Exercicios Teoria das Estruturas

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS I 
 
 
Parte 4 
 
 
Caderno de Exercícios 
 
 
 
 
Prof. Dr. Ricardo Azoubel da Mota Silveira 
Profa. Dra. Andréa Regina Dias da Silva 
 
Colaboração: Gilney Afonso Gonçalves 
 
 
Departamento de Engenharia Civil 
Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
2012 
 
SUMÁRIO 
1. Pórticos ............................................................................................................. 1 
1.1. Pórticos Biapoiados ............................................................................................. 1 
1.2. Pórticos Engastados-Livres .................................................................................. 4 
1.3. Pórticos Triarticulados ....................................................................................................6 
1.4. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (ou Escora) .........................................9 
1.5. Pórticos Compostos ......................................................................................................11 
1.6. Pórticos com Barras Inclinadas .......................................................................... 14 
1.7. Estabilidade e Grau de Indeterminação .............................................................. 17 
 
2. Arcos ................................................................................................................ 22 
 
3. Treliças ............................................................................................................ 25 
3.1. Estabilidade e Grau de Indeterminação ...................................................................25 
3.2. Treliças (Parte 1) ............................................................................................... 26 
3.3. Treliças (Parte 2) ............................................................................................... 26 
3.4. Treliças com Altura Constante (Viga de Substituição) ........................................ 31 
 
4. Grelhas ............................................................................................................ 34 
 
5. Linhas de Influência ....................................................................................... 36 
 
6. Deslocamentos em Estruturas ...................................................................... 43 
Teoria das Estruturas I 1 
 
1. PÓRTICOS 
1.1. PÓRTICOS BIAPOIADOS 
Problema 1. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
Problema 2. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 2 
 
A 
B C 
 
Problema 3. Pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
Problema 4. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços cortante, normal e momento fletor 
c. Equação do Momento Fletor para o elemento AB. 
d. O momento fletor máximo no elemento AB. 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 3 
 
A 
B C 
Problema 5. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços: cortante, normal e momento fletor 
c. Represente graficamente o nó B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 4 
 
A 
B 
C D E 
1.2. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES 
Problema 1. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
c. Represente graficamente o nó B 
 
Problema 2. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 5 
 
Problema 3. Pede-se determinar: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
Problema 4. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 6 
 
1.3. PÓRTICOS TRIARTICULADOS 
Problema 1. Pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
Problema 2. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 7 
 
Problema 3. Pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
Problema 4. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 8 
 
Problema 5. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
Problema 6. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 9 
 
1.4. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA) 
Problema 1. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
Problema 2. Pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante, normal e momento fletor) 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 10 
 
Problema 3. Pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 11 
 
1.5. PÓRTICOS COMPOSTOS 
Problema 1. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 
 
Problema 2. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (cortante e momento fletor) 
 
 
a 
a 
a a a a 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 12 
 
Problema 3. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes (normal, cortante e momento fletor) 
 
 
 
Problema 4. Determine: 
a. Reações de apoio 
b. Diagramas de esforços solicitantes(normal, cortante e momento fletor) 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 13 
 
Problema 5. Para o quadro composto abaixo, pede-se: 
a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga uniformemente 
distribuída atuante 
b. Reações de apoio 
c. Diagramas de esforços solicitantes (normal e momento fletor) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m
2m
2 tf/m
4 tf 2 tf2 tf
4m4m
2m
G
A B
C D E
F G
H I J
2 tf 2 tf
4 tf
(indicador de simetria)
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 14 
 
1.6. PÓRTICOS COM BARRAS INCLINADAS 
Problema 1. Veja que a escada mostrada na figura abaixo pode ser idealizada como um pórtico 
plano biapoiado. Para esse sistema, pede-se chegar nos diagramas de esforços solicitantes 
fornecidos. 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 15 
 
Problema 2. O galpão esquematizado em perspectiva na parte esquerda da figura abaixo tem 
seu pórtico transversal central idealizado como triarticulado. Para esse sistema estrutural, pede-
se chegar no diagrama de momento fletor fornecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 16 
 
Problema 3. Para o galpão industrial ilustrado na figura a seguir, pede-se chegar no diagrama 
de momento fletor fornecido. 
 
10kN/m
5m
A
2,5m 2,5m
5m
B
5m
C D
E
6kN
2kN
1m
1,2m
0,8m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 17 
 
1.7. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO 
Problema 1. Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As 
estruturas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em 
qualquer lugar. 
(a) (b) 
 
 
 
(c) (d) 
 
 
 
(e) 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 18 
 
Problema 2. Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou 
estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de 
indeterminação. As vigas são submetidas à carregamentos externos conhecidos e que podem 
atuar em qualquer lugar. 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
(c) (d) 
 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 19 
 
Problema 3. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou 
estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de 
indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que 
podem atuar em qualquer lugar. 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
(c) (d) 
 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 20 
 
Problema 4. Classifique cada um dos quadros a seguir como estaticamente determinado ou 
estaticamente indeterminado. Se estaticamente indeterminado avalie o grau de 
indeterminação. Os quadros são submetidos à carregamentos externos conhecidos e que 
podem atuar em qualquer lugar. 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
(c) 
 
PÓRTICOS 
Teoria das Estruturas I 21 
 
Problema 5. Para cada um dos sistemas estruturais mostrados a seguir, pede-se: 
1. Avaliar a sua ESTABILIDADE 
2. Avaliar o GRAU DE INDETERMINAÇÃO (GI), ou seja, verificar se são estaticamente 
determindados (ED) ou indeterminados (EI), ou mesmo hipostáticos (H) 
Considere que o carregamento externo pode atuar em qualquer duração. 
Importante: JUSTIFICAR A RESPOSTA. 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
(c) (d) 
 
Teoria das Estruturas I 22 
 
2. ARCOS 
Problema 1. Para a estrutura abaixo determine: 
a. Reações de apoio 
b. VC (esq) e VC (dir) 
c. NC (esq) e NC (dir) 
 
 
 
 
Problema 2. Para o pórtico composto abaixo, pede-se: 
a. Diagrama de momento fletor 
b. VG(esq), VG (dir), NG(esq), NG(dir) 
c. VtrechoCD, NtrechoCD, VtrechoAD, NtrechoAD 
Observação: 
A cúpula DGE, para eixos coordenados com origem em D, é definida pela equação: 
y = -x2/3 + 2x 
Para o trecho curvo, DGE, construa o DMF a partir da reta horizontal DE e cote-o nos quartos do 
respectivo trecho. 
 
3m
4m4m 4m
5 tf
A B
C
par. 2o grau
ARCOS 
Teoria das Estruturas I 23 
 
Problema 3. Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do 
carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se assim: 
a. A linha de pressões 
b. Esforços normais máximo e mínimo atuantes 
c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m 
2t/m
12m
2t/m
A B
12m
f=6,4m
G
 
Problema 4. Para o quadro composto abaixo (dois pórticos e um arco triarticulado EGH), pede-
se: 
a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante 
b. As reações de apoio 
c. Diagrama de momento fletor (DMF) 
d. Diagrama de esforço normal (DEN) 
e. Diagrama de esforço cortante (DEC) 
 
4m
2m
2 tf/m
4 tf 2 tf2 tf
4m4m
2m
G
A B
C D E
F G
H I J
2 tf 2 tf
4 tf
(indicador de simetria)
ARCOS 
Teoria das Estruturas I 24 
 
Problema 5. Para o pórtico composto abaixo (pórtico engastado-livre + arco triarticulado BGF), 
pede-se: 
a. Projetar o arco triarticulado baseando-se na linha de pressões da carga atuante 
b. Reações de apoio (arco triarticulado + pórtico engastado-livre) 
c. Diagrama de momento fletor (DMF) 
d. Diagrama de esforço normal (DEN) 
e. Diagrama de esforço cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I 25 
 
3. TRELIÇAS 
 
3.1. ESTABILIDADE E GRAU DE INDETERMINAÇÃO 
Problema 1. Para as treliças mostradas a seguir, pede-se: 
1. A avaliação da sua estabilidade 
2. Definir se elas são estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se 
estaticamente indeterminada, determine o grau de indeterminação 
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
 
(g) 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I26 
 
3.2. TRELIÇAS (PARTE 1) 
Problema 1. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 
 
 
 
Problema 2. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 27 
 
Problema 3. Para a figura abaixo pede-se: 
a. Avaliar o esforço normal nas barras GF e GD 
b. Defina se esses esforços são de tração ou compressão 
 (As reações de apoio são dadas) 
 
 
Problema 4. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. Em seguida, obtenha: 
a. Reações de apoio 
b. O esforço normal nas barras CD, CF e DE (tração ou compressão ?) 
c. Apenas indique como obter os esforços normais nas barras AE, AC e CE 
 
6kN
1m 1m 1m 1m 1m
6kN 3m
2m
1m
A B
C D
E F
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 28 
 
3.3. TRELIÇAS (PARTE 2) 
Problema 1. Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuam Esforço Normal 
Nulo. 
 
 
 
 
Problema 2. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. 
 
Ay = 5kN
2m2m2m 2m
4kN 2kN 4kN
Ey = 5kN
A B C D E
F
GH
I J
4m
2m
2m
a
a
Ax = 0
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 29 
 
Problema 3. Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. 
 
Ay = 5kN
6ft6ft6ft 6ft
3k
Fy = 3k
A B
C
D
E
F
G
H
Ax = 0
6ft
3k
12ft
6ft
a
a45o45o 45o
 
 
Problema 4. Obter os esforços normais para o reticulado abaixo. 
 
 
2m2m2m 2m
3t/m
1,5m
 
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 30 
 
Problema 5. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. Sugere-se 
verificar previamente que barras têm esforço normal nulo. 
 
a a a a a a
PP
a
4P
a
a
a
 
 
Problema 6. Classifique a treliça mostrada na figura abaixo. 
Em seguida obtenha os esforços normais atuantes, não esquecendo de indicar se são de tração 
ou compressão. Assuma que os membros são conectados através de rótulas perfeitas. 
A B C D
E F
 
 
 
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 31 
 
3.4. TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (VIGA DE SUBSTITUIÇÃO) 
Problema 1. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 
 
2m 2m 2m 2m 2m 2m
2m
2t 4t 4t 4t 4t 4t 2t
 
 
 
Problema 2. Determinar os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 
 
 
3m
4m
4t
3m 3m 3m 3m 3m
8t 12t 12t 4t 4t 2t
 
 
 
 
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 32 
 
Problema 3. Obter os esforços normais atuantes na treliça da figura abaixo. 
 
4m4m4m 4m
h = 3m
3t 3t 3t 3t
A B C D E
V1 V2 V3 V4
U1 U2 U3 U4
O1 O2 O3 O4
D1 D2 D3 D4
s1
s1
s2
s2
 
 
 
Problema 4. A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando faltando as 
diagonais (uma em cada painel). Pede-se: 
a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem todas a tração 
b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais 
não ultrapasse, em módulo, o valor de 8 tf 
c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras 
 
2m2m2m 2m
h
2t 2t 3t3t
A B
2m 2m 2m
2t
C D E F G H I J
 
 
 
 
TRELIÇAS 
Teoria das Estruturas I 33 
 
Problema 5. Para a treliça de altura constante mostrada na Figura 3, pede-se, utilizando o 
conceito de viga de substituição: 
a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não 
ultrapasse, em módulo, o valor de 5 kN 
b. O esforço normal nas barras horizontais superiores (tração ou compressão ?) 
c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) 
 
 
Problema 6. Para a treliça de altura constante mostrada abaixo, pede-se, utilizando o conceito 
de viga de substituição: 
a. A menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não 
ultrapasse, em módulo, o valor de 10 tf 
b. O esforço normal nas barras horizontais (tração ou compressão ?) 
c. O esforço normal nas barras diagonais (tração ou compressão ?) 
d. O esforço normal nas barras verticais (tração ou compressão ?) 
2m
h
4tf
2m 2m 2m 1m 2m
4tf 4tf
1m 2m 2m 2m
A B
4tf 4tf
U1 U2 U3 U4 U5
O1 O2 O3 O4 O5
V1 V2 V3 V4 V5 V6D1 D2 D3 D4 D5
 
Teoria das Estruturas I 34 
 
4. GRELHAS 
 
Problema 1. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRELHAS 
Teoria das Estruturas I 35 
 
Problema 3. Determinar os diagramas solicitantes a grelha da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Problema 4. 
a. Determine o Momento fletor em C pela direita e o Momento torçor em C pela direita 
b. Pode-se afirmar que (justifique): 
 Momento fletor em C pela direita = Momento fletor em C pela esquerda? 
 Momento torçor em C pela direita = Momento torçor em C pela esquerda? 
 
 
 
a
a a a
B
A
C D
P (força)
x
y
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I 36 
 
5. LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 
Problema 1. Obter as reações de apoio máximas para uma ponte engastada-livre de 10m, 
provocadas pelo trem-tipo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. Para a ponte abaixo obter as envoltórias de MF e EC, cotando-as nas seções 
indicadas. São dados: 
a. Carga permanente: g = 2 tf/m 
b. Trem-tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 tf/m
20 tf 10 tf
1 tf/m
20 tf 10 tf
21A 3 B
3m 3m 3m 3m 
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 37 
 
Problema 3. Para a ponte de CLASSE 45 abaixo, pede-se: 
a. O modelo estrutural de análise indicando a carga permanente 
b. MF e EC (carga permanente) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 
c. L.I.MF e L.I.EC das seções 1, 2, 4, 6 e 7 
d. MF e EC (carga móvel - trem-tipo de anteprojeto) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7 
e. Tabela de envoltória para as seções 1, 2, 4, 6 e 7 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4. Para o modelo estrutural da ponte abaixo, pede-se: 
 
 
 
 
 
a. Carga permanente: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 
b. L.I.MF e L.I.EC das seções A, 1, 2, 3 e 5 
c. Carga móvel: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5 
Obs.: Trem-tipo 
d. Tabela de envoltória para as seções A, 1, 2,3 e 5 (ϕ =1) 
 
A
A
10 12 7.5 7.55
na
pilar encontro
(rigidez elevada;
b=largura da ponte)
cortina
(b=largura
da ponte)
pilar pilar pilar
na
5
15
1 3 5 6 742
obs.: as seções 2 e 4 estão
no meio do vão
rótula
engaste
engaste
4 6 6
A
1 2 3 4 5
B
5 tf
10 tfq=2.5 tf/m
5 tf
2 3 3
carga permanente
1.5 tf/m
7.5 tf
qg
qg
VVV
MMM
ϕ+=
ϕ+=
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 38 
 
Problema 5. Para a ponte CLASSE 30 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se: 
a. Carga permanente – VP2: 
- Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I 
b. Linha de Influência – VP2: 
- Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I 
c. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto): 
- Esforço cortante: Seção Dd ; Momento fletor: Seção L ; Reação de apoio: Seção I 
d. Tabela de envoltória 
Observação: 
Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m3; γrevestim. = 2.0 tf/m3 
 
 
 
 
 
 
 
VP1VP1VP1 VP2 VP3 VP4
0,8
0,2
2,0
5,0 m 5,0 m5,0 m
hr(média) = 0,075 m revestimento
0,3
pilar pilarpilarpilar
Área de 
influência de VP3
2,5 m 2,5 m
0,3
0,2
indicador de
simetria
 
Pilar
Encontr
(rig. elevada) P1P1P1 P5P4P3P2
F
ED
CB
IH
G
K
J
A Junta Junta Junta Junta Junta
9 m8 m9 m8 m12 m
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
10
 
m
trecho 
central
3 m
L
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 39 
 
Problema 6. Para a ponte CLASSE 12 (veículo tipo com dois eixos) a seguir, pede-se: 
a. Linha de Influência – VP4: 
 Esforço cortante: Seção A (LIVA) e Seção I (LIVI) 
 Momento fletor: Seção C (LIMc) e Seção H (LIMH) 
 Reação de apoio: Seção C (LIRc) 
b. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de anteprojeto): 
 Esforço cortante: Seções A e I 
 Momento fletor: Seções C e H 
 Reação de apoio: Seção C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P6
ED H KA
10 m10 m10 m10 m10 m
CB JuntaJunta
P2 P3
I JJunta
P5
3 m
P4P1P1
F G Junta
2 m2 m 2,5 m
transversina transversina
5 m
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 40 
 
Problema 7. Para a PONTE MISTA (RODOVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se: 
a. - Carga Permanente – VP4: q (peso próprio) = 4 tf/m; q(lastro + dormentes) = 1 tf/m; 
P(transversina) = 2 tf 
- M. fletor: Seção D; 
 -Esforço. cortante: Seção Je ; 
- Reação de apoio: Seção E 
b. Linha de Influência – VP4: 
- Momento fletor: Seção D (LIMD) ; 
-Esforço cortante: Seção Je (LIJe) ; 
Reação de apoio: Seção E (LIE) 
c. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de projeto): 
- M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D 
- E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção Je 
- R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção E 
d. Envoltória de solicitações (ϕ= 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P6
ED H KA
12 m10 m10 m10 m 10 m
CB
JuntaJunta
P2 P3
I J
Junta
P5
2 m
P4P1
F G
Junta
2 m
2 m
2 m
transversinas
6 m
indicador de
simetria
L
Junta
6m
2 m 4 m
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 41 
 
Problema 8. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada 
mostrada na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Problema 9. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada 
mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Teoria das Estruturas I 42 
 
Problema 10. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da 
ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de 20 k e uma 
acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I 43 
 
6. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 
 
Problema 1. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na 
figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0,5 in2. 
 
 
 
 
Problema 2. Considere a treliça mostrada abaixo; cada barra com E = 200 GPa e A = 400 mm2. 
Determine: 
a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN for aplicada nesse 
mesmo ponto 
b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C se a barra AB for 5 
mm menor do que o tamanho definido em projeto 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 
Teoria das Estruturas I 44 
 
Problema 3. Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 
mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a barra AD é submetida a um 
aumento da temperatura de DT = +120º F. 
Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0,6 (10-5)/oF. A seção A de todas as barras é indicada na figura. 
 
 
 
 
Problema 4. Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 
Teoria das Estruturas I 45 
 
Problema 5. Determine a inclinação q no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: 
E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
 
 
 
Problema 6. Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 
Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4. 
 
 
 
 
 
Problema 7. Determine a rotação q no ponto C do pórtico metálico a seguir. Considere: E = 200 
GPa e I = 15(106) mm4. 
 
 
 
DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 
Teoria das Estruturas I 46 
 
Problema 8. Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico mostrado 
abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4, e A = 80 in2 para ambos os 
membros. Inclua as parcelas de energia devido ao esforço axial e cisalhante. 
 
 
4k/ft
8ft
10ft
A
x1
x2
B C
 
 
 
Problema 9. A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas 
temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e a da base é 160º F, 
determine o deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de temperatura. 
Considere: α = 6,5(10-6)/oF.