Unidade 3 - Matrizes

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1 
 
 
Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
 
1. MATRIZES 
Quando um problema que envolve um grande número de dados, a disposição destes numa 
tabela de dupla entrada propicia uma visão global do problema. As tabelas assim formadas são 
chamadas matrizes. 
 Considere a tabela abaixo, onde colocamos os estoques dos livros de Matemática, 
Administração, Física e Engenharia, publicados pela editora MM, nas livrarias A, B e C. 
LIVRARIAS
MATÉRIAS 
MATEMÁTICA ADMINISTRAÇÃO FÍSICA ENGENHARIA 
LIVRARIA A 15 10 7 8 
LIVRARIA B 10 8 9 12 
LIVRARIA C 5 4 2 4 
 A tabela nos mostra que: 
 A livraria A possui um estoque de 15 livros de Matemática; observe que esse número 
encontra-se na 1ª linha (linha da livraria A) e na 1ª coluna (coluna dos livros de Matemática). 
 A livraria C possui um estoque de 4 livros de Administração; esse número encontra-se na 3ª 
linha (linha da livraria C) e na 2ª coluna (coluna dos livros de Administração). 
Note que estamos chamando as filas horizontais de linhas e as filas verticais de colunas. 
 A tabela acima possui 3 linhas e 4 colunas e constitui um exemplo de matriz 3 x 4 (lê-se 
três por quatro), onde o número 3 representa o número de linhas e o número 4 representa o 
número de colunas. Uma tabela desse tipo, no estudo de matrizes, é geralmente representada por 
uma das formas: 










4245
129810
871015
 ou 










4245
129810
871015
 ou 
4245
129810
871015
 
Definição de Matriz 
Uma matriz é um arranjo retangular de números variáveis, cada um tendo um lugar ordenado 
dentro da matriz. Os números ou variáveis chamamos de elementos da matriz. Os números 
em cada fila horizontal são chamados linhas; os números em cada fila vertical são chamados 
colunas. O número de linhas (m) e o número de colunas (n) definem as dimensões da matriz 
(m x n) que se lê “m por n”. 
2 
 
Uma matriz A(m x n) é uma tabela de m.n elementos, que podem ser números, polinômios, 
funções, matrizes, ..., dispostos em m linhas e n colunas. 
 
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
 Representaremos uma matriz de “m” linhas e “n” colunas por: 
 mxn
n
n
m m m mn
mxn
ijA
a a a a
a a a a
a a a a
a













11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
....
....
.... .... .... .... ....
....
, i = linha e j = coluna. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
1) Construa a matriz 
32)( xijaA 
tal que aij = 5i – j2 
Resolução: Inicialmente, vamos escrever a matriz genérica de ordem (2x3). 







232221
131211
aaa
aaa
A
 
Cada elemento 
ija
 dessa matriz deve ser calculado pela lei aij = 5i – j2. Temos, portanto: 
191032.5641022.5911012.5
49531.514521.541511.5
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11


aaa
aaa 
Assim, a matriz A=





 
169
414
 
2) Construa a matriz 
43)( xijaA 
 tal que: 






jise
jiseji
aij
5
,2
. 
Resolução: Inicialmente, vamos escrever a matriz genérica de ordem (3x 4). 











34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
 
Cada elemento 
ija
 dessa matriz deve ser calculado pela lei 






jise
jiseji
aij
5
,2
 
Primeiramente, iremos selecionar os elementos aij que tem 
ji 
, que são: 
933.2823.2713.2
622.2512.2
311.2
333231
2221
11



aaa
aa
a
 
3 
 
E, os elementos aij que tem 
ji 
, que são: 
5
55
555
34
2423
141312



a
aa
aaa
 Assim, a matriz é 











5987
5565
5553
A
 
 
1.1 )TIPOS DE MATRIZES 
 
1) Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). 
Exemplo:A= (
ija
) de ordem 2 onde 
ija
 = i + j. 







2221
1211
aa
aa
A 






43
32
A
 
 
2) Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal são todos nulos, 
ou seja, aij= 0, se i  j. EX.: 
33
300
090
002
x
A












 
3) Matriz Escalar: é uma matriz diagonal, cujos elementos sobre a diagonal são iguais, isto é, 






jise
jisec
aij
,0
,
 ,ou seja, os elementos da diagonal principal são todos iguais. 
EX.: 










c
c
c
00
00
00
 c  0 
33
200
020
002
x
A











 
4) A Matriz identidade (ou unidade) é um caso particular de matriz escalar, quando c = 1. 
(Sempre é Matriz Quadrada). Matriz Identidade é uma matriz quadrada onde 
ija
 = 1 para i = j e 
ija
 = 0 para i  j. 
EX.: 
22
2
10
01
x
I 






, 
,
100
010
001
33
3
x
I











 
 
5) Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada, cujos elementos abaixo da diagonal 
são nulos, isto é, m = n e aij = 0, 
ji 
. 
EX.: 
22
33
10
35
,
300
400
132
x
x
BA 


















 
4 
 
 
6) Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada, cujos elementos acima da diagonal são 
nulos, isto é, m = n e aij = 0, 
ji 
. 
Ex.: 
33
206
041
002
x
A











, 
22
14
03
x
B 






 
 
7) Matriz Nula: é uma matriz cujos elementos são todos nulos. É aquela em que 
ija
=0 para todo 
i e j. 
 (De qualquer ordem). 
Ex.:0 = 
)(
0000
0
000
000
nxm















 
8) Matriz Coluna (ou vetor coluna): é uma matriz formada por uma única coluna. A ordem 
dessa matriz é mx1. 
Ex.: 
)13(
3
1
2
x
A











 
9) Matriz Linha (ou vetor linha): é a matriz formada por uma única linha. A ordem dessa 
matriz 
é1x n. 
Ex.: 
 
)41(
6541
x
B 
 
 
10) Matriz Transposta: chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida 
a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas. Se escreve AT. 
 Definição de matriz transposta: Se A = 
 ija
 é uma matriz mxn, então a matriz B = A
t = 
 ijb
, onde bij = aji , i=1,...,n e j=1,...,m é chamada de transposta de A. Assim, a transposta de A é 
obtida trocando a posição relativa das linhas e das colunas de A. 
 Ex: A= 
23
41
30
12
x











 At = 
32
431
102
x





 
 
 
5 
 
 Propriedades da matriz transposta: 
 Se r é um escalar e A e B são matrizes, então 
 (a) A transposta da transposta de uma matriz dada é igual à matriz dada:(At)t = A 
 (b)A transposta da soma de duas matrizes é a soma das matrizes transpostas:(A + B)t = At + Bt 
 (c)(rA)t = rAt 
 (d)A transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa:(AB)t = BtAt 
 
OBS.: Se A é uma matriz simétrica, At = A. 
 Se A é uma matriz anti-simétrica, At = -A. 
 
11) Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos eqüidistantes da diagonal 
principal são iguais, isto é, aij = aji. Uma matriz A de ordemn denomina-sematriz simétrica, 
quando A = AT 
Exemplos: S = ST = 










789
835
951
)33(
340
431
012
x
A













 
 
12) Matriz Anti-Simétrica: é uma matiz quadrada cujos elementos eqüidistantes da diagonal 
principal são opostos, isto é, 
jiij aa 
. A diagonal principal deve sempre ser zero. A = -AT ou 
AT = -A 
Exemplo: D = 












089
805
950
 













013
102
320
A
 
 
13)Matriz Oposta: chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando- se 
o sinal de todos seus elementos. Escreve-se -A. 
 
14)Matriz Ortogonal: Uma matriz A cuja a inversa coincide com a transposta é denominada 
ortogonal, ou seja 1T AA  . 
 
15) Inversa: É uma matriz que pode ser invertida, ou seja, AB = BA = I → B é inversa de 
A → 𝐴−1 
 nIAAAA   11
6 
 
Exemplo: 
Determinar a inversa da matriz . Fazendo e sabendo que 
 teremos: 
 
 
1.2 Igualdade de Matrizes 
 Duas matrizes A e B, de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos 
que ocupam a mesma posição são idênticos. Ou, duas matrizes A = 
 ija
e B =
 ijb
de mesma 
ordem (m x n) são iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes são iguais, isto é, se
 aij= bij , i = 1, ...,m e j = 1, ..., n 
EXEMPLO 
1) Determine o valor de x e y . Onde A = B 











23
11
42
2xA
 B = 












23
81
442y
 
Resolução 
2 = 2y – 4 e x2 –1 = 8. 
Facilmente podemos encontrar que 2y = 6 assim, y = 3; e x2 = 9 onde
392  xx
 
Logo, a solução é: y = 3 e 
3x
. 
1.3 Operações com Matrizes 
1.3.1 Adição de Matrizes 
 







23
21
A 






dc
ba
A 1
nIAA 
1





























































4
1
4
3
2
1
2
1
4
1
2
1
123
02
4
3
2
1
023
12
10
01
2323
22
10
01
23
21
1A
deb
db
db
ceaca
ca
dbca
dbca
dc
ba
7 
 
Situação- Problema: Uma empresa é formada pelas lojas de automóveis A e B. Realizando um 
estudo sobre a aceitação de dois modelos de veículos nos quatro primeiros dias de janeiro, foram 
obtidos os resultados. (linha = modelo e coluna = dia) 







3521
5132
A
 







5424
3203
B
 
 
Como representaríamos matricialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas 
lojas, nos primeiros quatro dias de janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 4, na qual cada 
elemento (cij ) seja a soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja: 















8945
8335
53452241
35210332
C
 
A matriz C é denominada matriz soma de A e B. 
 Em outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes 
em A e B. 
EXEMPLO: 
1) Dadas as matrizes: 











 






















 

56
42
06
23
210
953
472
1096
243
732
DCBA
 
Determine as somas, se possível. 
a)A + B b) C + D c) A + C 
 
Resolução: 
a) A + B = 









 
1096
243
732
+ 










 210
953
472
 = 










8106
1196
1144
 
b) C + D = 






512
21
 
c) A + C = não podemos somar, pois as matrizes são de dimensões diferentes. 
Definição: 
 A soma de duas matrizes do mesmo tipo 
,)()( nxmijnxmij bBeaA 
que se indica 
por 
A + B , é a matriz 
nxmijcC )(
tal que: 
,., jibac ijijij 
com 
njemi  11
 
 OBS: 
 mi ,,3,2,1 
 e 
 nj ,,3,2,1 
 
8 
 
Propriedades da Adição 
 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, valem as quatro propriedades descritas a seguir. 
 1. Comutativa: A + B = B + A 
 2. Associativa:A + (B + C) = (A + B) + C 
 3. Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A 
 4. Elemento Oposto:A + (-A) = 0 
1.3.2 Subtração de Matrizes 
Na Situação-Problema mencionada na Adição de matrizes, se quisermos uma matriz que represente o 
desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em 
B, obtendo: 

















2103
2131
53452241
35210332
DBA
 
A matriz D é chamada de matriz diferença de A e B, nessa ordem. 
 
EXEMPLO: 
 
1) Dadas as matrizes: 
















 








431
952
31012
581
432
678
532
CBA
 
Determine, se possível: a) A- C b) B - C 
 
a) A – C = 








1047
424
 
b) B - C = Não é possível, pois a matriz B tem ordem diferente da matriz C. 
 
1.3.3Multiplicação por um escalar. A multiplicação de uma matriz por um escalar envolve a 
multiplicação de cada elemento da matriz por um número definido. 
EXEMPLO: 
1) Calcule a matriz X na equação 3X – A + 2B = 0, sabendo-se que A = 








16
58
 e 









43
2
1
1
B
 
Resolução: Podemos “isolar” a matriz X. 
Definição: 
 A diferença de duas matrizes do mesmo tipo 
,)()( nxmijnxmij bBeaA 
que se 
indica por A - B , é a matriz 
nxmijdD )(
tal que: 
,., jibad ijijij 
com 
njemi  11
 
 
9 
 
Definição: 
O produto da matriz 
nxkijkxmij bBmatrizpelaaA )()( 
 
que se indica por AB ou A.B, é a matriz 
nxmijcC )(
 
Tal que cada elemento 
ijc
 é igual ao produto da linha i de A pela 
coluna j de B. 
3X = A –2B 
 BAX 2
3
1

 ou X =
 
3
2BA 
 
Calculando: 
 BA 2
 































































712
66
86
12
16
58
43
2
1
1
2
16
58 
Portanto:
 BAX 2
3
1
 














712
66
3
1
X
 
X = 














3
7
4
22
 
1.3.4 Multiplicação de Matrizes: O produto das matrizes 
mxp pxn mxnA e B é a matriz C
, onde 
cada elemento 
ijC
 é obtido através da soma dos produtos dos elementos i-ésima linha de A pelos 
elementos da j-ésima coluna de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que se A e B são matrizes, então: 
Existe o produto AB se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas 
de B. 
E, a matriz C possui o mesmo número de linhas de A e o mesmo 
número de colunas de B. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
1) Dadas as matrizes 













315
024
31
12
BeA
, calculeAB. 
Observe que A2x2.B2x3 = C2x3 
AB=


























9519
3513
)3.30.1()1.32.1()5.34.1(
)3.10.2()1.12.2()5.14.2(
315
024
31
12
C
2x3 
nxmnxkkxm CBA .
 
10 
 
2) Dadas as matrizes A=






















06
20
14
312
215
321
Be
, calcule AB. 
Observe que A3x3.B3x2 = C3x2 
AB=
23
426
332
522
)0.32.11.2()6.30.14.2(
)0.22.11.5()6.20.14.5(
)0.32.21.1()6.30.24.1(
06
20
14
312
215
321
X
C














































 
 
3) Dadas as matrizes A=
2333
06
20
14
312
215
321
XX
Be






















, calcule BA. 
Observe que B3x2.A3x3 o número de colunas da matriz B é DIFERENTE ao número de 
linhas da matriz A. Nessas condições, NÃO existe a matriz produto BA. 
 
Exercícios Lista 06!