Relatório de Física Experimental I - Movimento de um carrinho em um plano inclinado

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Movimento de um corpo em um plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento de um corpo em um plano inclinado 
 
 
 
 
 
 
Matheus Rodrigues de Souza 
André de Sá 
Turma ER2 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2018 
 
 
 
 
 
Experimento 3: Movimento de um corpo em um plano inclinado 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado a 
disciplina de Física 
Experimental I do Instituto de 
Física da UFRJ como requisito 
parcial de avaliação. 
 
Prof.: Paulo Ortega 
 
 
 
 
 
 
 
2018.1 
 
 
3.1 Resumo 
Neste experimento determinamos o valor da aceleração da gravidade (𝑔𝑔). O resultado obtido 
será comparado com o valor de referência para a cidade do Rio de Janeiro. 
Vamos realizar a medida a partir da análise do movimento de um carrinho em um trilho de ar 
inclinado com atrito desprezível, utilizando um sistema de vídeo, isto é, uma filmagem do 
experimento e o programa ImageJ para o tratamento dos dados. 
Por fim, concluímos que o método usado é suficientemente efetivo, mas precisa ser 
melhorado. Conseguimos valores compatíveis com o referencial ademais, com uma 
discrepância muita alta e algumas medidas de incerteza mais altas que o esperado. 
3.2 Introdução 
O objetivo deste experimento é determinar valor da aceleração da gravidade a partir da 
análise do movimento de um carrinho no trilho de ar inclinado com atrito desprezível e 
comparara-lo com o valor de referência para o Estado do Rio de Janeiro: 
 𝑔𝑔 = (978,7 ± 0,1) 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ . 
A partir das Leis de Newton para um corpo em um plano inclinado com atrito desprezível a 
aceleração da gravidade pode ser determinada da seguinte forma: 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎
seno𝜃𝜃
 
Como vimos no experimento 1, apenas uma amostra de dados não é suficiente para chegar a 
um valor compatível com o real, sendo assim, faremos o experimento para duas inclinações 
distintas. 
O carrinho realiza um movimento uniformemente acelerado, tendo em vista isso, esperamos 
que o gráfico de posição em função do tempo seja uma curva ascendente, o gráfico de 
velocidade em função do tempo uma reta crescente e o gráfico de aceleração em função do 
tempo uma reta paralela ao eixo horizontal. 
O valor da velocidade será determinado pelo ajuste linear do gráfico da velocidade em função 
do tempo. 
3.3 Procedimento Experimental 
 
Para realizar este experimento, começamos posicionando o carrinho em um trilho de ar e um 
tripé com a câmera direcionada ao trilho de forma com que ele apareça por inteiro na 
filmagem. 
 
Após o posicionamento, definimos as duas inclinações desejadas por meio de blocos de 
madeira, a primeira inclinação foi realizada com dois blocos e a segunda com dez, ambos 
colocados embaixo de uma das hastes de suporte do trilho. 
 
A seguir, ligamos o trilho de ar e gravamos o movimento para as duas inclinações da seguinte 
forma: Um integrante segurava o carrinho e apenas o soltava, desta forma o carrinho 
começava um movimento a partir do repouso, um dispositivo com um elástico acoplado ao 
final do trilho de ar parou seu movimento. Enquanto isso um outro integrante controlava a 
filmagem. 
 
Após a gravação do vídeo, coletamos os dados necessários para o cálculo do valor de seno𝜃𝜃 
da seguinte forma: Estabelecemos dois pontos sob o trilho e medimos suas respectivas alturas 
ℎ1 e ℎ2 em relação à superfície e a distância 𝑑𝑑 entre estes pontos e calculamos o valor através 
da seguinte relação advinda da trigonometria: seno𝜃𝜃 = |ℎ1− ℎ2|
𝑑𝑑
 . 
 
O próximo passo é a análise do vídeo no programa de computador ImageJ para a obtenção dos 
dados necessários ao cálculo da aceleração da gravidade, realizamos tal procedimento da 
seguinte forma: Primeiro, rotacionamos os dois vídeos pelo modo manual do programa de 
forma que a única coordenada que variasse no movimento fosse a 𝑥𝑥. 
 
Após isso, dividimos os vídeos em um número de partes 𝑁𝑁 de forma que todas as partes 
tivessem um intervalo de tempo igual, depois, medimos a posição 𝑝𝑝 em pixels para cada 
posição 𝑁𝑁 e estimamos a incerteza 𝛿𝛿𝑝𝑝 avaliando a mudança de cor numa fileira horizontal de 
pixels. 
 
Material necessário ao experimento: 
Um trilho de ar de 200𝑐𝑐𝑐𝑐 com precisão de 0.1𝑐𝑐𝑐𝑐 e com dispositivo com elástico acoplado no 
final, carrinho, dez blocos de madeira, tripé para a câmera, câmera filmadora, régua de 
precisão de 0.1𝑐𝑐𝑐𝑐, programa ImageJ, programa Qtiplot 
 
3.4 Análise de Dados 
Para transformar as medidas em pixels 𝑝𝑝 para medidas 𝑥𝑥 em 𝑐𝑐𝑐𝑐 determinamos uma 
constante de calibração 𝐾𝐾. 
Usamos como medida de referência em 𝑐𝑐𝑐𝑐 o comprimento total do trilho de ar que 
chamamos de 𝐷𝐷 que é de 200 𝑐𝑐𝑐𝑐, o valor do comprimento do trilho de ar em pixel 𝐷𝐷𝑝𝑝 é de 
Optamos pelo comprimento do trilho de ar pois seu valor total é mais preciso que o de uma 
medida realizada através de uma régua, isso, devido às incertezas aleatórias do procedimento. 
O valor obtido para a constante de calibração foi de 0,163𝑐𝑐𝑐𝑐 através da seguinte fórmula: 
𝐾𝐾 = 𝐷𝐷
𝐷𝐷𝑝𝑝
 
A incerteza da posição 𝑝𝑝 em pixels foi estimada da seguinte forma: Para cada posição 𝑁𝑁 do 
vídeo, analisamos a variação de cor para ambos os sentidos do eixo horizontal. A quantidade 
de pixels enfileirados para ambos os lados dividido por 2 era a incerteza naquele quadro. 
A velocidade foi calculada através da fórmula da velocidade instantânea: 𝑉𝑉�⃗ = (𝑥𝑥𝑖𝑖+1)− (𝑥𝑥𝑖𝑖−1)(𝑡𝑡𝑖𝑖+1)− (𝑡𝑡1−1) 
 
Os dados coletados através da análise dos vídeos e suas respectivas incertezas calculadas 
através da propagação estão na tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
Tabela 3.2: Medidas de posição e velocidade em função do tempo para a inclinação 2 
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑑𝑑𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑡𝑡(𝑠𝑠) 𝑥𝑥(𝑝𝑝) 𝛿𝛿𝑝𝑝 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝛿𝛿𝑥𝑥 𝑣𝑣(𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠⁄ ) 𝛿𝛿𝑣𝑣 
4 0,13 57 3 17,1 0,75 1,5 0,27 
7 0,23 58 2 17,4 0,68 3 0,28 
10 0,33 59 3 17,7 0,98 6 0,28 
13 0,43 62 2 18,6 0,65 15 0,28 
16 0,53 69 5 20,7 1,62 24 0,28 
19 0,63 78 4 23,4 1,31 30 0,29 
22 0,73 89 8 26,7 2,61 39 0,29 
25 0,83 104 7 31,2 2,61 49,5 0,29 
28 0,93 122 5 36,6 1,92 55,5 0,29 
31 1,03 141 4 42,3 1,63 61,5 0,29 
34 1,13 163 2 48,9 0,85 72 0,30 
37 1,23 189 3 56,7 1,38 81 0,30 
40 1,33 217 3 65,1 1,48 85,5 0,30 
43 1,43 246 6 73,8 3,21 96 0,30 
46 1,53 281 3 84,3 1,75 105 0,30 
49 1,63 316 7 94,8 4,43 109,5 0,31 
52 1,73 354 4 106,2 2,75 114 0,31 
55 1,83 392 9 117,6 6,68 120 0,31 
58 1,93 434 5 130,2 4,06 130,5 0,31 
61 2,03 479 4 143,7 3,43 135 0,31 
64 2,13 524 7 157,2 2,75 141 0,31 
 
 
Tabela 3.2: Medidas de posição e velocidade em função do tempo para a inclinação 1 
𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑑𝑑𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑡𝑡(𝑠𝑠) 𝑥𝑥(𝑝𝑝) 𝛿𝛿𝑝𝑝 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝛿𝛿𝑥𝑥 𝑣𝑣(𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠⁄ ) 𝛿𝛿𝑣𝑣 
10 0,33 51 2 24,05 0,65 26,27 0,44 
19 0,63 74 1 33,15 0,34 33,03 1,15 
28 0,93 102 3 43,87 0,98 38,45 0,98 
37 1,23 135 2 56,22 0,68 43,33 1,55 
46 1,53 173 2 69,87 0,7 48,75 1,28 
55 1,83 215 2 85,47 0,73 53,63 1,11 
64 2,13 263 1 102,05 0,51 57,96 1,19 
73 2,43 314 1 120,25 0,57 62,83 2,39 
82 2,73 370 5 139,75 1,78 66,61 1,33 
91 3,03 430 1 160,22 0,86 45,5 2,55 
 
 
Através dos dados da inclinação 2, realizamos um gráfico no QtiPlot da posição em função do 
tempo com seu ajuste linear. 
 
 
 
 
Gráfico de posição em função do tempo da inclinação 2 com ajuste linear: 
 
Também através dos dados da tabela 3.2, realizamos um gráfico no QtiPlot da velocidade em 
função do tempo para ambas as inclinações 
 
Gráfico da velocidade em função do tempo da inclinação 1 com ajuste linear: 
 
Gráfico da velocidade em função do tempo da inclinação 2 com ajuste linear: 
 
A partir do ajuste linear do gráfico de velocidade em função do tempo realizado no QtiPlot 
conseguimos os valores de aceleração para ambasas alturas. 
Tais valores estão na tabela a seguir, com seus respectivos senos. 
 
Tabela 3.1: Medidas de 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑄𝑄 (𝜃𝜃) e aceleração. 
𝐼𝐼𝑠𝑠𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑠𝑠𝑄𝑄çã𝑄𝑄 ℎ1 ℎ2 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑄𝑄 𝜃𝜃 �⃗�𝑄𝑥𝑥(𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ ) 
1 15,0 15,5 50 0,01 16,14 
2 18,6 23 50 0,088 74,44 
 
Organizamos os valores de seno e aceleração com suas incertezas propagadas e incertezas 
relativas na tabela a seguir. 
 
Tabela 3.3: Medidas de seno e aceleração com suas incertezas. 
𝐵𝐵𝐼𝐼𝑄𝑄𝑐𝑐𝑄𝑄𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑄𝑄 𝜃𝜃 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝜖𝜖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 �⃗�𝑄𝑥𝑥(𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ ) 𝛿𝛿𝑎𝑎�⃗ 𝑥𝑥�𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ � 𝜖𝜖𝑎𝑎�⃗ 𝑥𝑥 2 0,01 0,003 0,3 16,14 0,44 0,025 
10 0,088 0,0033 0,04 74,44 0,12 0,013 
 
Determinamos a aceleração da gravidade pela fórmula: 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎
seno𝜃𝜃
 
Os valores para as inclinações 1 e 2 foram: (1614 ± 49) 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ e (845,4 ± 0,3) 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ 
respectivamente. 
Depois, calculamos as incertezas relativas, discrepância, compatibilidade com o valor de 
referência e incerteza relativa do valor de referência para efeito de comparação. 
Todos os valores citados estão organizados na tabela a seguir. 
 
Tabela 3.4: Medidas da aceleração da gravidade com suas incertezas. 
𝐼𝐼𝑠𝑠𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑠𝑠𝑄𝑄çã𝑄𝑄 𝑔𝑔(𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠2⁄ ) 𝛿𝛿𝑔𝑔 𝐷𝐷𝑔𝑔 𝜖𝜖𝑔𝑔 𝜖𝜖𝑔𝑔𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔 ∆𝑔𝑔 
1 1614 49 65,11% 3% 7% 0,25 
2 845,4 0,3 13,61% 3% 7% 0,013 
 
 
3.5 Discussão dos resultados 
Como podemos analisar a partir dos gráficos, o movimento do carrinho no experimento foi de 
acordo com o esperado, um movimento uniformemente acelerado. 
Todavia, para o último ponto da tabela 3.2 da inclinação 1 o gráfico apresentou um 
comportamento inesperado. Isso, devido a este ponto ser referente a desaceleração do 
carrinho, ali, ele estava perdendo velocidade devido ao choque com o dispositivo com elástico 
acoplado no final do trilho de ar. 
Com base nos nossos resultados obtidos, podemos ver que em ambas as inclinações 
obtivemos uma incerteza relativa do valor da aceleração da gravidade menor do que o valor de 
referência para o Estado do Rio de Janeiro, logo, conseguimos um valor mais preciso. 
Porém, na inclinação 1, o valor da discrepância foi muito alto. Provavelmente, devido a uma 
baixa quantidade de dados coletados das posições 𝑁𝑁 e além disso, por usarmos uma câmera 
com baixa resolução a incerteza da posição em pixels 𝛿𝛿𝑝𝑝 teve um valor muito alto, 
influenciando na precisão do resultado final. 
Na inclinação 2, os valores foram mais compatíveis e com uma discrepância menor em relação 
ao valor de referência, provavelmente, devido a um número maior de dados das posições 𝑁𝑁 
coletadas. 
 
3.6 Conclusões 
Como vimos na análise dados, o objetivo inicial do experimento foi concluído. Nossos 
resultados para a aceleração da gravidade (𝑔𝑔) foram compatíveis com o valor de referência. 
Porém, devido à uma câmera de baixa resolução e uma quantidade insuficiente de dados para 
a inclinação 1 obtivemos uma discrepância alta em relação ao valor de referência. 
Para melhorar o experimento, poderíamos usar uma câmera com maior resolução. 
Dessa forma o valor da incerteza da posição em pixels 𝛿𝛿𝑝𝑝 seria menor, e assim, os resultados 
seriam mais compatíveis. 
Além disso, um número maior de inclinações e posições 𝑁𝑁 também melhorariam a precisão 
dos valores obtidos. 
3.7 Apêndice 
As fórmulas de propagação de incerteza usadas no experimento estão listadas abaixo. 
 
𝛿𝛿𝑣𝑣 = �𝛿𝛿2𝑥𝑥+1 + 𝛿𝛿2𝑥𝑥−1𝑡𝑡2𝑖𝑖+1 − 𝑡𝑡2𝑖𝑖−1 
 
𝛿𝛿𝑥𝑥 = ��𝐷𝐷 ∙ 𝛿𝛿𝑝𝑝𝐷𝐷𝑝𝑝 �2 + �𝑝𝑝 ∙ 𝛿𝛿𝐷𝐷𝐷𝐷𝑝𝑝 �2 + �𝐷𝐷 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝛿𝛿𝑝𝑝𝐷𝐷𝑝𝑝2 �2 
 
𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 = ��1𝑑𝑑 ∙ 𝛿𝛿ℎ2�2 + �− 1𝑑𝑑 ∙ 𝛿𝛿ℎ1�2 + �− (ℎ2 − ℎ1)𝑑𝑑2 ∙ 𝛿𝛿𝑑𝑑�2 
 
𝛿𝛿𝑔𝑔 = �� 1seno𝜃𝜃 ∙ 𝛿𝛿𝑎𝑎�2 + � 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑄𝑄2 𝜃𝜃 ∙ 𝛿𝛿seno𝜃𝜃�2