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GAAL 1a LISTA DE EXERCÍCIOS VETORES.pdf

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1 
 
 
 
UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Curso: Engenharias 
Professores: Equipe GAAL 
 
 
1a Lista de Exercícios – Vetores – 2014.2 
 
 
 
1) Com base na figura coloque Verdadeiro ou Falso: 
 
 
 
 
2) Com base na figura ao lado, 
escreva o vetor 
x
em função de 
u
, 
v
 e 
w
: 
 
 
 
3) Verdadeiro ou falso? 
a) Se 
 vu
 então 

 vu
. b) Se 

 vu
 então 
 vu
. 
c) Se 
v // u
 então 
 vu
. d) Se 
 vu
 então 
v // u
. 
e) Se 
 v u w
 então 

 vuw 
. f) Se 

 vuw 
 então 
v e u, w
 são paralelos. 
g) 


DCAB
ABCD é paralelogramo. h) 

 u5u5u5
 
i) 
v3
 e  v4 são paralelos e de mesmo sentido. 
 
M 
J 
I H 
E 
C 
B 
G 
D 
A 
F 
L 
a) AB = GH = LJ 
b) LM, GH e FA são coplanares. 
c) LE, JI e IH são coplanares. 
d) BC + CI + IB e MF são coplanares. 
e) GM e 2AH são coplanares. 
f) FA, FE e FM não são coplanares. 
g) FM pode ser escrito como combinação linear de FA, FE 
e GM. 
h) MG pode ser escrito como combinação linear de GH. 
i) F = E + LM 
j) H = I + LM 

w
 

x
 

u
 

v
 
2 
 
4) Dados os vetores 
)1,3(u 
 e 
)2 ,1(v 
 , determine o vetor w tal que 

 wu2w
3
1
)vu(4
 
5) Considere os pontos A(1,2) e B(1, –2) e o vetor 
u
= (2, –1) 
a) No sistema de coordenadas XOY, represente o vetor 
u
com origem no ponto A, indicando 
o ponto A1 tal que u = 
1AA
 
 
b) Sabendo que B, A, A1 e C são vértices consecutivos de um paralelogramo, determine o 
vértice C. Represente geometricamente o paralelogramo no sistema de coordenadas XOY 
 
6) Dados os pontos 
)3,2,1(A 
, 
)4,1,2(B 
 e 
))1,3,1(C 
 , determinar o ponto D tal que 
0CDAB


 
 
 7) Considere os vetores 
 k2ji2u
; 
 k2j5i5v
 e 
 j6i3w
. Determine: 
a) 
 wvu2
 
a) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e 
u
= 
AB
 
c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. 
d) O versor de 
b
, onde 
b
 é paralelo a 
u
. 
 
8) Determinar os valores de m para que o vetor v = (m,2m,2m) seja um versor. 
 
9) Determinar os valores de m para que o vetor v = mi + 6j tenha módulo igual a 10. 
 
10) Determinar um vetor paralelo ao vetor 
 kjiv
 e que tenha módulo igual a 5. 
 
11) Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor 
 k5j2i4v
 
 
12) Considere os vetores 
 k2ji2u
, 
 k2j5i5v
 e 
 j6i3w
. Determine: 
a) 
 vu
 e 
 wu
 b) 
ou u
 c) 
)w,u( e )v,u(
 
d) Um vetor não nulo ortogonal a v . 
e) A projeção de 
u
 na direção de v 
f) A projeção de 
u
 na direção de w . 
g) A medida algébrica da projeção de v na direção de u . 
 
3 
 
13) Determinar m para que os vetores 
1v
e 
2v
 sejam ortogonais nos seguintes casos: 
 a) 
1v
 = ( m, -2 ,4) e 
2v
 = (1, -2,-5) b) 
1v
 = ( 2m - 1, 0 ,3) e 
2v
= (0, m+1,0) 
 c) 
1v
= ( 4m, 0 ,1) e 
2v
 = (0, 2,5) 
 
14) Determinar o vetor v , paralelo ao vetor u = (2, -1, 3), tal que 42vu  . 
 
15) Sabendo que | 
u
 | = 2, | v | = 3 e 1vu  , calcule: 
a) 
 u).v3u(
 c) 
)u4v).(vu(


 
b) 
)v2).(uv2(


 d) 
)uv).(vu(


 
 
16) Calcular 
 vu
, 
 vu
, 
)vu).(vu(


, sabendo que 
4u 
 e 
3v 
 e o ângulo entre u e v é de 
60º . 
16) Determinar o vetor 
u
 tal que 
2u 
 , o ângulo entre u e v = (1, -1, 0) é 45º e u é 
ortogonal a w = (1,1,0). 
 
17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 
u
= (1, -2, 1) e 

v = (-2, 1 m + 1). 
 
18) Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). 
 
19) Os ângulos diretores de um vetor 
a
 são 45º , 60º e 120º e | 
a
 | = 2. Determinar 
a
. 
 
20) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º , 60º e 90º ? Justificar. 
 
21) Dados os vetores 
 jiu
 
 kj2iv
 , determine: 
 

 vu
; b) um vetor unitário ortogonal a 
u
 e a v ; c) área do triângulo ABC, sendo u = AB 
 e v = 
AC
 
 
22) De um triângulo ABC sabemos que | 
AB
 | = 2 , | 
AC
 | = 3 e 
AB
 . 
AC
 = 
33
. Determine a 
área desse triângulo. 
 
 
 
4 
 
23) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) 
 a) Mostre que 
AC


 
AB
 . b) Verifique se o triângulo ABC é isósceles. 
 
 
24) Determine o vetorv no R
3 tal que 
1)ki(v 
 e 
 k4ji2)0,2,1( v
 
 
25) Determine o vetor v no R3 tal que 
2)ji(v 
 e 
)0,0,0()k3i(v 
 
 
26) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um 
paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen (
AB
 ,
AD
 ). 
 
27) Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (4,-3,1), Q = (6,-4,7), R = (1,2,2) 
e verifique se esse triângulo é equilátero. 
 
28) Determine o centro e o raio da esfera com diâmetro nos pontos P = (1,1,0) e Q = (0,0,1). 
 
29) Nos itens abaixo, os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. 
Verifique se esses pontos são vértices de um retângulo. 
a) A = (1,2,1) , B = (3,3,-1) , C = (4,6,0) , D = (2,5,2) . 
b) A = (3,-1,2) , B = (5,3,4) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) . 
 
30) Nos itens abaixo os pontos A, B C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique 
se esses pontos são vértices de um paralelogramo. 
a) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,5,5) , D = (4,1,4) . 
b) A = (2,-3,1) , B = (6,5,5) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3). 
 
31) Determine o vetor v sabendo que
3v 

 e que seus ângulos diretores são agudos e 
congruentes. 
32) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e 
AC

o = 
 2/2,0,2/2
 . Determine a 
altura do triângulo ABC em relação à base AC. 
 
33) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um 
vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 
 
 
 
2) 
x
= 
w


u


v
 
 
 
a b c d e f g h i j 
F V F V V V F F F V 
5 
 
3 ) 
 
 
 
 
 
4) 15 15
,
2 2
 
 
 
; 5) a) A1(3,1) b) C(3, - 3) ; 6) D(-2, -6, 8) 
7) a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3) 
 
8) m = ± 1/3 ; 9) m = ± 8; 10) ( ±5√3 / 3, ± 5√3 / 3, ± 5√3 / 3); 11) ± ( 8√5 / 3, 4√5 / 3, -10√5 / 3) 
12) a) u . v = 1 e u . w = 0 b) | u | = 3 e u o = (2/3,-1/3,2/3); c) (u , v) = arccos (√6/54) e (u , w) 
= 900 ; d) (x, y, (5x+5y) / 2 ) ; x,y Є R* ; e) ( 5/54, 5/54, -1/27); f) (0,0,0); g) 1/3; 
 13) a) m = 16 b) qualquer m c) não existe m; 14) (-6,3,-9); 15) a) 7; b) 38; c) -4; d) 5 
10) 16) 
37
, 
13
 e 7; 17) 0 ou – 18; 18) 

 = arc cos (6/7) 

 31º 

 =arc cos (-2/7) 

 107º 

= arc cos (3/7) 

 65º; 19) 
a
 = (
2
, 1, -1); 
20) Não, pois cos2 45 + cos2 60 + cos2 90 

1; 21) a) 
)3,1,1( 
; b 
)3,1,1(
11
1

; c) 
2
11
; 
22) 3/2 u.a. 23) a) AC.AB=0 b) O triângulo é isósceles, pois |AC| = |AB|; 24) (2,0,1); 25) (2,0,6); 
26) D = (0,4,2) A = 4√2 u.a. e sen (AB, AD) = 2√2 / 3; 27) aproximadamente 18,8 u.a. O 
triângulo não é equilátero; 
28) centro: M = (1/2,1/2,1/2) raio = 
2
3
; 29) a) não é retângulo; b) é retângulo; 30) a) é 
paralelogramo; c) não é paralelogramo; 31) 
)1,1,1(v 
 ; 32) 
2
22
h 
; 33) t (2/3,1/3,1/3) , t Є R* 
 
a b c d e f g h i 
V F F V F V F V F

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