Torção Deformação e Diagramas

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Prazo: 15/04/2018 
AULA: ☐SEG ☒TER ☐QUA ☐QUI ☐SEX HORÁRIO: ☒1,2 ☒3,4 
PROFESSOR: Daniel Caetano 
DISCIPLINA: CCE0330 – Resistência dos Materiais II 
CURSO: 
 
ENGENHARIA CIVIL 
R.A.: 
 
NOME: 
 
INSTRUÇÕES 
a) Preencha corretamente o CURSO, o R.A. e seu NOME e, se necessário, o DIA DA SEMANA/HORÁRIO da aula; 
b) Entregue o trabalho pelo SAVA – tire uma foto dessa capa e da solução, colando em arquivo Word. 
c) NÃO serão aceitos trabalhos após o prazo, fique atento. 
 
 
QUESTÕES - AULA 06 
6.1. A barra abaixo, que possui G = 20 GPa, tem R = 10 cm. Trace os diagramas de torção e 
calcule quanto ponta da barra irá girar com relação ao engastamento e o 𝜏𝑀𝐴𝑋. 
 
 
6.2. (OPCIONAL) Calcule qual seria a diferença de rotação e cisalhamento máximo se a barra 
fosse oca, com o raio interno igual a 5 cm. 
6.3. Um trecho da estrutura de um shopping center tem sobre ela aplicada uma grande 
quantidade de esforços de torção devido à ação de outros elementos estruturais. Existem duas 
preocupações básicas nesse cenário: a primeira é verificar se a tensão de cisalhamento 
máxima é adequada ao material e, finalmente, se as deformações não são excessivas. Nesse 
contexto, analise as afirmativas abaixo e selecione a correta: 
a) Uma boa aproximação da deformação por torção pode ser obtida considerando o maior 
esforço torsor aplicado a um dos extremos da barra. 
b) Não há relação alguma entre o cisalhamento e a deformação da barra. 
c) Para calcular o cisalhamento máximo, traça-se o diagrama de momentos torsores e, como 
torque para o cálculo do cisalhamento, é adotada a diferença entre o maior e o menor 
momento torsor. 
d) A deformação pode ser calculada por trechos, segundo as regiões torção constante 
indicadas no diagrama de momentos torsores. 
e) A deformação será constante em toda a barra. 
20π kN.m
20π kN.m
1m 1m
Exercício - Aula 6 - Solução 
O objetivo deste exercício é que os alunos verifiquem a importância do diagrama de 
momentos torsores nos cálculos de rotações e cisalhamento máximo, além da percepção da 
influência da forma da seção nas rotações e tensões de cisalhamento máximas. 
O problema é apresentado com o seguinte enunciado: 
A barra abaixo, que possui G = 20GPa, tem R = 10 cm. Calcule quanto ponta da barra irá girar 
com relação ao engastamento e o 𝜏𝑀𝐴𝑋. 
 
Calcule qual seria a diferença de rotação e cisalhamento máximo se a barra fosse oca, com o 
raio interno igual a 5cm? 
Cálculos Básicos 
Acheio =  . R
2 
Avazado =  . R
2 -  . (R/2)2 → Avazado =  . R
2 -  . R2 / 4 → Avazado = 3 .  . R
2 
Jcheio =  . R
4 / 2 
Jvazado =  . R
4 / 2 – ( . (R/2)4 ) / 2 → Jvazado =  . R
4 / 2 – ( . R4 ) / 32 → Jvazado = 15 .  . R
4 / 32 
Resumidamente: 
L = 2 m2 R=0,1m G = 20GPa 
Acheio =  . R
2 Avazado = 3 .  . R
2 Jcheio =  . R
4 / 2 Jvazado = 15 .  . R
4 / 32 
 
Diagrama de Momento Torsor 
 
Caso 1: Seção Cheia 
φtotal = φ1 + φ2 
φ1 = T1.L1/G.J = T1.L1/(G.  . R
4 / 2) = 2.T1.L1/(G.  . R
4) 
φ1 = 2.4.10
4. .1/(2.1010.  . 1 . 10-4) = 2.4.104..1/(2.106. ) =4.10-2 rad 
φ2 = 2.2.10
4. .1/(2.1010.  . 1 . 10-4) = 2.2.104..1/(2.106. ) =2.10-2 rad 
φtotal = 4.10
-2
 + 2.10
-2 = 6.10-2 rad 
max = Tmax . R / Jcheio = Tmax . R / ( . R
4 / 2) = 2 . Tmax / ( . R
3) 
max = 2 . 4 . 10
4 .  / ( . 1.10-3) = 8 . 107 = 80 MPa 
 
Caso 2: Seção Vazada 
φtotal = φ1 + φ2 
φ1 = T1.L1/G.J = T1.L1/(G. 15 .  . R
4 / 32) = 32.T1.L1/(G. 15 .  . R
4) 
φ1 = 32 . 4.10
4. .1/(2.1010. 15 .  . 1 . 10-4) = 128.104/(30.106) =64.10-2/ 15 rad 
φ2 = 32. 2.10
4. .1/(2.1010. 15.  . 1 . 10-4) = 64.104/(30.106) = 32.10-2 / 15 rad 
φtotal = 64.10
-2/ 15 + 32.10-2 / 15 = 96.10-2 / 15 rad ≈ 6,4.10-2 rad 
 
max = Tmax . R / Jvazado = Tmax . R / (15 .  . R
4 / 32) 
max = 32 . Tmax / (15 .  . R
3) 
max = 32 . 4 . 10
4 .  / (15 .  . 1 . 10-3) 
max = 128 . 10
7 / 15 Pa = 1280/15 Mpa ≈ 85,33Mpa 
 
6.3. Um trecho da estrutura de um shopping center tem sobre ela aplicada uma grande 
quantidade de esforços de torção devido à ação de outros elementos estruturais. Existem duas 
preocupações básicas nesse cenário: a primeira é verificar se a tensão de cisalhamento 
máxima é adequada ao material e, finalmente, se as deformações não são excessivas. Nesse 
contexto, analise as afirmativas abaixo e selecione a correta: 
a) Uma boa aproximação da deformação por torção pode ser obtida considerando o maior 
esforço torsor aplicado a um dos extremos da barra. 
b) Não há relação alguma entre o cisalhamento e a deformação da barra. 
c) Para calcular o cisalhamento máximo, traça-se o diagrama de momentos torsores e, como 
torque para o cálculo do cisalhamento, é adotada a diferença entre o maior e o menor 
momento torsor. 
d) A deformação pode ser calculada por trechos, segundo as regiões torção constante 
indicadas no diagrama de momentos torsores. 
e) A deformação será constante em toda a barra. 
 
Resposta: D 
a) A deformação deve ser calculada por partes (como indicado em D) 
b) Há relação; ambas as grandezas são relacionadas ao torque. 
c) O cisalhamento máximo é calculado com base no maior momento torsor, apenas. 
e) A deformação varia de acordo com os momentos torsores aplicados.