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I DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA DIAGRAMAS ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS ISABEL ALVIM TELES 12kN 14kN 9kNm 8 kN/m 5kN 10kN A B C D E F G HI I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 1/5 Diagramas de esforços DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIO Sem calcular previamente as reacções, determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M), em cada tramo da estrutura representada na figura. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis. RESOLUÇÃO CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS G HI 1.2 m 0.8 m 0.5 m 0.6 m 0.5 m 0.7 m 0.5 m 12 kN 14 kN 9kNm 8 kN/m 5 kN 10 kN A B C D E F d V e N V N + d V e N V N + I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 2/5 Diagramas de esforços DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL • Tramo CD ⇒−= ⇒= = recta kNm 10 (x) M nível de recta kN 10 (x) V 0 (x) N x CD = = = ⇒= 0 M kN 10 V 0 N 0)(x C C C C −= = = ⇒= kNm 6 M kN 10 V 0 N m) 0,60(x D D D D _______________________________________________________________________________________ • Tramo DE ⇒+= ⇒= ⇒= recta kNm 5 6 (x) M nível de recta kN 5 (x) V nível de recta kN 10 (x) N x DE = = = ⇒= kNm 6 M kN 5 V kN 10 N 0)(x D D D D = = = ⇒= kNm 10 M kN 5 V kN 10 N m) 0,80(x E E E E _______________________________________________________________________________________ • Tramo EB grau) (2º curva kNm 4 10 10 2 8 10 10 (x) M recta kN 8 10 (x) V nível de recta kN 5 (x) N 2 ⇒−−=−−= ⇒−−= ⇒= xxxxx xEB = −= = ⇒= kNm 10 M kN 10 V kN 5 N 0)(x E E E E −= −= = ⇒= kNm 5,84 M kN 18,8 V kN 5 N m) ,101(x B B B B Concavidade do diagrama de Momentos: 0 dx Md 2 2 ⇒< concavidade U Secção onde o momento é nulo: m 0,766 0 4 10 10 0 2 =⇒=−−⇒= xxxM _______________________________________________________________________________________ 10kN CD x de 5kN D E xe 10kN 6kNm d 8 kN/m BE x e d 10kN 5 kN 10kNm I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 3/5 Diagramas de esforços DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL • Tramo IH 0 (x) M 0 (x) V nível de recta kN 12 (x) N = = ⇒−= IH == == −== ⇒ 0 M M 0 V V kN 12 N N e H I H I H I HI _______________________________________________________________________________________ • Tramo HG recta kNm 12 (x) M nível de recta kN 12 (x) V nível de recta kN 14 (x) N ⇒−= ⇒= ⇒= x HG = = = ⇒= 0 M kN 12 V kN 14 N 0)(x H H H H kNm 6 M kN 12 V kN 14 N m) ,500(x G G G −= = = ⇒=G _______________________________________________________________________________________ • Tramo FG recta kNm 14 6 (x) M nível de recta kN 14 (x) V nível de recta kN 12 (x) N ⇒+−= ⇒−= ⇒= x FG −= −= = ⇒= kNm 6 M kN 14 V kN 12 N 0)(x G G G G kNm 1 M kN 14 V kN 12 N m) ,500(x F F F = −= = ⇒=F Secção onde o momento é nulo: m 0,429 0 14 6 0 =⇒=+−⇒= xxM _______________________________________________________________________________________ 14kN G H x e d12kN F G x de 14kN 12kN 6kNm d 12kN HI x e I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 4/5 Diagramas de esforços DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL • Tramo BF recta kNm 148 141 9 (x) M nível de recta kN 14 (x) V nível de recta kN 12 (x) N ⇒+−=++−= ⇒−= ⇒= xx BF −= −= = ⇒= kNm 8 M kN 14 V kN 12 N 0)(x F F F F kNm 8,1 M kN 14 V kN 12 N m) ,700(x B B B = −= = ⇒=B Secção onde o momento é nulo: m 0,571 0 14 8 0 =⇒=+−⇒= xxM _______________________________________________________________________________________ • Tramo AB recta kNm 7 7,64 7 1,8 5,84 (x) M nível de rectakN 7 512 (x) V nível de recta kN 4,8 18,8 14 (x) N ⇒−=−+= ⇒=−= ⇒−=−= xx AB = = −= ⇒= kNm 7,64 M kN 7 V kN 8,4 N 0)(x B B B B kNm 6,36 M kN 7 V kN 4,8 N m) 2(x A A A −= = −= ⇒=A Secção onde o momento é nulo: m 1,091 0 7 7,64 0 =⇒=−⇒= xxM _______________________________________________________________________________________ 9kNmB F x de 1kNm 14kN 12kN A B x e d 14kN18,8kN 12kN 5kN 5,84kNm 1,8kNm I ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES versão 0 5/5 Diagramas de esforços DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL + + + - + 5 kN 10 kN 12 kN 14 kN -12 kN -4 ,8 kN + + + + -- -14 kN 1 2 kN 5 kN 7 kN -18,8 kN -10 kN 10 kN + + + - - - - - - 0.766 m -6 6 10 M V N unidade: kN ESFORÇO AXIAL unidade: kN ESFORÇO TRANSVERSO unidade: kNm MOMENTO FLECTOR 0.571 m 0.429 m 1. 09 1 m -5,84 1,8 -8 1 -6 -6 7, 6 4 -6 ,3 6 c 10
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