Aula II

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula II
IMC-Unifei
Nesta aula introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da ma-
tema´tica, a saber, o de func¸a˜o. O conceito de func¸a˜o refere-se essencialmente
a` correspondeˆncia entre conjuntos. Uma func¸a˜o associa a elementos de um
conjunto, elementos de outro conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvi-
dos sempre sera˜o subconjuntos de R. As func¸o˜es neles definidas sa˜o chamadas
func¸o˜es reais de varia´vel real.
1 Func¸a˜o
Definic¸a˜o 1. Sejam A e B dois conjuntos na˜o vazios. Uma func¸a˜o f de A em
B, denotada por f : A → B e´ uma lei, regra ou correspondeˆncia que associa a
CADA elemento x ∈ A UM U´NICO elemento y ∈ B.
Exemplo 1 (Exemplos e Contra-Exemplos).
1
2 Definic¸o˜es Ba´sicas
Sejam A e B conjuntos na˜o vazios e f : A→ B uma func¸a˜o.
(i) O conjunto A e´ chamado de DOMI´NIO da func¸a˜o e frequentemente deno-
tado por D(f).
(ii) O conjunto B e´ chamado de CONTRADOMI´NIO ou CAMPO DE VALO-
RES da func¸a˜o.
(iii) O CONJUNTO IMAGEM da func¸a˜o f , denotado por Im(f), e´ definido
como sendo
Im(f) = {f(x); x ∈ A} ⊂ B
Exemplo 2. Recapitulando o Exemplo (1) anterior...
2
Observac¸a˜o 1.
• Dado x ∈ A, denotamos por y = f(x) o elemento de B associado a
x por f . Neste caso dizemos que y = f(x) e´ a imagem de x por f .
Sendo assim, o conjunto imagem de uma func¸a˜o nada mais e´ do que
o conjunto das imagens de todos os elementos do domı´nio.
• Quando trabalhamos com subconjuntos de R, e´ usual caracterizar
a func¸a˜o apenas pela fo´rmula ou regra que a define. Neste caso,
entende-se que o domı´nio de f e´ o conjunto de todos os nu´meros reais
para os quais a func¸a˜o esta´ definida.
• No que segue, assumiremos sempre que os conjuntos em questa˜o sa˜o
subconjuntos dos reais.
Exemplo 3. Determine o domı´nio das func¸o˜es a seguir:
(A) f(x) = 2x+ 1
(B) g(x) = 1x
(C) h(x) =
√
x
(D) f(x) = −√x− 1
3
(iv) Seja f : A → B uma func¸a˜o. O Gra´fico de f e´ definido como sendo o
conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) onde x ∈ A, ou seja,
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ A}.
E´ comum representarmos o gra´fico de uma func¸a˜o real de uma varia´vel no
PLANO CARTESIANO, tambe´m denotado por R2 = {(x, y); x, y ∈ R}.
Exemplo 4. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es a seguir e obtenha o
conjunto imagem:
(A) f(x) = 2x+ 1
(B) g(x) = 1x
(C) h(x) =
√
x
(D) f(x) = −√x− 1
4
Observac¸a˜o 2. Podemos nos perguntar se toda curva c do Plano Cartesi-
ano sempre representa o gra´fico de uma func¸a˜o. A resposta e´ na˜o. Sabemos
que, se f e´ uma func¸a˜o, um ponto de seu domı´nio pode ter somente uma
imagem. Assim a curva c so´ representa o gra´fico de uma func¸a˜o quando
qualquer reta vertical corta a curva no ma´ximo em um ponto.
Exemplo 5. Considere as curvas c1 : x
2 + y2 = 1 e c2 : y
2 = x
2.1 Exerc´ıcios
1 Obtenha o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x2
(b) g(x) =
√
4− x2
(c) h(x) = 1x−4
(d) f(x) =
√
x− 2
(e) g(x) =
√
x2 − 4x+ 3
(f) h(x) =
√
x+ 3 + 4
√
7− x
(g) f(x) = 3
√
x+ 7− 5√x+ 8
(h) g(x) =
√
x+ a
x− a
(i) h(x) = x− 1
x
(j) f(x) =
1
1 +
√
x
2 Exprimir como func¸a˜o de x:
(a) A a´rea de uma esfera de raio x.
(b) A a´rea de um cubo de aresta x.
(c) A a´rea total de uma caixa de volume V , sabendo-se que a base e´ um
quadrado de lado x.
5
(d) O volume de um cone cuja altura e´ o dobro do raio da base de compri-
mento x.
3 Dada a func¸a˜o f(x) = |x| − 2x, calcular f(−1), f(1/2) e f(−2/3). Mostrar
que f(|a|) = −|a|.
4 Se f(x) = x2 + 2x, obtenha
f(a+ h)− f(a)
h
, h > 0, e interprete o resultado
geome´tricamente
3 Operac¸o˜es entre Func¸o˜es
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir nu´meros, tambe´m
podemos produzir novas func¸o˜es atrave´s de operac¸o˜es. Estas operac¸o˜es sa˜o
definidas como segue:
Definic¸a˜o 2. Dadas as func¸o˜es f e g, definimos:
• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f − g)(x) = f(x)− g(x)
• (f · g)(x) = f(x) · g(x)
•
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
Observac¸a˜o 3. Note que o domı´nio das func¸o˜es f + g , f − g e f · g e´
a intersec¸a˜o dos domı´nios de f e g. Ja´ o domı´nio de
f
g
e´ a intersec¸a˜o dos
domı´nios, excluindo-se os pontos x tais que g(x) = 0!
Exemplo 6. Considere as func¸o˜es f(x) =
√
5− x e g(x) = √x− 3. Obtenha
f + g , f − g , f · g e f
g
.
6
3.1 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Exemplo 7. Considere a seguinte func¸a˜o dada por y = (x+ 2)5.
Definic¸a˜o 3. Dadas duas func¸o˜es f e g, a composta de g com f , denotada por
g ◦ f , e´ definida por
g ◦ f(x) = g (f(x)) .
O domı´nio de g ◦ f e´ o conjunto de todos os pontos x no domı´nio de f tais que
f(x) esta´ no domı´nio de f , ou seja, g(f(x)) esteja definido.
Exemplo 8. Sejam f(x) = 2x−3 e g(x) = √x. Determine as compostas g ◦ f ,
f ◦ g, f ◦ f , g ◦ g explicitando o domı´nio.
7
3.2 Exerc´ıcios
1 Para cada item, obtenha f + g, f − g, f · g, fg , g ◦ f e f ◦ g explicitando o
domı´nio.
(a) f(x) = 2x e g(x) = x2 + 1
(b) f(x) = 3x− 2 e g(x) = |x|
(c) f(x) =
(
x
x2 + 1
)
e g(x) = 1x
(d) f(x) =
√
x+ 1 e g(x) = x− 2
(e) f(x) =
√
x− 2 e g(x) = √x− 3
(f) f(x) = x3 e g(x) = 1x3
2 Obtenha a func¸a˜o h tal que f = g ◦ h, onde :
(a) f(x) = x2 + 1 e g(x) = x+ 1
(b) f(x) = 3x− 2 e g(x) = x+ 1
(c) f(x) =
∣∣x2 − 3x+ 5∣∣ e g(x) = |x|
3 Para cada func¸a˜o h abaixo, obtenha func¸o˜es f e g de maneira que h = g ◦ f :
(a) h(x) =
√
x− 1
(b) h(x) = 5(x+ 3)2
(c) h(x) =
5
3− 4x2
(d) h(x) = |3x+ 4|
8
4 Func¸a˜o Inversa
Seja f : A → B uma func¸a˜o. Sendo assim, para cada x ∈ A esta´ associado um
u´nico y ∈ B. Nos interessa a situac¸a˜o em que a associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x e´
uma func¸a˜o de B em A.
Conforme vimos no acima, para que isto ocorra f devera´ possuir as seguintes
propriedades:
• Im(f) = B;
• x1 6= x2 em A ⇒ f(x1) 6= f(x2) em B.
Definic¸a˜o 4.
(i) Uma func¸a˜o f : A → B e´ SOBREJETORA quando Im(f) = B, ou seja,
se o conjunto imagem e´ igual ao contradomı´nio.
(ii) Uma func¸a˜o f : A → B e´ INJETORA quando elementos distintos de A
possuem imagens distintas em B, isto e´, x1 6= x2 em A ⇒ f(x1) 6= f(x2)
em B.
(iii) Uma func¸a˜o f : A → B e´ BIJETORA quando for injetora e sobrejetora
AO MESMO TEMPO.
Conclu´ımos, portanto, que uma func¸a˜o f : A → B e´ INVERTI´VEL se,
somente se, e´ bijetora. Neste caso, existe uma func¸a˜o g : B → A que faz a
associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x, ou seja, g(f(x)) = x.
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Exemplo 9. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o bijec¸o˜es e, em caso afirmativo,
obtenha a func¸a˜o inversa correspondente.
(A) f : R→ R dada por f(x) = x
(B) g : R→ [0,+∞) dada por g(x) = x2
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(C) h : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por h(x) = x2
Observac¸a˜o 4.
• A notac¸a˜o para a func¸a˜o inversa de f e´ f−1.
• Na˜o confunda a func¸a˜o inversa f−1 com o quociente de func¸o˜es 1
f
!
• Conforme vimos acima, atrave´s do gra´fico da func¸a˜o e´ poss´ıvel saber se
esta e´ INJETORA. Para isto, basta verificar se TODAS as retas HORI-
ZONTAIS que passam pelo CONTRADOMI´NIO intersetam o gra´fico NO
MA´XIMO uma vez.
• Conforme vimos acima, atrave´s do gra´fico da func¸a˜o e´ poss´ıvel saber se
esta e´ SOBREJETORA. Para isto, basta verificar se TODAS as retas HO-
RIZONTAIS que passam pelo CONTRADOMI´NIO intersetam o gra´fico
NO MI´NIMO uma vez.
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5 Propriedades
Definic¸a˜o 5 (Pontos de Ma´ximo e Mı´nimo). Seja f : A→ B uma func¸a˜o.
• Dizemos que o ponto xm e´ um ponto de MI´NIMO LOCAL quando existe
algum intervalo aberto I tal que para qualquer x ∈ A ∩ I tem-se que
f(xm) ≤ f(x). Em particular, quando f(xm) ≤ f(x); ∀x ∈ A, dizemos
que xm e´ um ponto de mı´nimo GLOBAL.
• Dizemos que o ponto xM e´ um ponto de MA´XIMO LOCAL quando existe
algum intervalo aberto I tal que para qualquer x ∈ A ∩ I tem-se que
f(xM) ≥ f(x). Em particular, quando f(xM ) ≥ f(x); ∀x ∈ A, dize-
mos que xM e´ um ponto de ma´ximo GLOBAL.
Exemplo 10. Considere a func¸a˜o f(x) = |4− x2|
Observac¸a˜o 5.
Existem func¸o˜es que na˜o possuem nem ma´ximo nem mı´nimo locais!
Definic¸a˜o 6 (Func¸o˜es crescentes ou decrescentes). Seja f : A→ B uma func¸a˜o
e I ⊂ A um intervalo.
• Dizemos que f e´ CRESCENTE em I se
x1 < x2 em I ⇒ f(x1) < f(x2). (f preserva a ordem!)
• Dizemos que f e´ DECRESCENTE em I se
x1 < x2 em I ⇒ f(x1) > f(x2). (f inverte a ordem!)
Observac¸a˜o 6. Quando f e´ crescente em todo o seu domı´nio dizemos que esta
e´ uma func¸a˜o crescente. De maneira ana´loga, uma func¸a˜o e´ decrescente quando
for decrescente em todo o seu domı´nio.
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Exemplo 11. (Re)Considere a func¸a˜o f(x) = |4− x2|
Definic¸a˜o 7 (Func¸a˜o Limitada). Seja f : A → B uma func¸a˜o, I ⊂ A e consi-
dere o conjunto f(I) = {f(x), x ∈ I} (Imagem de I pela func¸a˜o f). Dizemos
que f e´ LIMITADA em I quando f(I) for um conjunto limitado. Em particu-
lar, quando f for limitada em todo o seu domı´nio diremos apenas que esta e´
limitada.
Exemplo 12. (Re2)Considere a func¸a˜o f(x) = |4− x2|
Definic¸a˜o 8 (Func¸o˜es Pares ou I´mpares). Seja f : A→ B uma func¸a˜o.
• Dizemos que f e´ PAR quando x ∈ A⇒ −x ∈ A e f(x) = f(−x).
• Dizemos que f e´ IMPAR quando x ∈ A⇒ −x ∈ A e f(x) = −f(−x).
Exemplo 13.
(A) f(x) = x2
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(B) g(x) = x3
(C) x3 + 1
Definic¸a˜o 9 (Func¸a˜o Perio´dica). Seja f : R→ R uma func¸a˜o. Dizemos que f
e´ perio´dica se existe T > 0 tal que f(x+ T ) = f(x); ∀x ∈ R.
Exemplo 14. Considere f(x) = sen(x).
Observac¸a˜o 7.
• O nu´mero T e´ chamado de per´ıodo da func¸a˜o.
• Note que se T e´ um per´ıodo de f , enta˜o 2T, 3T, . . . tambe´m sa˜o per´ıodos!
(Prove!)
• O gra´fico de uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T se repete a cada intervalo
de comprimento T .
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6 Exerc´ıcios
1. Para cada um dos items abaixo fac¸a o que se pede:
• Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
• Obtenha o conjunto imagem e responda se a func¸a˜o dada e´ limitada
ou na˜o.
• Responda se a func¸a˜o e´ par ou ı´mpar.
• Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
• Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo. (Quando existirem)
• Responda se a func¸a˜o e´ injetora.
• Responda se a func¸a˜o e´ sobrejetora.
• Responda se a func¸a˜o e´ invenc´ıvel e, em caso afirmativo, obtenha a
inversa.
(a) f1 : R→ R dada por f1(x) = 3x− 1.
(b) f2 : R→ R+ ∪ {0} dada por f2(x) = |3x− 1|.
(c) f3 : R→ R dada por f3(x) = −x2 + 9.
(d) f4 : (0, 3]→ (0, 6] dada por f4(x) = 2x.
(e) f5 : (−∞, 5]→ R dada por f5(x) =
{
x2 se x < 1
−x+ 2 se x ≥ 1
(f) f6 : [0,∞)→ R+ ∪ {0} dada por f6(x) = |x2 − 3x|.
(g) f7 : R→ R dada por f7(x) = x2 + 2.
(h) f8 : [−2, 3]→ R dada porf8(x) = x2 + 2.
(i) f9 : R+ → R+ dada por f9(x) = x2.
(j) f10 : R→ R dada por f10(x) = −|x|.
(k) f11 : R→ R dada por f11(x) = −x
3
+ 1.
(l) f12 : (−3,→ +∞)→ R dada por f12(x) = −x
3
+ 1.
(m) f13 : [0,+∞)→ (−∞, 0] dada por f13(x) = −
√
2x.
(n) f14 : R→ R dada por f14(x) =
{
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3
.
(o) f15 : R→ R dada por f15 = f7 · f14.
(p) f16 : R→ R dada por f16(x) =
{
1
x se x 6= 0
0 se x = 0
.
(q) f17 : R→ [−1,+∞) dada por f17(x) =

√−x se x < 0
− 12 se x = 0√
x− 1 se x > 0
.
(r) f18 : (−∞,−1)∪[0,+∞)→ R dada por f18(x) =
{ −pi se x < −1
x2 se x ≥ 0 .
(s) f19 : (−1, 1]→ R dada por f19(x) = 1−
√
1− x2.
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