Unidade 2 - Parte I EA

Prévia do material em texto

Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
Funções 
Conceito de Funções 
 
 Em muitas situações da vida prática, o valor de uma grandeza depende do valor de uma outra grandeza. Assim por exemplo, 
1) O custo para colocar x litros de combustível em um carro depende do preço desse produto. 
2) A área de um quadrado depende de seu lado. 
3) Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua companhia está relacionado com seu nível de produção; 
 4) Um biólogo gostaria de saber como o tamanho da população de uma certa cultura de bactérias mudará ao longo do tempo; 
 5) A quantidade demandada d de uma mercadoria é função de seu preço p. Ou seja, a demanda de leite pode depender do preço 
do produto. 
 A relação entre duas grandezas é convenientemente descrita em matemática pelo uso do conceito de função. 
Observa-se, entretanto, que f(x) também é uma variável, porém uma variável dependente de x; assim, x será denominada 
variável independente. 
 
Função: Função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é 
chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contradomínio. 
 
 Na prática, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a variável y é função da variável x. Muitas vezes, 
traduzimos a expressão y é função de x por: y depende de x; x determina y ou ainda a cada x é associado um único y. 
 Podemos pensar em uma função f como uma máquina. O domínio é o conjunto de dados de entrada (matéria prima para a 
máquina), a regra descreve como esses dados devem ser processados, e os valores da função são os dados de saída da máquina. 
 
Observações: 
1. É importante entender que a saída f(x) associada à entrada x é única. Para apreciar a importância dessa propriedade de 
unicidade, considere uma regra que associa a cada artigo x de uma loja de departamentos seu preço de venda y; então, cada x 
deve corresponder a um e somente um y. Note, entretanto, que diferentes x`s podem estar associados ao mesmo y. No 
contexto do presente exemplo, isto significa que artigos diferentes podem ter o mesmo preço. Já dois produtos iguais (x`s) 
não deverão ter preços (y) diferentes num mesmo estabelecimento comercial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação que não representa uma função. 
 
 
 
Relação que representa uma função. 
 
 
 
 
 
Assim, o gráfico de uma função y = f(x), é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)) ou (x, y), e para cada valor de x existe 
um único correspondente f(x). 
É geralmente útil descrever uma função f(x) geometricamente, utilizando um sistema de coordenadas retangulares xy. Dado 
qualquer x do domínio de f, nós podemos representar o ponto (x, f(x)). Este é o ponto no plano xy cuja coordenada y é o valor da 
função em x. O conjunto de todos os pontos (x, f(x)) forma uma curva no plano xy e é chamado de gráfico da função f(x). 
Teste da reta vertical: Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função y = f(x) se, e somente se, cada reta vertical 
intercepta a curva em no máximo um ponto. 
Ou seja, basta traçar retas paralelas ao eixo y, se a reta intercepta apenas em um ponto a curva, então, o gráfico representa 
uma função. (Relacione as figuras com a observação anterior). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Representações de funções 
Uma função pode ser representada no mínimo de três formas: tabela, gráficos ou equações. A partir da equação de uma função é 
sempre possível obter uma tabela e o respectivo gráfico, entretanto nem sempre é possível encontrar a equação de uma função a partir 
de um conjunto de dados ou de um gráfico; fazer isso significa formular um modelo matemático. Tais modelos podem também ser 
obtidos a partir da análise do fenômeno, devendo a equação obtida corresponder aos dados experimentais. A partir da formulação de 
um modelo matemático há uma melhor compreensão da relação entre variáveis, podendo-se até fazer predições acerca do fenômeno. 
Modos de descrever uma função. 
1) Analiticamente: através de uma lei (Fórmula). 
2) Geometricamente: através de um gráfico. 
3) Numericamente: através de uma tabela de valores 
 
Exemplo 01. Uma determinada companhia de água cobra dos seus clientes uma taxa fixa de R$ 12, 98 e 
R$ 2, 74 por m
3
 de água consumida. Esta situação pode ser descrita numa lei matemática, ou seja, uma função. 
Onde, x = m
3
 C(m
3
) = C(x) C(m
3
) = 2,74.m
3
 + 12,98 ou C(x) = 2,74.x + 12,98 
x C(x)=2,74x+12,98 
0 12.98 
5 26.68 
10 40.38 
15 54.08 
20 67.78 
 
 
x 
x 
y y 
x 
x 
y 
 
 
Exemplo 02 Variação da população 
Estima-se que daqui a t anos um certo bairro terá uma população de P(t) = 
)1(
6
20


t
mil habitante. 
a) Qual será a população do bairro daqui a 9 anos? 
 
 
b) Qual será a população do bairro daqui a 20 anos? 
 
 
c) O que acontece com P(t) para grandes valores de t? Interprete o 
resultado. 
 
As funções apresentam comportamentos gráficos chamados de “gráfico padrão”, aos quais podemos associar grupos de leis 
de funções. Este entendimento nos auxilia na análise mais rápida do comportamento gráfico de uma função. 
 
3. Classificação das funções 
 
 




































inversasediretasricasTrigonomét
asLogarítmic
isExponencia
ntesTranscende
sIrracionai
asFracionári
Inteiras
Racionais
ébricasAlg
 
 
Funções polinomiais 
o
n
n
n
n axaxaxf 

 
1
1)(
em que n é um inteiro não-negativo e ao, a1, a2, ..... são números dados. 
Alguns exemplos de funções polinomiais são 
f(x) = 3x + 4 y = 2x
2
 -3x + 4 f(x) = 5x
3
 –3x2 – 2x + 4 g(x) = x4 – x + 1. 
Naturalmente, funções lineares e quadráticas são casos especiais de funções polinomiais. O domínio de uma função 
polinomial consiste de todos os números reais. 
 
 
 
Custo de uma conta de água
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20 25
m 3
R
ea
is
 
ALGUNS EXEMPLOS DE FUNÇÕES 
 
 
 
 y = x+3 y = -x
2
 + 4 
 
 
x
y
1

 y = 3
(x+1) 
 
 
 
 y = log (x + 2) 
 
 
 
 
 4. Domínio de uma função real de variável real 
 
 O conjunto A, domínio da função f, 
 D f
, será formado por todos os valores reais de x, para os quais as operações indicadas 
na lei de associação sejam possíveis em . 
 
Exemplos: 
a) 
y x x 2 3
 
Substituindo x por qualquer número real obteremos para y um valor real. Logo, 
 D f  
. 
 
b) y = 2x + 3 D = IR c) y = x
2
 – 3x + 1 D = IR 
 
 
 
d) 
y
x

1 A expressão 1
x
 somente terá sentido se 
x  0
. Logo, 
 D f  *
. 
 
 
 
e) 
 f x
x
x

 2
  
   D f   2
ou 
   D f x x  | 2
 
 
 
f) 
y x 3 2
  
 D f x x  






|
2
3
 
 
 
g) 
  423  xxxf
  
 D f x x   






|
2
3
4
 
 
 
7
52
)()



x
x
xfh
 
 7/)(  xxfD
 
 
Identificação pelo gráfico do domínio e a imagem de uma função 
 Considere a função representada pelo gráfico abaixo: 
O domínio é o conjunto das abscissas x dos pontos do gráfico. 
Na figura temos: 
   D f x x   / 1 4
 
A imagem é o conjunto das ordenadas y dos pontos do gráfico. Na figura, temos: 
   Im /f y y   1 2
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Determine o domínio e o conjunto imagem da função f(x) cujo gráfico é dado a seguir: 
 
D:............................................ 
Im:.......................................... 
 
 
 
 
2) Observe o gráfico ao lado e responda: 
a) Quando o x é zero qual é o valor do y? 
 
b) Qual é o valor da imagem de f quando x = 1? 
 
c) Determine o domínio da função expressa pelo gráfico. 
 
d) Determine o intervalo dos valores de x onde a função é constante. Ou seja, quais são os valores de x para que f(x) = -2. 
 
e) Determine f (3) 
 
f) Determine o intervalo dos valores de x onde a imagem é negativa, ou seja, f(x) < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 1° GRAU 
Definição 
 Uma função f de  em  recebe o nome de função do 1º grau, definida pela lei 
 f x ax b 
, com a e b pertencentes a 
, 
a  0
. Os valores a e b são os coeficientes numéricos da função. 
 Simbolicamente temos: 
 
0;,:  acombaxysendoRRf
 
 
Os coeficientes de 
y ax b 
, onde: 
 a = coeficiente angular ou declividade da reta; 
 b = coeficiente linear 
Exemplos Propostos 
1) 
  5x2xf 
 a = b = 
2) 
  13xxf 
 a = b = 
3) 
  x5xf 
 a = b = 
 
Atividade Computacional I 
Função do 1
o 
Grau 
 
Nas funções lineares f(x) = ax + b, temos dois coeficientes: o “a” chamado de coeficiente angular e o “b” chamado de coeficiente 
linear. Ambos interferem na construção e análise do gráfico da função. Através do aplicativo GeoGebra, vamos analisar as 
transformações dos gráficos a partir da alteração dos valores dos coeficientes “a” e “b”. 
 
 
 
        








x
yy = x
y = 2x
y = -3x
Atividade 1 
a) Digite a função y = x no aplicativo e deixe o seu gráfico para comparar com os demais; 
b) Digite outras funções do tipo y = ax, atribuindo diferentes valores reais para o coeficiente “a”, por exemplo: y= 2x, y = -3x e 
outros; 
c) Compare os gráficos das funções y = ax com o gráfico da função y = x e escreva o que você percebeu sobre as alterações 
ocorridas nos gráficos, com a variação deste coeficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2 
a) Digite a função y = 2x no aplicativo e deixe o seu gráfico para comparar com os demais; 
b) Digite outras funções do tipo y = 2x + b, atribuindo diferentes valores reais para o coeficiente “b”, por exemplo: y= 2x + 1, y 
= 2x -3 e outros; 
c) Compare os gráficos das funções y = 2x + b com o gráfico da função y = 2x e escreva o que você percebeu sobre as 
alterações ocorridas nos gráficos, com a variação deste coeficiente. Determine os pontos de intersecção com os eixos x e y. 
 
 
 
 
 
Considerações: 
 
 Quando 
a  0
, a lei da função fica 
 f x b
, denominada função constante. Exemplo 
y  7
. 
 Quando 
a e b 1 0
, a lei da função fica 
 f x x
, denominada função identidade. Exemplo 
y x
. 
 Quando 
b  0
, a lei da função fica 
 f x ax
, denominada função linear. Exemplo 
y x 2
. 
 Quando 
a e b  0
, a função de 1º grau também é chamada de função afim. 
 
 Domínio e Imagem 
 
 O conjunto de valores que a variável independente pode assumir é chamado de domínio da função. O domínio da função 
pode ser explicitamente especificado como parte da definição da função. A imagem de uma função é o conjunto de valores que a 
função assume. 
 
 Raiz ou zero da função 
 É todo o número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. Assim, para determinarmos o zero da função, basta resolver a 
equação do 1º grau, 
 ax + b = 0, que apresenta uma única solução 
a
b
x


 
 O zero ou a raiz da função representa o ponto de interseção do gráfico com o eixo 
.0, 




 
a
b
x
 
 Gráfico 
 Seja f uma função definida num subconjunto D da reta. O conjunto dos pontos (x, y) do plano em que 
Dx
 e y = f(x) 
constitui a representação gráfica da função f. 
 Uma maneira fácil de traçar o gráfico de uma reta é achar as suas interseções. As interseções de uma reta são os pontos onde 
a reta corta os eixos. Assim, a interseção-y é o ponto que se determina, tornando-se x = 0 na equação da reta, tem-se o ponto (0, y). Do 
mesmo modo, a interseção-x é o ponto que se determina, tornando-se y = 0 na equação da reta, tem-se o ponto (x, 0). 
Exemplo: Determine os pontos de interceptação do gráfico de função linear f(x) = 2x + 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMAS DE DETERMINAR UMA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
 
1. Função do 10 grau que passa por dois pontos 
Exemplo: Determinar a função da reta que passa pelos pontos (1,3) e (2,5). 
 
 
 
 
 
 
2. Função do 10 grau que passa por um ponto, com coeficiente angular dado 
Exemplo: Determine a função da reta que passa pelo ponto (4,2) e que tem o coeficiente angular 3. 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos 
3)O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função de x, com x

0, cujo 
gráfico está representado abaixo: 
 
 
a) Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 
 
b) Esta é uma função crescente ou decrescente? 
 
4) A reta no gráfico representa a função tal que f(x)=mx + n. Então pode-se afirmar que: 
 
a) m > 0 e n < 0 
b) m > 0 e n > 0 
c) m = 0 e n < 0 
d) m < 0 e n > 0 
e) m > 0 e n = 0 
 
 
 
 
5) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine: 
a) f(-3) 
 
 
b) f(0) 
c) 
 
6) Determinar a função da reta que passa pelos pontos (0,12) e (8,0). 
 
 
 
 
7) Dada a função f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(-2)= -5, calcule f(1/2). 
 
 
 
 
 
8) A figura mostra o gráfico de uma função f(x). Encontre a função. 
 
 
9) A função f: R-R, definida por f(x) = (3m + 2)x -2m é decrescente. Determine os valores de m. 
 
 
 
 
10) Sejam as funções definidas em f: IR, então determine: 
a) Diga se a função é crescente ou decrescente; 
1) f(x) = 2x + 3 
2) f(x) = 2 + x 
3) f(x) = -3x + 2 
4) y = 4 –x 
5) y = 3 – x/2 
6) f(x) = 2x 
 
b) O esboço do gráfico; 
c) Raiz da função; 
d) O domínio e a imagem; 
 
11) Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa calcula o faturamento 
que terá com o mesmo usando a lei f(x) = 8x – 640, onde f(x) é o faturamento líquido de x unidades 
vendidas. Qual a quantidade mínima que essa empresa terá de vender para obter lucro? 
 
 
 
 
12) Suponha que a função C(x) = 20x + 40 representa o custo total de produção de um artigo, onde C é o custo 
(em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determinar: 
 
a) O custo de fabricação de cinco unidades desse produto. 
 
 
b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 12.000,00 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 2° GRAU 
 
1. Definição 
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma 
lei da forma f(x) = ax
2
 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
 
2. Gráfico 
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax
2
 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada 
parábola. 
Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = x
2
 + x: 
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, 
ligamos os pontos assim obtidos. 
xx f(x)y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
-1/2 -1/4 
0 0 
1 2 
2 6 
 
 
 Observação: 
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax
2
 + bx + c, notaremos sempre que: 
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
3. Raiz (ou zero) da Equação do 2º Grau 
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax
2
 + bx + c , a 0, os números reais x tais 
que f(x) = 0. 
 Então as raízes da função f(x) = ax
2
 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0, as quais 
são dadas pela chamada fórmula de Báskara: 
 
 Temos: 
 
Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando 
, chamado discriminante, a saber: 
 Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 Quando é zero, há só uma raiz real; 
 Quando é negativo, não há raiz real. 
 
}/{Im vyyy
D

 
}/{Im vyyy
D

 
}/{Im vyyy
D

 
 
4. Coordenadas do vértice da parábola 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a 
parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: 
 
5. Imagem 
 O conjunto-imagem Im da função y = ax
2
 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há 
duas possibilidades: 
1ª - quando a > 0, 
 
 
 
a > 0 
 2ª quando a < 0, 
 
 
 
 
6. Construção da Parábola 
 É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo 
apenas o roteiro de observação seguinte: 
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 
5. Para x = 0, temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. 
Exemplo: 
Construa o gráfico da seguinte função y = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Atividade Computacional 
a) Digite a função y = x2 no aplicativo e deixe o seu gráfico para comparar com os demais; 
 
b) Digite outras funções do tipo y = ax2, atribuindo diferentes valores reais para o coeficiente “a”, por 
exemplo: y= 2x
2
, y = -3x
2
 e outros; 
a < 0 
 
 
 
c) Compare os gráficos das funções y = ax2 com o gráfico da função y = x2 e escreva o que você percebeu 
sobre as alterações ocorridas nos gráficos, com a variação deste coeficiente. 
 
Se o número de “a”, for positivo, a concavidade será voltada para cima, (exemplo cores vermelha 
e azul) caso seja negativo será voltada para baixo (exemplo cores verde e laranja). 
 
Interpretação Gráfica de uma função do 2º Grau 
 A representação do gráfico de uma função do tipo 
 f x ax bx c  2
, depende do valor do coeficiente a e também do 
valor do 

(delta ou discriminante). 
 
Exemplos 
a) Construir o gráfico da função 
y x x  2 2 3
 
Encontrando as raízes: 
x x2 2 3 0  
 
  16
 (a função tem duas raízes reais distintas) 
x
x
x

 
 



2 4
2
3
1
1
2
 
Observe, no gráfico, que as raízes reais da função são as abscissas dos 
pontos em que a parábola corta o eixo x. 
 
b) Construir o gráfico da função 
y x x   2 2 1
 
Encontrando as raízes: 
   x x2 2 1 0
 
  0
 (a função tem um zero real duplo) 
x x1 2 1 
 
Observe, no gráfico, que o zero real duplo é a abscissa do ponto que a parábola 
tangencia o eixo x. 
 
 
 
vértice 
raiz raiz 
c) Construir o gráfico da função 
y x x  2 2 4
 
 
x x2 2 4 0  
 
  12
( a função não tem raízes reais) 
Observe, no gráfico, que se a função não tem raízes reais, a parábola não toca o 
eixo x. 
 
 
 
Exemplo: Fazer o esboço do gráfico e determinar Domínio e a Imagem da função 
a) f(x)= x2 -2x -3 
b) f(x)= x2 -x -6 
c) f(x)= x2 -1 
d) f(x)= -x2 +5 
e) f(x)= x2 – 2x +4 
 
 
 
R: (-1, 2 ,3) 
 
 
 OBS: Exercícios de Funções de Primeiro e Segundo Grau Lista 02