2017.2 - ESTACIO - BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA (1)

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APOSTILA DE 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
CURSO: ENGENHARIAS	
PROF.: MÁRIO S. TARANTO 
SUMÁRIO
REVISÃO DE CONJUNTOS
1 ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
1.1 POTENCIAÇÃO
1.1.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
1.2 RADICIAÇÃO
1.2.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
1.2.2 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE RACIONAL
1.3 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1.4 PRODUTOS NOTÁVEIS
1.4.1 FATORAÇÃO
1.5 RAZÕES E PROPORÇÕES
1.5.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
1.5.2 PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES
1.5.3 DIVISÕES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
1.6 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
1.7 PERCENTAGEM
1.7.1 TAXA PERCENTUAL
1.7.2 DESCONTOS SUCESSIVOS
1.7.3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
2 VETORES
2.1 DEFINIÇÃO DE VETOR
2.2 VETORES NO PLANO	
2.2.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
2.2.1.1 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
2.2.1.2 ADIÇÃO DE VETORES
2.2.1.3 MÓDULO DE UM VETOR NO PLANO 
2.2.1.4 VETOR UNITÁRIO 
2.2.1.5 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM VETORES UNITÁRIOS
2.3 VETORES NO ESPAÇO
2.3.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
2.3.1.1 PROPRIEDADES
2.3.1.2 MÓDULO DE UM VETOR NO ESPAÇO 
3 MATRIZES
3.1 NOTAÇÃO GERAL
3.2 DENOMINAÇÕES ESPECIAIS DAS MATRIZES
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES
3.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
3.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
3.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
3.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
	
4 RELAÇÕES E FUNÇÕES
4.1 PRODUTO CARTESIANO
4.2 PLANO CARTESIANO
4.3 RELAÇÃO
4.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
4.4 FUNÇÃO
4.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
4.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
	
 
5 FUNÇÃO DO 1º GRAU
5.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
5.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
5.3 INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
6.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
6.2.COORDENADAS DO VÉRTICE
6.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
7 FUNÇÃO EXPONENCIAL
7.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
7.2 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	
8 LOGARITMOS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
8.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
8.2 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
8.2.1 LOGARITMO DO PRODUTO
8.2.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE
8.2.3 LOGARITMO DA POTÊNCIA
8.2.4 MUDANÇA DE BASE
8.3 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
8.4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
8.4.1 MODELO DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
8.5 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
9 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
9.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
9.2 CICLO TRIGONOMÉTRICO
9.3 RELAÇÃO FUNDAMENTAL
9.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
9.4.1 FUNÇÃO SENO
9.4.1.1GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
9.4.2 FUNÇÃO COSSENO
9.4.2.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
9.4.3 FUNÇÃO TANGENTE
9.4.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
9.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
10 LIMITES
10.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
10.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
10.2.1 LIMITE DE UMA CONSTANTE
10.2.2 LIMITE DA SOMA
10.2.3 LIMITE DA DIFERENÇA
10.2.4 LIMITE DO PRODUTO
10.2.5 LIMITE DO QUOCIENTE
10.2.6 LIMITE DE UMA POTÊNCIA
10.2.7 LIMITE DE UMA RAIZ
10.2.8 LIMITE DE UM LOGARITMO 
10.3 LIMITES LATERAIS
10.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
10.5 LIMITES INFINITOS
10.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x ( ((
	
REVISÃO DE CONJUNTOS
1 - Determine x para que A = B, onde A = {5, 13, 2x²} e B = {25/2, 13, 5}. 
2 - Dados os conjuntos A = {1, 5, 8} e B = {5, 8, x² - 3, 11}. Sabendo que A está contido em B, quanto vale x? 
3 - Seja A = {1, {2}, {1,2}}. Considere as afirmações:
I - 1 pertence A
II - 2 pertence A
III – { } está contido em A
IV - {1,2} está contido em A
Verifique quais são verdadeiras ou falsas justificando suas respostas.
4 - Sejam os conjuntos M = {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 9}, P = {x ∈ R / 1 ≤ x < 7}, S = {x ∈ Z / 1 < x < 7} e T = {x ∈ Q / 1 ≤ x ≤ 9} e as seguintes afirmativas: 
I – 1 pertence ao conjunto M, mas não pertence ao conjunto S.
II – Os conjuntos M e T são iguais.
III – O conjunto S é subconjunto de P.
IV – O conjunto T é subconjunto de P.
Verifique quais são verdadeiras ou falsas justificando suas respostas.
5 - Sejam os conjuntos A = {x pertence ao conjunto dos números inteiros / x² - 5x + 6 = 0} e B = {x pertence ao conjunto dos números naturais / 4 – x > 0}, determine o conjunto complementar do conjunto A em relação ao conjunto B.
6 - Seja o conjunto A = R (conjunto dos números reais) e B = Q (conjunto dos números racionais). Determine o conjunto Complementar de B em relação ao conjunto A.
7 - Dados os conjuntos A = {x inteiros tais que x é maior ou igual a 3 e menor que 7} , B = {x inteiros tais que x está compreendido entre -1 e 5} e C = {x inteiros tais que x é maior ou igual a 0 e menor ou igual a 7}, determine o número de subconjuntos do conjunto D = (AUB) interseção C. 
8 - Uma pesquisa foi feita com 250 pessoas sobre o uso de dois produtos: produto A e produto B. Sabe-se que 150 pessoas utilizam o produto A e 100 utilizam o produto B. Além disso, a pesquisa identificou que 40 pessoas utilizam os dois produtos. Quantas pessoas não utilizam nem o produto A nem o produto B?
9 - Sejam A e B dois conjuntos tais que A - B possui 30 elementos, A interseção B, 10 elementos e A U B, 48 elementos. Então, qual o número de elementos de B - A? 
10 - Dos 30 alunos de uma turma, 10 foram reprovados em matemática, 9 em português e 7 em ciências. 7 foram reprovados em matemática e português, 5 em matemática e ciências e 4 em português e ciências. Sabendo que 3 alunos formam reprovados nas três matérias, determine:
a) quantos não foram reprovados em nenhuma das 3 matérias?
b) quantos foram reprovados em matemática ou ciências?
c) quantos foram reprovados só em matemática?
1 ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
1.1 POTENCIAÇÃO
A potência enésima de um número a, indicada por an, sendo n um número inteiro maior que 1, é o produto de n fatores iguais a a que resulta o número b, onde:
n ( expoente
a ( base
b ( potência
1.1.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
1ª) 
 2ª) 
��EMBED Unknown 3ª) 
��EMBED Unknown
4ª) 
��EMBED Unknown 5ª) 
 
1.2 RADICIAÇÃO
É a raiz enésima de um número b que resulta o número a, indicada por 
, sendo n um número inteiro maior que 1, onde:
( radical
n ( índice
b ( radicando
a ( raiz
1.2.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
1ª) 
��EMBED Unknown 2ª) 
, b ( 0 3ª) 
��EMBED Unknown
4ª) 
, p ( Z* 5ª) 
, p ( N* 
1.2.2 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE RACIONAL
Se a é um número real positivo e 
 um número racional, com n inteiro positivo, definimos:
Exercícios
1 – Aplique as propriedades nos casos de potenciação e radiciação a seguir:
a) 
			 b)
			c) 
	
d) 
			e) 
			f) 
2 – Racionalize:
a) 
		
b) 
		
c) 
			
d) 
e) 
3 – Transforme as radiciações abaixo em potências de expoente racional:
a) 
		b) 
		c) 
			d) 
4 – Resolva a expressão [79 / (72 * 7)3]-3.   
5 – Aplicando as propriedades de potenciação e radiciação na expressão (4/x)1/2, temos:
(a) 2 / x (b) 16 / x² (c) 2x-1/2 (d) 2 / (x / 2) (e) (1 / 16) / x-2
6 - Dado que x = a + x-¹, a expressão x² + x-²  é igual a?
1.3 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Recebem o nome de expressões algébricas as expressões matemáticas nas quais se faz uso de letras, números e operações aritméticas. Nesse tipo de expressão, as letras são denominadas incógnitas ou variáveis.
Exercícios
7 – Calcule o valor numérico da expressão algébrica 4x³y + 10y² – 8x³y², para x = - 2 e para y = 3.
8 – Encontre o valor numérico da expressão algébrica (2y + 3x²) / (xy + y³), para x = -1, para y = 2.
9 – Dados os polinômios P(x) = 5x² - 3x + 7 e Q(x) = 3x³ - 2x² +1, determine e expressão 3P(x) - Q(x). 
10 – Considerando P = 3x2 - 4xy  e Q = x3 -  4x2 + 2, encontre a expressão 5P - 2Q.
11 – Uma mulher é 5 anos mais nova do que seu marido. Se a soma da idade do casal é igual a 69 anos, qual é a idade de cada um?
12 – Três amigos: Almir, Bruno e Cesar foram jantar em um restaurante e a conta total da janta foi de 100,00. Sabe-se que Almir pagou R$ 8,00 a mais que Bruno e este R$ 4,00 a mais que Cesar. Com isso, pode-se dizer que Bruno pagou quanto?
13 – Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um Pacote turístico e pagou o valor de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
1.4 PRODUTOS NOTÁVEIS
Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Abaixo temos os produtos notáveis mais utilizados:
(a + b)2 = a² + 2ab + b² Quadrado da soma de dois termos
(a – b)2 = a² – 2ab + b² Quadrado da diferença de dois termos
(a + b).(a – b)   Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b)3 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Cubo da soma de dois termos
(a – b)3  = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ Cubo da diferença de dois termos
Exercícios 
14 – Se (x – y)2 – (x + y)2 = -20, então quanto vale xy? 
15 – Se x – y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x2 + y2 será:
16 – Calcule o valor de b na igualdade a² + b² + c² = (a + c)².
1.4.1 FATORAÇÃO
É a transformação da soma e/ou da subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. Os casos de fatoração são:
Fator Comum: ax + bx = x.(a + b)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b).(x + y)
Diferença de Dois Quadrados: a2 – b2 = (a + b).(a – b)
Trinômio Quadrado Perfeito: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Cubo Perfeito: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 ou a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas.
Exercício
17 – Simplifique as expressões:
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
1.5 RAZÕES E PROPORÇÕES
 	A razão de duas grandezas é o quociente entre os números que medem essas grandezas numa mesma unidade ou em unidades diferentes e a proporção é a igualdade entre duas razões.
1.5.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Em toda proporção o produto extremos é igual ao produto dos meios. 
Notação: 
, onde a x d = b x c.
Uma proporção não se altera se trocarmos as posições dos meios ou extremos.
a x d = b x c ou d x a = b x c ou a x d = c x b.
1.5.2 PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES
1ª) Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o respectivo consequente.
Notação: Sendo 
, aplicando a propriedade temos:
2ª) Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo consequente.
1.5.3 DIVISÕES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (REGRA DE SOCIEDADE)
Nas divisões em partes diretamente proporcionais, aplicamos a primeira propriedade das proporções. 
Nas divisões em partes inversamente proporcionais, determinamos os inversos dos números envolvidos na proporcionalidade, reduzimos ao mesmo denominador conservando apenas os numeradores encontrados e aplicamos a primeira propriedade das proporções.
Exercícios
18 – Após um dia de trabalho, João e Pedro ganharam juntos R$ 840,00. Se a razão de seus ganhos é de 
, quanto ganhou cada um?
19 – Num trabalho realizado por Mauro e Felipe, Mauro ganhou R$ 1.500,00 a mais que Felipe. Sabendo que a razão de seus ganhos foi de 
, quanto ganhou cada um?
20 – Dos 27 empregados de uma empresa, x são mulheres e y são homens. Sabe-se que os números x e y são diretamente proporcionais a 4 e 5. Nesse caso, podemos dizer que o número de mulheres excede o de homens em:
21 – Um oficial de justiça observa que sobre a sua mesa existem 2 mandados de notificação para cada 3 mandados de intimação. Se o total desses mandados é 60, qual o número de mandados de intimação?
22 – Considere que x e y sejam números reais correspondentes, respectivamente, aos valores cobrados por um banco na renovação anual da ficha cadastral de cada um de seus clientes e na manutenção anual do cartão magnético fornecido pelo banco ao cliente interessado pelo serviço. Sabendo que x e y são diretamente proporcionais a 5 e 3, respectivamente, e que x custa R$ 6,20 a mais que y, então quanto custa a renovação anual de cadastro do referido banco? 
23 – Uma escola possui 560 alunos. Há 3 meninas para cada 5 meninos. Do total de meninas 6/14 gostam de futebol. Qual a quantidade de meninas, dessa escola, que gosta de futebol? 
24 – Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000,00. Calcule a parte correspondente a cada sócio, sabendo que os capitais empregados por cada um são de: R$ 180.000,00, R$ 150.000,00 e R$ 120.000,00.
25 – Gabriel deseja dividir R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. Qual o valor da maior importância?
26 – Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto coube a cada um?
1.6 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
É um processo para resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais fazendo uso de uma regra prática. 
Exercícios
27 – Se um pedreiro gasta, para assentar 120 m² de azulejo, 8 Kg de argamassa, quantos m² de azulejo estarão assentados quanto forem gastos 13 kg de argamassa?
28 – Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?
29 – Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
30 – Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
31 – Uma gráfica possui 4 máquinas iguais que imprimiram juntas 1 000 panfletos em 5 horas. Essa gráfica recebeu uma nova encomenda de 1 500 panfletos iguais ao anterior, porém, 1 dessas máquinas quebrou. Em quanto tempo será impressa essa nova encomenda?
32 – Uma torneira A enche um tanque em 1 hora. Se Houvesse um furo capaz de esvaziar o tanque em 3 horas, quantas horas seriam necessárias para que a torneira A enchesse completamente este tanque furado?
1.7 PERCENTAGEM
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.
1.7.1 TAXA PERCENTUAL
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 unidades.
Uma razão 
, é chamado de razão centesimal ou taxa percentual. Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, é substituir o consequente 100 pelo símbolo %. 
1.7.2 DESCONTOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os líquidos parciais correspondentes efetuando os descontos oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o valor líquido final.
VFinal = P ( (1 – i1) ( (1 – i2) ( … ( (1 – in)
1.7.3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os valores parciais correspondentes aos referentes acréscimos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos ovalor líquido final.
VFinal = P ( (1 + i1) ( (1 + i2) ( … ( (1 + in)
Exercícios
33 – Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? 
34 – Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Quais, respectivamente, as percentagens de lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda?
35 – Uma pessoa gasta por semana para se deslocar para o trabalho R$ 25,00. Se o transporte sofreu um aumento de 14%, de quanto será seu gasto semanal?
36 – Uma certa mercadoria custava R$ 1.250,00, teve um aumento passando a custar R$ 1.350,00. Qual a majoração sobre o preço antigo?
37 – Numa compra à vista uma mercadoria teve um desconto de 25%. Sabendo que o preço da mercadoria sem o desconto é de R$ 284,00, por quanto saiu a mercadoria?
38 – Um televisor custa R$ 420,00 e está sendo vendido com desconto de 15%. Por quanto o televisor está sendo vendido?
39 – Uma casa foi comprada por R$ 160.000,00 e vendida por R$ 179.200,00. De quanto foi a taxa de lucro? 
40 – Um produto que custava R$ 780,00 teve um aumento de 25% e, depois sobre o novo valor, um aumento de 30%. Qual o seu preço final? Qual o percentual total de aumento?
41 – Uma mercadoria custa R$ 25,00 e terá 4 aumentos consecutivos mensais: dois de 10% e dois de 15%. Qual o novo preço ao final desses 4 meses? Qual o percentual total de aumento?
42 – Uma mercadoria que custava R$ 980,00 foi vendida com dois descontos sucessivos, de 5% e 7%. Qual o preço final da venda?
43 – Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor inicial da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido final da mesma? Qual o percentual de desconto obtido?
2 VETORES
2.1 DEFINIÇÃO DE VETOR
Um vetor é um segmento de reta orientado utilizado para definir uma grandeza vetorial. Para que possa ser definido, um vetor deve possuir: 
O valor numérico (módulo) é o comprimento do segmento.
A direção é a da reta que contém o segmento.
O sentido é dado pelo sentido do movimento.
2.2 VETORES NO PLANO
	No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de números reais, onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P.
	Os segmentos orientados com ponto inicial na origem e ponto final em P, são denominados vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma vez que o ponto inicial é fixo na origem.
	A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final.
	Desta forma, um vetor v = 
 é representado, simplesmente, pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b). Usamos a notação v ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b).
	A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os pontos
inicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).
	O oposto de um vetor v = 
 é o vetor w = 
, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = –v.
2.2.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
2.2.1.1 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
• Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento de v.
• Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v.
• Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenada desse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).
2.2.1.2 ADIÇÃO DE VETORES
• Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d).
• A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo.
Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0).
• A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor: v – w = v + (-w).
Exercício
44 – Sendo u = (–2, 4), v = (3, 5) e w = (–1, –2), calcule os componentes dos vetores abaixo e represente a solução graficamente.
a) u + v			 		b) v – w
c) 3u + v						d) u – 2w
2.2.1.3 MÓDULO DE UM VETOR NO PLANO 
O módulo ou comprimento do vetor v = (a, b) é um número real não negativo, definido por:
Exercício
45 – Determine os módulos dos vetores abaixo:
a) u = (–3, 4)			b) v = (5, 12)			c) w = (–1, 1)			d) u + w 
2.2.1.4 VETOR UNITÁRIO 
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. 
No espaço R² existem dois vetores unitários que formam a sua base canônica que são dados por:
i = (1,0) e j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: 
Exercícios
46 – Dado v = (4, –3), construir um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido.
47 – Dado v = (–1, 7), construir um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido.
48 – Encontre o vetor com a mesma direção e o mesmo sentido de u = (7, 2) que tem módulo igual a 13. Represente-o graficamente.
49 – Encontre o vetor com a mesma direção e sentido contrário de v = (1, –3) que tem módulo igual a 7. Represente-o graficamente. 
50 – Sabendo que os vetores v1 = (3a - 4, 2) e v2 = (11, -7 + b²/5) são iguais, calcule os valores de a e b. 
51 – Dados os vetores u = 2i - j, v = -5i + j e w = -10i + 6j,  determine a e b tais que w = au + bv
52 – Dados os pontos A = (3, 1), B = (3, -2) e C = (-4, 2), calcule o módulo do vetor V, tal que V = 2VAC - 3VAB. 
2.3 VETORES NO ESPAÇO
	
	Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao espaço tridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números reais (x,y,z), onde x, y e z são as coordenadas do ponto P.
	Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu ponto final.
	Assim, um vetor v = 
 é representado pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b,c).
Denotamos v = 
 ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c).
	A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0).
	Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1, x2, x3); xi ( R} = R × R × R = R3.
2.3.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
	Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
2.3.1.1 PROPRIEDADES
	Sejam u, v, w ( V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas as propriedades seguintes:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)
ii) u + v = v + u (comutativa)
iii) existe 0 ( V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)
iv) existe –u ( V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)
v) a(u + v) = au + av
vi) (a + b)v = av + bv
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1u = u
2.3.1.2 MÓDULO DE UM VETOR NO ESPAÇO 
O módulo ou comprimento do vetor v = (a, b, c) é um número real não negativo, definido por:
Exercícios
53 – Dados u = (1, 5, –2) e v = (0, –3, 1), determine os valores de:
a) 2u + v			b) u – 5v			c) 3u + 1/2v
54 – Sendo u = (3, 0, –1) e v = (5, 1, 2), calcule os módulos de u, v, u + v e u – v.
55 – Encontre o vetor com a mesma direção e o mesmo sentido de u = (2, –1, 2) que tem módulo igual a 18.
56 – Encontre o vetor com a mesma direção e sentido contrário de v = (2, 0, –4) que tem módulo igual a 5/2. 
57 – Dadosos pontos A = (4, -1, 3) e B = (2, 0, -1). Sabendo-se que VAC = 2VAB, determine as coordenadas do ponto C. 
58 – Considere os vetores v1 = (2, 2b - 3) e v2 = (a - 5, 7). Sabendo que v1 + v2 = (-1, 4), calcule os valores reais a e b. 
59 – Dados u = (3, 1, –2) e v = (0, 2, 1), calcule 3u + 1/2v. 
3 MATRIZES
3.1 NOTAÇÃO GERAL
	Denomina-se matriz toda tabela disposta em linhas e colunas que encontram-se entre parênteses ou colchetes. 
	Normalmente, as matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas acompanhados do duplo índice ij que representam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento se encontra. 
Exercício
60 – Construa as matrizes:
a) A = (aij)2x3 tal que aij = 
 
b) B = (bij) 3x3 tal que bij = 
 
3.2 DENOMINAÇÕES ESPECIAIS DAS MATRIZES
MATRIZ LINHA
	É toda matriz com uma única linha.
MATRIZ COLUNA
	É toda matriz com uma única coluna.
MATRIZ QUADRADA
	É toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo de matriz possui duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
MATRIZ NULA
	É toda matriz que seus elementos são nulos.
MATRIZ DIAGONAL
	É toda matriz quadrada que os elementos que não se encontram na diagonal principal são nulos.
MATRIZ IDENTIDADE
	É toda matriz quadrada que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero.
MATRIZ TRANSPOSTA
	É toda matriz obtida pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas. Denota-se a matriz transposta de A por At.
MATRIZ SIMÉTRICA
	É toda matriz quadrada de ordem n que A = At. 
MATRIZ OPOSTA	
	Chama-se matriz oposta de A a matriz obtida pela troca de todos os sinais de seus elementos.
Exercícios 
61 – A matriz A =
 é do tipo: 
( a ) diagonal		( b ) 1x3 		 ( c ) nula 		( d ) 1x1		( e ) linha
62 – Sendo a matriz A = 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 , a oposta de sua transposta é: 
( a ) 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( b ) 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( c ) 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( d ) 
		( e ) 
	
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES
	Diz-se que duas matrizes A e B, do mesmo tipo, são iguais se, e somente se, todos os elemento que ocupam a mesma posição, são idênticos. 
Exercício
63 – Para que A = 
 seja uma matriz simétrica, quanto deverá valer x, y e z? 
3.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
3.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
	
São operações que só podem ser efetuadas entre matrizes do mesmo tipo. A matriz resultante dessas operações é encontrada através da soma ou da subtração dos elementos que ocupam a mesma posição. 
3.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
	
Dado um número real x e uma matriz A, o produto de x pela matriz A é a matriz obtida pela multiplicação de x por todos os elementos da matriz A.
	
Exercício
 64 – Calcule X na equação 3X – A + 2B = 0, sabendo que A = 
 e B = 
. 
3.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
	
O produto de uma matriz A por uma matriz B, é a matriz C onde cada um de seus elementos é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
Exercícios
65 – Sejam as matrizes A = 
 e B = 
, calcule: 
a) AxB					b) BxA
66 – Dadas A = 
 e B = 
, calcule A x Bt + At x B, se possível. 
67 – Dadas as matrizes A =(aij)2x3 tal que aij = 
 e B = (bij)3x4 tal que bij = 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 de forma que do produto de A X B obtenha-se a matriz C. Determine o elemento c22. 
4 RELAÇÕES E FUNÇÕES
4.1 PRODUTO CARTESIANO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x ( A e y ( B. 
�
4.2 PLANO CARTESIANO
O produto cartesiano entre dois conjuntos não-vazios pode ser representado no plano cartesiano associando-se cada par ordenado a um ponto desse plano.
Na representação do produto A x B, o conjunto A é disposto no eixo das abscissas e o B, no das ordenadas.
4.3 RELAÇÃO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, denominamos relação de A em B todo subconjunto de A x B.
�
	Esses subconjuntos de A x B são relações de A em B, que podem ser expressas por leis de formação de pares ordenados.
	
4.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Em uma relação 
�, o domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos seus pares ordenados e a imagem o conjunto formado pelos segundos elementos desses pares. 
Assim como o produto cartesiano, uma relação 
� pode ser representada no plano cartesiano.
4.4 FUNÇÃO
Se A e B são dois conjuntos com x ( A e y ( B, chamamos de função de A em B toda relação 
� na qual, para todo x ( A, existe em correspondência um único y ( B.
4.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
O conjunto A é chamado de domínio (D) e o B, de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im).
	Para determinar o domínio de uma função de variável real devemos considerar a condição de existência da função.
4.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
	
Uma função 
� é sobrejetora quando todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, a imagem é o próprio contradomínio.
	Uma função 
� é injetora quando quaisquer dois valores distintos do domínio corresponderem duas imagens distintas no contradomínio.
	Se uma função f for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então esta função será chamada de bijetora.
Exercícios 
68 – Seja A = {0, 1, 2, 3} e B = {–2, –1, 0, 1} e a relação R: A ( B definida por R(x) = x – 1. Verifique se R(x) é uma função: 
69 – Se um ponto do plano cartesiano possui abscissa negativa e ordenada diferente de zero, este ponto está obrigatoriamente localizado em que quadrante? 
( a ) 2º		 	 ( b ) 3º			 ( c ) 3º ou 4º		 ( d ) 2º ou 3º 		( e ) 4º
70 – Seja f a função de R em R definida por f(x) = 3x2 – 10x + 3, calcule f(-1) + f(1): 
71 – Seja a função f: R ( R definida por y = 
. Qual elemento do domínio tem imagem – 21?
72 – Os esquemas abaixo representam funções de A em B. Identifique se a função é sobrejetora, injetora ou bijetora e justifique sua resposta.
 A B 
 A B 
 
 2. .7 6. . 5
 5. .8 3. .4
 
 8. .9 1. . 3
 
 11. . 2
 
 A B A B
 0. .0 1. .1
 
 1. .1 2. 
 2. .4 4.
 
 
5 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função f de R em R é dita função do 1º grau quando é do tipo f(x) = ax + b, com a ( 0.
Se b ( 0, f é dita função afim e se b = 0, f é dita função linear.
	
Nas funções afim, a é chamado coeficienteangular ou declividade da reta representada no plano cartesiano e b coeficiente linear.
5.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para determinar a raiz da função do 1º grau, basta resolver a equação do 1º grau determinada por f(x) = 0 (ax + b = 0). 
5.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente ou decrescente.
 
Nota: Quando uma função do 1º grau for linear, seu gráfico será uma reta que passa pela origem.
Exercícios
73 – Construa o gráfico das funções y = 3x – 5 e f(x) = –2x + 1.
74 – Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de R$ 800,00 por mês e custos variáveis de R$ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo?
75 – Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é de R$ 500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é de R$ 450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação?
76 – Uma fábrica de nossa região tem um custo fixo mensal de R$ 1.500,00. Cada peça produzida nesta fábrica tem um custo de R$ R$ 16,00 e o preço de venda é de R$ 20,00. Qual o ponto de nivelamento? Quantas precisam ser produzidas para que se tenha um lucro de R$ 4.500,00?
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função f de R em R é dita função quadrática ou função do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 +bx + c, com a ( R*, b ( R e c ( R.
6.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Para determinar as raízes da função quadrática, basta resolver a equação do 2º grau determinada por f(x) = 0 (ax2 + bx + c = 0). 
Os valores de x’ e x” são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo de x.
6.2.COORDENADAS DO VÉRTICE
	Para calcular os valores das coordenadas do vértice de uma parábola V(xv, yv), usamos:
6.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	O gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c de R ( R é uma curva denominada parábola. 
Sua concavidade será voltada para cima quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0.
 
Exercícios
77 – Construa os gráficos das funções f: R ( R definida por f(x) = x2 + 2x – 3 e y = –x2 + 6x – 5. 
78 – O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por c(x) = 3x2 – 100x + 2.000. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação.
79 – Para uma fábrica produzir x unidades por semana de certo produto, seu custo é dado por c(x) = 4x2 – 80x + 500. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação. 
80 – Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo?
7 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Denominamos função exponencial toda função f de R em R
 definida por f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.
7.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	De modo geral, representamos graficamente uma função exponencial f(x) = ax nos 1º e 2º quadrantes do plano cartesiano.
	Uma função exponencial é crescente quando a > 1 e é decrescente quando 0 < a < 1.
 
7.2 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Observando os gráficos acima, verificamos que, de modo geral:
D(f) = R e Im(f) = R
Exercícios
81 – Classifique as funções a seguir em crescentes ou decrescentes:
a) 
	 b) 
 	 c) 
 	 d) 
82 – Construa o gráfico, determinando o conjunto imagem de cada função real:
a) 
 	 b) 
			 c) 
83 – O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função 
 , sendo t o número de dias após o início do experimento. Calcule:
a) o número n de bactérias no início do experimento; e 
b) em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
8 LOGARITMOS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
8.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
	Sendo a e b números reais positivos, com b ( 1, chamamos de logaritmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva b para obter a:
 
Exercícios
84 – Calcule os valores de x para que existam os logaritmos:
	a) log (x – 3)
b) 
 
c) 
	d) 
e) 
f) 
 
8.2 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
8.2.1 LOGARITMO DO PRODUTO
	Sendo a, b e c números reais positivos, com a ( 1, temos:
Loga (b ( c) = loga b + loga c
8.2.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE
Sendo a, b e c números reais positivos, com a ( 1, temos:
Loga 
 = loga b – loga c 
8.2.3 LOGARITMO DA POTÊNCIA
Sendo a e b números reais positivos, com a ( 1, e m um número real, temos:
Loga bm = m ( loga b
Exercícios
85 – Usando as propriedades operatórias, calcule log2 (64 ( 128).
86 – Sendo log x = 2, log y = 3 e log z = 5, calcule 
.
87 – Considerando log 2 = 0,301, calcule log 50.
88 – Sendo log (a + b) = m e a – b = 100, calcule log (a2 – b2) em função de m. 
8.2.4 MUDANÇA DE BASE
Sendo a > 0, b > 0, b ( 1, c > 0 e c ( 1, temos:
 
Exercícios
89 – Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule log2 72.
90 – Simplifique a expressão (log4 9)(log81 16)(log27 8)(log8 3).
91 – Calcule log100 144. Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
92 – Simplifique a expressão 
.
8.3 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Denominamos função logarítmica de base a (1 ( a > 0) a função que associa a cada elemento x positivo o seu logaritmo nessa base:
f(x) = loga x definida de R
 em R, com 1 ( a > 0
 
8.4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	De modo geral, representamos graficamente uma função logarítmica f(x) = loga x nos 1º e 4º quadrantes do plano cartesiano.
8.4.1 MODELO DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Função logarítmica crescente: a > 1. 	Função logarítmica decrescente: 0 < a < 1.
 
 	 	
 
8.5 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Observando os gráficos acima, verificamos que, de modo geral:
D(f) = R
 e Im(f) = R
Exercícios
93 – Construa os gráficos das funções das funções f: R
( R:
a) f(x) = log3 x					b) f(x) = log1/3 x 
94 – Determine o domínio das seguintes funções reais:
a) f(x) = log1/2 (x2 – 4x + 3)			b) f(x) = log5 (x2 – 2x + 1)
9 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
9.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
A fim de definir as razões trigonométricas de um ângulo agudo não nulo , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a . As razões são definidas como:
�� 
Exercícios
95 – Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. 
 
 
96 – No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
97 – Sabe-se que, em um triângulo retângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.
 
 
 
 
98 – Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3.
 
 
99 – Calcule os valores de x e y nas figuras abaixo:
           
100 – Calcule o valor de x na figura abaixo:
9.2 CICLO TRIGONOMÉTRICO
As razões trigonométricas podem ser generalizada para um ângulo real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. 
Para cada ângulo existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento faz um ângulo como eixo x.
Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento sobre o eixo y. O cosseno é definido como a projeção do segmento com o eixo x. 
Parte inferior do formulário
9.3 RELAÇÃO FUNDAMENTAL
Como cada ponto (x, y) pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, pelo Teorema de Pitágoras verificamos que: 
As outras razões podem ser definidas conforme as relações a seguir: 
Exercícios
101 – Considerando que sen x = 1/4, com π < x < 3π/2, determine tg x, sec x, cossec x e cotg x. 
102 – Considerando que cos x = 1/3, com 0 < x < π/2, determine tg x, sec x, cossec x e cotg x. 
9.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
9.4.1 FUNÇÃO SENO
Associa-se a cada número real x o número f(x) = sen x
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: 
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: 
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função f(x) = sen x, a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o período é 2.
Paridade: Dado que sen (-x) = - sen x, a função seno é ímpar.
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: 
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).
9.4.1.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
��
9.4.2 FUNÇÃO COSSENO
Associa a cada número real x o número f(x) = cos x
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: 
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: 
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o período é 2.
Paridade: Dado que cos (-x) = cos x, a função cosseno é par.
Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: 
f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).
9.4.2.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
��
9.4.3 FUNÇÃO TANGENTE
Associa a cada número real x o número y = tg x
Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
Conjunto Imagem: 
Gráfico: Tangentóide.
Período: 
Paridade: Dado que tg (-x) = - tg x, a função tangente é ímpar.
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).
9.4.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
��
Exercício
103 – Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 4 cos (x)				b) f(x) = 2 – sen (x)
c) f(x) = 3 cos (x/2)				d) f(x) = 5 + cos (x)
e) f(x) = 2 tg (x) 				f) f(x) = 3 cos (x – π/3)
g) f(x) = cos (x) + sen (x)
9.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
As identidades trigonométricas configuram-se como igualdades de funções trigonométricas em que ambos os lados da igualdade são válidos dentro do domínio das funções envolvidas. As relações trigonométricas são exemplos de identidades trigonométricas:
sen² x + cos² x = 1
tg x = sen x / cos x
cotg x = 1 / tg x = cos x / sen x
sec x = 1 / cos x
cossec x = 1 / sen x
tg² x + 1 = sec² x
cotg² x + 1 = cossec² x
Em geral, a forma utilizada para a resolução de identidades trigonométricas é a demonstração através das relações trigonométricas conhecidas. Podemos realizar essa demonstração ao desenvolver os dois lados da equação trigonométrica, chegando a um mesmo valor em ambos os lados. É possível também que, trabalhando com apenas um lado, cheguemos ao que está indicado no outro lado da igualdade. 
Exercício
104 – Demonstre as seguintes identidades:
a) tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))
b) sec (x) / (1 + sen (x)) = 2 / (sen (2x) + 2 cos (x)) 
10 LIMITES
10.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
	Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende ao número real a é igual ao número real b se, e somente se, quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de b.
 
10.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
10.2.1 LIMITE DE UMA CONSTANTE
	O limite de uma função constante é a própria constante.
10.2.2 LIMITE DA SOMA
	O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções.
10.2.3 LIMITE DA DIFERENÇA
	 O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções.
10.2.4 LIMITE DO PRODUTO
	O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
10.2.5 LIMITE DO QUOCIENTE
	O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções, com exceção quando o limite do divisor for zero.
10.2.6 LIMITE DE UMA POTÊNCIA
	O limite de uma potência enéssima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função.
10.2.7 LIMITE DE UMA RAIZ
	O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função. 
10.2.8 LIMITE DE UM LOGARITMO 
	O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função.
Exercícios
105 – Calcule:
	
	
10.3 LIMITES LATERAIS
	Se x tende a a através de valores maiores que a, ou seja, pela sua direita, esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
Se x tende a a através de valores menores que a, ou seja, pela sua esquerda, esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
	
O limite de f(x) para x ( a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e à esquerda são iguais.
Assim, se 
 = 
,então 
.
Se 
�� EMBED Equation.2 ,então não existe o 
.
10.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
	Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se forem satisfeitas as seguintes condições:
( 
;
( 
;
.
EXERCÍCIOS
106 – Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados:
	
, em x = 2
, em x = 1
, em x = 2
	
, em x = 1
, em x = 0
, em x = 2
10.5 LIMITES INFINITOS
	Alguns limites envolvendo infinito:
	
	
	
	
	
	Para um número real k, temos: 
	
	
	
	
10.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x ( ((
	Para o limite de uma função polinomial f(x), de grau n, com 
, temos:
 
EXERCÍCIOS
107 – Calcule:
	
	
	108 – Seja 
 calcule:
a) 
b) 
c) 
 
	109 – Seja 
 calcule:
a) 
b) 
c) 
 
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