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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
12kN
14kN
9kNm
8 kN/m
5kN
10kN
A
B
C
D
E
F
G
HI
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 
Sem calcular previamente as reacções, determine as expressões analíticas do esforço axial (N), 
esforço transverso (V) e momento flector (M), em cada tramo da estrutura representada na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G
HI
1.2 m
0.8 m
0.5 m
0.6 m 0.5 m 0.7 m 0.5 m
12 kN
14 kN
9kNm
8 kN/m
5 kN
10 kN
A
B
C
D
E
F
d
V
e
N
V
N +
d
V
e
N
V
N
+
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
• Tramo CD 
 






⇒−=
⇒=
=
recta kNm 10 (x) M 
 nível de recta kN 10 (x) V 
0 (x) N 
 
x
CD 
 
 






=
=
=
⇒=
 0 M 
kN 10 V 
0 N 
 0)(x 
C 
C 
C 
C 






−=
=
=
⇒=
 kNm 6 M 
kN 10 V 
0 N 
 m) 0,60(x 
D 
D 
D 
D 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo DE 
 






⇒+=
⇒=
⇒=
recta kNm 5 6 (x) M 
 nível de recta kN 5 (x) V 
 nível de recta kN 10 (x) N 
 
x
DE 
 
 






=
=
=
⇒=
 kNm 6 M 
kN 5 V 
kN 10 N 
 0)(x 
D 
D 
D 
D 






=
=
=
⇒=
 kNm 10 M 
kN 5 V 
kN 10 N 
 m) 0,80(x 
E 
E 
E 
E 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo EB 
 
 
grau) (2º curva kNm 4 10 10 
2
 8 10 10 (x) M 
 recta kN 8 10 (x) V 
 nível de recta kN 5 (x) N 
 
2






⇒−−=−−=
⇒−−=
⇒=
xxxxx
xEB
 
 






=
−=
=
⇒=
 kNm 10 M 
kN 10 V 
kN 5 N 
 0)(x 
E 
E 
E 
E 






−=
−=
=
⇒=
kNm 5,84 M 
kN 18,8 V 
kN 5 N 
 m) ,101(x 
B 
B 
B 
B 
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
dx
Md
2 
 
2 
⇒< concavidade U 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,766 0 4 10 10 0 2 =⇒=−−⇒= xxxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
10kN
CD
x
de
5kN D
E
xe
10kN
6kNm
d
8 kN/m
BE
x
e d
10kN
5 kN
10kNm
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
• Tramo IH 
 
 
0 (x) M 
 0 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 






=
=
⇒−=
IH 
 
 






==
==
−==
⇒
 0 M M 
0 V V 
kN 12 N N 
 e 
H I 
H I 
H I 
HI 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo HG 
 
 
recta kNm 12 (x) M 
 nível de recta kN 12 (x) V 
 nível de recta kN 14 (x) N 
 






⇒−=
⇒=
⇒=
x
HG 
 
 






=
=
=
⇒=
 0 M 
kN 12 V 
kN 14 N 
 0)(x 
H 
H 
H 
H 
kNm 6 M 
kN 12 V 
kN 14 N 
 m) ,500(x 
G 
G 
G 






−=
=
=
⇒=G 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo FG 
 
 
recta kNm 14 6 (x) M 
 nível de recta kN 14 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 






⇒+−=
⇒−=
⇒=
x
FG 
 
 






−=
−=
=
⇒=
 kNm 6 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 0)(x 
G 
G 
G 
G 
kNm 1 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 m) ,500(x 
F 
F 
F 






=
−=
=
⇒=F 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,429 0 14 6 0 =⇒=+−⇒= xxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
14kN
G
H
x
e
d12kN
F G
x
de
14kN
12kN
6kNm
d
12kN HI
x
e
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
• Tramo BF 
 
 
recta kNm 148 141 9 (x) M 
 nível de recta kN 14 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 






⇒+−=++−=
⇒−=
⇒=
xx
BF 
 
 






−=
−=
=
⇒=
 kNm 8 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 0)(x 
F 
F 
F 
F 
kNm 8,1 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 m) ,700(x 
B 
B 
B 






=
−=
=
⇒=B 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,571 0 14 8 0 =⇒=+−⇒= xxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo AB 
 
 
recta kNm 7 7,64 7 1,8 5,84 (x) M 
 nível de rectakN 7 512 (x) V 
 nível de recta kN 4,8 18,8 14 (x) N 
 






⇒−=−+=
⇒=−=
⇒−=−=
xx
AB 
 
 






=
=
−=
⇒=
 kNm 7,64 M 
kN 7 V 
kN 8,4 N 
 0)(x 
B 
B 
B 
B 
kNm 6,36 M 
kN 7 V 
kN 4,8 N 
 m) 2(x 
A 
A 
A 






−=
=
−=
⇒=A 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 1,091 0 7 7,64 0 =⇒=−⇒= xxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
9kNmB F
x
de
1kNm
14kN
12kN
A
B
x
e
d
14kN18,8kN
12kN
5kN
5,84kNm
1,8kNm
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
+
+
-
+
5 kN
10
kN
12 kN
14
kN
-12 kN
-4
,8
kN
+
+
+
+
--
-14 kN
1
2
kN
5
kN
7
kN
-18,8 kN
-10 kN
10 kN
+
+
+
-
- - -
-
-
0.766 m
-6
6
10
M
V
N
unidade: kN
ESFORÇO AXIAL
unidade: kN
ESFORÇO TRANSVERSO
unidade: kNm
MOMENTO FLECTOR
0.571 m
0.429 m
1.
09
1 
m
-5,84
1,8
-8
1
-6
-6
7,
6
4
-6
,3
6
c
10

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