Aula 09 1

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 9- AUTOVALORES E AUTOVETORES
Tema da Apresentação
AUTOVALORES E AUTOVETORES– AULA 9
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Operador Linear
. Método do Polinômio Característico
. Método do Polinômio Característico:
 Determinação dos Autovalores e Autovetores de uma Matriz
Tema da Apresentação
AUTOVALORES E AUTOVETORES– AULA 9
ÁLGEBRA LINEAR
 
OPERADOR LINEAR
DEFINIÇÃO
 Como vimos anteriormente um operador linear é uma transformação linear de um espaço vetorial V nele próprio T:VV. Desse modo, toda matriz que representa um operador linear em relação a uma base de V é sempre quadrada e de ordem (dimV x dimV).
Exemplo:
T(x,y) = (x-y , x+y) é um operador linear do espaço R² no espaço R².
A matriz que representa essa operação na base canônica do R² é: M = 1 -1
 1 1
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DEFINIÇÃO
 Se é um operador linear, então um escalar
é chamado um AUTOVALOR DE T se existe um vetor não nulo x em tal que T(x) = x.
 Os vetores não nulos x que satisfazem esta equação são chamados AUTOVETORES DE T ASSOCIADOS A . 
Exemplo.
Seja o Operador Linear T:R²R² dado por : T(x,y) = (2x , -2y) 
Devemos achar os vetores v((x,y) ≠ (0,0) do espaço R² de modo que:
 T(x,y)=(2x,-2y)= (x,y) 
ou queremos encontrar soluções não nulas para o sistema linear homogêneo a seguir: 
 
 
 
 
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 Tais soluções ocorrem quando o determinante da matriz dos coeficientes do sistema for necessariamente igual a zero.
Assim:
det 2- 0 = 0 => 2- 0 = 0 =>
 0 - 2- 0 -2-
(2- )(-2- ) = 0 => ou que são os
 AUTOVALORES do Operador Linear T 
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 Os autovetores são obtidos resolvendo-se o sistema (I) para cada autovalor encontrado.
Assim:
Para o autovalor =2 , o sistema (I) se reduz a:
  x= qualquer valor real
  y=0
 Logo os AUTOVETORES associados ao autovalor = 2 são da forma:
 
 com xR e x≠0}
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Para o autovalor = -2, o sistema (I) se reduz a:
 qualquer valor real
 Logo os AUTOVETORES associados ao autovalor =-2 são da forma:
 {(0,y) com yR e x≠ 0}
 
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MÉTODO DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
 Seja A uma matriz de ordem nxn que representa o operador linear T em uma base do espaço . Para determinar os autovalores e autovetores da matriz A devemos resolver a equação matricial Av = v sendo real e v≠ 0 
 Os autovalores da matriz A serão dados pelas raízes reais de um polinônio em do grau n denotado por p( ) que se chama POLINÔMIO CARACTERÍSTICO.
 Os autovetores de A serão dados pela resolução de um sistema linear homogêneo de equações do tipo indeterminado.
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MÉTODO DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO - DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ
 Seja A uma matriz de ordem nxn.
1º) Representar a matriz onde In é a matriz identidade de mesma ordem de A
2º) Obter o polinômio característico da matriz A:
 p( ) = det = 0
3º) Os autovalores da matriz A serão dados pelas raízes do polinômio característico p( ) 
4º) Para cada valor encontrado resolver o sistema homogêneo v = 0 , para v ≠ 0.
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EXEMPLO
Calcular os autovalores e autovetores da matriz A = 1 2
 0 -1
SOLUÇÃO
1º) A - I2 = 1 2- 1 0 1- 2
 0 -1 0 1 = 0 -1- 
2º) p( ) = det (A - I2) = ² - 1 = 0
3º) Os AUTOVALORES DA MATRIZ A são as raízes de p( ) dadas por e .
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4º) Para 1 = 1 , o sistema a ser desenvolvido é:
 que possui solução dada por: 
 Para 2 =-1 , o sistema a ser desenvolvido é:
 que possui solução dada por:
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Na aula de hoje estudamos:
. Operador Linear
. Método do Polinômio Característico
. Método do Polinômio Característico:
 Determinação dos Autovalores e Autovetores de uma Matriz
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