Trigonometria com o Geogebra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA 
ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO 
 
O uso do Software GeoGebra como ferramenta de ensino-aprendizagem 
da matemática 
 
Marcelo Eduardo Schramm
1
 
Rita de Cassia de Souza Soares Ramos 
2
 
Maria Susana Locks
3
 
 
Resumo 
O presente trabalho tem como objetivo relatar as experiências vividas no decorrer do 
desenvolvimento do projeto sobre o uso do software GeoGebra no ensino do círculo 
trigonométrico, realizado com uma turma do 2º ano de uma escola de ensino médio da rede 
pública estadual de Lindolfo Collor/RS. O projeto apresentou a possibilidade de ensinar 
conteúdos matemáticos com o auxílio de tecnologias computacionais. A escolha do Software 
GeoGebra foi devido a sua interface intuitiva, fácil manuseio e a sua dinâmica dimensional, 
visando a construção do círculo trigonométrico e o estudo dos conceitos baseados na 
manipulação e visualização facilitada pelo aplicativo. Foi levado em consideração que os 
alunos que estão hoje nas escolas são classificados como nativos digitais, conforme coloca 
Prensky (2001), ou seja, são todos “falantes nativos” da linguagem digital dos computadores, 
vídeo games e internet, tornando isso um facilitador do aprendizado. A construção do 
conhecimento trigonométrico também fez parte do conteúdo do projeto com objetivo de unir 
as facilidades do aprendizado da informática ao ensino da matemática. Foi desenvolvido 
conjuntamente com as aulas de laboratório de informática o conteúdo básico de 
trigonometria, cálculos de razões trigonométrica, triângulos, noções de seno, cosseno, 
tangente, arcos e ângulo, desenho em papel milimetrado e o desenvolvimento do círculo 
trigonométrico no software GeoGebra. 
 
Palavras chave: GeoGebra, matemática, software, trigonometria. 
 
 
Introdução 
As novas tecnologias inseridas nas salas de aulas representam uma inovação no 
ensino como um todo e, principalmente, no ensino de matemática que, unida a outras 
metodologias, pode auxiliar na união ensino-aprendizagem e estabelecer uma 
alteração de padrões nos ambientes educativos. A possibilidade de desenvolver 
conteúdos programáticos, como a trigonometria, através de ambientes educacionais 
 
1
 Aluno Estagiário do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal de 
Pelotas. 
2
 Professor Orientador de Estágios do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade 
Federal de Pelotas. 
3
 Professor Coorientador de Estágios do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da 
Universidade Federal de Pelotas, atuando no polo de Apoio Presencial de Novo Hamburgo. 
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informatizados dentro das escolas, permite aos docentes criarem diferentes 
estratégias didáticas. Então, com o uso do GeoGebra para desenvolver os 
conhecimentos matemáticos, percebemos que ele é um aplicativo significativamente 
útil para o aprendizado, pois para seu uso faz-se necessário alguns conhecimentos 
relativos a álgebra, sistema cartesianos e geometria, como: ponto, retas, medidas, 
ângulos, entre outros. Este artigo, que é um recorte de um Projeto de Ensino do 
Estágio de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal de Pelotas, 
aponta as contribuições do emprego do aplicativo GeoGebra no entendimento dos 
conteúdos da trigonometria e no uso das tecnologias como elemento facilitador do 
ensino-aprendizagem. 
Como o estudo ainda encontra-se em andamento, espera-se que o uso deste 
software crie um ambiente trigonométrico dinâmico, contribuindo para uma melhor 
visualização e materialização do círculo trigonométrico e os seus conceitos básicos. 
As novas tecnologias e os aplicativos são considerados eficientes instrumentos 
capazes de ampliar a participação e a motivação dos alunos, contribuindo para um 
ambiente de aprendizagem moderno e desafiador. A aprendizagem baseada nas novas 
tecnologias está de acordo com as necessidades e os anseios desta e das futuras 
gerações. 
 A proposta deste trabalho é integrar recursos manipulativos digitais e não 
digitais com o objetivo de construir um círculo trigonométrico por meio do software 
GeoGebra, com implicações no processo da construção do conhecimento matemático. 
Propõe-se que a Matemática aproxime-se mais da realidade, fazendo com que o aluno 
interaja e construa o seu próprio saber. 
 No desenvolvimento da prática pedagógica foram introduzidos alguns 
conceitos matemáticos já conhecidos pelos alunos, como: arcos e ângulos, triângulos 
retângulos, razões trigonométricas, seno, cosseno, tangente e desenho em papel 
milimetrado, além de outros. 
 
Sobre o GeoGebra 
O software GeoGebra permite realizar construções geométricas com o emprego 
de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos, etc., permitindo inserir funções e 
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alterar todos esses elementos dinamicamente. Podendo também realizar inserções 
diretas de equações e coordenadas. Portanto, o GeoGebra é capaz de manipular com 
variáveis numéricas, pontos, vetores, e além disso, proporcionar comandos para se 
descobrir raízes e pontos extremos de uma função. Com isto, o software agrupa 
ferramentas habituais de geometria e outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. 
Contudo, o GeoGebra apresenta diversas vantagens didáticas de representar em um 
único ambiente visual e ao mesmo tempo, as características geométricas e algébricas 
de um mesmo objeto. Segundo o site wikipedia: 
O Software GeoGebra (aglutinação das palavras Geometria e Álgebra) é um 
aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de geometria e 
álgebra em uma única interface gráfica. Sua distribuição é livre, nos termos 
da GNU (General Public License), e é escrito em linguagem Java, o que lhe 
permite estar disponível em várias plataformas. Foi criado por Markus 
Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula. O projeto foi 
iniciado em 2001, na Universität Salzburg, e tem prosseguido em 
desenvolvimento na Florida Atlantic University. (Wikipédia, 2016) 
O programa é uma ferramenta poderosa e muito prática de usar, intuitiva e 
simples, podendo ser utilizado em vários conteúdos matemáticos. O GeoGebra é 
muito utilizado na geometria, gráficos cartesianos, trigonometria, funções, etc..., e nas 
demonstrações visuais dos conteúdos expostos em sala de aula. Com esta finalidade e 
outras já apresentadas, podemos estar certos que o aprendizado desta ferramenta, 
pelos alunos, terá grande valor na construção dos conceitos matemáticos. 
 
Conteúdo sobre trigonometria, aulas expositivas e construção do círculo 
trigonométrico. 
A ideia principal era revisar o conteúdo de trigonometria circular antes de iniciar 
as aulas no laboratórios de informática, onde o conhecimento matemático dos alunos 
trazidos das aulas de matemática somam-se ao conteúdo desenvolvido no projeto, 
possibilitam a eles a construção do conhecimento através da manipulação do modelo 
virtual interativo e dinâmico. 
Partindo desta premissa foi desenvolvido o projeto com aulas expositivas e 
práticas com uso de material manipulativo na primeira aula, outras duas aulas em 
laboratório de informática para aplicarem os conhecimentos adquiridos na sala de 
aula. 
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 Asaulas expositivas foram dinâmicas e num formato mais informal deixando os 
alunos interagir de forma espontânea no decorrer das aulas. Esta possibilidade se deu 
devido ao número reduzido de alunos, se tratando de um projeto. A construção do 
círculo trigonométrico em papel milimetrado possibilitou a eles a manipulação e o 
entendimento do todo ao invés da disposição de conteúdos dispersos, que é mais 
comum num grupo maior. Verificou-se que houve maior interesse por parte deles no 
que se refere a participação. 
Desenhar é uma ação que pode auxiliar o aluno na organização e na 
interpretação dos mais variados conteúdos matemáticos. Para estimular esse tipo de 
ação na sala de aula é necessário que o professor tenha como ponto de partida 
conteúdos que facilitem esse tipo de experiência. 
Assim sendo, os alunos construíram o círculo trigonométrico (figura 1) que serviu 
como base para a construção virtual no GeoGebra. 
 
Figura 1 - Projeto em papel milimetrado dos alunos 
 
Figura 2 - Alunos em atividade 
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Figura 3 - Aula expositiva 
 
 Em análise ao trabalho, constatou-se que a manipulação do software 
GeoGebra, como atividade lúdica, representou, visivelmente, uma inovação nas aulas 
de matemática destas turmas do 2º ano. Os alunos, além de motivarem-se a 
desenvolver novas habilidades e capacidades, aprimoraram os seus conhecimentos 
referentes a trigonometria de uma forma intuitiva. É de relevante importância lembrar 
que a intuição é de essencial importância para a construção do pensamento 
matemático já que permite a elaboração de hipóteses, sendo esta o princípio da 
realização da pesquisa. 
 Finalizou-se o trabalho com a certeza de que o aprendizado foi proveitoso tanto 
para os alunos e como para o professor. O objetivo geral, que era a construção do 
conhecimento matemático através de um aplicativo que é desenvolvido para o ensino, 
foi atingido. Verificou-se assim que existem diversas maneiras tecnológicas de 
desenvolver conhecimento de forma dinâmica e prazerosa. Constatou-se que o uso do 
software GeoGebra em aulas de matemática apresenta resultados muito bons na 
aprendizagem. Então, pode-se concluir que o uso de recursos didáticos 
computacionais no ensino-aprendizagem da trigonometria e, também em outros 
conteúdos matemáticos, pode ser uma atraente opção para os professores da 
matemática. 
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Figura 4 - Círculo trigonométrico no GeoGebra 
 
Uso do Software GeoGebra 
As novas tecnologias ampliaram nossas possibilidades de criação. Hoje, podemos 
criar objetos com movimentos, em 2D e 3D e até imprimir objetos tridimensionais 
criados virtualmente. 
Nessa concepção, o uso da informática nas escolas torna-se importante e 
necessário para preparar o educando no domínio das tecnologias. De acordo com Lobo 
da Costa, 
O uso da tecnologia, e, em particular do computador na Educação 
pode ser considerado uma inovação e, como toda inovação, ela só 
será integrada à prática profissional após um processo longo de 
apropriação e de utilização frequente em situações diversificadas. 
(LOBO DA COSTA, 2010, p.93). 
Assim, iniciamos esta etapa do projeto onde foi desenvolvido conhecimentos 
relativos ao aplicativo GeoGebra na montagem do círculo trigonométrico interativo e 
dinâmico. 
Na segunda aula, no laboratório de mídias, os alunos assistiram dois vídeos. Um 
vídeo demonstrando os principais comandos e as funções das ferramentas, e outro, 
sobre como construir o círculo trigonométrico no GeoGebra. 
Posteriormente, os alunos foram para o laboratório de informática, onde deram 
continuidade do que aprenderam na manipulação das ferramentas, utilizando-se do 
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manual passo à passo e dando início ao desenvolvimento do conteúdo trigonométrico 
virtual. 
Os alunos conseguiram assimilar o conteúdo e fizeram o passo à passo sem 
grandes dificuldades, superando as expectativas do professor e as deles também. 
Sem que percebessem eles utilizaram o conhecimento adquirido nas aulas 
teóricas, e construíram o círculo identificando os componente, as medidas, os 
conceitos matemáticos envolvidos. 
Durante a execução desta atividade percebeu-se que os conceitos matemáticos 
foram sendo trabalhados individualmente pelos alunos, conforme a capacidade de 
cada um. A cada dificuldade encontrada por eles se apresentava uma possibilidade de 
um novo aprendizado. Com a intervenção do professor, no decorrer das atividades, 
tornava-se claro que é fundamental a condução do trabalho para um maior 
desenvolvimento do aprendizado. Enquanto, "brincavam no computador" os alunos se 
apropriavam de conceitos importantes para sua formação intelectual e prática. O 
objetivo de desenvolver conhecimentos matemáticos através do aplicativo GeoGebra 
foi para os alunos construírem uma maior relação com a trigonometria 
contextualizada, que é fundamental para a construção mental de novas formas e ideias 
praticáveis. 
Assim sendo, os alunos desenvolveram através do desenho trigonométrico no 
laboratório de informática habilidades que seriam muito difíceis de conseguirem em 
uma aula convencional. Portanto, foi visivelmente claro que houve um crescimento 
dos alunos com relação à criatividade na imaginação, diferente do que eles tinham no 
início do projeto. Percebeu-se que eles conseguiram interpretar o seu próprio desenho 
e o dos seus colegas, criando um círculo virtuoso de troca do saber. Este crescimento 
só foi possível, porque houve um grande envolvimento dos alunos com o trabalho 
proposto devido ao interesse deles pelas aulas de informática, que foi o principal 
atrativo. 
Discussão dos Resultados 
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 Os alunos mostraram-se receptivos e engajados no desenvolvimento do círculo 
trigonométrico. É importante destacar que nas aulas sobre o conteúdo matemático 
elas não tiveram a mesma dedicação, pois o principal objetivo deles era aprender o 
uso do software GeoGebra. Observou-se que mesmo com pouco interesse eles 
conseguiram assimilar boa parte do conteúdo geométrico e as noções necessárias para 
conseguirem desenvolver o modelo virtual. 
Nas aulas de laboratório de informática os alunos se apresentaram interessados 
e concentrados nas explicações do professor, demonstrando como é importante o 
trabalho didático diferenciado. Estar atento as necessidades dos alunos e pesquisar 
novas metodologias diferenciadas para transformar as práticas mais atrativas é 
essencial nos nossos dias, onde a tecnologias disputa espaço da atenção das crianças e 
jovem. Então, neste momento precisamos buscar inovar e a informática tem se 
apresentado como uma das melhores opções. Mas para que isso ocorra é fundamental 
que os governos e as escolas invistam em laboratórios de informática interligados a 
rede mundial de computadores (Internet), pois sem ela pouco pode ser feito de atual. 
Os alunos precisam estar conectados com o mundo da informação onde terão a 
oportunidade de ampliar seus conhecimentos e partilhar suas descobertas. Para isso o 
professor também precisa estar "antenado" com as novidades do mundo digital e com 
as novas tecnologias, para poder acompanhar os alunose poder transmitir novos 
conhecimentos a eles. 
 
Figura 5 - Laboratório de informática 
Os alunos compartilharam as informação, criando uma rede de transmissão do 
conhecimento, fazendo com que fosse criado novas ideias e expectativas em um 
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ambiente de troca e cooperação. Notou-se que eles, na maioria das vezes, resolviam 
as dúvidas com os próprios colegas, desenvolvendo novas capacidades cognitivas. 
Como salienta Hoffmann, 
Ao contrário da simples reprodução de procedimentos e do acúmulo 
de informações, é consenso que se deve possibilitar o 
desenvolvimento dos alunos de forma que eles possam construir 
capacidades de observação e análise, de estabelecimento de 
relações, de comunicação e argumentação e de validação e defesa de 
processos e ideias, além de estimular diferentes formas de raciocínio, 
intuição, indução e dedução e a estimativa. (HOFFMANN, 2006, p.7) 
Os resultados do projeto do Software GeoGebra foram significativos, pois o 
interesse dos alunos em participar das atividades foi bastante elevado, demonstrando 
que os alunos tem interesse em aprender, muito mais do que imaginamos, mas é claro 
que é preciso inovar nas práticas pedagógicas para envolver os alunos estimulando-os 
a participarem mais das atividades educativas. 
 
Figura 6 - Aluno em atividade 
 
Figura 7 - Círculo trigonométrico no GeoGebra 
Conclusão 
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A proposta apresentada neste artigo mostrou-se construtiva no resgate da 
autoestima e na apropriação do uso do software GeoGebra, principalmente, com 
relação ao aprendizado de matemática de forma mais prática e em suas aplicações. 
Mas o grande diferencial deste projeto foi a demonstração para os alunos das 
possibilidades de aplicação do conhecimento matemático em uma aplicação prática, 
dinâmica e interativa, pois é comum ouvir do alunos a pergunta: “Professor para que 
serve o círculo trigonométrico?”. Na construção desse modelo virtual os alunos 
puderam observar que a matemática está presente no cotidiano deles, muito mais do 
que eles imaginam. O uso dos conceitos trigonométricos são base de sua formação e 
que aprender isso passou a ser mais aceitável para eles. 
Contudo, o software GeoGebra mostrou-se uma ferramenta eficaz na 
construção do conhecimento dos conceitos matemáticos de forma descontraída e 
dinâmica. O aplicativo, foi desenvolvido para o ensino matemático, apresenta recursos 
que possibilitam várias utilizações no campo das exatas. 
O mais marcante neste projeto foi o envolvimento dos alunos com a proposta 
pedagógica aplicada. A participação era contagiante e os resultados foram além do 
esperado. As aulas eram prazerosas, divertidas e dinâmicas, onde aprender passou a 
ser mais atrativo. 
O aprendizado foi geral e com isso abriu novas ideias, não só para os alunos 
como também para o professor. Então, apresentou-se a ideia de aprimorar este 
projeto acrescentando mais conteúdos e ampliando-o em outros anos do ensino 
médio e/ou, ensino fundamental. 
 
Referências 
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Paulo: FTD, 2003. 
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COSTA L. DA, Nielce M. Reflexões sobre tecnologia e mediação pedagógica na formação do 
professor de matemática. In: BELINE, Willian; COSTA, Nielce M. L. da (Orgs.). Educação 
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Matemática, Tecnologia e Formação de Professores: algumas reflexões. Campo Mourão: Ed. da 
FECILCAM, 2010. Cap. 1, p. 85-116. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. Volume 2. Ensino Médio. São Paulo, 
2013. 
GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto e GIOVANNI JR, José Ruy – Matemática 
Fundamental: Uma Nova Abordagem – Volume Único - São Paulo – FTD, 2002. 
HOFFMANN, Daniela S. Aprendizagem e Desenvolvimento: Experiências Físicas e Lógica-
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Matemática funções trigonométricas - conceitos fundamentas. Disponível em: 
<http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/teoria/arcos_angs.ht
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MELLO, José Luiz Pastore. Matemática Construção e Significado. Volume Único. São Paulo - 
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Acesso em 28 de abril de 2016. 
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<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-trigonometrica.htm>. Acesso em 
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SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. Volume 2. 1. ed. - São Paulo : FTD, 2010. 
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Acesso em 06 de junho de 2016.https://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra