Aula I

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula I
IMC-Unifei
1 Conjuntos Nume´ricos
Vamos revisar, de maneira sistema´tica, o conjunto dos nu´meros reais , denotados
por R. Para isto, vamos relembrar alguns de seus subconjuntos quais sejam:
• N = {1, 2, 3, ... , n, ...} (Naturais)
• Z = {... ,−n, ... ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ... , n, ...} (Inteiros)
• Q =
{
p
q ; p, q ∈ Z, q 6= 0
}
(Racionais)
Note que todo nu´mero natural e´ um inteiro, que por sua vez e´ um racional,
ou seja, em s´ımbolos temos N ⊂ Z ⊂ Q.
Existem ainda nu´meros que sa˜o reais mas que na˜o sa˜o racionais. Chamare-
mos a estes nu´meros que sa˜o reais mas na˜o sa˜o racionais de IRRACIONAIS e
denotaremos estes por R \Q. Alguns exemplos:
Exemplo 1. Considere um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 1. Pelo
Teorema de Pitagoras, temos que o valor da hipotenusa deve ser
√
2 que na˜o e´
racional!
1
Exemplo 2. Demonstre que o nu´mero
√
2 na˜o pode ser racional.
2
Exemplo 3. E´ poss´ıvel demonstrar que a raza˜o entre o comprimento de um
c´ırculo e o seu diaˆmetro e´ uma constante(independente do tamanho do c´ırculo)
a qual costumamos denotar por pi.
Curiosidade 1. Embora o nu´mero pi tenha sido estudado desde a antiguidade,
a demonstrac¸a˜o de que este na˜o pode ser um nu´mero racional apareceu apenas
no se´culo XV II! Ale´m disso, no dia a dia estamos acostumados a utilizar
nu´meros racionais (na verdade inteiros) o que nos leva a falsa impressa˜o de
que existem “poucos”irracionais. Isto esta´ completamente errado! Na verdade,
existem muito mais irracionais que racionais!
Exemplo 4. Qualquer nu´mero real com representac¸a˜o decimal contendo uma
dizima PERIO´DICA e´ um RACIONAL! Para ver isto, considere os exemplos
abaixo:
(A) o nu´mero x = 0, 3333333333... = 0, 3¯. Temos que
x = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + ...+
3
10n
+ ...
ou seja, o valor de x pode ser obtido atrave´s de soma de progressa˜o geome´trica
com termo inicial a1 = 0, 3 e raza˜o 0 < q =
1
10
< 1. A fo´rmula para a
soma, neste caso e´ :
a1
1− q =
0, 3
1− 110
=
3
10
9
10
=
3
10
· 10
9
=
3
9
=
1
3
.
(B) 5, 12121212 . . . = 5, 12
3
(C) 0, 1517999999 . . .
Sendo assim, um nu´mero IRRACIONAL na˜o pode possuir representac¸a˜o
decimal com d´ızima perio´dica, ou seja, a representac¸a˜o decimal de nu´meros
irracionais na˜o apresenta nenhum padra˜o de repetic¸a˜o!
(D) 0, 101001000100001 . . .
4
1.1 Exerc´ıcios
1. Transforme as d´ızimas perio´dicas abaixo em frac¸o˜es:
(a) 1, 7¯
(b) 2, 3¯
(c) 7, 12
(d) 2, 523
(e) 2, 0118
(f) 3, 2343345
2. Julgue, justificando, se os nu´meros abaixo sa˜o racionais ou na˜o e, em caso
afirmativo, obtenha a frac¸a˜o correspondente.
(a) 0, 1121231234 . . .
(b) 1, 23456789101112 . . .
(c) 0, 12345678901234567890 . . .
5
2 Operac¸o˜es Ba´sicas em R
Existem, em R, DUAS operac¸o˜es ba´sicas a saber :
• ADIC¸A˜O : a ∈ R , b ∈ R 7→ a+ b ∈ R (Soma)
• MULTIPLICAC¸A˜O : a ∈ R , b ∈ R 7→ a · b ∈ R (Produto)
.
Estas operac¸o˜es possuem as seguintes propriedades:
(i) COMUTATIVIDADE :
{
a+ b = b+ a
a · b = b · a quaisquer que sejam
a, b ∈ R.
(ii) ASSOCIATIVIDADE :
{
(a+ b) + c = a + (b+ c)
(a · b) · c = a · (b · c) quaisquer
que sejam a, b ∈ R.
(iii) EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS :
{
a+ 0 = a
a · 1 = a para qual-
quer a ∈ R.
(iv) EXISTEˆNCIA DE INVERSOS:
• Todo a ∈ R possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ R tal que
a+ (−a) = 0.
• Todo a 6= 0 em R possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ R
tal que a · a−1 = 1.
(v) Distributividade: a · (b+ c) = a · b+ a · c para todos a, b e c ∈ R.
Como consequeˆncia das propriedades que acabamos de enunciar acima ob-
temos mais duas novas operac¸o˜es:
• SUBTRAC¸A˜O: Dados a ∈ R e b ∈ R, definimos: a− b = a+ (−b);
• DIVISA˜O : Dados a ∈ R e b ∈ R, com b 6= 0, definimos: a
b
= a · b−1.
.
Observac¸a˜o 1. Note que as operac¸o˜es de subtrac¸a˜o e divisa˜o foram definidas
atrave´s dos inversos aditivos e multiplicativos respectivamente. Sendo assim,
uma vez que na˜o existe inverso multiplicativo para o 0, e´ claro que NA˜O EXISTE
divisa˜o por 0.
As operac¸o˜es ba´sicas gozam das seguintes propriedades:
(i) a · 0 = 0 para todo a ∈ R;
(ii) Se a · b = 0, enta˜o a = 0 ou b = 0;
6
(iii) Se a+ b = a+ c, enta˜o b = c; (Lei do Corte da Soma)
(iv) Se a · b = a · c e a 6= 0, enta˜o b = c ; (Lei do Corte do Produto)
(v) Cada a ∈ R possui um u´nico inverso aditivo (−a) ∈ R;
(vi) Cada a 6= 0 em R possui um u´nico inverso multiplicativo a−1 ∈ R;
(vii) (−a) = −1 · a para todo a ∈ R;
(viii) a−1 = 1a para todo a 6= 0 em R.
(ix) Se a, b ∈ R e a, b 6= 0, enta˜o
(a
b
)−1
=
(
1
b
a
)
.
Em particular, se a, b, c e d ∈ R, com b, d 6= 0, enta˜o
(
a
b
)(
c
d
) = a
b
· d
b
;
(x) Para todos a, b ∈ R, temos:
 a · (−b) = (−a) · b = −(a · b)
(−a) · (−b) = a · b
(xi) Se a, b ∈ R, enta˜o:
• (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2.
Em particular, x2 ± bx =
(
x± b
2
)2
−
(
b
2
)2
• a2 − b2 = (a− b)(a+ b);
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2 · b+ . . .+ abn−2 + bn−1)
Exemplo 5. Neste exemplo vamos aprender o me´todo de completar quadrados:
(A) x2 + 2x
(B) x2 − 6x
7
(C) 3x2 − 9x
(D) 2x2 + x
Exemplo 6. Neste exemplo vamos aprender um me´todo u´til para fatorar algu-
mas expresso˜es:
(A)
x2 − 4
x− 2
(B)
x3 − 1
x− 1
(C)
x3 + 8
x+ 2
(D)
x− 2√
x−√2
(E)
x− 8
3
√
x− 2
8
2.1 Exerc´ıcios
(1) Utilize o me´todo de completar quadrados para resolves as seguintes equac¸o˜es:
(a) x2 + 8x = 0
(b) 5x2 − 25x− 12
(c) 3x2 − 12x+ 6
(d) ax2 + bx+ c = 0, onde a 6= 0.
(2) (a) Mostre que
(√
a−
√
b
)(√
a+
√
b
)
= a− b onde a, b > 0
(b) Generalize o exemplo anterior e mostre que(
n
√
a− n
√
b
)(
n
√
an−1 + n
√
an−2 n
√
b+ . . .+ n
√
a
n
√
bn−2 + n
√
bn−1
)
= a−b
(Sugesta˜o: Fac¸a x = n
√
a e y = n
√
b e utilize a propriedade (xi))
9
3 Relac¸a˜o de Ordem em R
Podemos decompor a reta real R como unia˜o disjunta R = R+∪{0}∪R− onde:
• R+ e´ o conjunto dos reais POSITIVOS;
• R− e´ o conjunto dos reais NEGATIVOS.
Sendo assim, temos que :
• Dado a ∈ R, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas.
a ∈ R+ ou a ∈ R− ou a = 0
• a ∈ R+ ⇔ −a ∈ R−
• A soma de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
• O produto de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
Definic¸a˜o 1 (Relac¸a˜o de Ordem). Dados nu´meros reais a e b, escrevemos
a < b(ou b > a) e dizemos que a e´ menor do que b(ou enta˜o que b e´ maior
do que a) quando b− a ∈ R+, ou seja, quando b− a e´ positivo.
E´ importante notar que, na definic¸a˜o acima, fazendo p = b − a ∈ R+
temos que b = a + p. Desta forma podemos concluir que a < b quando
b se escreve como a soma de a com um nu´mero POSITIVO p. Note ainda que,
considerando a reta real orientada da esquerda para direita, dizer que a < b e´
equivalente a dizer que b esta´ a` direita de a(ou enta˜o que a esta´ a` esquerda de
b).
4 Propriedades da Relac¸a˜o de Ordem
(i.) Se a < b e b < c, enta˜o a < c; (Transitividade)
(ii.) Se a, b ∈ R, enta˜o ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas.
a < b ou a = b ou b < a
;
(iii.) Se a < b, enta˜o a+ c < b+ c ∀c ∈ R;
(iv.) Se a < b temos:
• c > 0⇒ a · c < b · c;
• c < 0⇒ a · c > b · c; (Atenc¸a˜o para a troca de sinais!)
(v.) Se a < b e a′ < b′, enta˜o a+ a′ = b+ b′;
(vi.) Se 0 < a < b e 0 < a′ < b′, enta˜o a · a′ = b · b′;
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(vii.) Se a > 0, enta˜o
1
a
> 0;
(viii.) Se 0 < a < b, enta˜o 0 <
1
b
<
1
a
.
Definic¸a˜o 2 (Intervalos). Dados a, b ∈ R com a < b definimos:
• (a, b) = {x ∈ R; a < x < b};
• [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b};
• [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b};
• (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b};
• (a,+∞) = {x ∈ R; a < x};
• [a,+∞) = {x∈ R; a ≤ x};
• (−∞, b) = {x ∈ R;x < b};
• (−∞, b] = {x ∈ R;x ≤ b};
• (−∞,+∞) = R.
Observac¸a˜o 2. Atenc¸a˜o! +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros reais! Sa˜o apenas
s´ımbolos!
Exemplo 7. Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es abaixo e fac¸a uma
representac¸a˜o gra´fica:
(A) 3 + 7x < 8x+ 9
11
(B) 7 < 5x+ 3 ≤ 9
(C)
x
x+ 7
< 5
(D) (x+ 5)(x− 3) > 0
12
4.1 Exerc´ıcios
(1) Resolva as inequac¸o˜es abaixo:
(a) 3− x < 5 + 3x
(b) 2x− 5 < 1
3
+
3x
4
+
1− x
3
(c) 2 > −3− 3x ≥ −7
(d)
5
x
<
3
4
(e) x2 ≤ 9
(f) x2 − 3x+ 2 ≥ 0
(g) 1− 2x− x2 ≥ 0
(h)
x+ 1
2− x <
x
3 + x
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5 Conjuntos Limitados
Definic¸a˜o 3 (Conjuntos Limitados).
• Um subconjunto X ⊂ R e´ chamado limitado superiormente quando
existe b ∈ R tal que, para todo x ∈ X tem-se que x ≤ b, ou seja,
X ⊂ (−∞, b].
• Um subconjunto X ⊂ R e´ chamado limitado inferiormente quando existe
a ∈ R tal que, para todo x ∈ X tem-se que a ≤ x, ou seja, X ⊂ [a,+∞).
• Quando um conjunto X for limitado superiormente e inferiormente, isto
e´, quando existirem a, b ∈ R tais que , para todos x ∈ X tem - se a ≤ x ≤ b
(X ⊂ [a, b]), diremos que o conjunto X e´ limitado.
Exemplo 8. Temos que o conjunto [−1, 2] e´ limitado pois, considerando a = −3
e b = 6 na definic¸a˜o acima temos que [−1, 2] ⊂ [−3, 6] (Na verdade podemos
escolher qualquer a ≤ −1 e qualquer b ≥ 2).Da mesma forma conclu´ımos que os
conjuntos (−1, 2), [−1, 2), (−1, 2] tambe´m sa˜o limitados. Note que para mos-
trar que determinado conjunto X e´ limitado, basta obter dois nu´meros reais
limitantes a e b tais que X ⊂ [a, b].
Exemplo 9. Temos que o conjunto (−∞,−1) na˜o e´ limitado. Para ver isto,
considere, por exemplo, b = 0 (Na verdade podemos escolher qualquer nu´mero
b ≥ −1!). E´ claro que (−∞,−1) ⊂ (∞, 0]. Sendo assim, (−∞,−1) e´ limitado
superiormente. Por outro lado, pela pro´pria definic¸a˜o de intervalo, temos que
para qualquer nu´mero real a ∈ R e´ poss´ıvel obter x ∈ (−∞,−1) de maneira
que x < a (Por exemplo, escolha x = a − 1 ). Portanto, o conjunto (−∞,−1)
na˜o e´ limitado inferiormente e , consequentemente, na˜o pode ser um conjunto
limitado.
Observac¸a˜o 3. Todo conjunto finito, isto e´, todo conjunto com uma quantidade
finita de elementos e´ limitado. Para ver isto, basta escolher como limitantes o
menor e o maior elemento do conjunto. A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, ou seja,
existem conjuntos com uma infinidade de elementos mas que sa˜o limitados! Por
exemplo, o intervalo (0, 1) tem uma infinidade de nu´meros reais mas e´ limitado
pois (0, 1) ⊂ [0, 1]. Note ainda que, uma vez que todo conjunto finito deve ser
limitado, podemos concluir enta˜o que todo conjunto ilimitado e´ infinito
pois, caso contra´rio, deveria ser finito e, consequentemente, limitado e ilimitado
ao mesmo tempo, o que e´ absurdo!.
FATO : O conjunto N = {1 , 2 , 3 , ... , n , ...} na˜o e´ limitado.
Como consequeˆncia do fato acima temos os resuintes resultados
• Propriedade Arquimediana dos Reais: Dados a, b ∈ R, com 0 < a < b,
existe n ∈ N tal que b < n · a;
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• Densidade dos Racionais: Dados dois nu´meros reais a e b quaisquer, e´
poss´ıvel obter um nu´mero RACIONAL r =
p
q
∈ Q tal que a < r < b, por
menor que seja a distaˆncia entre a e b.
A densidade nos permite concluir que , dado qualquer nu´mero real x (inclu-
sive um irracional!) e´ poss´ıvel obter uma sequeˆncia de nu´meros racionais que se
aproxime tanto quanto quisermos de x!
Exemplo 10. Consideremos o nu´mero IRRACIONAL pi = 3, 141592.... Temos
que a sequeˆncia
x1 = 3;
x2 = 3, 1 =
31
10 ;
x3 = 3, 14 =
314
100 ;
x3 = 3, 145 =
3145
1000 ;
...
se aproxima cada, tanto quanto quisermos de pi.
Exemplo 11. Considere a seguinte sequeˆncia definida da seguinte maneira:
r1 = 1;
r2 =
1
2
·
(
r1 +
3
r1
)
= 2
r3 =
1
2
·
(
r2 +
3
r2
)
= 1, 75
r4 =
1
2
·
(
r3 +
3
r3
)
= 1, 732142867 (Dı´zima perio´dica e portanto um racio-
nal!)
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...
↓√
3 (Tente generalizar o processo!)
6 Valor Absoluto
Definic¸a˜o 4. Dado qualquer nu´mero real x, definimos o VALOR ABSOLUTO
DE x (ou MO´DULO DE x) da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente, isto e´, na reta real, podemos pensar no valor absoluto de
x como sendo a sua DISTAˆNCIA ate´ o 0.
Exemplo 12. A distaˆncia entre dois nu´meros reais a, b ∈ R e´ dada por{
a− b se a ≥ b
b− a se a < b
Sendo assim, podemos interpretar |a − b| como sendo a distaˆncia entre a e
b!
16
7 Propriedades do Valor Absoluto
(i) Para todo x ∈ R temos |x| = max{x, −x};
(O maior valor entre x e −x)
(ii) |x| = | − x| para todo x ∈ R;
(iii) Para todo x ∈ R temos que |x|2 = x2;
(iv) |a · b| = |a| · |b|, quaisquer que sejam a, b ∈ R;
(v) |a+ b| ≤ |a|+ |b|, quaisquer que sejam a, b ∈ R;
(Desigualdade Triangular)
(vi) Seja c > 0. Temos que :
I. |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c;
II. |x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c.
Exemplo 13. Resolva as equac¸o˜es e inequac¸o˜es abaixo:
(a) |5x− 3| = 7
(b) |7x− 1| = |2x+ 5|
(c) |9x+ 7| = −7
17
(d) |7x− 2| < 4
(e)
∣∣∣∣7− 2x4 + x
∣∣∣∣ ≤ 2
(f)
∣∣∣∣3− 2x2 + x
∣∣∣∣ ≤ 4
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7.1 Exerc´ıcios
1. Resolva as inequac¸o˜es abaixo:
(a) 3− x < 5 + 3x
(b) 2x− 5 < 1
3
+
3x
4
+
1− x
3
(c) 2 > −3− 3x ≥ −7
(d)
5
x
<
3
4
(e) x2 ≤ 9
(f) x2 − 3x+ 2 ≥ 0
(g) 1− 2x− x2 ≥ 0
(h)
x+ 1
2− x <
x
3 + x
2. Resolva as equac¸o˜es abaixo:
(a) |5x− 3| = 12
(b) | − 4 + 12x| = 7
(c) |2x− 3| = |7x− 5|
(d)
∣∣∣∣x+ 2x− 2
∣∣∣∣ = 5
(e)
∣∣∣∣3x+ 82x− 3
∣∣∣∣ = 4
(f) |3x+ 2| = 5− x
3. Resolva as inequac¸o˜es modulares abaixo:
(a) |x+ 12| < 7
(b) |3x− 4| ≤ 2
(c) |5− 6x| ≥ 9
(d) |6 + 2x| < |4− x|
(e) |3x| > |5− 2x|
(f)
∣∣∣∣7− 2x5 + 3x
∣∣∣∣
(g) |x− 1|+ |x+ 2| ≥ 4
(h) 1 < |x+ 2| < 4
(i)
∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣
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