3 Aulas Pré Cálculo Funções

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FUNÇÕES
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INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES
Definição: Sejam � e � conjuntos não vazios. Uma função � de � em � é
uma lei ou regra que a cada elemento �	de � faz corresponder um único
elemento � de �.
Uma função pode ser indicada por
�: � → �	���	���	� � = � ou �: � → �
 O conjunto A é chamado domínio da função � e denotado por ��.
 O conjunto B é chamado contradomínio da função �.
x y
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 Dado � ∈ �,	o elemento �(�) ∈ � é chamado de imagem do elemento
� pela função �, ou o valor da função � no ponto �.
 O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de
conjunto imagem da função e denotado por �� � .
 �� = � � ∈ �: � ∈ � , �� ⊂ �
 Um elemento genérico do domínio é chamado variável
independente, enquanto um elemento genérico da imagem é
denominado variável dependente.
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EXEMPLO:
1. � = 0,1,2,3,4 , � = {5,6,7,8,9,10} e �: � → � tal que:
� � = �(�)
0 5
1 7
2 6
3 8
4 8
Temos que:
 � � = �
 �� � = �
 �� � = {5,6,7,8}
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EXEMPLO:
É função
Não é funçãoÉ função
Não é função
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Observação: 
Funções numéricas, também chamadas funções reais de variável real, são
aquelas em que o domínio � e o contradomínio � são subconjuntos de ℝ.
Quando nos referimos à função � e damos apenas a sentença aberta
� = �(�) que a define, subentendemos que � é o conjunto dos número reais
� cujas imagens pela aplicação � são números reais, isto é, � é formado por
todos os números reais � para os quais é possível calcular � � .
� ∈ � ⇔ � � ∈ ℝ
Atenção! Ao encontrar o domínio de uma função real algumas restrições
devem ser consideradas:
 Não existe divisão por zero
 Não existe raiz de índice par de número negativo
 Não existe logaritmo de número negativo ou de zero
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EXEMPLOS:
a) � � = �� b) � � =
�
�
c) � � = �
d) � � =
�
��� e) � � =
���
����
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GRÁFICOS:
Neste curso trabalharemos com funções do tipo 
�: � ⊂ ℝ → ℝ
que são chamadas de funções reais de uma variável real.
Definição: O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pontos
�, � � de um plano coordenado, onde � ∈ ��.
� = �, � � /� ∈ � ⊂ ℝ × ℝ = ℝ�
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GRÁFICOS:
Exemplos...
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GRÁFICOS:
Sabemos que se � é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente
uma imagem. Assim, uma curva só representa o gráfico de uma função
quando a reta paralela ao eixo � conduzida pelo ponto �, 0 , em que � ∈ ��,
encontra sempre o gráfico de � em um só ponto.
É função Não é função
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GRÁFICOS:
Feita a representação cartesiana da função �, tem-se:
 Domínio: é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas
verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de �.
 Imagem: é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas
horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f.
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GRÁFICOS:
Analisando o gráfico de uma função podemos obter informações
importantes a respeito do seu comportamento.
Seja � = �(�) uma função de variável real. Temos que:
Sinal da função:
 Pontos de intersecção do gráfico com o eixo � �� : ��, 0 	
Essas abscissas são os zeros ou raízes da função.
 Pontos de intersecção do gráfico com o eixo � �� : 0, �� 	
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GRÁFICOS:
 Os pontos do gráfico situados acima do eixo �� apresentam ordenadas
� > 0, ou seja, suas abscissas �� são tais que � �� > 0.	Nesses pontos,
dizemos que a função dada é positiva.
 Os pontos do gráfico situados abaixo do eixo �� apresentam ordenadas
� < 0, ou seja, suas abscissas �� são tais que � �� < 0.	Nesses pontos,
dizemos que a função dada é negativa.
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EXEMPLO:
Seja � uma função de variável real cujo gráfico é dado abaixo.
Temosque:
 � � = � � = � � = � � = � � = 0 (assim �, �, �, � e � são raízes)
 � é positiva em: �, � , (�, �) e (�, + ∞ )
 � é negativa em: −∞ , � , (�, �) e (�, �)
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INTERVALOS: 
Os subconjuntos de ℝ que mais vamos utilizar são os intervalos.
Sejam � e � números reais, com � < �. Então:
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INTERVALOS: 
De modo análogo:
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FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES: 
Função Crescente: A função �: � → � definida por � = � � é crescente no
conjunto �� ⊂ � se, para dois valores quaisquer ��	e	��	 pertencentes a ��,
com �� < ��, tivermos � �� < � �� .
Em símbolos: ∀��, �� �� < ��	⇒ 	� �� < �(��)
Função Decrescente: A função �: � → � definida por � = � � é
decrescente conjunto �� ⊂ � se, para dois valores quaisquer ��	 e 	��	
pertencentes a ��, com �� < ��, tivermos � �� > � �� .
Em símbolos: ∀��, �� �� < ��	⇒ 	� �� > �(��)
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EXEMPLO: 
O gráfico abaixo representa uma função real �.
Determine:
a) os zeros da função
b) os intervalos em que � é positiva/negativa
c) os intervalos em que � é crescente/decrescente.
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FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
 Dizemos que � é par se para todo � ∈ ��, − � ∈ �� e � � = �(− �)
 Dizemos que � é ímpar se para todo � ∈ ��, − � ∈ �� e � − � = −�(�)
Geometricamente:
 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas 
(eixo �).
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema 
de coordenadas.
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PRINCIPAIS 
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1. FUNÇÃO CONSTANTE
Definição: Uma aplicação � de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante 
quando a cada elemento � ∈ ℝ associa sempre o mesmo elemento � ∈ ℝ.
� � = �
 �� = ℝ
 ��� = �
 Gráfico: é uma reta paralela ao eixo dos � passando pelo ponto 0, �
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2. FUNÇÃO IDENTIDADE
Definição: Uma aplicação � de ℝ em ℝ recebe o nome de função identidade 
quando a cada elemento � ∈ ℝ associa o próprio �.
� � = �
 �� = ℝ
 ��� = ℝ
 Gráfico: é uma reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes
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3. FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Definição: Uma aplicação � de ℝ em ℝ recebe o nome de função afim
quando a cada elemento � ∈ ℝ associa o elemento �� + � ∈ ℝ em que � ≠ 0
e � são números reais dados.
� � = �� + �								 � ≠ 0
 �� = ℝ
 ��� = ℝ
 Gráfico: é uma reta
Obs: Se � = 0, a função afim se transforma na função linear � � = ��.
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3. FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
�: coeficiente angular ou declividade
� = ��	� =
�. �.
�. �.
=
∆�
∆�
�: coeficiente linear (intersecção com eixo y)
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3. FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Zero (ou Raiz) da função:
�	é	����	��	� = � � ⇔ � � = 0
�� + � = 0 ⇒ � = −
�
�
Estudo de Sinal da função:
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4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição: Uma aplicação � de ℝ em ℝ recebe o nome de função
quadrática quando a cada elemento � ∈ ℝ associa o elemento
��� + �� + � ∈ ℝ em que �, �, � são números reais dados e � ≠ 0.
� � = ��� + �� + �							 � ≠ 0
 �� = ℝ
 Gráfico: é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo �.
� > 0: parábola voltada para cima
� < 0: parábola voltada para baixo
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4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Zeros (ou Raízes) da função:
�	é	����	��	� = � � ⇔ � � = 0
��� + �� + � = 0 ⇒ ⋯ ⇒ � =
− � ± �� − 4��
2�
Número de Raízes:
 ∆> 0: duas raízes reais (intercepta o eixo � em 2 pontos)
 ∆= 0: uma raiz real (tangencia o eixo �)
 ∆< 0: não possui raiz real (não intercepta o eixo �)
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4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Estudo de Sinal da função:
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4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Soma das raízes: �� + ��� = −
�
�
Produto das raízes: �� ∙��� =
�
�
Máximo: �� ∈ �� � é o valormáximo da função � = � � se, e somente se,
�� ≥ �, ∀� ∈ �� � . O número �� ∈ �� tal que �� = � �� é chamado ponto
de máximo.
Mínimo: �� ∈ �� � é o valor mínimo da função � = � � se, e somente se,
�� ≤ �, ∀� ∈ �� � . O número �� ∈ �� tal que �� = � �� é chamado ponto
de mínimo.
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4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Vértice da Parábola: � −
�
��
, −
∆
��
 � > 0: V é mínimo
 � < 0: V é máximo
Imagem:
 � > 0: � ≥ −
∆
��
 � < 0: � ≤ −
∆
��
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5. MÓDULO
Definição: Sendo � ∈ ℝ, define-se módulo ou valor absoluto de �, que se
indica por � , por meio da relação
� = �
�								��	� ≥ 0
− �					��	� < 0
Propriedades:
I. � ≥ 0, 		 ∀� ∈ ℝ
II. � = 0	 ⇔ 	� = 0
III.� ∙ � = �� , 		 ∀�, � ∈ ℝ
IV. � � = ��, 		 ∀� ∈ ℝ
V. � ≤ � , 		 ∀� ∈ ℝ
VI. � + � ≤ � + � , 		 ∀�, � ∈ ℝ
VII. � − � ≥ � − � , 		 ∀�, � ∈ ℝ
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5. FUNÇÃO MODULAR
Definição: Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função módulo ou
modular quando a cada � ∈ ℝ associa o elemento � ∈ ℝ.
� � = �
 �� = ℝ
 ��� = ℝ� = [0, + ∞ )
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5. FUNÇÃO MODULAR
Nota: construção do gráfico da função modular
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5. FUNÇÃO MODULAR
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5. FUNÇÃO MODULAR
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5. FUNÇÃO MODULAR
Equações Modulares: Seja � > 0:
� = �	 ⇔ 	� = �			ou			� = − �
Inequações Modulares: Seja � > 0:
� < �	 ⇔ −� < � < �
													 � > �	 ⇔ � < −�			ou			� > �
EXEMPLOS:
a) 2� − 1 = 3
b) 3� − 1 = 2� + 3
c) � + 1 = 3� + 2
d) 2� + 1 < 3
e) 4� − 3 > 5
f) � � = 2� + 1 + � − 1
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição: dada a sequência de números complexos (��, ��, ��, … , ��),
consideremos a função �: 	ℂ → ℂ dada por
� � = �� + ��� + ���
� + ⋯ + �����
��� + ���
�.
A função � é denominada função polinomial ou polinômio associado à
sequência dada.
 Os números ��, ��, ��, … , �� são denominados coeficientes e as parcelas
��, ���, ���
�, … , ���
� são chamadas termos do polinômio �.
 �� ≠ 0 e � inteiro não negativo determina o grau da função.
 Uma função polinomial de um único termo é denominada função
monomial ou monômio.
 �� = ℝ
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Grau: Seja � � = �� + ��� + ���
� + ⋯ + �����
��� + ���
� um polinômio
não nulo. Chama-se grau de f, e representa-se por �f ou ��	f, o número
natural � tal que:
�� = �	 ⇔ �
�� ≠ 0
��= 0 ∀�> �
Se o grau do polinômio � é �, então �� é chamado coeficiente dominante de
�. No caso do coeficiente dominante �� ser igual a 1, � é chamado polinômio
unitário.
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLOS:
 � � = 5: função polinomial de grau zero (função constante)
 � � =
��
�
− � + 7: função polinomial de grau 3
 � � = �� + 4 �: função polinomial de grau 6
 � � = − �� + �
�
�⁄ − 1: não é polinômio
 � � = �� − � +
�
�
: não é polinômio
 � � = ��� + 2�: não é polinômio
 � � = 3�� +
�
��
: não é polinômio
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLOS:
 � � = ��� + ��� + �� + �: � > 0
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLOS:
 � � = ��� + ��� + �� + �: � < 0
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Divisão: Dados dois polinômios � (dividendo) e � ≠ 0 (divisor), dividir �
por � é determinar dois outros polinômios � (quociente) e � (resto) de modo
que se verifiquem as duas condições seguintes:
i. � ∙� + � = �
ii. �� < �� (ou � = 0, caso em que a divisão é exata)
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Método de Descartes: também conhecido como método dos coeficientes a
determinar, baseia-se em:
I. �� = �� − ��
II. �� < �� (ou � = 0)
O método é aplicado da seguinte forma:
1º) calculam-se �� e ��;
2º) constroem-se os polinômios � e � , deixando incógnitos os seus
coeficientes;
3º) determinam-seos coeficientes impondo a igualdade �� + � = �.
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLO: Dividir � = 3�� − 2�� + 7� + 2 por � = 3�� − 2�� + 4� − 1
Resposta: � = � e � = − 4�� + 8� + 2
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Método da Chave:
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Divisão por binômios do 1º grau unitários �� = � :
Teorema do Resto: O resto da divisão de um polinômio � por � − � é igual
ao valor numérico de � em �.
� = � �
Exemplo: � = 5�� + 3�� + 11 e � = � − 3
� = � 3 = 443
Teorema de D’Alembert: um polinômio � é divisível por � − � se, e
somente se, � é raiz de �.
Exemplo: � = �� − 4�� − 3�� + 7� − 1 e � = � − 1
� = � 1 = 0
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Algoritmo de Briot-Ruffini:
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Divisão por binômios do 1º grau quaisquer:
Para obtermos o quociente � e o resto � da divisão de um polinômio �, com
�� ≥ 1, por � = �� − �, em que � ≠ 0, notemos que:
�� − � � + � = �		 ⇒ 			 � −
�
�
���
�′
+ � = �
Regra Prática:
1º) divide-se � por � −
�
�
empregando o algoritmo de Briot-Ruffini;
2º) divide-se o quociente �′encontrado pelo número �, obtendo �.
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLOS:
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Teorema da Decomposição: todo polinômio � de grau � � ≥ 1
� = �� + ��� + ���
� + ⋯ + �����
��� + ���
� �� ≠ 0
pode ser decomposto em � fatores do primeiro grau, isto é:
� = �� � − �� � − �� � − �� … � − ��
em que ��, ��, ��, … , �� são as raízes de �.
Com exceção da ordem dos fatores tal decomposição é única.
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
EXEMPLOS:
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6. FUNÇÃO POLINOMIAL
Teorema das raízes Racionais: Se uma equação polinomial
� � = �� + ��� + ���
� + ⋯ + �����
��� + ���
� �� ≠ 0 ,
de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional
�
�
, em que � ∈ ℤ, � ∈ ℤ�
∗ e �
e � são primos entre si, então � é divisor de �� e � é divisor de ��.
EXEMPLO: 2�� − 5�� + 4�� − 5�� − 10�� + 30� − 12 = 0
Resposta: � 2 = �
�
�
= 0
60
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BINÔMIO DE NEWTON
Desenvolvimento do binômio � + � � para � ∈ ℕ e �, � ∈ ℝ:
� + � � = 1
� + � � = � + �
� + � � = �� + 2�� + ��
� + � � = �� + 3��� + 3��� + ��
Para todo � inteiro, positivo, podemos calcular:
� + � � = � + � ∙ � + � ∙⋯ ∙ � + �
� fatores
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BINÔMIO DE NEWTON
EXEMPLO:
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BINÔMIO DE NEWTON
EXEMPLO:
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BINÔMIO DE NEWTON
Teorema Binomial: o desenvolvimento de � + � � para � ∈ ℕ e �, � ∈ ℝ é
dado por:
� + � � =
�
0
∙�� +
�
1
∙���� ∙�� +
�
2
∙���� ∙�� + ⋯ +
+
�
� ∙�
��� ∙�� + ⋯ +
�
�
∙��
Observações:
I. Os números
�
0
;
�
1
;
�
2
;… ;
�
� ;… ;
�
�
são chamados coeficientes
binomiais. No coeficiente binomial
�
� , � é chamado numerador e �,
denominador.
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BINÔMIO DE NEWTON
II. ��
���,�
é o número de maneiras que podemos permutar � − � letras “�”
e � letras “�”.
��
���,�
=
�!
� − � !�!
=
�
�
�!= � ∙ � − 1 ∙ � − 2 ∙⋯ ∙3 ∙2 ∙1
1!= 1
0!= 1
III. O teorema binomial é válido para � − � �, pois basta escrevermos como
� + − �� e aplicarmos o teorema.
IV. Termo Geral: o termo
�
� ∙�
��� ∙�� é chamado termo geral, pois
fazendo � = 0, 1, 2, ⋯ , � obtemos todos os termos do desenvolvimento.
65
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TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL (OU DE TARTAGLIA)
É uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os coeficientes binomiais 
�
� :
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TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL (OU DE TARTAGLIA)
Podemos também escrever o triângulo de Pascal substituindo cada
coeficiente binomial pelo seu valor, isto é:
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TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL (OU DE TARTAGLIA)
Soma dos coeficientes:
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TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL (OU DE TARTAGLIA)
PROPRIEDADES:
 Relação de Stifel:
�
� =
� − 1
� − 1
+
� − 1
�
, 				� ≥ 2
 Coeficientes equidistantes dos extremos são iguais:
�
� =
�
� − �
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FORMULÁRIO
� + � � = �� + 2�� + ��
� + � � = �� + 3��� + 3��� + ��
� − � � = �� − 2�� + ��
� − � � = �� − 3��� + 3��� − ��
�� − �� = � + � � − �
�� + �� = � + � �� − �� + ��
�� − �� = � − � �� + �� + ��
�� − �� = � + � � − � �� + ��
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COMPLETAMENTO DE QUADRADOS
EXEMPLO: �� + � + 1
Sabemos que � + � � = �� + 2�� + ��
Comparando os termos de �� + � + 1 com �� + 2�� + �� da esquerda para a
direita, temos:
�� = �� ⇒ � = �
2�� = � ⇒ 2�� = � ⇒ � =
1
2
Mas: �� + � + 1 ≠ � +
�
�
�
= �� + � +
�
�
Portanto, é necessário “completar” com � �⁄ para formar um “quadrado
perfeito”:
�� + � + 1 = � +
1
2
�
+
3
4
71
7. FUNÇÃO RACIONAL
Definição: é a função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é, � � =
�(�)
�(�)
, onde �(�) e �(�) são funções polinomiais.
 �� = � ∈ ℝ ∶� � ≠ 	0
EXEMPLO:
� � =
2�� − 3
7� + 4
�� = � ∈ ℝ ∶7� + 4 ≠ 0	 = � ∈ ℝ ∶� ≠ −
4
7
	
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7. FUNÇÃO RACIONAL
EXEMPLO: � � =
���
���
								�� = � ∈ ℝ ∶� ≠ − 1	
Esboçar o gráfico:
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8. FUNÇÃO ALGÉBRICA
Definição: São funções construídas a partir de polinômios por meio de
operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e potências
racionais).
EXEMPLOS:
� � = 2� + � + 3									�� = � ∈ ℝ ∶� + 3 ≥ 0	 = � ∈ ℝ ∶� ≥ − 3
� � =
3� − 1
2� + 4
																�� = � ∈ ℝ ∶2� + 4 > 0 = � ∈ ℝ ∶� > − 2
� � = �� − �� + 6
�
						�� = ℝ
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9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Dado um número real �, tal que 0 < � ≠ 1, chamamos função
exponencial de base �, a função � de ℝ em ℝ, que associa a cada � real o
número ��.
 �� = ℝ
 ��� = ℝ�
∗
 Gráfico: corta o eixo � no ponto 0,1
 � > 1: função crescente
 0 < � < 1: função decrescente
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9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLOS:
a) � � = 2� b) � � =
�
�
�
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9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
EXEMPLOS:
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9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função exponencial natural: é a função exponencial cuja base é o
número de Euler. Denotado por ��, a função exponencial natural é uma das
mais importantes funções da matemática.
� � = ��
�	é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828...
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9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Equações exponenciais: método da redução a uma base comum
�� = �� 		⇔ 		� = �								 0 < � ≠ 1
Inequações exponenciais: método da redução a uma base comum. Se � e 
� são números reais, então:
para	� > 1	tem− se				�� > �� 		⇔ 		� > �
para	0 < � < 1	tem− se				�� > �� 		⇔ 		� < �
EXEMPLOS:
a) 2� = 64
b) 8� =
�
��
c) 3
�
= 81
�
d) 2� > 128
e)
�
�
�
≥
���
��
f) 2
� �
< 8
�
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9. POTÊNCIAS E RAÍZES
PROPRIEDADES:
P1. �� ∙�� = ����
P2.
��
��
= ����
P3. � ∙� � = �� ∙��
P4.
�
�
�
=
��
��
P5. ��
�
= ��∙�
R1. ��
�
= ��∙�
�∙�
R2. � ∙�
�
= �� ∙ �
�
R3.
��
�
=
��
�
�
R4. �� � = ��
�
R5. ��
�
= �
�∙�
�
�
� = ��
�
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10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definição: Dado um número real � (0 < � ≠ 1) , chamamos função
logarítmica de base �, a função � de ℝ�
∗em ℝ que associa a cada � o número
���� �.
 �� = ℝ�
∗
 ��� = ℝ
 Gráfico: corta o eixo � no ponto 1,0
 � > 1: função crescente
 0 < � < 1: função decrescente
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10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLOS:
a) � � = log� � b) � � = log�
�
�
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10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXEMPLOS:
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10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Casos especiais: Os logaritmos com bases � e 10 possuem muitas
aplicações importantes, por isso, eles possuem notações e nomes
característicos:
log� � = ln � ⇒ 	� = ln � (função logaritmo natural ou neperiano)
log�� � = log� ⇒ 	� = log� (função logaritmo comum)
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10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA x FUNÇÃO EXPONENCIAL
 A função logarítmica de base � é a inversa da função exponencial de base �.
Em particular: ln �� = � e	��� � = �
 O gráfico da função logarítmica é simétrico em relação à reta � = � do
gráfico da função exponencial.
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10. LOGARITMOS
Definição: Se �, � ∈ ℝ, 0 < � ≠ 1		�		� > 0, então:
log� � = �	 ⇔	�
� = �
Sendo: � é a base do logaritmo, � é o logaritmando, � é o logaritmo.
PROPRIEDADES:
P1. log� 1 = 0
P2. log� � = 1
P3. ����� � = �
P4. log� � ∙� = log� � + log� �
P5. log�
�
�
= log� � − log� �
P6. log� �
� = � ∙log� �
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11. FUNÇÃO COMPOSTA
Definição: Seja �: � → � e seja �: � → �. Chama-se função composta de � e
�	à função ℎ: � → � em que a imagem de cada � é obtida pelo seguinte
procedimento:
1º) aplica-se a � a função �, obtendo-se � �
2º) aplica-se a � � a função �, obtendo-se � � � .
Indica-se ℎ � = � � � para todo � ∈ �.
Pode-se indicar a composta por � ∘ � (lê-se: “� composta com �” ou “� círculo
�”). Portanto:
� ∘ � � = � � � , 		 ∀� ∈ �
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11. FUNÇÃO COMPOSTA
EXEMPLO:
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11. FUNÇÃO COMPOSTA
Observações:
 A composta � ∘ � só está definida quando o contradomínio da � é igual ao
domínio da �. Em particular, se as funções � e � são de � em �, então as
compostas � ∘ � e � ∘ � estão definidas e são funções de � em �.
 Em geral, � ∘ � ≠ � ∘ �, isto é, a composição de funções não é comutativa.
Pode acontecer que somente uma das funções � ∘ � ou � ∘ � esteja definida.
 As duas composições � ∘ � e � ∘ � podem estar definidas mas � ∘ � ≠ � ∘ �.
 Associatividade: ℎ ∘ � ∘ � = ℎ ∘ � ∘ �
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11. FUNÇÃO COMPOSTA
EXEMPLO: Seja �: � → � definida por � � = �� e �: � → � definida por
� � = 2� + 1
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12. FUNÇÃO SOBREJETORA
Definição: Uma função � de � em � é sobrejetora se, e somente se, para todo
� pertencente a � existe um elemento � pertencente a � tal que � � = �.
	�: � → �
� é sobrejetora ⇔	∀�, � ∈ �, ∃�, � ∈ �	|	� � = �
�: � → �
� é sobrejetora ⇔ 	�� � = �
Ou ainda, se a imagem de � é igual ao seu contradomínio, ou seja,
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12. FUNÇÃO SOBREJETORA
Reconhecimento através do gráfico: Se cada uma das retas paralelas ao
eixo � cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é sobrejetora.
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13. FUNÇÃO INJETORA
Definição: Uma função � de � em � é injetora se, e somente se, quaisquer
que sejam �� e �� de �, se �� ≠ ��, então � �� ≠ � �� .
�: � → �
� é injetora ⇔	 ∀��, �� ∈ �, ∀��, �� ∈ � �� ≠ �� ⇒ � �� ≠ � ��
Ou ainda,
�: � → �
� é injetora ⇔	 ∀��, �� ∈ �, ∀��, �� ∈ � � �� = � �� ⇒ �� = ��
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13. FUNÇÃO INJETORA
Reconhecimento através do gráfico: Se cada uma das retas paralelas ao
eixo � cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função
é injetora.
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14. FUNÇÃO BIJETORA
Definição: Uma função � de � em � é bijetora se, e somente se, � é
sobrejetora e injetora.
�: � → �
� é bijetora ⇔ � é sobrejtora e injetora
Ou ainda,
				�: � → �
� é bijetora ⇔	∀�, � ∈ �, ∃|	�, � ∈ �	|	� � = �
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14. FUNÇÃO BIJETORA
Reconhecimento através do gráfico: Se cada uma das retas paralelas ao
eixo � cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora.
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15. FUNÇÃO INVERSA
Teorema: Seja �: � → �. A relação ��� é uma função de � em � se, e somente
se, � é bijetora.
Definição: Se �	é uma função bijetora de � em �, a relação inversa de � é
uma função de � em � que denominamos função inversa de � e indicamos por
���	.
Observações:
 �, � ∈ � ⇔ �, � ∈ ���
 ��� �� = �
 � ��� = �� � = � e �� ��� = � � = �
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15. FUNÇÃO INVERSA
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15. FUNÇÃO INVERSA
Regra prática para determinação da Função Inversa:
Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença � = � � , para
obtermos a sentença aberta que define ���, procedemos do seguinte modo:
1º) na sentença � = � � fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos �
por � e � por �, obtendo � = � � ;
2º) transformamos algebricamente a expressão � = � � , expressando � em
função de � para obtermos � = ��� � .
Graficamente: os gráficos cartesianos de � e ��� são simétricos em relação à
bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
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15. FUNÇÃO INVERSA
EXEMPLO:
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16. TRIGONOMETRIA
• circunferência orientada de raio 1;
• sentido positivo: anti-horário;
• centro coincide com a origem do plano cartesiano: ponto O	 0,0
���	� =
�. �.
�
=
�. �.
1
���	� =
�. �.
�
=
�. �.
1
�� + �� = ��
����� + ����� = 1
� = �, � = ��� � , ���	�
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16. TRIGONOMETRIA
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16. TRIGONOMETRIA
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16. TRIGONOMETRIA
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16. TRIGONOMETRIA
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17. FUNÇÃO SENO
Definição: denominamos função seno a função �: 	ℝ → ℝ que associa a cada 
real � o real ��� = ���	�, isto é:
� � = ���	�
 �� = ℝ
 ��� = −1, 1
 Periódica: � = 2�
���	� = ��� � + � ∙2�
 Gráfico: senóide
 ���	� é ímpar: ��� − � = − ���(�)
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17. FUNÇÃO SENO
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17. FUNÇÃO SENO
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17. FUNÇÃO SENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
Profª: Fernanda Gomes da Silveira
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18. FUNÇÃO COSSENO
Definição: denominamos função cosseno a função �: 	ℝ → ℝ que associa a 
cada real � o real ��� = ���	�, isto é:
� � = ���	�
 �� = ℝ
 ��� = −1, 1
 Periódica: � = 2�
���	� = ��� � + � ∙2�
 Gráfico: cossenóide
 ���	� é par: ��� − � = ���(�)
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Disciplina: Pré-Cálculo
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18. FUNÇÃOCOSSENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
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18. FUNÇÃO COSSENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
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18. FUNÇÃO COSSENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
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18. FUNÇÃO COSSENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
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18. FUNÇÃO SENO x COSSENO
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Disciplina: Pré-Cálculo
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19. FUNÇÃO TANGENTE
Definição: denominamos função tangente a função �:� → � que associa a 
cada real �, � ≠
�
�
+ ��, o real �� = ��	�, isto é:
� � = ��	�
 �� = � = � ∈ ℝ|	� ≠
�
�
+ ��
 ��� = ℝ
 Periódica: � = �
��	� = �� � + � ∙�
 Gráfico: tangentóide
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19. FUNÇÃO TANGENTE
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Disciplina: Pré-Cálculo
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20. FUNÇÃO COTANGENTE
Definição: denominamos função cotangente a função �:� → ℝ que associa a 
cada real �, � ≠ ��, o real �� = ����	�, isto é:
� � = ����	�
 �� = � = � ∈ ℝ|	� ≠ ��
 ��� = ℝ
 Periódica: � = �
����	� = ���� � + � ∙�
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Disciplina: Pré-Cálculo
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20. FUNÇÃO COTANGENTE
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Disciplina: Pré-Cálculo
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21. FUNÇÃO SECANTE
Definição: denominamos função secante a função �: � → ℝ que associa a 
cada real �, � ≠
�
�
+ ��, o real �� = ���	�, isto é:
� � = ���	�
 �� = � = � ∈ ℝ|	� ≠
�
�
+ ��
 ��� = ℝ − −1, 1
 Periódica: � = 2�
���	� = ��� � + � ∙2�
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Disciplina: Pré-Cálculo
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21. FUNÇÃO SECANTE
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Disciplina: Pré-Cálculo
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22. FUNÇÃO COSSECANTE
Definição: denominamos função cossecante a função �:� → ℝ que associa a 
cada real �, � ≠ ��, o real �� = ������	�, isto é:
� � = ������	�
 �� = � = � ∈ ℝ|	� ≠ ��
 ��� = ℝ − −1, 1
 Periódica: � = 2�
������	� = ������ � + � ∙2�
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22. FUNÇÃO COSSECANTE
C
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 ����� + ����� = 1, ����	����	� ∈ ℝ
 ��� =
���	�
��� �
, ����	����	� ≠
�
�
+ ��
 ����	� =
��� �
���	�
, ����	����	� ≠ ��
 ��� � =
�
��� �
, ����	�����		� ≠
�
�
+ ��
 ������	� =
�
���	�
, ����	����	� ≠ ��
 ����� =
�
�� �
, ����	����	� ≠ �
�
�
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dividindo ����� + ����� = 1 por ����� e depois por cos� �, obtemos:

�����
�����
+
���� �
�����
=
�
�����
	 ⇒ �������� = 1 + ������

�����
���� �
+
���� �
���� �
=
�
���� �
	 ⇒ ����� = 1 + ����
 ��� 2� = 2 ∙��� � ∙cos�
 ��� 2� = ���� � − ����(�)
Fórmulas de arco duplo:
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
���	 2� = cos� � − ����(�)
= 1 − ���� � − ����(�)
= 1 − 2����(�)
���� � =
1 − cos	(2�)
2
���	 2� = cos� � − ����(�)
= cos�(�) − (1 − cos�(�))
=2 cos� � − 1
����(�) =
1 + cos	(2�)
2
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 ��� � + � = ��� � ∙��� � − ���	� ∙���	�
 ��� � − � = ��� � ∙��� � + ���	� ∙���	�
 ���	 � + � = ��� � ∙��� � + ���	� ∙���	�
 ���	 � − � = ��� � ∙��� � − ���	� ∙���	�
Fórmulas de adição:
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
As funções trigonométricas não são bijetoras. Assim, para definirmos suas
funções inversas, precisamos restringir o seu domínio e contradomínio.
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23. FUNÇÃO ARCO-SENO
Considere:
�: −
�
�
,
�
�
→ [−1,1], definida por � � = ���(�)
⇒
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23. FUNÇÃO ARCO-SENO
A função � é bijetora e admite inversa. Assim, ��� é denominada função arco-
seno, sendo � = ���	���	�.
���: [− 1,1] → −
�
�
,
�
�
, definida por � = ���	���	(�)
Simbolicamente, podemos escrever a equivalência:
� = ���	���	 � 	⇔ ���	 � = � e −
�
�
≤ � ≤
�
�
Gráfico da função arco-seno: 
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24. FUNÇÃO ARCO-COSSENO
Considere:
�: 0, � → [−1,1], definida por � � = ���(�)
⇒
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24. FUNÇÃO ARCO-COSSENO
A função � é bijetora e admite inversa. Assim, ��� é denominada função arco-
cosseno, sendo � = ���	���	�.
Simbolicamente, podemos escrever a equivalência:
� = ���	���	 � 	⇔ ���	 � = � e 0 ≤ � ≤ �
Gráfico da função arco-cosseno: 
���: [− 1,1] → 0, � , definida por � = ���	���(�)
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25. FUNÇÃO ARCO-TANGENTE
Considere:
�: −
�
�
,
�
�
→ ℝ, definida por � = ��(�)
⇒
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25. FUNÇÃO ARCO-TANGENTE
A função � é bijetora e admite inversa. Assim, ��� é denominada função arco-
tangente, sendo � = ���	��	�.
Simbolicamente, podemos escrever a equivalência:
� = ���	��	 � 	⇔ ��	 � = � e −
�
�
< � <
�
�
Gráfico da função arco-tangente: 
���: ℝ → −
�
�
,
�
�
, definida por � = ���	��(�)
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