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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
2a Lista de Exerc´ıcios – FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL COMPLEXA
01. Estude a derivabilidade e a analiticidade das seguintes func¸o˜es:
a) f(z) = z¯(z + 1)
b) f(z) =
z¯
|z|
c) f(z) = ex(cos y − i sen y)
d) f(z) = 3x+ i3y2
02. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma func¸a˜o inteira. Obtenha as condic¸o˜es de Cauchy–
Riemann em coordenadas polares, isto e´, se x = r cos θ e y = r sen θ, mostre que
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
e
1
r
∂u
∂θ
= −∂v
∂r
03. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que f(z) = r2 cos2 θ− r2 sen2 θ+ i2r2 sen θ cos θ e´
uma func¸a˜o inteira.
04. O objetivo desse exerc´ıcio e´ mostrar uma condic¸a˜o equivalente as condic¸o˜es de Cauchy–
Riemann. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma func¸a˜o complexa. Mostre que, as equac¸o˜es de
Cauchy–Riemann sa˜o satisfeitas no ponto z0 se, e somente se, vale
∂f
∂z¯
(z0) = 0. SUGESTA˜O:
Recorde que x =
z + z¯
2
e y =
z − z¯
2i
. Substitua essas expresso˜es em f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e
use a Regra da Cadeia para obter
∂f
∂z¯
(z0).
05. Verifique se sa˜o harmoˆnicas as func¸o˜es abaixo. Em caso afirmativo, determine uma
func¸a˜o harmoˆnica v(x, y) tal que u e v sa˜o conjugadas.
a) u(x, y) = x2 − xy
b) u(x, y) = ax+ by, onde a e b constantes.
c) u(x, y) = cos x senh y
d) u(x, y) = e−y sen x
e) u(x, y) = senh x sen y
06. Mostre que se u(x, y) e v(x, y) sa˜o func¸o˜es harmoˆnicas conjugadas, tambe´m o sa˜o as
func¸o˜es v(x, y) e −u(x, y).
07. Em cada item abaixo, determine uma func¸a˜o inteira f(z) satisfazendo as condic¸o˜es:
a) Re[f(z)] = ex(x cos y − y sen y) e f(0) = 0;
b) Im[f(z)] = y cos y coshx+ x sen y senhx e f(0) = 0;

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