A2 e 3 - Cýlculo Diferencial-3

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CÁLCULO DE LIMITES 
 CÁLCULO DIFERENCIAL 
Fernanda Laureano da Silva
Fernanda Laureano
LIMITE
Definição:
 Seja f(x) definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então
Fernanda Laureano
LIMITE
Exercícios:
Fernanda Laureano
CONTINUIDADE
 Quando definimos analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Nos exemplos anteriores vimos que pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a.
 Quando diremos, de acordo com a definição a seguir, que f é CONTÍNUA em a. 
Fernanda Laureano
PROPRIEDADE DE LIMITES
 
	
Fernanda Laureano
EXERCÍCIOS
 Usando as propriedades dos limites, calcule:
6
Fernanda Laureano
LIMITES INDETERMINADOS
 Dizemos que um limite é finito quando seu resultado (ou resposta) é um número real. Por exemplo, quando x se aproxima de um ponto (x=3) a função se aproxima do valor y=4. Simbolicamente escrevemos:
 O cálculo neste caso é imediato, simples. Existem limites finitos chamados “indeterminados”, cuja resposta não é tão simples de obter.
Fernanda Laureano
LIMITES INDETERMINADOS
 Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE utilizando a seguinte função.
Seja a função: .
Qual é o limite desta função quando x tende para 1?
 
	
Fernanda Laureano
LIMITES INDETERMINADOS
TABELA DE APROXIMAÇÕES
x
0
1
0,5
1,5
0,9
1,9
0,99
1,99
0,999
1,999
0,9999
1,9999
x
2
3
1,5
2,5
1,25
2,25
1,1
2,1
1,01
2,01
1,001
2,001
Fernanda Laureano
LIMITES INDETERMINADOS
 Observação: 
 Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas são chamados de limites laterais.
Fernanda Laureano
LIMITES INDETERMINADOS
 
 Logo: 
 
 
 Observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas diferente de 1. 
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 Observe que, se fizermos uma substituição direta teremos:
Indeterminação Matemática.
 Devemos então simplificar a expressão (Fatoração – Diferença de dois quadrados) e depois fazer a substituição direta.
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 Algoritmo de Briot Ruffini:
 1 0 -1
 1 
 Resto 
 Logo: 
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este.
 Vale lembrar que a expressão significa que
 a função está tão próxima de 2 assim como
 x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. 
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 EXEMPLO: Acompanhe o cálculo dos seguintes limites. 
 Fatora-se o numerador e denominador fazendo-se a seguir as simplificações possíveis.
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 Observe agora o cálculo do seguinte limite: 
 A técnica utilizada será racionalização (multiplicação e divisão pelo conjugado) para depois fazer a substituição direta.
Fernanda Laureano
TÉCNICA DE CÁLCULO DOS LIMITES
 EXEMPLO: Acompanhe o cálculo dos seguintes limites. 
 Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função.
 
Fernanda Laureano
RESOLVA OS LIMITES
Vamos calcular alguns limites de forma a compreender melhor as técnicas estudadas.
Fernanda Laureano
RESOLVENDO OS LIMITES
Fernanda Laureano
RESOLVENDO OS LIMITES