Eletromagnetismo 1 - Capítulo 06 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs

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Eletromagnetismo - Parte II
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco
 
1a. Edição - Versão 1.0: 16/03/2011 
Versão Atual - 1.9: 22/05/2013
 
 
 
 
Recife, 2011/2012/2013
 
Copyright by Eduardo Fontana 2011/2012/2013
Índice
Capítulo 6 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs. de Maxwell
6.1 Lei de Faraday e aplicações
6.2 Energia magnética
6.3 Indutância
6.4 Corrente de Deslocamento
6.5 Eqs. de Maxwell
6.5.1 Formulações diferencial e integral
6.5.2 Condições de contorno
6.6 Teorema de Poynting
Problemas
Capítulo 6 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs. de Maxwell
6.1 Lei de Faraday e aplicações
 
Pouco mais de uma década após a descoberta de Oersted relacionada à produção de efeitos magnéticos por
correntes elétricas, o inglês Michael Faraday, no início do século 19, teve a curiosidade de realizar experimentos que
pudessem resultar no efeito inverso, ou seja, a produção de uma corrente elétrica a partir da aplicação de um campo
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magnético. Realizou assim vários experimentos, que consistiam basicamente em circular corrente em uma bobina,
produzindo assim um campo magnético e verificar se uma corrente elétrica poderia ser induzida em uma outra bobina
colocada nas proximidades da primeira.
 
Experimentos com bobinas concêntricas, conforme ilustrado na Fig.6.1, entre outras configurações, foram
concebidos, e em nenhum destes, Faraday pôde confirmar a geração de corrente elétrica a partir de um campo magnético.
Observou, no entanto, a perturbação na agulha magnética de seu galvanômetro apenas durante os breves intervalos de
tempo em que ligava e desligava a bobina alimentada por sua bateria. Estava assim Faraday diante de uma das grandes
descobertas da humanidade que, propriamente interpretada, implicaria no efeito bem estabelecido atualmente, de um
campo magnético variante no tempo induzir, em sua vizinhança, um campo elétrico.
Fig. 6.1 – Ilustração de um dos experimentos de Faraday com bobinas concêntricas. A bateria
alimenta a bobina A e na ocorrência de uma corrente induzida na bobina B, ocorre uma pequena
deflexão na agulha magnética do galvanômetro C.
 
 
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Esse efeito também foi demonstrado simultaneamente e independentemente por Joseph Henry nos Estados Unidos e
por isso é também denominado por alguns autores de lei de Faraday-Henry. Neste texto, será adotada a terminologia lei de
Faraday, mais comumente utilizada pela maioria dos autores. A lei de Faraday estabelece que uma força eletromotriz é
gerada em um circuito elétrico fechado submetido a um fluxo magnético variável no tempo. 
 
 A lei de Faraday, pode ser expressa em termos das grandezas de campo, com base na Fig. 6.2. O caminho C
delimita a área aberta S. O caminho é orientado de acordo com a regra da mão direita, de forma que a normal à superfície é
orientada no sentido do polegar,
 
Fig. 6.2 – Configuração de circuito para a lei de Faraday.
 
relativamente ao sentido do percurso C, simulado pela mão direita. A fem induzida no circuito é definida como o trabalho
que seria realizado pela força elétrica do campo induzido para transportar uma carga de teste no percurso C mostrado na
Fig. 6.2, por unidade de carga, i.e.,
 
 , (6.1)
 
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em que representa o campo elétrico no elemento dl do caminho C.[1] O fluxo enlaçado pelo caminho fechado C é dado
por
 
 , (6.2)
com representando o vetor densidade de fluxo magnético aplicado ao circuito. A lei de Faraday pode ser escrita na
forma
 
 . (6.3)
ou equivalentemente,
 
 . (6.4)
 
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 O sinal negativo nas Eqs. (6.3) e (6.4) implica que uma corrente i seria observada no sentido indicado na Fig. 6.3,
se houvesse uma taxa de variação positiva do fluxo magnético Ψ no sentido indicado na figura. É importante observar que
nessas condições, a corrente no circuito produziria um fluxo magnético induzido Ψind, no sentido oposto àquele do fluxo
Ψ. Isso é na realidade conseqüência da lei de Lenz. O campo induzido se opõe ao aumento do campo aplicado, de forma
que a energia do sistema não tenda a aumentar espontaneamente. 
 Esse princípio pode ser melhor elucidado com base na Fig. 6.4. Uma barra magnetizada com o pólo norte do lado
esquerdo da Fig. 6.3 (a), ao se aproximar de um circuito fechado, induz uma circulação de corrente que produz um campo
magnético orientado para a direita. Isso equivale, como ilustrado na Fig. 6.3 (b) a um dipolo induzido com o pólo norte no
lado direito. Isso produziria uma repulsão entre pólos, ou seja, o campo induzido tende a impedir a aproximação da barra
magnetizada. Alternativamente, se a barra fosse movida para a direita, a corrente induzida no circuito produziria um campo
cujo pólo sul estaria agora do lado direito, o que resultaria em uma atração entre os pólos de forma a impedir o afastamento
da barra magnética. 
 
Fig. 6.3 – Orientação da corrente induzida em um circuito, conforme previsto pela lei de Lenz
 
 
 
 
Fig. 6.4 – Ilustração da lei de Faraday para uma barra magnética interagindo com um circuito fechado.
 
 
 
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 É importante observar que a derivada temporal no segundo membro da lei de Faraday pode ocorrer tanto devido ao
 
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deslocamento do caminho de integração, caso em que o caminho corresponde a um circuito físico, ou devido a variações
no tempo do campo . Para levar em conta essas duas situações, considere-se que o circuito esteja se movendo no espaço
com velocidade constante , conforme ilustrado na Fig. 6.5. O segundo membro da Eq.(6.4) pode ser escrito na forma, (6.5)
 
 
uma vez que o elemento de área dS não depende da velocidade do circuito. O termo entre parêntesis da expressão anterior
pode ser posto na forma
 (6.6)
 
em que o símbolo de somatório foi omitido para simplificar o desenvolvimento. Da Eq.(6.6), tem-se, como decorrência da
regra da cadeia,
 
 ,
 
ou equivalentemente
 
 
ou ainda
 
 ,
donde
 
 
 
 
Inserindo essa última expressão no segundo membro da Eq.(6.4) resulta em
 
 . (6.7)
 
 
Fig. 6.5 Aplicação da lei de Faraday para um circuito em movimento.
 
A Eq.(6.7) pode ser colocada em uma forma diretamente interpretável com o emprego da identidade vetorial
 
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 . (6.8)
 
Fazendo , e notando que é constante e o vetor densidade de fluxo magnético tem divergência nula, a Eq.
(6.8) reduz-se a
 
 . (6.9)
 
 
Comparando-se as Eqs.(6.7) e (6.9) pode-se escrever
 
 . (6.10)
 
Aplicando-se o teorema de Stokes no primeiro termo do segundo membro da Eq. (6.10) obtém-se
 
 
 (6.11)
 
e a lei de Faraday assume a forma
 
 . (6.12)
 
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 O primeiro termo da Eq.(6.12) corresponde à força magnética por unidade de carga que atua em portadores de carga
livres no circuito em movimento. Isso porquê uma carga q sendo transportada com velocidade juntamente com o circuito
experimenta uma força magnética dada por
 
 . (6.13)
 
Sob ação dessa força, a carga q circula no circuito dando origem a uma corrente elétrica ou equivalentemente, tudo se passa
como se a carga estivesse sob a ação de uma força eletromotriz dada pelo primeiro termo do segundo membro da Eq.
(6.12). Note-se que esse resultado seria previsto, independentemente da lei de Faraday, ou seja, é um resultado esperado
como conseqüência da interação entre cargas em movimento e um campo de origem magnética. O segundo termo da Eq.
(6.12) é a contribuição para a força eletromotriz, decorrente das variações no tempo do campo .
 
 
 A lei de Faraday não requer a existência de um circuito para que o efeito de indução ocorra. Na ausência de um
circuito físico, o que a lei de Faraday prevê é a geração de um campo elétrico no espaço pela ação de um campo magnético
variante no tempo. Assim, se os vetores campo elétrico e densidade de fluxo magnético são observados no sistema de
coordenadas do laboratório, a Eq.(6.5) pode ser posta na forma
 
 . (6.14)
 
Aplicando o teorema de Stokes no primeiro membro e rearranjando vem
 
 .
 
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A expressão anterior é valida sobre qualquer área de integração S. Em particular se a área for diferencial, i.e., , a
expressão anterior reduz-se a
 
 .
Uma vez que essa expressão é válida independentemente da orientação do vetor , o termo entre parêntesis tem de ser
nulo, o que leva a
 
 , (6.15)
 
que é a forma diferencial da lei de Faraday.
 
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 Em resumo, na presença de um campo magnético variante no tempo, o campo elétrico não é mais conservativo, i.e.,
tem circulação não nula, diferentemente do que se observa no regime estático, ou equivalentemente, tem rotacional não
nulo Há assim uma conexão entre as grandezas elétrica e magnética. O rotational do campo elétrico em cada ponto do
espaço é dado, a menos do sinal, pela derivada temporal do vetor densidade de fluxo magnético. As implicações da Eq.
(6.15) serão analisadas no Capítulo 7.
 
 
6.2 Energia magnética
 
 Voltando a discussão um pouco para o regime de campos estáticos, uma questão ainda não analisada é aquela
relacionada à energia armazenada no campo magnético. Essa questão ficou em aberto no Capítulo 5, pois o processo que
leva ao estabelecimento de um estado final de distribuição de corrente em uma região do espaço, que leva à existência de
um campo magnético na vizinhança dessa distribuição, ocorre perante variações do fluxo enlaçado pelo circuito de
corrente. Essas variações produzem fem induzida no circuito de corrente, conforme previsto pela lei de Faraday. 
 
 Considere-se, por exemplo, a situação ilustrada na Fig. 6.6, em que uma corrente I é mantida no circuito alimentado
por uma fonte de tensão V0
Fig.6.6 – Circuito elétrico em que circula corrente I alimentado por tensão V0.
 
 Se o estado do circuito é atingido a partir de um valor inicial de corrente, há de se considerar que qualquer
incremento de corrente produz uma variação de fluxo magnético e conseqüente fem induzida. Essa fem induzida tende a
produzir uma corrente de reação. Para que o circuito mantenha a mesma corrente, é necessário que haja um ajuste na tensão
aplicada. Se há uma variação de fluxo enlaçado pelo circuito, então
 
 
 
é a fem adicional que aparece no circuito. Ou seja, a tensão efetivamente que surge no circuito é
 
 
 Para que a corrente retorne ao valor original, a fonte tem de suprir uma tensão adicional
 
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 ,
 
e a tensão se torna
 
 ,
 
e a potência suprida pela fonte para manter a corrente é
 
 ,
 
ou equivalentemente. (6.16)
 
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 Com essa expressão básica é possível determinar o trabalho necessário ao estabelecimento de um estado final de
distribuição de corrente e correspondente campo .
 Seja portanto a determinação da energia W, no volume V cuja corrente esteja distribuída com densidade ,
conforme ilustrado na Fig. 6.7a. Admite-se que a distribuição é estacionária e permanece estacionária durante o seu
processo de formação, ou seja, no regime quase-estático. Como a corrente é sempre estacionária, as linhas do vetor são
linhas fechadas, uma vez que . Pode-se subdividir o volume em N micro-circuitos fechados, um dos quais está
ilustrado na Fig. 6.7b. Um dado micro-circuito em que flui uma porção de corrente contribui, de acordo com a Eq.(6.16),
no tempo , com uma variação de energia
 
 .
 
Da Fig.6.7b tem-se
 
 .
 
Dado que tem-se
 
 ,
com C representando o caminho fechado que define o micro-circuito da Fig. 6.7b. Equivalentemente
 
 
 
Essa é a contribuição do circuito como um todo. Dessa expressão, podemos identificar que o volume
 
 
 
 . 
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Fig.6.7 (a) Volume de corrente distribuída de acordo com a densidade J. (b) Micro-circuito de corrente do volume V.
 
mostrado na figura, contribui com uma variação de energia
 
 . (6.17)
 
Assim, um volume macroscópico V sofre uma variação de energia
 
 . (6.18)
 
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 A Eq.(6.18) é a expressão básica, expressa no ponto de vista da fonte do campo, que permite obter a energia
magnética armazenada no volume V seja o meio material linear ou não-linear. A energia necessária para que um estado
final é dada por
 . (6.19)
 
 Note-se que a integral de linha cujo elemento diferencial é é uma integral de linha no espaço de estados em que
as coordenadas são as componentes do potencial vetor, e requer o conhecimento da função . Essa integração pode
depender da trajetória (histerese) no espaço de estados, conforme ilustrado na Fig.6.8.
 
 Alternativamente, pode-se escrever
 
 , (6.20)
 
e a Eq.(6.19) pode ser re-escrita na forma
 
 ,
 
Fig. 6.8 – Trajetória no espaço de estados do vetor A.
o que fornece
 
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 . (6.21)
 
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Agora, a integral de linha no segundo membro da Eq.(6.21) é realizada no espaço de estados em que as coordenadas são as
componentes do vetor J, e requer o conhecimento da função , algo mais tangível no senso comum de relação entre
causa (J) e efeito (A).
 
 Para meio linear, pode-se expressar o vetor densidade de corrente como uma fração de seu valor final, ou seja,
 
 
com . Uma vez que para meios lineares, o potencial vetor é linearmente relacionado à densidade de corrente, tem-
se
 
 ,
e portanto
 
 ,
 
e a integral de linha na Eq.(6.21) pode ser realizada com a mudança de variáveis para o parâmetro k, assumindo a forma
 
 ,
ou equivalentemente
 
 , (6.22)
em que o subscrito f foi removido.
 
 A Eq.(6.22) representa a energia magnética em um volume V de corrente em que a densidade de corrente é e o
potencial vetor a ela associado é . Uma vez que a integração é realizada no volume de existência da fonte do campo, essa
formulação está expressa no ponto de vista da fonte do campo.
 
 Para obter a relação geral no ponto de vista do campo, considere-se a expressão original de variação de energia no
volume V, dada pela Eq.(6.18). Note-se que essa integração pode ser realizada em todo o espaço, incluindo porções do
espaço em que não haja corrente, uma vez essas porções não contribuem para a integral. Assim, a Eq.(6.18) será escrita na
forma mais geral, em que o volume de integração é todo o espaço, ou seja,
 
 . (6.23)
 
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 No regime quase-estático, , e obtém-se
 
 .
 
Com o emprego da identidade vetorial
 
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ou equivalentemente,
 
 
 
 
tem-se
 
 
Portanto
 
 . (6.24) 
 
 Observe-se que a Eq.(6.24) é realizada em todo o espaço, uma vez que os campos de uma distribuição de corrente,
mesmo que localizada, permeiam todo o espaço. O volume de integração pode ser assim considerado como uma esfera de
raio , em que o volume que contenha a distribuição de corrente se torna praticamente um ponto no centro da esfera.
Aplicando-se o teorema de Gauss para a segunda integral da Eq.(6.24), obtém-se
 
 .
 
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Uma vez que a contribuição de mais baixa ordem de qualquer distribuição localizada de corrente é aquela de um dipolo
magnético, nessa condições,
 
 , ,
 
e portanto,
 
 .
 
Portanto,a integral de superfície na Eq.(6.24) não contribui para a energia e dessa equação obtém-se
 
 . (6.25)
 
A energia magnética no estado final é portanto
 
 . (6.26)
 
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 Conforme mencionado anteriormente, a integral de linha da Eq.(6.26) é realizada no espaço de estados em que as
coordenadas são as componentes do vetor B, conforme ilustrado na Fig.6.9. O resultado envolve o conhecimento da função
e pode depender da trajetória nesse espaço se o sistema exibir histerese ( ou seja, na forma como o campo B é variado
até seu valor final). De forma semelhante àquela que levou à Eq.(6.24), pode-se fazer uma mudança de variáveis e
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expressar a Eq.(6.26) na forma
 
 . (6.27)
 
 Na Eq.(6.27) a integração de linha é realizada no espaço de estados do vetor H e requer o conhecimento da função 
.
 
 Para meios lineares, seguindo o procedimento que levou à Eq. (6.22) pode-se mostrar que o resultado obtido é a
expressão clássica para a energia armazenada no campo magnético, i.e.,
 . (6.28)
em que o subscrito f foi removido.
 
 
Fig. 6.9 – Trajetória no espaço de estados do vetor B.
 
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6.3 Indutância
 
 Considere-se um conjunto de N circuitos conforme mostrado na Fig.6.10. Cada circuito é formado por um fio
delgado. Sendo o meio de imersão o vácuo, portanto linear, a energia do sistema no ponto de vista da fonte do campo é
dada por
 
 .
 
Dado que
 
 ,
 
vem
 
 . (6.29)
 
 O campo total no espaço é obtido por superposição, i.e.,
 
 , (6.30) 
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Fig.6.10 Circuitos de corrente.
 
com representando o campo produzido pelo j-ésimo circuito no ponto e que é função da corrente Ij.
 
 
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Portanto
 
 , (6.31)
com
 
 (6.32)
representando o fluxo enlaçado pelo circuito i devido ao campo do circuito j.
 Note-se que o campo produzido pelo j-ésimo circuito depende apenas da corrente que nele circula, e portanto
 
 (6.33)
com Lij (Weber/Ampère = Henry) representando a indutância mútua entre os circuitos i e j.
 
 Inserindo a Eq.(6.31), com emprego da Eq.(6.33) na Eq.(6.29) fornece
 
 ,
 
ou alternativamente
 
 ,
ou ainda
 
 . (6.34)
 
 O termo de auto-acoplamento Lii é denominado de auto-indutância do circuito i. O termo de acoplamento mútuo
Lij é denominado de indutância mútua entre os cicuitos i e j.
 
 
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 Expressões integrais podem ser obtidas para as indutâncias notando que o fluxo acoplado no i-ésimo circuito devido
ao j-ésimo é da forma
 
 , (6.35)
 
e da expressão para o potencial vetor de um circuito de corrente,
 
 , 
 
vem
 
 . (6.36)
Inserindo a Eq.(6.36) na Eq.(6.35) fornece
 
 (6.37)
 
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e essa expressão com o emprego da Eq.(6.33) permite identificar
 
 . (6.38)
 
Da Eq.(6.38) pode-se facilmente verificar que Lij = Lji. 
 
Exemplo 6.1 – Cálculo da auto-indutância por unidade de comprimento de um cabo coaxial
 
Considere-se o cabo coaxial mostrado na figura, com uma distribuição uniforme de corrente dada por
 . (6.39)
Fig. 6.11 – Seção transversal de um cabo coaxial percorrido por corrente.
 
A aplicação da lei circuital de Ampère permite obter diretamente,
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 ,
 .
 A energia armazenada em um comprimento pode ser obtida com o emprego da formulação expressa no ponto de
vista do campo, com base na Eq.(6.28), ou seja,
 
 ,
 
donde
 ,
 
ou ainda
 
 . (6.40)
 
Inserindo a Eq.(6.39) na Eq.(6.40), resulta em
 
 , (6.41)
 
que a partir da conexão entre energia e auto-indutância, dada pelo 1o. termo da Eq.(6.34) permite identificar
 
 
 .(6.42)
 
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 Na Eq.(6.42) o primeiro termo é independente da geometria do cabo coaxial e é denominado de indutância interna
do cabo, i.e.,
 
 . (6.43)
 
 O segundo termo, torna-se cada vez mais importante à medida que a razão entre os raios dos condutores externo e
interno aumenta, sendo por isso denominado de indutância externa do cabo coaxial por unidade de comprimento, i.e.,
 
 
 . (6.44)
 
6.4 Corrente de Deslocamento
 
 Uma segunda conexão importante entre campos elétricos e magnéticos existe, e de fato foi discutida no Capítulo 4
 
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quando se derivou o princípio da conservação da carga. Apesar de se ter analisado o princípio da conservação da carga do
ponto de vista dos mecanismos de condução elétrica, não se aprofundou a discussão quanto as suas conseqüências O
princípio da conservação da carga em forma integral estabelece uma conexão entre a corrente que flui através de uma
superfície fechada e a taxa de variação da carga q contida no volume limitado por essa superfície, conforme ilustrado na
Fig.6.12. Essa conexão é dada pela relação simples
 
 (6.45)
 
em que i é a corrente que flui para o exterior da região (sendo negativa caso contrário). Essa equação, expressa em termos
das funções densidade, assume a forma da Eq.(4.23), i.e.,
 
 (6.46)
 
em que e representam as densidades de corrente e de carga (variantes no tempo), respectivamente.
 
Fig.6.12. Geometria ilustrativa do princípio da conservação da carga.
 
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 Para uma superfície estacionária, a Eq.(6.46) reduz-se a
 
 , (6.47) 
 
e com o emprego do teorema de Gauss, conforme derivado no Capítulo 4, obtém-se a equação da continuidade, i.e.,
 
 . (6.48)
 
 A Eq.(6.48) é a forma diferencial do princípio da conservação da carga e impõe novas restrições às relações entre
grandezas elétricas e magnéticas. Para analisar as implicações impostas pela Eq.(6.48), considere-se a lei circuital de
Ampère em forma diferencial, dada para campos estáticos pela Eq.(5.40), cuja validade fica temporariamente assumida
para o caso variante no tempo, i.e.,
 
 . (6.49)
 
Observe-se que a identidade vetorial, obtida de Eq.(1.38),
 
 , ,
 
aplicada na Eq.(6.49) implica em
 
 
 ,
 
ou seja,
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 ,
 
o que viola a Eq,(6.48). Portanto, a Eq.(6.49) não pode ser válida quando a densidade de carga varia no tempo. Essa
inconsistência foi observada por Maxwell em meados do século 19 que postulou a existência de uma densidade de corrente
de deslocamento , introduzida no segundo membro da Eq.(6.49) de forma a eliminar essa inconsistência. Ou seja,
assumindo uma correção na Eq.(6.49) de forma que
 
 , (6.50)
 
 
propriedades da densidade de corrente de deslocamento podem ser obtidas, impondo-se a validade da Eq.(6.48). Ou seja,
calculando-se a divergância da Eq.(6.50) vem
 
 .
 
Utilizando-se nessa expressão a Eq.(6.48), obtém-se
 
 . (6.51)
 
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 Essa é a equação que deve ser satisfeita pela corrente de deslocamento. Para relacionar essa grandeza com uma das
grandezas de campo, pode-se utilizar a equação de Maxwell para a divergência do vetor densidade de fluxo magnético,
dada pela Eq.(2.48), i.e.,
 
 
que inserida na Eq.(6.51) fornece
 
 
 . (6.52)
 
A solução geral da Eq.(6.52) pode ser posta na forma
 
 , (6.53)
 
 , em vista da identidade vetorial dada pela Eq.(1.38). Maxwell postulou simplesmente que a corrente de
deslocamento seria dada apenas pelo primeiro termo nessa expressão uma vez que qualquer que fosse a escolha do vetor 
, o princípio da conservação da carga permaneceria válido. Assim, a densidade de corrente de deslocamento reduz-se à
expressao
 
 . (6.54)
 
 A validade desse postulado tem sido verificada experimentalmente por um grande número de investigadores, e em
conjunção com a lei de Faraday leva à previsão de existência de ondas de natureza eletromagnética, um fenômeno
confirmado experimentalmente por Hertz no final do século 19. Além disso, a introdução da corrente de deslocamento nas
equações que governam as grandezas elétricas e magnéticas representou um marco na unificação das teorias que tratavam
separadamente a eletricidade, o magnetismo e a óptica.
 
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 Maxwell foi levado a postular a Eq.(6.54) uma vez que essa escolha também resolveria o paradoxo do capacitor,
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ilustrado na Fig.6.13. Para uma corrente invariante no tempo, não há corrente no circuito, devido ao isolamento elétrico
entre as armaduras do capacitor. No entanto, para uma corrente variante no tempo fluindo no circuito, esse fluxo não é
interrompido pelo isolamento elétrico. A corrente de deslocamento, segundo Maxwell, seria a componente, não material,
que completaria oprocesso, além de garantir a unicidade da circulação do campo magnético.
 
Fig.6.13 Diagrama ilustrativo do paradoxo do capacitor.
 
 Isso é melhor compreendido com base na forma integral da Eq.(6.50), obtida por integração com o auxílio do
teorema de Stokes, i.e.,
 
 . (6.55)
 
 Note-se que a aplicação da Eq.(6.55) para as áreas S1 ou S2 da Fig.(6.13) tem de fornecer o mesmo valor, uma vez
que a circulação do campo magnético está sendo calculada sobre o mesmo caminho C, nos dois casos. Note-se que sobre
S1, . Sobre S2, , admitindo-se a distribuição de densidade de fluxo elétrico confinada à região entre armaduras
do capacitor e que o fio condutor do circuito tenha alta condutividade, o que resultaria em uma densidade de fluxo elétrico
desprezível no interior do condutor. Pode-se portanto escrever
 
 ,
 
 .
 
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 Ou seja, na ausência da corrente de deslocamento, a primeira integral acima seria nula o que geraria um resultado
inconsistente para a circulação do campo magnético.
 
6.5 Eqs. de Maxwell
 
6.5.1 Formulações diferencial e integral
 
 Com a introdução da lei de Faraday e da corrente de deslocamento, as eqs. de Maxwell em forma diferencial se
tornam
 
 , (i)
 
 
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 , (ii)
 
 , (iii)
 
 , (iv)
 
e as grandezas de campo em um meio material obedecem às relações constitutivas
 
 , (v)
 
 (vi)
 
 
 As denominações e unidades SI das grandezas de campo e parâmetros que aparecem nas Eqs.(i) a (iv) estão listadas
na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 Denominações e unidades SI das grandezas e parâmetros eletromagnéticos.
Grandeza Denominação Unidade SI
Vetor campo elétrico V/m
Vetor densidade de fluxo elétrico (deslocamento elétrico) C/m2
Vetor densidade de fluxo magnético (indução magnética) Wb/m2
Vetor campo magnético A/m
Vetor polarização C/m2
Vetor magnetização A/m
Densidade de cargas livres C/m3
Densidade de corrente livre A/m2
Permissividade elétrica do vácuo F/m
Permeabilidade magnética do vácuo H/m
 
 
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 Em algumas situações envolvendo meios condutores pode-se definir uma relação constitutiva semelhante à lei de
Ohm, dada pela Eq.(4.19) e reproduzida abaixo
 
 . (4.19)
 
 Essa relação, no entanto, só é rigorosamente válida para meios lineares no regime de correntes estacionárias. Uma
discussão mais detalhada da resposta de materiais condutores à aplicação de um campo eletromagnético será feita
oportunamente. Assim, as relações constitutivas válidas em geral e que são necessárias à solução das Eqs. de Maxwell são
aquelas dadas pelas Eqs. (v) e (vi).
 
 As formas diferenciais dadas pelas Eqs.(i) a (iv) podem ser convertidas em relações integrais, com o emprego dos
teoremas de Gauss e Stokes, conforme já mostrado em capítulos anteriores. As formas integrais dessas equações, na forma
mais geral possível, devem levar em consideração o movimento do caminho de integração na lei de Faraday ou variações
no tempo da superfície de integração, na equação que governa o princípio da conservação da carga. Com essas
considerações, as formas integrais correspondentes às Eqs.(i) a (iv) são:
 
 , (I)
 
 . (II)
 
 
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 , (III)
 
 . (IV)
Fig 6.14 Regiões de integração para as Eqs. de Maxwell em forma integral.
 
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 Nas Eqs. (I) e (IV) C é um caminho que limita a área aberta S, e nas Eqs.(II) e (III) é uma superfície fechada que
limita o volume V, com apontando para o exterior de V, conforme ilustrado na Fig.6.14.
 
 A ação do campo eletromagnético em um volume V, cuja densidade de cargas livres em cada ponto é e a
densidade de corrente é , conforme ilustrado na Fig. 6.15, com base na expressão da força elétrica dada pela Eq. (2.29) e
da força magnética dada pela Eq.(5.9) , pode ser calculada da expressão
 
 , (6.56)
com
 
 (6.57)
representando a força por unidade de volume. Inserindo (6.57) em (6.56) tem-se a forma integral da força de Lorentz
 
 . (6.58)
Fica como exercício demonstrar que para uma carga puntiforme q com velocidade sob ação dos campos e , a Eq.
(6.58) reduz-se a
 
 (6.59)
 
 
Fig 6.15 Volume de cargas livres submetido a um campo eletromagnético.
 
 
 
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6.5.2 Condições de contorno
 
 Para a análise de campos eletromagnéticos que permeiam meios materiais distintos, é necessário estabelecerde que
forma as grandezas de campo se relacionam na fronteira entre esses meios. As condições de contorno para as grandezas de
campo podem ser obtidas da forma integral das equações de Maxwell. Para que se obtenham as condições de contorno de
forma mais direta, duas equações integrais serão utilizadas no lugar das Eqs. (I) e (IV). Assume-se que os caminhos ou
superfícies de integração estejam em repouso de forma que as derivadas temporais que aparecem nas Eqs. de Maxwell se
apliquem diretamente às grandezas de campo. 
 
 Para estabelecer as duas novas relações integrais, considere-se inicialmente a Eq.(i), na forma diferencial.
Integração em um volume V fornece
 
 . (6.60)
 
Aplicando a relação integral dada pela Eq.(1.49), reproduzida abaixo,
 
 , (6.61)
 
em que é uma superfície fechada que limita V, e fazendo na Eq.(6.61), obtém-se
 
 
 . (I’)
 
 Desenvolvimento semelhante aplicado à Eq. (IV) fornece
 
 (IV’)
 
 Para a derivação das condições de contorno, serão utilizadas as Eqs. (I’), (II), (III) e (IV’). As Eqs.(II) e (III) são da
forma geral
 
 , (6.62)
 
em que , para o caso da Eq.(II) e , f =0 para o caso da Eq.(III). Aplicando-se a Eq.(6.58) para o volume
diferencial de integração mostrado na Fig.6.16, no limite em que vem
 
 
 ,
 
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em que é um fator de escala introduzido para representar a contribuição do fluxo na superfície lateral do cilindro de
integração mostrado na Fig.6.16, que é proporcional à altura do cilindro. No limite, esse termo tende a zero, e portanto
 
 
 . (6.63)
 
 Para o caso do campo em que f = 0, a Eq.(6.63) fornece
 
 
 
 , (6.64)
 
que confirma a condição de continuidade da componente normal do vetor densidade de fluxo magnético, obtida no regime
estático, também para o caso dinâmico. Esse resultado era esperado, uma vez que a inexistência de monopolos magnéticos
continua valendo também para campos variantes no tempo. 
Fig.6.16 – Configuração da interface entre meios materiais distintos para aplicação das condições de contorno.
 
 Para o caso do campo , a Eq.(6.63) reduz-se a
 
 .
 
O limite do segundo membro da equação anterior, se for não nulo, é a densidade superficial de cargas na interface entre os
dois meios, i.e.,
 
 ,
 
e a condição de contorno para o vetor se torna
 
 . (6.65)
 
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 A densidade superficial de carga geralmente pode estar presente na interface entre um condutor e um isolante ou na
interface entre meios condutores. No regime estático, é possível especificar problemas em que a densidade superficial de
carga é uma grandeza independente a partir da qual os campos de natureza elétrica podem ser obtidos. No caso dinâmico
no entanto, devido à interdependência entre os campos elétrico e magnético, a solução das Eqs. de Maxwell pode ser
obtida apenas com o emprego das condições de contorno para as componentes tangenciais do campo elétrico e do campo
magnético. Nesse contexto, o segundo membro da Eq.(6.65) é determinado da componente normal do vetor , esta obtida
após o conhecimento do vetor com base nas relações constitutivas nos meios materiais envolvidos.
 
 Considere-se agora a obtenção das condições de contorno para os campos e , a partir das equações integrais
(I’) e (IV’). Essas equações podem ser postas na forma geral
 
 
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 , (6.66)
 
em que e são grandezas de campo e quando não nula é a função densidade de corrente. Para a Eq.(I’), e 
. Para o caso da Eq.(IV’), e . Aplicando a Eq.(6.66) para o volume de integração mostrado na Fig.6.16,
no limite em que vem
 
 ,
 
ou ainda,
 
 , (6.67)
 
 
em que é um fator de escala vetorial, utilizado para representar a contribuição do vetor na superfície lateral do cilindro
da Fig.6.16, que é proporcional a h. Observe-se que por e representarem grandezas de campo, estes não podem se
manter localizados na interface. Isso implica que o limite para do segundo termo tanto no primeiro quanto no
segundo membro é nulo. Por outro lado, o primeiro termo do segundo membro da Eq.(6.67), quando não nulo, envolve a
função densidade de corrente que em algumas situações pode ficar localizada inteiramente na interface. Isso implica em
definir uma densidade de superfície de acordo com
 
 . (6.68)
 
Com essas considerações, a Eq.(6.67) se torna
 
 ,
 
ou equivalentemente
 
 . (6.69)
 
Essa é a forma geral da condição de contorno aplicável para as Eqs. (I’) e (IV’). Para o caso da Eq.(I’), , 
, e portanto
 
 . (6.70)
 
 Essa equação, como no caso estático, implica que a componente tangencial do campo elétrico é contínua em
qualquer interface entre meios materiais distintos, independentemente da natureza dos meios.
 
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 Para o caso da Eq.(IV’), , , e a condição de contorno para o campo magnético se torna
 
 , (6.71)
 
que é a mesma condição de contorno obtida no caso estático.
 
 É importante observar que a densidade de corrente superficial é uma aproximação útil em situações envolvendo a
interface entre um isolante e um condutor de alta condutividade, já que apenas nessas situações, os campos internosao
condutor se concentram em uma extensão muito próxima à interface. No limite de o condutor ser perfeito toda a corrente se
concentraria na superfície. Assim, para meios de condutividade finita, rigorosamente a densidade de corrente se distribui
em um volume e consequentemente o segundo membro da Eq.(6.71) é nulo. Essas situações serão discutidas
oportunamente.
 
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6.6 Teorema de Poynting
 
 Considere-se a grandeza
 
 (6.72)
 
que tem dimensões de Watt/m2 no sistema SI, e que em princípio representa um vetor do tipo densidade de fluxo, no caso
presente, densidade de fluxo de potência, devido às suas dimensões físicas. Com base nessa princípio, é interessante
calcular o fluxo do vetor para o interior de uma região limitada por uma superfície S. Para isso, seja o cálculo da
grandeza , que pode ser escrita na forma
 
 . (6.73)
 
Com base nas eqs. de Maxwell tem-se
 
 .
 
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 Integrando-se a última expressão em um volume V resulta em
 
 
 
Utilizando o teorema de Gauss no primeiro membro da expressão anterior tem-se
 
 . (6.74)
 
Essa última expressão representa uma equação de balanço de energia, em que:
 
 
· =Fluxo de potência eletromagnética para o interior de 
 
· = Intercâmbio de potência entre o campo eletromagnético e o sistema de cargas livres em V. Se positivo, 
esse termo representa fluxo de potência eletromagnética para o sistema de cargas livres. Se negativo, esse termo
representa fluxo de potência do sistema de cargas para o campo eletromagnético.
 
 O último termo do segundo membro da Eq.(6.74) é interpretado como a taxa de variação no tempo da energia
eletromagnética armazenada no volume V , ou seja,
 
 (6.75)
 
Para calcular a energia no tempo t, integra-se a Eq.(6.71) resultando em
 
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ou equivalentemente
 
 , (6.76)
 
o que permite definir a densidade de energia de
 
 , (6.77) 
 
 
e o teorema de Poynting pode ser posto nas formas:
 
Diferencial:
 . (6.78)
 
Integral:
 
 (6.79)
 
 Assim o teorema de Poynting, em sua forma integral, estabelece que a potência eletromagnética que flui para o
interior de um volume é canalizada em parte para o sistema de cargas livres, com o restante produzindo uma taxa de
variação no tempo da energia eletromagnética armazenada no volume. Note-se que essa energia envolve, na presença de
um meio material, a interação do campo eletromagnético com os dipolos elétricos e magnéticos que compõem esse meio.
 
 A densidade de energia eletromagnética definida na Eq.(6.77) pode ser posta na forma
 
 
 , (6.80)
 
com os termos do segundo membro obtidos pela mudança de variáveis na integração temporal, o que resulta em
 
 , (6.81)
 
 
 . (6.82)
 
 As Eqs.(6.81) e (6.82) representam as densidades de energia associadas aos campos elétrico e magnético,
respectivamente.
 
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 Conforme discutido anteriormente, as Eqs.(6.81) e (6.82) são integrais de linha nos respectivos espaços de estado
das grandezas de campo. Se a integral de linha associada a um dado campo depender da trajetória no espaço de estado, ou
equivalentemente, da forma como a grandeza de campo é alterada entre os estados inicial e final, então o sistema é não-
reversível, ou não-conservativo. 
 
 
O sistema será conservativo se as condições
 
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 , (6.83)
 
 , (6.84)
 
forem satisfeitas independentemente da trajetória no espaço de estado. Qualquer dessas condições implica que a energia
não varia se o sistema sai de seu estado original e retorna a esse estado através de qualquer trajetória no espaço de estado
 
 A seguir são consideradas três situações típicas de obtenção da energia eletromagnética.
 
Caso 1: Meio linear e isotrópico
 
Consideremos inicialmente a situação simplificada em que o meio seja linear e isotrópico e sem perdas, tal que as
relações
 
 , (6.85)
 
 , (6.86)
 
sejam válidas independentemente da variação no tempo dos campos eletromagnéticos.[2] Então
 
 , (6.87)
 
e da mesma forma, obtém-se
 
 , (6.88)
 
o que fornece,
 
 , (6.89)
 
que é a expressão já conhecida da energia eletromagnética armazenada no volume V para campos estáticos, uma grandeza
positiva definida. 
 
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Caso 2: Meio linear e anisotrópico
 
 É importante observar que esses resultados são válidos também para meios anisotrópicos lineares sem perdas. Por
exemplo, considere-se o caso elétrico em que as grandezas de campo sejam relacionadas por
 
 , (6.90)
 
em que, na notação do Capítulo 1, e são matrizes 3´1 e é uma matriz 3´3 representando o tensor permissividade
elétrica. Seja inicialmente a grandeza , que pode ser calculada de.
 
Da mesma forma
 
 .
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 Dado que resulta
 
 
 
ou equivalentemente
 
 . (6.91) 
 
que é uma propriedade fundamental do tensor permissividade de um meio sem perdas.
 
 Considere-se agora o produto escalar que pode ser posto na forma
 
 .
 
Por outro lado
 
 ,
 
donde
 
 .
 
Essas relações permitem escrever
 
 
 
 (6.92)
 
 Essa propriedade também seria satisfeita para o caso de uma relação matricial entre as grandezas magnéticas. 
Conseqüentemente, a energia armazenada, para o caso de meios lineares anisotrópicos é também dada pela Eq.(6.87).
 
 
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Caso 3: Caso geral
 
 No caso mais geral, utilizam-se as relações constitutivas dadas pelas Eqs.(v) e (vi) e reproduzidas abaixo
 
 , (v)
 
 , (vi) 
 
e a Eq.(6.80) é da forma
 
 , (6.93)
 
em que o estado final dos valores de campo é denotado pelo subscrito f. Essa última expressão pode ainda ser posta na
forma
 . (6.94)
 
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 A Eq.(6.94) é a forma mais geral para a densidade de energia associada a um meio de natureza arbitrária. 
 
 Uma aplicação interessante da Eq.(6.94) é na determinação de energia dissipada em materiais magnéticos exibindo
histerese. Considerando apenas o termo magnético da Eq.(6.90),
 
 , (6.95)
 
pode-se avaliar a variação em densidade de energia em um meio material exibindo histerese, ao se variar o estado de
magnetização em um ciclo completo, conforme ilustrado na figura seguinte. Sendo i e f os estados inicial e final, indicados
na Fig.6.17, e admitindo que os vetores campo magnético e magnetização sejam colineares, então, a variação de densidade
de energia magnética em um ciclo é dada por
 . (6.96)
 
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 A integral do segundo membro pode ser colocada na forma
 
 (6.97)
 
Da Fig.6.17 tem-se
 
 
 
em que e são as funções que definem as trajetórias superior e inferior do ciclo de histerese. Assim
 
 . (6.98)
 
 A Eq.(6.98) mostra que a variação de energia é proporcional à área do ciclo de histerese indicada na figura. Isso
indica que o sistema é não-reversível e energia tem de ser suprida do campo para o material para realização do ciclo. A
energia suprida é eventualmente dissipada em forma de calor.
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Fig.6.17 – Ciclo de histerese de um material magnetizável.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problemas
 
6.1 Existe no espaço uma indução magnética definida pelo vetor
 
 
 
 
Uma espira quadrada de lado a move-se com velocidade , e seu centro cruza a origem do sistema de coordenadas
em t =0, conforme ilustrado na Fig.6.18.
 
Fig.6.18 – Ilustração do problema 6.1.
 
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a) Com base na Eq.(6.12) determine a fem induzida na espira, na orientação indicada na figura, i.e., para uma circulação de
acordo com a regra da mão direita. Expresse sua resposta final em função do tempo.
 
b) Parametrize o fluxo enlaçado pela espira em função do tempo t, e calcule diretamente a fem induzida no circuito.
Compare com o resultado obtido na letra a.
 
c) Determine o vetor campo elétrico nos segmentos 1, 2, 3 e 4 do circuito.
 
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6.2 Uma espira quadrada de lado a gira no espaço com velocidade angular conforme ilustrado na Fig.6.19. Essa espira
está imersa em uma região de campo uniforme conforme ilustrado na figura. Defina um sistema de coordenadas
adequado e determine em termos dos parâmetros a, e B:
 
a) a fem induzida no circuito, no sentido indicado na figura, com base na Eq.(6.12). Essa equação se aplica nesse caso?
 
b) a fem induzida com base no cálculo direto da taxa de variação do fluxo enlaçado pelo circuito. Compare com o resultado
obtido em a.
 
c) a magnitude do campo elétrico induzido no circuito, admitindo que seja constante ao longo do circuito
Fig.6.19 – Ilustração do problema 6.2.
 
6.3 Um solenóide é constituído de um grande numero de espiras de raio a, densamente empilhadas, conforme ilustrado na
Fig.6.20. Admita que o número total de espiras no solenóide seja N. Se o solenóide está sujeito à aplicação de um campo
magnético, tal que o fluxo enlaçado por cada espira tenha o mesmo valor , utilize a lei de Faraday em forma integral e
conceitos básicos para mostrar que a fem induzida entre os terminais do solenóide é dada por
 
 .
 
Fig.6.20 – Ilustração do problema 6.3.
 
6.4 Considere uma barra condutora de comprimento L movendo-se com velocidade v em uma região de campo uniforme B,
conforme ilustrado na Fig. 6.21. Determine o vetor campo elétrico induzido na barra.
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Fig.6.21 – Ilustração do problema 6.4.
 
Copyright by Eduardo Fontana 2011/2012/20136.5 Considere a existência de um campo magnético no vácuo dado por
 
 .
 
a) Faça um gráfico da dependência em z da componente x do campo para
 
 
 
b) Utilize a lei de Faraday e a relação constitutiva entre grandezas magnéticas para determinar a circulação do campo
elétrico no caminho fechado mostrado na Fig.6.22.
 
c) Utilize a relação constitutiva para as grandezas magnéticas no vácuo e a Eq.(6.15) para obter o vetor , admitindo que
este tenha apenas a componente y. Admita a condição de contorno 
d) Utilize o resultado obtido em c para calcular diretamente a circulação do campo no caminho fechado da Fig.6.22.
Fig.6.22– Ilustração do problema 6.5
 
 Para um meio linear, a densidade de energia magnética é dada pelq Eq.(6.88). Como no caso elétrico, tudo se passa
como se cada volume V do espaço permeado pelo campo contivesse uma quantidade de energia dada simplesmente pelo
integral no volume V da densidade de energia. Use esse conceito para resolver os problemas 6.6 e 6.7.
 
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6.6 Considere um plano infinitamente extenso com corrente distribuída com densidade de corrente superficial constante 
. Determine a energia magnética armazenada em um volume V localizado em qualquer parte do espaço próximo ao plano
de corrente. Admita que o plano esteja imerso no vácuo.
 
6.7 Considere uma camada de corrente localizada na região . Nessa região há uma distribuição de corrente com
densidade uniforme . Admita que o interior e o exterior da camada tenham permeabilidade igual a do vácuo. 
Determine a energia armazenada na região , , .
 
6.8 Considere um fio cilíndrico, infinitamente longo, com seção transversal de raio a e com corrente uniformemente
distribuída com densidade constante . Assuma que o interior e o exterior do fio tenham a mesma permeabilidade igual a
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do vácuo. Determine a energia magnética armazenada em uma camada cilíndrica concêntrica com o fio, de altura h e raio
interno b e raio externo c com c >b > a.
 
6.9 Considere uma linha de transmissão de cabos condutores paralelos, infinitamente longa na direção z. Cada cabo de
corrente condutor tem raio a e transporta corrente I, conforme indicado na Fig.6.23.
a) Determine o fluxo magnético enlaçado na área de comprimento h indicada na figura
b) Utilize a Eq.(6.29) para determinar a indutância associada a esse comprimento h de linha de transmissão
 
6.10 Um solenóide infinitamente longo tem uma densidade de n espiras por unidade de comprimento. O interior e o
exterior do solenóide tem a mesma permeabilidade do vácuo.
a) Determine as grandezas magnéticas no interior e no exterior do solenóide.
b) Determine o fluxo total enlaçado por um comprimento L do solenóide
c) Determine a indutância nesse comprimento a partir do termo de auto-indutância da Eq.(6.33)
d) Determine a indutância nesse comprimento a partir da energia aí contida e com o emprego do termo de auto-indutância
da Eq.(6.34).
kFig.6.23 – Ilustração do problema 6.9
 
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6.11 Considere duas espiras de raio a separada de uma distância d >>a. Em ambas as espiras circula uma corrente I,
conforme mostrado na Fig.6.24. Utilize a expressão assintótica do potencial vetor de uma das espiras, dada pela Eq.(5.30)
em conjunção com as Eqs.(6.35) e (6.33) para determinar a indutância mútua entre as espiras.
Fig.6.24 – Ilustração do problema 6.11.
 
6.12 Revise o exemplo 4.2 do capítulo 4 e determine:
a) A densidade de corrente de deslocamento no interior e no exterior da esfera
b) no interior e no exterior da esfera
 
6.13 Um circuito está submetido a uma corrente , conforme ilustrado na Fig.6.25. No circuito existe um
capacitor, com preenchimento dielétrico de alta permissividade, com cada armadura tendo área S. Admitindo uma
distribuição de campos uniforme no capacitor, determine o vetor no capacitor, admitindo a condição inicial .
 
7/10/2014 Eletromagnetismo - Parte 2 - Capítulo 6 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs. de Maxwell
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Fig.6.25 – Ilustração do problema 6.13.
 
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6.14 Considere a existência de um campo elétrico no vácuo dado por
 
 .
 
a) Utilize a lei circuital de Ampère dada pela Eq.(6.55) e a relação constitutiva entre grandezas elétricas para determinar a
circulação do campo magnético no caminho fechado mostrado na Fig.6.25.
 
b) Utilize a relação constitutiva entre as grandezas elétricas no vácuo e a Eq.(iv) para obter o vetor , admitindo que este
tenha apenas a componente x. Admita a condição de contorno
 
 
 
c) Utilize o resultado obtido em b para calcular diretamente a circulação do campo no caminho fechado da Fig.6.26.
Fig.6.26 – Ilustração do problema 6.14.
6.15) Revise as equações de Maxwell e a formulação de passagem dessas equações da forma diferencial para a integral e
vice-versa. Elas representam a síntese da Engenharia Elétrica, sendo desejável que todo estudante de graduação em
Engenharia Elétrica adquira a habilidade de escrevê-las em qualquer situação. Em resumo, adquira o treinamento e a
habilidade para sempre poder escrever:
 
· As eqs. de Maxwell em forma diferencial e integral.
· As relações constitutivas em meios materiais.
· As condições de contorno que devem ser obedecidas em uma interface.
· A denominação de cada grandeza de campo, incluindo as grandezas representativas de meios materiais, bem como
cada fonte de campo.
6.16) Utilize as equações de Maxwell e definições das grandezas eletromagnéticas para expressar cada unidade da Tabela
6.1 em unidades do sistema MKSC.
 
6.17) Demonstre que a Eq.(6.58) assume a forma da Eq.(6.59) para o caso de uma carga puntiforme.
 
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6.18) Considere a interface entre dois meios localizada em z = 0. O semi-espaço z > 0 é o vácuo. O semi-espaço z < 0 é um
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meio anisotrópico isolante tendo função permissividade dada por:
Admitindo que o campo elétrico na região z > 0 tenha um valor na interface dado por
 
,
 
Determine os vetores e calculados dentro do meio anisotrópico e em sua interface com o vácuo.
 
 
6.19) Para os campos obtidos no Problema 6.14, determine
a) O vetor de Poynting, da Eq. (6.72)
b) Calcule o fluxo de potencia para o interior do volume limitado pelas superfícies , , .
c) Calcule o primeiro termo do segundo membro da Eq.(6.74) para esse volume de integração
d) Calcule o segundo termo do segundo membro da Eq.(6.74)