domf o maior subconjunto de R para o
qual a função f está definida, ou seja satisfaz os critérios de
exixtência e unicidade.
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Dada uma função f , definimos f ′(x0) a derivada de f em x0
quando existe o número limx→x0
f (x)−f (x0)
x−x0 . A função que associa a
cada x0 ∈ Domf o número f ′(x0), quando este existe, é
denominada função derivada de f e donotada por f ′ ou y ′ (quando
escrevemos denotamos por y a imagem de f ).
A. C Souza Filho Modelagem Matemática Aplicada à Matemática
Assunto
Modelagem Matemática
Modelagem Matemática para LCN
Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
O problema que se coloca é estudar a equação y ′ = f (t), sendo y ′
a derivada de f em relação à t, denominada equação diferencial.
Exemplo
1 y ′ = 2
2 y ′ = 2t
3 y ′ = 1 + t2
4 y ′ =
√
1 + t2
5 y ′ = et , sendo et a função exponencial
6 y ′ = e−t2
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Assunto
Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Com exceção da última equação, podemos determinar y(t) solução
da equação equação diferencial, expressa em termos de funções
conhecidas. Recordando uma das interpretações geométrica de
derivada, a primeira equação significa que y é uma função cujo
coeficiente angular de sua reta tangente é constante e igual a 2.
Este é o caso da família de funções y = 2x + b, sendo b ∈ R.
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Assunto
Modelagem Matemática
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Em geral, as equações acima têm a seguinte propriedade: se
y = F (t) é a solução das equações diferencias acima, então
F (t1)− F (t0) é a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo das
abscissas no intervalo delimitado por t0 ≤ t1, com a convenção que
a região acima do eixo tem área positiva, enquanto que a região
abaixo do eixo tem área negativa. Recorde que a condição F ′ = f
é a definição de primitiva, ou seja F é a primitiva de f .
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Referências
Preliminares
Podemos mesmo enunciar o resultado:
Teorema
A função y = F (t) é uma solução da equação diferencial y ′ = f (t)
se, e somente se, F (t1)− F (t0) é a área delimitada pelo gráfico de
f e o eixo das abscissas no intervalo delimitado por t0 ≤ t1, sendo
F uma primitiva da função f .
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Preliminares
O teorema acima está formulado segundo a sentença lógica se, e
somente se. Ou seja, se P e Q são duas hipóteses, quando
formulamos a sentença P ocorre se, e somente se, Q ocorre,
estamos afirmando duas propriedades:
1 Se P ocorre, então Q ocorre, e
2 Se Q ocorre, então P ocorre.
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Referências
Preliminares
O teorema acima está formulado segundo a sentença lógica se, e
somente se. Ou seja, se P e Q são duas hipóteses, quando
formulamos a sentença P ocorre se, e somente se, Q ocorre,
estamos afirmando duas propriedades:
1 Se P ocorre, então Q ocorre, e
2 Se Q ocorre, então P ocorre.
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
No primeiro caso, se P é uma hipótese verdadeira, então Q deve
ser verdadeira e isso deve ser provado! No segundo caso, se Q é
uma hipótese verdadeira, então P deve ser verdadeira e isso deve
ser provado. A sentença lógica P ocorre se, e somente se, Q (ou
P ⇔ Q) é denominada equivalência.
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Demonstração.
Devemos provar uma equivalência:
1 Se F é solução de y ′ = f , significa que y = F , logo
y ′ = F ′ = f , portanto F é primitiva de f . Pelo Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC)
∫ t1
t0 f (t)dt = F (t1)− F (t0) é
a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo das abscissas no
intervalo delimitado por t0 ≤ t1.
2 Se F (t1)− F (t0) é a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo
das abscissas no intervalo delimitado por t0 ≤ t1, sendo F
uma primitiva da função f , então F ′ = f . Assim y = F é uma
solução da equação diferencial y ′ = f .
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Referências
Preliminares
Demonstração.
Devemos provar uma equivalência:
1 Se F é solução de y ′ = f , significa que y = F , logo
y ′ = F ′ = f , portanto F é primitiva de f . Pelo Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC)
∫ t1
t0 f (t)dt = F (t1)− F (t0) é
a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo das abscissas no
intervalo delimitado por t0 ≤ t1.
2 Se F (t1)− F (t0) é a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo
das abscissas no intervalo delimitado por t0 ≤ t1, sendo F
uma primitiva da função f , então F ′ = f . Assim y = F é uma
solução da equação diferencial y ′ = f .
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Referências
Preliminares
Segundo o teorema anterior, podemos resolver os exemplos
anteriores
Exemplo
1 y ′ = 2, então F (t) = 2t é uma primitiva de 2, logo y = 2t é
uma solução.
2 y ′ = 2t, analogamente F (t) = t2 é uma primitiva de 2t, logo
y = t2 é uma solução.
3 y ′ = 1 + t2, F (t) = t + t33 tem derivada F ′(t) = 1 + t2, logo
é uma primitiva de 1 + t2 e y = t + t33 .
4 y ′ = et , sabemos que F (t) = et é uma primitiva de et , logo
y = et é uma solução.
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Preliminares
A equação diferencial y ′ =
√
1 + t2 é resolvida da mesma forma. A
dificuldade está em encontrar uma primitiva sua. Existem técnicas
de integração, ou primitivação. Segundo o teorema devemos
calcular
∫ √
1 + t2dt que é uma primitiva de
√
1 + t2. Utilizando a
tabela de primitivas obtemos F (t) = t
√
1+t2+ln|t+√1+t2|
2 , logo
y = t
√
1+t2+ln|t+√1+t2|
2 é uma solução de y ′ =
√
1 + t2.
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Preliminares
Para verificar a afirmação anterior, basta calcular a derivada de
t
√
1+t2+ln|t+√1+t2|
2 em relação a t. Fica como exercício.
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Preliminares
Finalmente, o exemplo y ′ = e−t2 . Segundo o teorema, devemos
encontrar a primitiva da função y ′ = e−t2 . Ocorre que não
conhecemos uma função elementar, ou seja uma função que seja
expressa em termos das funções conhecidas, cuja derivada seja
e−t2 . Esta função, embora não tenha a primitiva conhecida,é
importante em diversas áreas da Matemática, entre elas
Probabilidade e Estatística.
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Referências
Preliminares
Recordando que y ′ = dydx é a taxa instantânea de variação de y , um
problema bem conhecido está relacionado a determinar qual seria a
função y a qual y ′ seja proporcional a y . Aqui, podemos relacionar
este problema, puramente matemático, com uma aplicação, ou um
modelo, ou uma modelagem matemática para o estudo do
crescimento populacional: como população humana ou população
de indíviduos; como o crescimento celular, entre outros. É bem
razoável supor que o crescimento y ′ de uma população seja
proporcional ao tamanho y da população, a partir de um instante
considerado.
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Preliminares
Matematicamente escrevemos isso por y ′ = αy , sendo α o
coeficiente de proporcionalidade. Por um lado, sendo y uma
medida do tamanho da população, deve ocorrer que y seja um
número positivo. Por outro lado, sendo y ′ a taxa de variação do
crescimento, pode ocorrer que a população esteja aumentando e
y ′ > 0, neste caso α > 0, porém pode ocorrer que a população
esteja diminuindo, então α < 0. Finalmente, se α = 0 a população
está estéril. O modelo de crescimento proposto parece representar
bem a taxa de crescimento populacional.
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Preliminares
A solução da equação diferencial y ′ = αy : Segundo o teorema,
devemos encontrar a primitiva F da função y , tal que y = F .
Ocorre que este caso não é como os demais cuja função y esteja
explicita em termos de t. Veremos que essa situação é comum na
resolução de equações diferenciais e iremos tratar de alguns casos.
Este, em particular pode ser resolvido através de uma mudança de
variável. O método geral é conhecido por separação de variáveis.
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Preliminares
1 A equação y ′ = αy , pode ser escrita por y ′y = α.
2 Seja a mudança x = ln(y), neste caso x ′ = y ′y (pela regra da
cadeia).
3 Assim x ′ = α, a primitiva da função constante f (t) = α é
F (t) = αt. Portanto x = αt é uma solução da (ED).
4 Voltando a variável y , obtemos x = ln(y) = αt. Logo y = eαt
é uma solução da (ED).
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Referências
Preliminares
1 A equação y ′ = αy , pode ser escrita por y ′y = α.
2 Seja a mudança x = ln(y), neste caso x ′ = y ′y (pela regra da
cadeia).
3 Assim x ′ = α, a primitiva da função constante f (t) = α é
F (t) = αt. Portanto x = αt é uma solução da (ED).
4 Voltando a variável y , obtemos x = ln(y) = αt. Logo y = eαt
é uma solução da (ED).
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Referências
Preliminares
1 A equação y ′ = αy , pode ser escrita por y ′y = α.
2 Seja a mudança x = ln(y), neste caso x ′ = y ′y (pela regra da
cadeia).
3 Assim x ′ = α, a primitiva da função constante f (t) = α é
F (t) = αt. Portanto x = αt é uma solução da (ED).
4 Voltando a variável y , obtemos x = ln(y) = αt. Logo y = eαt
é uma solução da (ED).
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Referências
Preliminares
1 A equação y ′ = αy , pode ser escrita por y ′y = α.
2 Seja a mudança x = ln(y), neste caso x ′ = y ′y (pela regra da
cadeia).
3 Assim x ′ = α, a primitiva da função constante f (t) = α é
F (t) = αt. Portanto x = αt é uma solução da (ED).
4 Voltando a variável y , obtemos x = ln(y) = αt. Logo y = eαt
é uma solução da (ED).
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Referências
Preliminares
O que significa que y = eαt é uma solução da (ED)? Segundo o
teorema que temos utilizado até o momento, a função eαt foi
determinada a partir de uma primitiva αt e sabemos que αt + C ,
em que C é um número real, também é uma primitiva. Podemos
determinar a solução geral x = ln(y) = αt + C , e determinar
y = eαt+C = eαt ∗ eC , sendo c = eC uma nova constante, temos
y = c ∗ eαt é a solução geral da equação diferencial. Veremos com
bastante detalhe que a constante é determinada a partir de
condições conhecidas do problema, denominada condição de
contorno (CC).
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Referências
Preliminares
Exemplo
Segundo IBGE, a população do Brasil no censo de 2010 era de
196, 8 milhões de habitantes, a partir algumas pesquisas chegou-se
a uma estimativa para 2017 de 207, 7 milhões. Mantidas as
condições de crescimento, determine uma estimativa para a
população do Brasil em 2022.
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Referências
Preliminares
Solução: vimos que y = c ∗ eαt , considerando que em 2010 a
população era 196, 8, este valor pode ser considerado como a
população no ano 0 e teríamos y(0) = 196, 8 = c. Portanto
y(t) = 196, 8eα∗t . Em relação a 2010, o ano de 2017 corresponde
a t = 7 na equação obtida e y(7) = 207, 7 = 196, 8 ∗ eα∗7, assim
e7α = 207,7196,8 , logo α =
ln( 207,7196,8 )
7 = 0, 0077 e
y(12) = 196, 8 ∗ e12∗α = 215, 85 milhões de brasileiros em 2022.
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Preliminares
Exemplo
Sabendo-se que o censo de 2000 contou 175, 3 milhões de
brasileiros e o de 2010 contou 196, 8, qual a estimativa para o
censo de 2020? Analogamente, calculamos c = 175, 3 e
α = ln(
196,8
175,3 )
10 = 0, 01157 e y(20) = 220, 93.
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Preliminares
Comparando-se os resultados fica evidente que, apenas pelos
censos de cada década a estimativa da população pode sofrer
diferenças acentuadas. No caso, pelos censos de 2000 e 2010 a
população de 2022 deveria ser maior que 221 milhoes de brasileiro.
Porém, segundo o estudo do IBGE de 2017, verificou-se que a taxa
de crescimento α caiu e portanto uma estimativa mais provável é a
de aproximadamente 215, 9 milhões em 2022.
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Preliminares
Um problema muito comum em física é a determinação da
equação horária de uma partícula. O caso mais simples é quando
fazemos a hipótese que a partícula tem aceleração constante a.
Neste caso, se x é a posição da partícula então x ′′ = a, ou v ′ = a,
sendo v = x ′ a velocidade.
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Referências
Preliminares
Vamos aplicar o teorema para a equação v ′ = a, obtemos
v = at + c a solução geral. Podemos associara constante c a
velocidade inicial v0. Assim v = at + v0, retornando à condição
que x ′ = v = at + v0 e aplicando o teorema anterior, obtemos
F (t) = 12at2 + v0t + c1 a primitiva de v , associando a constante c1
ao espaço inicial x0 obtemos a solução x = 12at2 + v0t + x0, ou
S = 12at2 + v0t + S0 a equação horária.
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Referências
Preliminares
Podemos, agora estudar um problema real de queda livre incluindo
a resistência do ar. Neste caso, a hipótese é que a força de
resistência seja proporcional a uma certa função da velocidade, por
exemplo Fr = kv2. Supondo que as únicas forças atuantes sejam o
peso e Fr , teremos que m ∗ x ′′ = mg − kv2, assim x ′′ = g − k v2m
deixa de ser constante.
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Referências
Preliminares
Se quisermos aplicar o teorema visto, teremos: x ′′ = v ′ = g − k v2m .
Ocorre que v ′ = g − k v2m é uma (ED) que não está dentro das
condiçoes que vimos até o momento, veremos que podemos
considerar diretamente a equação x ′′ = g − k v2m que fica:
x ′′ − k x ′2m = 0.
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Referências
Preliminares
O objetivo da presente discussão é abordar o fato que uma
equação diferencial pode envolver derivadas de ordem acima de 1.
No caso acima x ′′ − k x ′2m = 0 é uma (ED) de ordem 2, assim como
x ′′ = a. Enquanto um possui solução simples e a outra ainda nada
foi dito de sua solução. O importante é observar que uma equação
diferencial é definida a partir de uma função ϕ associada a
equação ϕ = 0.
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Preliminares
Exemplo
1 y ′ = 2, temos y ′ − 2 = 0, sendo ϕ(t, y ′) = 0 uma função que
depende de t e y ′.
2 y ′ =
√
1 + t2, a equação diferencial é y ′ −√1 + t2 = 0,
ϕ(t, y ′) = 0 uma função que depende de t e y ′.
3 y ′ = αy, temos y ′ − αy = 0, sendo ϕ uma função que
depende das variáveis t, y e y ′. Assim ϕ(t, y , y ′) = 0.
4 y ′′ = a, a equação é y ′′ − a = 0 e a função ϕ depende das
variáveia t e y ′′. Assim ϕ(t, y ′′) = 0.
5 x ′′ = g − k (x ′)2m , a equação diferencial é x ′′ + k (x
′)2
m − g e a
função ϕ depende das variáveis t, x ′ e x ′′. Assim
ϕ(t, x ′, y ′′) = 0.
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Referências
Preliminares
Exemplo
1 y ′ = 2, temos y ′ − 2 = 0, sendo ϕ(t, y ′) = 0 uma função que
depende de t e y ′.
2 y ′ =
√
1 + t2, a equação diferencial é y ′ −√1 + t2 = 0,
ϕ(t, y ′) = 0 uma função que depende de t e y ′.
3 y ′ = αy, temos y ′ − αy = 0, sendo ϕ uma função que
depende das variáveis t, y e y ′. Assim ϕ(t, y , y ′) = 0.
4 y ′′ = a, a equação é y ′′ − a = 0 e a função ϕ depende das
variáveia t e y ′′. Assim ϕ(t, y ′′) = 0.
5 x ′′ = g − k (x ′)2m , a equação diferencial é x ′′ + k (x
′)2
m − g e a
função ϕ depende das variáveis t, x ′ e x ′′. Assim
ϕ(t, x ′, y ′′) = 0.
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Referências
Preliminares
Exemplo
1 y ′ = 2, temos y ′ − 2 = 0, sendo ϕ(t, y ′) = 0 uma função que
depende de t e y ′.
2 y ′ =
√
1 + t2, a equação diferencial é y ′ −√1 + t2 = 0,
ϕ(t, y ′) = 0 uma função que depende de t e y ′.
3 y ′ = αy, temos y ′ − αy = 0, sendo ϕ uma função que
depende das variáveis t, y e y ′. Assim ϕ(t, y , y ′) = 0.
4 y ′′ = a, a equação é y ′′ − a = 0 e a função ϕ depende das
variáveia t e y ′′. Assim ϕ(t, y ′′) = 0.
5 x ′′ = g − k (x ′)2m , a equação diferencial é x ′′ + k (x
′)2
m − g e a
função ϕ depende das variáveis t, x ′ e x ′′. Assim
ϕ(t, x ′, y ′′) = 0.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Exemplo
1 y ′ = 2, temos y ′ − 2 = 0, sendo ϕ(t, y ′) = 0 uma função que
depende de t e y ′.
2 y ′ =
√
1 + t2, a equação diferencial é y ′ −√1 + t2 = 0,
ϕ(t, y ′) = 0 uma função que depende de t e y ′.
3 y ′ = αy, temos y ′ − αy = 0, sendo ϕ uma função que
depende das variáveis t, y e y ′. Assim ϕ(t, y , y ′) = 0.
4 y ′′ = a, a equação é y ′′ − a = 0 e a função ϕ depende das
variáveia t e y ′′. Assim ϕ(t, y ′′) = 0.
5 x ′′ = g − k (x ′)2m , a equação diferencial é x ′′ + k (x
′)2
m − g e a
função ϕ depende das variáveis t, x ′ e x ′′. Assim
ϕ(t, x ′, y ′′) = 0.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Exemplo
1 y ′ = 2, temos y ′ − 2 = 0, sendo ϕ(t, y ′) = 0 uma função que
depende de t e y ′.
2 y ′ =
√
1 + t2, a equação diferencial é y ′ −√1 + t2 = 0,
ϕ(t, y ′) = 0 uma função que depende de t e y ′.
3 y ′ = αy, temos y ′ − αy = 0, sendo ϕ uma função que
depende das variáveis t, y e y ′. Assim ϕ(t, y , y ′) = 0.
4 y ′′ = a, a equação é y ′′ − a = 0 e a função ϕ depende das
variáveia t e y ′′. Assim ϕ(t, y ′′) = 0.
5 x ′′ = g − k (x ′)2m , a equação diferencial é x ′′ + k (x
′)2
m − g e a
função ϕ depende das variáveis t, x ′ e x ′′. Assim
ϕ(t, x ′, y ′′) = 0.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
Definição
Seja ϕ uma função que depende das variáveis t, x , x ′, x ′′, ..., em
que x ′, x ′′, ..., são funções deriváveis e qualquer derivada de x
ocorra em relação à variável t, ou seja, se x (n) é a n-ésima
derivada de x, significa que x (n) = d(x
(n−1))
dt . Então a equação
ϕ(t, x , x ′′, ...x (x)) = 0 é definida por Equação Diferencial Ordinária
de ordem n, também denotada por ( EDO de ordem n.
Nos exemplos anteriores as três primeiras são de ordem 1 e as duas
últimas de ordem 2.
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Assunto
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Equações Diferenciais
Referências
Preliminares
A solução de uma EDO é uma área da Matemática. Vamos tratar
de EDO’s particulares, basicamente as EDO’s lineares ou
homogêneas.
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Referências
subject
1 Modelagem Matemática
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3 Equações Diferenciais
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4 Referências
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Referências
Referências
[1] Derbyshire, J., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the
Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Henry Press.
[2] Jones, Douglas S., Plank, Michael J., Sleeman, Brian D.,
Differential equations and Mathematical Biology, Taylor
Francis, London, 2009, 2nd. Ed.
[3] Bassanezi, Rodney Carlos, Ensino-aprendizagem com
modelagem matemática: uma nova estratégia, Editora
Contexto, São Paulo, 2002.
[4] Zill, Dennis G., Equações Diferenciais com Aplicações em
Modelagem, Pinoneira Thompson Learning, São Paulo, 2003,
(tradução Patarra, C. C.).
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	Modelagem Matemática
	Modelagem Matemática para LCN
	EquaçõesDiferenciais
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	Referências