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1 Componente Curricular: Cálculo I – 2° Semestre/2014 Prof(a): Kelly Pereira Duarte e-mail: kelly@fahor.com.br DERIVADAS Inicialmente, será introduzido o conceito de derivada, considerando primeiro sua interpretação geométrica como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. E em seguida será discutida a equação da reta tangente, a derivada calculada por definição (conceito) e as regras de derivação (fórmulas). Posteriormente a derivada será interpretada como taxa de variação. Principal ideia: Derivada é uma ferramenta matemática básica usada para calcular a taxa de variação e a inclinação de retas tangentes. Por exemplo, em física, a velocidade no movimento retilíneo é definida em termos de derivada, pois é a medida da taxa de variação da distância com relação ao tempo. A taxa de crescimento de bactérias é uma aplicação da derivada em Biologia. A taxa da variação de uma reação química é um tópico de interesse para um químico. Os economistas estão preocupados com conceitos marginais tais como receita marginal, o custo marginal e o lucro marginal, que são taxas de variação. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA - Inclinação da reta tangente A derivada de uma função y em um ponto x0 determina o coeficiente angular ou a inclinação (m) da reta tangente a esta curva em um ponto qualquer (ponto fixo). Desenhar o triângulo retângulo: Coeficiente angular da reta: Isolando x1: Então: 2 Desta forma o coeficiente angular m da reta tangente é dado pela DEFINIÇÃO a seguir: x xfxxf x y xfm xx )( limlim)( 00 )(xf é a derivada da função no ponto P(x0, f(x0)). A partir desta definição da derivada, é possível fazer duas interpretações: 1) A derivada f’(x) de uma função é uma nova função cujo valor em x é a inclinação (m) da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x. 2) A derivada f’(x) é uma função cujo valor em x é a taxa de variação de f(x) em relação a x. Exemplos: 1) Determine a inclinação da reta tangente à curva y = x2 + 2x no ponto x = 1, usando a definição. (derivada utilizando a definição) R: y’= 2x+2 e m(1)= y’(1) =4 2) Seja a função y = x2 -6x +8 determine a sua derivada pela definição. (derivada utilizando a definição) R: y’= 2x-6 3 EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Considerando a equação geral da reta (em geometria analítica): Podemos através da derivada da função f(x), obter a equação da reta tangente a uma função no ponto P(x0, f(x0)). Sendo : OBS: O processo usado nas atividades anteriores para encontrar a derivada de uma função parece muito trabalhoso para ser repetido todas as vezes que se precisar derivar uma função. Usando, porém, esse mesmo processo, podem ser deduzidas fórmulas para cada tipo de função, o que facilita o cálculo de derivadas. Essas regras de derivação serão apenas apresentadas, mas não serão demonstradas, uma vez que essas demonstrações são simples e repetitivas. A partir desta definição f x f x x f x xx ( ) lim ( ) 0 determinam-se as regras de derivação que determinam da mesma forma o coeficiente angular m da reta tangente a um ponto de uma curva, ou seja, o crescimento ou decrescimento (taxa de variação) da curva em qualquer ponto desta curva. Notações: dx dy xfy )( ou dt dy tf )(' REGRAS DE DERIVAÇÃO – Fórmulas tabela Exemplos 1) Se f(x) = x2 +1 determine a equação da reta tangente ao gráfico f, no ponto P(1,2). (derivada utilizando as regras da tabela) R: y=2x 2) Determine a equação da reta tangente à curva y = x2 + 2x no ponto x = 1. (derivada utilizando as regras da tabela) R: 4x-1 4 3) Derive as funções abaixo: a) y = 2x2 + 3x + 1 b) V(x) = 454 3 1 3 xx c) y = x3 2 d) )12ln()( xxf e) xx x y 4 2 3 f) xxxf cos.2)( 3 g) y = (2x3 –1)(x4 + x2) h) xsenxf 2)( i) f(x) = )3( xe 4) Encontre a declividade (coeficiente angular) da reta tangente à curva y = 2x3 + 3x + 4 no ponto x=1. R: m = 9. 5) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = x2 -3x +6 no ponto P(2, 4). R: y= x+2 Exercícios LISTA 12 5 REGRA DA CADEIA - Função Composta A Regra da Cadeia é aplicada na derivação de funções compostas. Sendo a função uunyuyxuxf nnn ..'')()( 1 1n Exemplos: Obtenha a derivada das seguintes funções: a) f(x) = (3x - 1)2 b) 12)( xxf c) y = sen2x d) f(x) = 1 2 x e) y = (x-1). 6 f) f(x) = g) y(x) = DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR Seja y = f(x) uma função derivável. Se f '(x) também for derivável, então a derivada de f '(x) é denominada derivada segunda de f(x) e é representada por f '' (x) (f duas linhas). Se f '' (x) é uma função derivável, a sua derivada dada por f ''' (x), é denominada derivada terceira de f(x). A derivada de ordem n dada por f (n)(x) é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f(x). Exemplos: Obtenha as seguintes derivadas: a) Derivada segunda de y = x3 – 4x2 + x – 5 b) Derivada terceira de f(x) = x2 + sen(3x) c) Derivada quarta de y = e-5x 7 d) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 -3x3 e) Dada a função f(x) = ex + 3x4, calcule f ''(1) e f(6)(10). EXERCÍCIOS - Lista 13 8 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Sempre que temos uma equação escrita na forma y = f(x) dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente (y) de um lado da igualdade e a expressão da função do outro lado da igualdade. Por exemplo na função y=2x2 - 3, observamos que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever y = f(x) ou f(x) = 2x2 – 3. Entretanto, a equação 4x2 -2y = 6 define a mesma função, pois isolando y temos y = 2x2 – 3que quando escrita na forma 4x2 - 2y = 6 dizemos que y é uma função implícita de x. Derivação Implícita: Para derivar uma função implícita deve-se derivar todos os membros da equação em função de x, e após isto, deve-se isolar y’. Exemplos: 1) Dada a equação 4x2 - 2y = 6, determine y’(x). 4x2 - 2y(x) = 6 Obs: Lembrando que 4x2 - 2y = 6 (função implícita) define a mesma função que y = 2x2 – 3 (função explícita), então precisamos encontrar a mesma derivada para ambas as funções (implícita e explícita). Verificando: y = 2x2 – 3y’ = 4x 2) Derive a função x2y + 2y3 = 3x + 2y. y’(x) = 9 3) y’ = - 4) y’ = -5) y’ = 10 6) y’ = FORMAS INDETERMINADAS DE LIMITES - REGRA DE L’HÔPITAL Uma das formas de aplicação de derivadas consiste em um modo bastante útil para calcular limites de formas indeterminadas, a conhecida Regra (ou Teorema) de L’Hôpital nos permite “sair” de indeterminações do tipo e provenientes do cálculo do limite do quociente de duas funções deriváveis. Ou seja, utilizamos esta regra quando queremos calcular: Em ambos os casos calculamos . Se este limite existe, segue que também existe. Caso a indeterminação continue, calcula-se . E assim por diante. Exemplos: 1) x lim 13 32 23 3 xx xx 2) 0 lim x )3( )4( xsen xsen R: 4/3 R: 2 Nos seguintes casos: 11 3) 2limx 2 42 x x R: 4 4) x lim 3x e x :R 5) 2/ lim x )cos( )(1 x xsen R: 0 6) 0 lim x )2cos(1 2 x ee xx R: ½ 7) 0 lim x x xsen )2( R: 2 Lista de exercícios – Lista 14
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