LISTA 02 CALCULO

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA - ICTE 
 Lista 2 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Profa.: LIDIANE SARTINI 
 
Derivadas de uma Função de uma Variável 
01. Considerando que, caso exista, 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f a x f a
f a
x 
 


, calcule: 
a) f ’(2), se f(x) = x2 
b) f ’(3), se 
3( )f x x
 
c) f ’(1), se 2 1, 1
( )
1 2 , 1
x se x
f x
x se x
  
 
 
 
 
02. Determinar a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = x3 - 2x – 1 
b) 
( ) 2 xf x xe
 
c) 
2
( )f x
x


 
d) f(x) = ex cosx 
e) f(x) = senx +lnx 
f) 
( ) xf x 
 
g) 
1
( )
1
x
f x
x



 
h) 
33 2( )f x x x
 
i) 
( ) ln 2f x
x

 
 
j) 
ln
( )
xe x
f x
x

 
k) 
arcctgx
arctgx
xf )(
 
l) 
xxxf arccos.arcsen)( 
 
m) 
xarcxarcxf cscsec)( 
 
n) 
22
6
)(
ba
bax
xf



 
o) 
xx
xx
xf
cossen
cossen
)(



 
p) 
xexxf x sen)1()( 
 
 
 
03. Determine a derivada de 
f
, utilizando a “regra da cadeia”, se: 
 
a) 6
)( 




 

c
bax
xf
 
b) 
zarczf sen1)( 
 
c) 
5
cos2sen3
)(
xx
xf


 
d) 
xxxf 22 cossen)( 
 
e) 
ctgyctgyf )(
 
f) 
zezf  5)(
 
g) 
)72ln()(  xxf
 
h) 
xarcxf sec)( 
 
i) 
xxexf sen
2
)( 
 
j) 
)163sen()( 2  xxxf
 
k) 
)5()( 2 ztgzf 
 
l) 
xxxf 22 cossen)( 
 
m) 
ctgyctgyf )(
 
n) 
xxexf x )(
 
o) 
)5cos(1
)2cos(1
)(
z
z
zf



 
p) 
1ln)1ln()(  xxxf
 
q) 
tettf 2)( 
 
r) 
z
azzf
cos
cos)( 
 
 
04. Determine 
dx
dy
 se: 
a) 
wuuy arcsen,sen 
 e 
2/1 xw
 
b) 
wttarcy 2ln,cos 
 e 
3xw 
 
c) 
tarcuy u csc,2 
 e 
tgxxt  cos
 
 
05. Determine 
 xf 
se: 
a) 
xxxf sen)( 2
 
b) 
 xxf cosln)( 
 
c) 
2ln)( xxf 
 
 
06. Determinar 
'
dy
y
dx

 das seguintes funções definidas implicitamente. 
a) 
3 3 3x y a 
 b) 
3 2 2 0x x y y  
 
 
07. Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou 
decrescentes. 
a) 
2( ) 3 6 7f x x x  
 
b) 
3 2( ) 2 4 2f x x x x   
 
c) 
   ( ) 1 2 3f x x x x   
 
d) 
1
( )f x x
x
 
 
e) 2
( )
1
x
f x
x


 
 
08. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das 
seguintes funções, nos intervalos indicados: 
a) 
( ) 1 3 , [ 2,2]f x x  
 
b) 
2( ) 4 3 3 , [0,3]f x x x  
 
c) 
2( ) 4, [ 1,3]f x x  
 
d) 
3 2( ) , [0,5]f x x x 
 
 
09. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das 
seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 1ª derivada): 
a) 
2( ) 3 6 1f x x x  
 
b) 
3 2( ) 4 8f x x x 
 
c) 
3 21 1( ) 6 5
3 2
h x x x x   
 
d) 
1
( )
1
t
f t
t



 
10. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das 
seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 2ª derivada): 
a) 
3 21( ) 3 7 9
3
h x x x x   
 
b) 
2( ) 7 6 3f x x x  
 
c) 
2( ) 4g x x x 
 
d) 
2
4
( )
4
x
g x
x


 
11. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm 
concavidade voltada para cima ou para baixo. 
a) 
3 2( ) 5 6f x x x x   
 
b) 
4 3 2( ) 3 10 12 10 9f x x x x x    
 
c) 
1
( )
4
f x
x


 
d) 
3( ) 2 xf x x e
 
 
12. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00 
para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois 
aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o 
quilo, mais o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para 
maximizar seu lucro? 
13. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível. 
14. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km 
de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. 
Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de 
50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais 
rápida possível? 
 
 
 
 
 
15. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que mede 9 cm e 12 cm. 
Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na 
figura a seguir. 
 
 
 
 
 
16. Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hospital. 
a) 2
22
4 4
lim
2x
x x
x x
 
 
 
b) 2
3 22
6
lim
7 5x
x x
x x x

 
 
c) 5
2
7 6
lim
4 2 4x
x
x x

 
 
d) 
0
lim
cosxx
x
e x 
 
e) 
2
3
12
2 3
lim
( 2)
x
x
x


 
 
RESPOSTAS 
 
01) Definição 
02) 
a) 
2'( ) 3 2f x x 
 
b) 
'( ) 2( 1) xf x x e 
 
c) 
2
2
'( )f x
x

 
d) 
'( ) (cos )xf x e x senx 
 
e) 
1
'( ) cosf x x
x
 
 
f) 
'( ) .lnxf x x
 
g) 
2
1 1
'( ) .
(1 )
f x
x x


 
h) 
32 211'( )
3
f x x x
 
i) 
2
'( )f x
x

 
 
j) 
 2'( ) ln ln 1
xe
f x x x x
x
  
 
k) 
2 2
'( )
(1 )( )
arctgx arcctgx
f x
x arcctgx



 
l) 
2
arccos arcsen
'( )
1
x x
f x
x



 
m) 
2
2
'( )
| | 1
f x
x x


 
n) 5
2 2
6
'( )
ax
f x
a b


 
o) 
2
2
'( )
(sen cos )
f x
x x



 
p) 
'( ) [( 1)cos sen ]xf x e x x x x  
 
03) 
a) 5
6
'( )
a ax b
f x
c c
 
  
 
 
b) 
2
1
'( )
2 1 1
f z
z arcsenz

 
 
c) 
xx
xx
xf
cos2sen310
)sen2cos3(5
)('



 
d) 
'( ) 2 (2 )f x sen x
 
e) 
2cossec
'( )
2 cot
y
f x
gy
 
 
f) 
'( ) 5 zf z e 
 
g) 
2
'( )
2 7
f x
x


 
h) 
1
'( )
2 1
f x
x x


 
i) 
2
'( ) (2 cos ) x senxf x x x e  
 
j) 
2'( ) (6 6)cos(3 6 1)f x x x x   
 
k) 
2'( ) 10. (5 ).sec (5 )f z tg z z
 
l) Igual a letra d 
m) Igual a letra e 
n) 
1
'( )
2
x x
x
e xe
f x
xe x
 


 
o) 
2)]5cos(1[
)]2cos(1)[5(5)]5cos(1)[2(2
)('
z
zzsenzzsen
zf



 
p) 
)1ln()22(
)1ln(1
)('



xx
x
xf
 
q) 
)12()(' 2  tetf t
 
r) 
z
azza
zf
z
cos2
)lncos1(sen
)('
cos 

 
04) 
a) 12cos( )
2 1
dy arcsen x
dx x x




 
b) 
 
3
2
2 3
4ln
1 ln
dy x
dx
x x



 
c) 
 
2
arccossec(cos t )
2
sec
2 .ln 2.
cos cos 1
x gxdy senx x
dx x tgx x tgx
 
  
 
05) 
a) 
2''( ) (2 ) 4 cosf x x senx x x  
 
b) 
2''( ) secf x x 
 
c) 
2ln
2
6ln
''( ) xf x
x
 
 
 
06) 
a) 
2
2
'
x
y
y
 
 b) 
2
2
3 2
'
2
x xy
y
x y

 

 
 
07) 
a) 
[ 1, ) crescente
( , 1] decrescente
  
  
 
b) 2[ , ) ( , 2] crescente
3
2[ 2, ] decrescente
3    
 
 
c) 
7 7( , ] [ , ) crescente
3 3
7 7, decrescente
3 3
    
  
  
 
d) 
( ,1] [1, ) crescente
[ 1,0) (0,1] decrescente
   
  
 
e) 
( ,0] [2, ) crescente
[0,1) (1,2] decrescente
   
 
 
 
 
08) 
a) 
7 é máximo da função em [ 2,2]
5 é mínimoda função em [ 2,2]
( ) é decrescente em [ 2,2]f x


 
 
 
b) 
22 é máximo da função em [0,3]
13
é mínimoda função em [0,3]
4
1( )
2
1( )
2
f x crescente x
f x decrescente x





 

  

 
c) 
5 é máximo da função em [ 1,3]
4 é mínimoda função em [ 1,3]
( ) 0
( ) 0
f x crescente x
f x decrescente x


 

 
  
 
d) 
100 é máximo da função em [0,5]
4
é mínimoda função em [0,5]
27
2( ) ( ,0] [ , )
3
2( ) 0,
3
f x crescente
f x decrescente





   

  
 
 
 
09) 
a) 
2 é mínimoda função
( ) [ 1, )
( ) ( , 1]
f x crescente
f x decrescente


  
   
 
b) 
4,74 é mínimoda função
0 é o máximo da função
4( ) ( ,0] [ , )
3
4( ) [0, )
3
f x crescente
f x decrescente



    

 
 
c) 
 
 
373 é da função
2
72 é ponto de mínimo da função
3
( ) ( , 3] [2, )
( ) [ 3,2]
ponto de máximo
f x crescente
f x decrescente
 

  

     

 
 
d) 
 
 
1 é da função 2
1 é ponto de mínimo da função 2
( ) ( ,1] [1, )
( ) [ 1,0) (0,1]
ponto de máximo
f x crescente
f x decrescente
  



   
   
10) 
a) 
1 é da função
-7 é ponto de máximo da função
( ) ( , 7] [1, )
( ) [ 7,1]
ponto de mínimo
f x crescente
f x decrescente




    
  
 
b) 
3 é da função
7
3( )
7
3( )
7
ponto de mínimorelativo
f x crescente x
f x decrescente x



 

 

 
c) 
2 é ponto de máximo relativo da função
( ) 2
( ) 2
f x crescente x
f x decrescente x


 
  
 
d) 
2 é ponto de máximo 
-2 é ponto de mínimo 
( ) 2 2
( ) 2 2
f x crescente x ou x
f x decrescente x




   
    
 
 
11) 
a) 
5 5
, a função é côncava para cima; , a função é côncava para baixo
3 3
5 5
, é o ponto de inflexão 
3 3
f
   
    
   

  
     
 
b) 
  
1 1
, (2, ) a função é côncava para cima; ,2 a função é côncava para baixo
3 3
1 1
, ; 2, 2 são pontos de inflexão 
3 3
f f
   
       
   

         
 
c) 
 ( 4, ) a função é côncava para cima; , 4 a função é côncava para baixo
Não existe pontos de inflexão, pois 4 ( )D f
    

 
 
d) 
  22 , a função é côncava para cima; , a função é côncava para baixo3 3
2 2
, é o ponto de inflexão 
3 3
f
  
  
 

  
     
 
 
12) 67 dias 
13) 35; 35 
14) 84,56 km da cidade. 
15) 4,5 cm x 6 cm. 
 
16) a) 0 b) 
8
23
 c) 

 d) 1 e) 1