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Parte 1: Variáveis aleatórias 
discretas e distribuição de 
probabilidade
Prof.: Vicente Júlio
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CAMPUS SOBRAL
Sumário
• Variáveis aleatórias
• Distribuições de probabilidade
Variáveis aleatórias
Introdução
• Em qualquer experimento há diversos aspectos 
que podem ser observados ou medidos
• Exemplo: Em uma pesquisa sobre qualidade de 
transporte público podemos realizar consultas 
sobre distância percorrida pelos indivíduos, 
número de pessoas que usam o mesmo veículo, 
número de conduções até o destino final, etc
• Em geral cada resultado de um experimento é 
associado a um número
Introdução
• Dado um espaço amostral S, variável aleatória 
(va) é qualquer regra que associe um valor a 
cada resultado de S.
• Em termos matemáticos, uma variável 
aleatória é uma função cujo domínio é o 
espaço amostral e o contradomínio é o 
conjunto de números reais
Introdução
Espaço 
amostral (S)
Números 
reais
A
X(A)
B
X(B)
C
X(C)
Introdução
• Exemplo: Considere que um estudante tenta 
acessar um computador em um sistema de 
compartilhamento de tempo. Considere o evento 
em que todas as portas estão ocupadas e 
portanto não há acesso (N) e o evento em que ao 
menos uma porta está livre e portanto há acesso 
ao sistema (Y). Espaço amostral S = {N, Y}. 
Podemos definir uma va X como X(Y) = 1 e X(N) = 
0. A va X indica se o estudante pode (1) ou não 
(0) acessar o sistema. Variáveis aleatórias que 
assumem valores 0 e 1 são denominadas de 
variáveis aleatórias de Bernoulli
Introdução
• Exemplo: Considere 2 postos com 3 bombas de 
gasolina cada. Suponha o experimento de 
verificar o número de bombas sendo utilizadas 
em um dado instante. Considere três variáveis 
aleatórias: X, Y e Z. X consiste no número total de 
bombas utilizadas nos dois postos. Y consiste na 
diferença do número de bombas em uso no posto 
1 e posto 2. Z consiste no máximo de bombas em 
uso nos dois postos. Dado um evento A = (2,3), 
determine X(A), Y(A) e Z(A).
Introdução
• Exemplo (continuação): Temos que
X(A) = 2 + 3 = 5
Y(A) = 2 – 3 = -1
Z(A) = max(2, 3) = 3
Tipos de variáveis aleatórias
• Variável aleatória discreta:
– Valores possíveis constituem um conjunto finito 
ou podem ser relacionados em uma seqüência 
infinita na qual haja um primeiro elemento, um 
segundo e assim por diante
• Variável aleatória contínua:
– Valores possíveis consistem em um intervalo 
completo da reta de números
Distribuições de probabilidade para 
variáveis aleatórias discretas
Função massa de probabilidade (fmp)
• Como cada evento A em um espaço amostral 
S possui uma probabilidade associada, existe 
também uma probabilidade de uma dada 
variável aleatória X assumir um valor em 
particular x
• Função distribuição de probabilidade ou 
função massa de probabilidade (fmp): 
Definida para cada número x por p(x) = P(X=x) 
= P(todos os s Є S: X(s) = x)
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo: Seis lotes de componentes estão 
prontos para embarque em um fornecedor. 
Alguns componentes estão com defeito.
Seja X uma va que consiste no número de 
componentes com defeito do lote a ser 
enviado. Determine a fmp de X.
Lote 1 2 3 4 5 6
Número de peças 
com defeito
0 2 0 1 2 0
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação): Temos que os valores 
possíveis que a va X pode assumir são 0, 1 e 2. 
Assumindo que a escolha dos lotes são 
equiprováveis, temos:
p(0) = P(X=0)=P(Lote 1 ou 3 ou 6 é enviado) = 3/6 
= 0,5
p(1) = P(X=1)=P(Lote 4 é enviado) = 1/6 = 0,167
p(2) = P(X=2)=P(Lote 2 ou 5 é enviado) = 2/6 = 
0,333
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo: Considere 5 amostras de sangue de 
um grupo de 5 doadores: A, B, C, D e E. Desses 
apenas A e B possuem tipo O+. Essas amostras 
serão testadas em sequência aleatória até que 
seja identificada um tipo O+. Seja Y uma va
que consiste no número de amostras 
necessárias para encontrar um tipo O+. 
Determine a fmp.
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação):
p(1) = P(Y = 1) = P[(A ou B testados primeiro)] 
= 2/5 = 0,4
p(2) = P(Y = 2) = P(C, D ou E primeiro e A ou B 
segundo) = P[(C, D ou E primeiro)] . P[(A ou B 
segundo)| (C, D ou E primeiro)] = (3/5).(2/4) = 
0,3
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação):
p(3) = P(Y = 3) = P[(C, D ou E primeiro e C, D ou 
E segundo e A ou B terceiro)] 
= P[(C, D ou E primeiro)] . P[(C, D ou E 
segundo) | (C, D ou E primeiro)] . P[(A ou B 
terceiro)| (C, D ou E primeiro)e(C, D ou E 
segundo)]
= (3/5).(2/4).(2/3) = 0,2
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação):
p(4) = P(Y = 4) = P[C, D ou E primeiro, segundo 
e C, D ou E terceiro e então A ou B quarto] 
= P[(C, D ou E primeiro)] . P[(C, D ou E segundo)|(C, D ou 
E primeiro)] . P[(C, D ou E terceiro)|(C, D ou E 
primeiro)e(C, D ou E segundo)] . P[(A ou B quarto) | (C, D 
ou E primeiro)e(C, D ou E segundo)e(C, D ou E terceiro)]
= (3/5).(2/4).(1/3).(1) = 0,1
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação):
p(y) = 0 para y ≠ 1, 2, 3 e 4
y 1 2 3 4
p(y) 0,4 0,3 0,2 0,1
Função massa de probabilidade (fmp)
• Exemplo (continuação):
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Algumas vezes desejamos determinar para um 
dado valor x, qual a probabilidade de o valor 
de uma va X ser no máximo x
• Exemplo: Dado uma fmp: p(0) = 0,5; p(1) = 
0,167; p(2) = 0,333; p(x) = 0 para outro valor 
de x. A probabilidade de X ser no máximo 1 é 
P(X≤1) = p(0) + p(1) = 0,5 + 0,167 = 0,667
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Função de distribuição acumulada F(x) (fda): 
F(x) de uma va discreta com fmp p(x) é 
definida para cada valor de x por 
Para qualquer valor de x, F(x) é a 
probabilidade de o valor X observado ser no 
máximo x
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Exemplo: Dada a fmp p(y) representada na 
tabela abaixo, calcule a fda F(y).
y 1 2 3 4
p(y) 0,4 0,3 0,2 0,1
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Exemplo (continuação):
F(1) = P(Y≤1) = P(Y=1) = p(1) = 0,4
F(2) = P(Y≤2) = P(Y=1 ou 2) = p(1) + p(2) = 0,7
F(3) = P(Y≤3) = P(Y=1 ou 2 ou 3) = p(1) + p(2) + 
p(3) = 0,9
F(4) = P(Y≤4) = P(Y=1 ou 2 ou 3 ou 4) = p(1) + 
p(2) + p(3) + p(4) = 1
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Exemplo (continuação):
Função de distribuição acumulada 
(fda)
• Exemplo (continuação):
Obtendo fmp através da fda
• Vimos que a fda pode ser obtida através da 
fmp
• Da mesma forma a fmp pode ser obtida 
através da fda
• Exemplo: Suponha que conhecemos a fda de 
uma va X, F(x), que pode assumir os valores 
{0, 1, 2, ...}. Desejamos obter p(3).
p(3) = ?
Obtendo fmp através da fda
• Vimos que a fda pode ser obtida através da 
fmp
• Da mesma forma a fmp pode ser obtida 
através da fda
• Exemplo: Suponha que conhecemos a fda de 
uma va X, F(x), que pode assumir os valores 
{0, 1, 2, ...}. Desejamos obter p(3).
p(3) = P(X = 3) = ?
Obtendo fmp através da fda
• Vimos que a fda pode ser obtida através da 
fmp
• Da mesma forma a fmp pode ser obtida 
através da fda
• Exemplo: Suponha que conhecemos a fda de 
uma va X, F(x), que pode assumir os valores 
{0, 1, 2, ...}. Desejamos obter p(3).
p(3) = P(X = 3) = (p(0)+p(1)+p(2)+p(3)) -
(p(0)+p(1)+p(2)) = ?
Obtendo fmp através da fda
• Vimos que a fda pode ser obtida através da 
fmp
• Da mesma forma a fmp pode ser obtida 
através da fda
• Exemplo: Suponha que conhecemos a fda de 
uma va X, F(x), que pode assumir os valores 
{0, 1, 2, ...}. Desejamos obter p(3).
p(3) = P(X = 3) = (p(0)+p(1)+p(2)+p(3)) -
(p(0)+p(1)+p(2)) = P(X≤3) - P(X≤2)= ?
Obtendo fmp através da fda
• Vimos que a fda pode ser obtida através da 
fmp
• Da mesma forma a fmp pode ser obtida 
através da fda
• Exemplo: Suponha que conhecemos a fda de 
uma va X, F(x), que pode assumir os valores 
{0, 1, 2, ...}. Desejamos obter p(3).
p(3) = P(X = 3) = (p(0)+p(1)+p(2)+p(3)) -
(p(0)+p(1)+p(2)) = P(X≤3) - P(X≤2) = F(3) – F(2)
Obtendo fmp através da fda
• Para quaisquer dois números a e b,
P(a≤X ≤b) = F(b)-F(a-)
Em que “a-” representa o maior valor possível 
de X estritamente menor que a. Em particular, 
se os únicos valores possíveis forem inteiros e, 
se a e b forem inteiros, então
P(a ≤X ≤b) = P(X=a ou (a+1) ou (a+2)ou...ou b) 
= F(b) – F(a-1) 
Obtendo fmp através da fda
• Exemplo: Considere X uma va que representa 
o número de dias de licença por doença de 
funcionários de uma grande empresa 
selecionado aleatoriamente durante o ano. O 
máximo de dias de licença é 14. Considere que 
F(0) = 0,58, F(1) = 0,72, F(2) = 0,72, F(3) = 0,81, 
F(4) = 0,88 e F(5) = 0,94. Determine P(2≤X≤5) 
e p(3).
Obtendo fmp através da fda
• Exemplo (continuação): 
P(2≤X ≤5) = P(X = 2, 3, 4 ou 5) = F(5) – F(1) = 
0,22
p(3) = P(X = 3) = F(3) – F(2) = 0,05
Propriedades da fmp e fda
• Seja X uma va discreta e x1, x2, ..., xn os valores 
que X pode assumir então temos que
Note que essas propriedades são válidas mesmo 
que n→∞
Sugestão de exercícios
• Capítulo 3 (Livro: Probabilidade e Estatística 
para engenharia e ciências; Autor: Jay L. 
Devore)
– Seção 3.1 – 1, 5 e 9
– Seção 3.2 – 11, 12, 18, 23, 26 e 27