Geometria analitica

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 01 
PROF° Ronald Santana 
Noções básicas de Geometria Euclidiana Plana. Vetores. 
Vetores no R2 e R3. Produto de Vetores. Estudo da Reta. Estudo 
do Plano. Distâncias. Noções de cônicas e superfícies quádricas. 
• [...] a Matemática procura compreender os modelos que 
permeiam o mundo que nos rodeia assim como a mente 
dentro de nós. 
• [...] Assim é necessário colocar a ênfase: 
• — em procurar soluções e não apenas em memorizar 
procedimentos; 
• — em explorar modelos e não apenas em memorizar fórmulas; 
• — em formular conjecturas e não apenas em fazer exercícios. 
• [...] com essas ênfases, os estudantes terão a oportunidade de 
estudar a Matemática como uma disciplina exploradora, 
dinâmica, que se desenvolve, em lugar de ser uma disciplina 
que tem um corpo rígido, absoluto, fechado, cheio de regras 
que precisam ser memorizadas. 
• Schoenfeld (1992) 
• As técnicas da Geometria Analítica desempenham um 
papel fundamental ainda hoje, por exemplo, no 
desenvolvimento da Computação Gráfica. As telas dos nossos 
computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano 
com um número finito de pontos, que é sempre mencionado 
quando escolhemos a configuração da tela. Aumentando o 
número de pontos, melhoramos a qualidade da imagem do 
monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas 
utilizações de recursos de imagens, como na tomografia ou na 
localização por satélite, essa organização é fundamental para 
uma interpretação precisa dos resultados obtidos. 
• Schoenfeld (1992) 
Livros-Textos: 
1. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.. Geometria Analítica, 2a ed. 
São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. 
2. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 1a ed. São 
Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 2000. 
 
Livros Complementares: 
1. BOULOS, P. Introdução à Geometria Analítica no espaço. São 
Paulo: PEARSON EDUCATION DO BRASIL, 1997. 
2. CAMARGO, I.; BOULOS, P.. Geometria Analítica, um tratamento 
vetorial, 3a ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. 
ATENÇÃO!!! 
 
 
 
Este material não deve ser utilizado como 
material de estudo, ele é apenas um guia para o 
acompanhamento das aulas. É imprescindível 
que o aluno utilize a bibliografia sugerida. 
 
Aula 01 
VETORES 
 
Noções Básicas de Geometria Euclidiana Plana. 
 Grandezas Físicas Escalares: 
 São aquelas que ficam completamente definidas por 
apenas um número real (acompanhado de uma unidade). 
 Exemplos: Comprimento, massa, temperatura, volume, área, 
densidade... 
 
 Grandezas Físicas Vetoriais: 
 São aquelas que além de definidas por um número real, 
é necessário conhecer a sua direção e o seu sentido. 
 Exemplos: Força, velocidade, aceleração... 
VETORES 
 Para vocês, estudantes ... 
 É consenso que pessoas como vocês, que 
futuramente vão atuar em algum área ligada às ciências, 
devem adquirir noções básicas de Matemática e – mais 
do que isso – devem desenvolver a habilidade de 
resolver problemas com ferramentas da matemática. 
 A noção de Vetor é básica em Matemática. 
O que é um Vetor? 
“É um ente matemático representado por um 
segmento de reta orientado”. 
Módulo 
Sentido 
Direção da 
Reta Suporte 
 Módulo 
 Direção 
 Sentido 
V
 É o comprimento do segmento que define o 
vetor. É também chamado de Norma ou 
Comprimento do vetor. 
 
 Indica-se por: ou v. 
V
B A 
r2 
r1 
r3 
 Direção = graus 
S 
O L 
N 
A 
B 
40° 
• Módulo do vetor - | | ou V = 4 unidades 
 
 
• Direção do vetor - Horizontal 
 
 
• Sentido do vetor - P/ direita (leste) 
 
V
V
A 
v
B 
45° 
• Módulo do vetor - 
V = 5 unidades 
 
• Direção do vetor - 
45° com a horizontal 
 
• Sentido do vetor - 
Nordeste 
 Vetores Iguais ou Equipolentes 
 Vetores Opostos ou Simétricos 
 Vetor Nulo 
 Vetor Unitário (VERSOR) 
 Vetores Paralelos e Ortogonais 
 Vetores Coplanares 
D C 
B 
F E 
H G 
A 
Exemplos: 
Exercício: 
• Decida se as afirmações abaixo são falsas ou 
verdadeiras e justifique a sua resposta. 
 
a) Vetores paralelos podem ter projeções 
colineares? 
 
b) Dois vetores podem ser não-coplanares? 
 
c) Também para vetores é necessário distinguir 
as palavras “Perpendicular” e “Ortogonal”? 
a) Vetores paralelos podem ter projeções 
colineares? 
Resp.: Verdadeiro - As projeções dos vetores 
paralelos podem ser colineares. 
 
b) Dois vetores podem ser não-coplanares? 
Resp.: Verdadeiro - Dois vetores podem ser não-
coplanares. Neste caso, alguns autores chamam 
de vetores reversos. 
Resolução: 
c) Também para vetores é necessário distinguir as 
palavras “Perpendicular” e “Ortogonal”? 
 
Resp.: Verdadeiro - A diferença é que dois vetores 
que têm projeções perpendiculares são 
ortogonais. Só serão perpendiculares se eles se 
tiverem um ponto comum. Desta forma, tem-se 
que todos os vetores perpendiculares serão 
sempre ortogonais, mas nem todos os vetores 
ortogonais serão, necessariamente, 
perpendiculares! 
 O ângulo entre os 
vetores não-nulos é o 
ângulo formado por duas 
semi-retas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 de 
mesma origem 𝑂 e que 
dão direção aos 
mesmos. 
B 
A 
O 

u
v
0 ≤ θ ≤ π 
Se θ = 0 
 
 
θ = 0 • Mesma direção 
• Mesmo sentido 
Se θ = π 
 
 
θ = π • Mesma direção 
• Sentidos opostos 
θ = π /2 
 
u 
v 
Propriedades dos 
Vetores Ortogonais: 
1. |𝑢 + 𝑣 |2 = |𝑢|2 + |𝑣 |2 
2. Se 𝑢 é ortogonal a 𝑣 , 𝑢 também é ortogonal a um 
múltiplo de 𝑣 ; 
u

v

Método do Triângulo: 
u

v

vu


u

v

uv


u

v

u
 v

vu


Onde θ é o ângulo entre d1 e d2 
 cos.d.ddddS 21
2
2
2
1 2
d1 
d2 
A) Se os dois vetores possuem a mesma direção e o mesmo 
sentido (θ = 0°), têm-se: 
 
 
 
B) Se os dois vetores possuem a mesma direção e sentidos 
opostos (θ = 180°), têm-se: 
 
 
 
C) Se os dois vetores são perpendiculares entre si (θ = 90°), têm-
se: 
21 ddd 
21 ddd  2
2
2
1
2 ddd 
O módulo do vetor diferença é dado por: 
 
 cos.d.ddddD 21
2
2
2
1 2
 O vetor diferença é obtido de modo análogo 
ao vetor soma; basta fazer a soma do primeiro 
vetor com o oposto do segundo vetor, ou seja: 
 d = d1 + ( - d2 ) 
 
Propriedade Comutativa 
• Propriedade Associativa 
   wuvwvu


u

v

vu


w

  wvu

 u

v

wv


w

 wvu


• Elemento Neutro 
vovvo


• Elemento Simétrico 
ovvvv

 )()(
Nota: 
O vetor nulo 
tem direção e 
sentido 
indeterminados 
Sejam dois vetores 𝑢 = (𝑥𝑢 , 𝑦𝑢) e 𝑣 = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) , a 
operação da soma e da subtração está definida 
algebricamente por: 
Soma Vetorial (método algébrico): 
   
 
:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
Soma
u v x y x y
x x y y
  
  
   
 
Subtração:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
u v x y x y
x x y y
  
  
Exemplo: Dados os vetores u, v e w, e sabendo 
que: 
 u = (4 , 0); 
 v = (4 , 4); 
 w = (4 ,-8); 
 
Obtenha graficamente o vetor S, onde: 
 
S = u + v + w 
Soma Vetorial (método gráfico): 
 u = (4,0) 
4 
4 4 
-8 
-4 
12 
Considere o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 
extremidade em 𝐵(𝑥2, 𝑦2).),(
),(),(
),(
),(
1212
1122
22
11
yyxxAB
yxyxAB
OAOBAB
OBABOA
yxOB
yxOA






B
A
O
:Isto é AB B A 
x
y
Seja um segmento orientado de 
origem no ponto A e extremidade 
no ponto B: 
Este vetor é representado por 𝐴𝐵 ou 𝐴𝐵 ou 𝑣 : 
 
 
 
 
O módulo de AB é representado por 𝐴𝐵 ou |𝑣 | e 
calculado por: 
v 
A(xA,yA) 
B(xB,yB) 
      , , ,B B A A B A B A
v AB B A
v x y x y x x y y
  
    
     
2 2
,B A B A B A B Av x x y y x x y y      
Exemplo: Dados os pontos 𝐴(2, 3) e 𝐵(5, 7) , 
obtenha um vetor 𝑣 formado por 𝐴𝐵 . Calcule o 
módulo de 𝑣 . 
( 2 , 3 )
( 5 , 7 )
( 5 , 7 ) ( 2 , 3 ) ( 5 2 , 7 3 )
( 3 , 4 )
A
B
v AB B A
v
v
  
    

2 2
( 3 , 4 )
3 4
9 16 25
5
v
v
v
v

 
  

Se tiver: 
𝒗 = 𝑨𝑩 ou 𝒗 = 𝑩 − 𝑨 
Pode-se também concluir que: 
𝑩 = 𝑨 + 𝒗 ou 𝐁 = 𝐀 + 𝑨𝑩 
Isto é, o vetor 𝑣 “transporta” o ponto inicial 𝐴 
para o ponto extremo 𝐵. 
Constatação: 
 P = 5V ANTES DEPOIS 
MÓDULO 1 unidade 5 unidades 
DIREÇÃO Horizontal Horizontal 
SENTIDO P/ direita P/ direita 
 P = - 5V ANTES DEPOIS 
MÓDULO 1 unidade 5 unidades 
DIREÇÃO Horizontal Horizontal 
SENTIDO P/ direita P/ esquerda 
-5V 5V 
Multiplicação de um Vetor por um Escalar: 
 
Produto de um número k por um vetor 𝑣 é um 
vetor com: 
 
• a mesma direção de 𝑣 . 
 
• a norma = |𝑘| ∙ | 𝑣 | 
 
• sentido = 𝑑𝑒 𝑣 𝑠𝑒 𝑘 > 0
𝑑𝑒 −𝑣 𝑠𝑒 𝑘 < 0
 
 
• Se 𝑘 = 0 ou 𝑣 = 0 então 𝑘 ∙ 𝑣 = 0. 
 
u

u

2
u

3
u

2
u

2
1

Seja um vetor 𝑣 = (xv , yv), é possível obter um 
vetor 𝑤, múltiplo de 𝑣 , usando a propriedade da 
multiplicação por escalar: 
Multiplicação por Escalar: 
 
 
 
Seja n R:
 
 , onde:
 ,
 ,
w v
w w
w vv v
v v
w n v x n x
w x y
y n yn x y
n x n y

   
  
   
  
i

j

Para multiplicar um vetor por um 
número, multiplica-se esse número 
pelas coordenadas v
 
   6,92,333
2,3
v
v


3 9 
2 
6 
Exemplo: 
 “Qualquer vetor 𝑤 contido em um plano 
poderá ser decomposto em qualquer 
conjunto de dois vetores não colineares 
contidos no mesmo plano ”. 
v 
u 
w 
n·u 
Projeção de 𝑤 sobre 𝑢 
Projeção de 𝑤 sobre 𝑣 
m·v 
𝑤 = n· 𝑢 + m· 𝑣 
Os componentes de um vetor significa: que os dois vetores 
componentes atuando nas direções x e y podem substituir o 
vetor, produzindo o mesmo efeito. 
  Componente vertical do 
vetor d na direção Y: 
 Componente horizontal 
do vetor d na direção X: 
 
dY = d. sen Θ 
dX = d. cos Θ 
dX 
dY 
 d 
O vetor unitário ou VERSOR é um vetor de módulo unitário. 
Deve-se associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor 𝑖 no 
eixo dos x e o versor 𝑗 no eixo dos y, conforme figura abaixo: 
 
O par ordenado de versores 
(𝑖 , 𝑗 ) constitui o que se chama de Base 
Canônica do plano 𝑅2, ou seja, base do 
plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦. 
 
(1,0)
(0,1)
i
j
 


j
i
y
x
Dado um vetor 𝑣 qualquer do plano, existe uma só 
dupla de números 𝑥 e 𝑦 tal que: 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
 
 
 
jy
ix
j
i
o
y
x
v
 O vetor 𝑣 será também 
representado por: 𝑣 = (𝑥, 𝑦) 
 
 O par (𝑥, 𝑦) é chamado 
expressão analítica de 𝑣 . 
 Exemplos: 
3𝑖 − 5𝑗 = 3,−5 
3𝑗 = 0,3 
−4𝑖 = (−4,0) 
 
Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e 
somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, e escreve-se: 
𝒖 = 𝒗 
Exemplo: 
O vetor 𝑢 = (𝑥 + 1,4) é igual ao vetor 𝑣 = (5,2𝑦 − 6) 
determine 𝑥 e 𝑦. 
Resolução: • 𝑥 + 1 = 5 ► 𝒙 = 𝟒 
• 2𝑦 – 6 = 4 ► 2𝑦 = 10 ► 𝒚 = 𝟓 
“Todos os estudos feitos no espaço (𝑹𝟑) é análogo ao 
estudo realizando no plano (𝑹𝟐), considerando as 
devidas adequações”. 
No espaço, qualquer conjunto {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} de 3 vetores 
NÃO COPLANARES e NÃO COLINEARES entre si é 
uma base para o 𝑹𝟑. 
𝒕 = k· 𝑢 + m· 𝑣 + n· 𝑤 
 É um sistema cartesiano triortogonal composto por 
três eixos que apresentam a mesma origem, e dois 
perpendiculares (Base Canônica do plano 𝑹𝟑). Pode-se 
substituir i, j e k, respectivamente pelos versores dos 
eixos Ox, Oy e Oz. 
 
 Esquematicamente tem-se: 
 
 
 
x 
j 
i 
( 1, 0, 0) y 
z 
k 
( 0, 1, 0) 
( 0, 0, 1) 
β
𝑹
𝟑 = { 𝒊 , 𝒋, 𝒌
 
} 
𝑣 = (x, y, z) 
Ordenada 
Abscissa 
Cota 
       
     
 
 
 
 
 , , ,0,0 0, ,0 0,0, 
1,0,0
 1,0,0 0,1,0 0,0,1 : 0,1,0
0,0,1
 , , 
v x y z x y z
i
x y z mas j
k
v x y z x i y j z k
   
 

      


      
IMPORTANTE 
No espaço (𝑹𝟑), dois vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) 
e 𝑣 = (x2, y2, z2) são paralelos entre si, se e 
somente se: 
 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
 
PROPRIEDADES DOS VETORES 
Dados os vetores u, v e w e as constantes 
m, n ∈ ℝ, temos: 
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
3. 𝑢 + 0 = 𝑢 
4. 𝑢 + −𝑢 = 0 
5. 𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑣 = (𝑚 ∙ 𝑛) ∙ 𝑣 
6. 𝑚 + 𝑛 𝑣 = 𝑚𝑣 + 𝑛𝑣 
7. 𝑛 𝑢 + 𝑣 = 𝑛𝑢 + 𝑛𝑣 
Exemplo: Determine os valores de 𝑚 e 𝑛 para que os 
vetores sejam paralelos : 
 𝑢 = (𝑚 + 1, 3, 1) e 𝑣 = (4, 2, 2𝑛 − 1) 
 // :
1 3 1
4 2 2 1
1 3
1 6 5
4 2
 2 5
1 3 2 1 
3 6
2 1 2
Se u v
m
n
m
m m
n n
n

 


   

    
 
Solução: 
u

u


B 
BuA 

uAB


A soma de um ponto 
com um vetor é um ponto. 
A diferença de dois 
 pontos é um vetor. ABAB 

A 
i

j

BvA 

A(-2,-2) 
B(4,1) 
A soma de um ponto com um 
vetor é um ponto 
     1,43,62,2 BvA 

Para somar um ponto com um vetor, 
somam-se as respectivas coordenadas 
     1,43,62,2 
v

i

j

B A v 
A(-2,-2) 
B(4,1) 
A diferença de dois pontos é 
um vetor 
   2,21,4  ABAB
   4 2, 1 2 6,3v    
v

i

j

vuw


A adição de dois vetores numa base 
   5,1 2,3w u v 
 3,2v

 1,5u

     5,1 2,3 7,4w   
Para somar dois vetores, basta 
somar ordenadamente as 
coordenadas 
O Tratamento 
Algébrico 
t
z
w
u
xu
xt
xz
xw
yu
yz
yw
yt
Exercícios: 
01. Determine os vetores abaixo expressando-os com 
origem no ponto A: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
x AB BE 
y AC CJ 
z AD EG 
w AF BD 
x 
y z w 
02. Dados três pontos A, B e C não-colineares, como na 
figura abaixo, representar o vetor 𝑥 nos casos. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
BCBAx 2
BCABx 23 
CBABx 2
2
1

C 
B 
A 
Resolução: 
 
a) 
 
BCBAx 2
C 
B 
A 
 
b) 
 
C 
B 
A 
BCABx 23 
 
c) 
 
C 
B 
A 
CBABx 2
2
1

03. Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 da figura, mostre em um 
gráfico, um representante do vetor: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
uv 2
vu 
vu 32 
v
u
04. Determine os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
CHOC
AFAE 22 
OCOE 22 
EHBC 
21
05. Dados os vetores e , 
determinar: 
 
a) 
 
b) 
)3,2( u )4,1(v
vu 23 
vu 23 
06. Determinar o vetor na igualdade: 
 
 
Sendo : e 
 
07. Encontrar os números a1 e a2 tais que: 
 , sendo: 
 
 
(3, 1)u  
x
xvux 
2
1
23
( 2, 4)v  
1 21 2v a v a v 
(10, 2)v 
1 (3, 5)v 
2 ( 1, 2)v  
08. Dados os pontos A (-1, 2), B (3, -1) e 
C (-2, 4), determinar o ponto D de modo 
que: 
 
 
09. Dados os pontos A (2, -1), B (-1, 4) e os 
vetores e . 
Determinar: 
 
a) A + . b) B + . c) . 
 
d) A distância entre os pontos A e B. 
 
1
2
CD AB
( 1, 3)u  
u vu 32 
( 2, 1)v   
v
10. Determine o vetor 𝑤 = (x, y, z) para que a 
igualdade 3𝑤 + 2 𝑢 = 4 𝑣 – 𝑤 seja satisfeita, 
sabendo que 𝑢 = (3, -1, 0) e 𝑣 = (-2, 4, 1). 
 
 
 
 
 
 
3 , 1 , 0 2 6 , 2 , 0
 
4 8 , 16 , 42 , 4 , 1
 3 2 4
 3 4 2
u u
vv
w u v w
w w v u
   
 
   
  
  
   
 
 
4 8 , 16 , 4 6 , 2 , 0
4 14 , 18 , 4
1
14 , 18 , 4
4
7 9
 , , 1 
2 2
w
w
w
w
   
 
 
 
  
 
 Existem duas formas de multiplicar um 
vetor por um vetor: uma forma (conhecida 
como produto escalar) resulta em um 
escalar; a outra (conhecida como produto 
vetorial) resulta em um vetor. 
 
 
 
Assuntos do próximo encontro!