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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 2a Lista de Exerc´ıcios – FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL COMPLEXA 01. Estude a derivabilidade e a analiticidade das seguintes func¸o˜es: a) f(z) = z¯(z + 1) b) f(z) = z¯ |z| c) f(z) = ex(cos y − i sen y) d) f(z) = 3x+ i3y2 02. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma func¸a˜o inteira. Obtenha as condic¸o˜es de Cauchy– Riemann em coordenadas polares, isto e´, se x = r cos θ e y = r sen θ, mostre que ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ e 1 r ∂u ∂θ = −∂v ∂r 03. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que f(z) = r2 cos2 θ− r2 sen2 θ+ i2r2 sen θ cos θ e´ uma func¸a˜o inteira. 04. O objetivo desse exerc´ıcio e´ mostrar uma condic¸a˜o equivalente as condic¸o˜es de Cauchy– Riemann. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma func¸a˜o complexa. Mostre que, as equac¸o˜es de Cauchy–Riemann sa˜o satisfeitas no ponto z0 se, e somente se, vale ∂f ∂z¯ (z0) = 0. SUGESTA˜O: Recorde que x = z + z¯ 2 e y = z − z¯ 2i . Substitua essas expresso˜es em f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e use a Regra da Cadeia para obter ∂f ∂z¯ (z0). 05. Verifique se sa˜o harmoˆnicas as func¸o˜es abaixo. Em caso afirmativo, determine uma func¸a˜o harmoˆnica v(x, y) tal que u e v sa˜o conjugadas. a) u(x, y) = x2 − xy b) u(x, y) = ax+ by, onde a e b constantes. c) u(x, y) = cos x senh y d) u(x, y) = e−y sen x e) u(x, y) = senh x sen y 06. Mostre que se u(x, y) e v(x, y) sa˜o func¸o˜es harmoˆnicas conjugadas, tambe´m o sa˜o as func¸o˜es v(x, y) e −u(x, y). 07. Em cada item abaixo, determine uma func¸a˜o inteira f(z) satisfazendo as condic¸o˜es: a) Re[f(z)] = ex(x cos y − y sen y) e f(0) = 0; b) Im[f(z)] = y cos y coshx+ x sen y senhx e f(0) = 0;
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