Teoria EletromagnÇtica I_07

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3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
Já vimos o gradiente de um escalar e o divergente de um vetor
Agora apresentaremos o operador rotacional.
O rotacional de um campo vetorial B descreve a propriedade rotacional, ou a circulação de B.
Para um contorno fechado C, a circulação de B é definida como uma integral de linha de B em torno do percurso C. Ou seja:
3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
3.3) Rotacional de um Campo Vetorial
O rotacional de um vetor é definido para um ponto; isso porque pela definição a circulação é normalizada para a área Δs, sendo Δs próximo de zero.
Para um vetor B dado em coordenadas cartesianas como:
Pode-se mostrar que, através de um processo bastante longo e envolvendo derivação, a definição resulta em:
3.3.1) Identidades Vetoriais Envolvendo o Rotacional
Para quaisquer dois vetores A e B :
∇ x (A + B) = ∇ x A + ∇ x B,
∇ • (∇ x A) = 0 para qualquer vetor A,
∇ x (∇V) = 0 para qualquer função escalar em V.
As identidades (2) e (3) são propriedades importantes.
3.3.2) Teorema de Stokes
O teorema de Stokes converte a integral de superfície do rotacional de um vetor sobre uma superfície S em uma integral de linha do vetor ao longo do contorno C que envolve a superfície S.
Matematicamente o teorema de Stokes é dado por:
Se ∇ x B = 0, dizemos que o campo B é conservativo ou não-rotacional porque sua circulação é zero.
3.3.2) Teorema de Stokes
3-4) Operador Laplaciano
Uma combinação frequentemente encontrada em cálculo vetorial é o divergente do gradiente de um escalar.
Para uma função escalar V definida em coordenadas cartesianas, seu gradiente é:
O divergente de ∇V é:
3-4) Operador Laplaciano
Por conveniência, ∇ • (∇V) é denominado laplaciano de V e indicado por ∇2V (o símbolo ∇2 é pronunciado “del ao quadrado” ou “nabla ao quadrado). Ou seja:
Como podemos ver, o laplaciano de uma função escalar é um escalar
3-4) Operador Laplaciano
O laplaciano de um escalar pode ser usado para definir o laplaciano de um vetor. Para um vetor E dado em coordenadas cartesianas por:
o laplaciano de E é definido como:
Pode-se mostrar que: