Material-determinantes

Prévia do material em texto

Determinantes 
Matemática 
Prof. Mauricio José 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Determinantes 
Definição e Conceito 
 Dizemos que um determinante é um 
resultado (numérico) de operações que são 
realizadas em uma matriz quadrada. 
 Consideremos a matriz quadrada A, de 
ordem (n x n), abaixo: 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
A= 
 O determinante de A é indicado por: 
𝑑𝑒𝑡 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
 ou 
det A 
 ou 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
 
 Note que ao usarmos duas barras 
verticais, estamos sempre nos referindo a 
um determinante! 
Matriz de ordem 1 
Seja: 𝐴 = 𝑎11 
Então: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 
Matriz de ordem 2 
Seja: 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 
 Uma matriz 2 x 2 qualquer. O 
determinante de A é a diferença entre a 
diagonal principal e a diagonal secundária. 
Exemplo 
𝐴 =
2 1
3 6
 𝑑𝑒𝑡𝐴 =
2 1
3 6
 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 6.2 − 3.1 = 9 
Matriz de ordem 3 
 Para calcularmos o determinante de 
uma matriz de ordem 3 (ou superior), 
devemos recorrer a um algoritmo prático 
denominado Regra de Sarrus, que consiste 
em: 
1. Repetir as duas primeiras colunas 
2. Calcular o produto dos elementos de 
cada uma das diagonais ‘para a direita’. 
3. Repetir a operação para as diagonais 
‘para a esquerda’. 
4. Subtrair o resultado da soma das 
parcelas do passo (3) do resultado da 
soma das parcelasdo passo (2). 
Regra de Sarrus 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Esquematicamente: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
1. 
2. 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
𝑎11. 𝑎22. 𝑎33 = 𝑅1 
𝑎12. 𝑎23. 𝑎31 = 𝑅2 
𝑎13. 𝑎21. 𝑎32 = 𝑅3 
3. 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
𝑎13. 𝑎22. 𝑎31 = 𝑅4 
𝑎11. 𝑎23. 𝑎32 = 𝑅5 
𝑎12. 𝑎21. 𝑎33 = 𝑅6 
4. 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 − 
(𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6) 
Exemplo: 
𝐴 =
2 1 −3
3 2 4
2 5 −2
 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 =
2 1 −3
3 2 4
2 5 −2
2 1
3 2
2 5
 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2.2. −2 + 1.4.2 + −3 . 3.5 
− −3 . 2.2 − 2.4.5 − 1.3. (−2) 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −8 + 8 − 45 
+12 − 40 + 6 = −67 
Exercícios 
1. (UEL) A solução positiva da equação 
2 5
𝑥 5
=
𝑥 1
4 𝑥
 é um número: 
a) Ímpar b) primo c) não inteiro 
d) cubo perfeito e) quadrado perfeito 
2. (UNIFOR) Considere as matrizes 
𝐴 =
−1 0 1
0 2 −2
 𝐵 =
2 −1
1 2
0 1
 
Então o determinante de A.B vale: 
a) 64 b) 8 c) 0 
d) -8 e) -64 
Determinante Nulo 
 É possível notar que em certas situações, as 
matrizes possuem singularidades que facilitam 
o cálculo de seus respectivos determinantes. 
Um desses casos é a situação na qual o 
determinante é nulo. 
 
 Chamamos uma coluna ou linha qualquer 
de uma matriz de fila. O determinante de uma 
matriz sempre será nulo nas seguintes 
situações: 
Determinante Nulo 
 
1. A matriz possui uma fila nula. 
2. A matriz possui duas filas paralelas 
iguais. 
3. A matriz possui duas filas paralelas 
proprocionais. 
4. Uma fila da matriz for combinação 
linear de outras duas filas paralelas. 
 Vamos falar de cada caso separadamente: 
 
Fila Nula: É intuitivo que se uma fila for nula, 
todos as operações resultantes da Regra de 
Sarrus serão multiplicadas por zero! Portanto, o 
determinante será nulo. 
 
Filas Paralelas Iguais: Se duas filas paralelas 
forem iguais, a simetria decorrente das 
operações da Regra de Sarrus tornam o 
determinante nulo. 
 
Obs: Note que por filas paralelas iguais, nos 
referimos a duas colunas iguais OU duas linhas 
iguais. 
 
Filas Paralelas Proporcionais: Se duas filas 
paralelas forem proporcionais, assim como no 
caso anterior, a simetria das operações da Regra 
de Sarrus tornam nulo o determinante da 
matriz. 
Fila Combinação Linear: Uma fila é dita 
combinação linear das outras filas paralelas, 
quando esta fila puder ser obtida pela soma ou 
subtração de múltiplos inteiros de outras filas. 
Exemplo: 
𝐴 =
3 2 0
3 1 3
1 2 −4
 
 Se chamarmos de C1 a primeira coluna, C2 
a segunda e assim por diante, podemos notar 
que: 
𝐶3 = 2. 𝐶1 − 3. 𝐶2 
 Neste caso, dizemos que C3 é combinação 
linear de C1 e C2, e portanto detA = 0. 
Observação: 
 Se o determinante de uma matriz for nulo, 
então pelo menos uma das quatro condições 
aqui expostas é satisfeita. 
Exercício 
1. (FEI) Para que o determinante da matriz 
𝐴 =
1 + 𝑎 −1
3 1 − 𝑎
 
seja nulo, o valor de a deve ser: 
a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 
d) -5 ou 3 e) 4 ou -4 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Propriedades 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Alterações no determinante 
- Multiplicando uma fila por 𝜶: 
 Consideremos o determinante da matriz 
abaixo: 
1 2 3
1 1 2
1 3 0
= 4 
 Se multiplicarmos a segunda linha por 
𝛼 = 3, então: 
1 2 3
3.1 3.1 3.2
1 3 0
=
1 2 3
3 3 6
1 3 0
= 12 
 Não é um mero acaso que o determinante 
também é multiplicado por 𝛼 = 3. De fato, de 
modo geral: 
 Resultado: O determinante é 
multiplicado por 𝛼. 
- Multiplicando a matriz por 𝜶: 
 Multiplicar uma matriz por um valor 𝛼 é o 
mesmo que multiplicar 𝑛 filas por 𝛼 (ver 
multiplicação de uma matriz por um escalar. 
 
 Portanto, o determinante será multiplicado 
por 𝛼 várias vezes, dependendo do número de 
filas da matriz. Como ao falar de determinantes 
estamos sempre nos referindo a matrizes 
quadradas, então o determinante é 
multiplicado por 𝜶𝒏, em que 𝒏 é a ordem da 
matriz quadrada. 
 
 Resultado: O determinante é 
multiplicado por 𝛼𝑛 . 
Exemplo: 
𝐴 =
1 2 1
2 2 0
1 3 3
 
 Aplicando a Regra de Sarrus encontramos: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
1 2 1
2 2 0
1 3 3
= −2 
 Multiplicando a matriz por 𝛼 = 2, obtemos: 
det 2𝐴 = 𝛼𝑛. det A = 
= 23. det 𝐴 = 8. −2 = −16 
 det 2𝐴 = −16 
- Trocando filas paralelas: 
1 1 −1
2 3 0
1 4 1
= −4 
 Se trocarmos a 2ª e a 3ª linha de lugar, 
teremos: 
1 1 −1
1 4 1
2 3 0
= 4 
 De modo geral: 
 Resultado: O determinante troca de 
sinal. 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Propriedades 
Exercício 
1. (MACKENZIE) – A é uma matriz quadrada de 
ordem 4 e detA = -6. O valor de x que satisfaz 
det(2A) = x – 97 é: 
a) -12 b) 0 c) 1 
d) 97/2 e) 194 
2. QUESTÃO BOA – (PUC) Se somarmos 4 a 
todos os elementos da matriz 
𝐴 =
1 2 3
1 1 𝑚
1 1 1
 
cujo determinante vale D, então o 
determinante da nova matriz vale: 
a) 2D b) 3D c) 4D 
d) 5D e) 6D 
Teorema de Jacobi 
 O Teorema de Jacobi informa que, se a uma 
determina fila somarmos uma combinação 
linear das demais filas, então o determinante 
não se altera. 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑚 𝑛 𝑝
𝑥 𝑦 𝑧
=
𝑎 𝑏 𝑐 + 2𝑎 − 3𝑏
𝑚 𝑛 𝑝 + 2𝑚 − 3𝑛
𝑥 𝑦 𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦
 
 Note que o determinante não é nulo, pois 
estamos somando uma combinação linear. O 
determinante é nulo se a fila já é combinação 
linear. 
𝑎 𝑏 2𝑎 − 3𝑏
𝑚 𝑛 2𝑚 − 3𝑛
𝑥 𝑦 2𝑥− 3𝑦
= 0 
 A terceira coluna é combinação linear das 
outras duas colunas. Já no caso abaixo: 
 Perceba: 
𝑎 𝑏 𝑐 + 2𝑎 − 3𝑏
𝑚 𝑛 𝑝 + 2𝑚 − 3𝑛
𝑥 𝑦 𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦
 
 Note que a terceira coluna não é 
combinação linear das outras duas. Como os 
termos 𝑐, 𝑝 e 𝑧 não existem nas outras duas 
colunas, é impossível construir a terceira coluna 
como combinação linear das outras duas. 
 Obs: O determinante também não se altera 
ao trocarmos ordenadamente linhas por 
colunas, ou seja: 
det 𝐴 = det (𝐴𝑡) 
1. O determinante 
Exercícios 
𝑥 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏
𝑦 𝑦 + 𝑎 𝑦 + 𝑏
𝑧 𝑧 + 𝑎 𝑧 + 𝑏
 
é nulo: 
a) Para quaisquer valores de x, y e z 
b) Somente se x = y = z = 0 
c) Somente se x = y = z = a ou x = y = z = b 
d) Somente se a = b = 0 
e) Somente se a = b = 1 e x ≠ y 
Teorema de Laplace 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Co-fator de um elemento 
 O co-fator é um complemento algébrico de 
um determinado elemento 𝑎𝑖𝑗 em relação ao 
restante da matriz. Sendo 𝐴𝑖𝑗 o co-fator do 
elemento 𝑎𝑖𝑗 , então ele é tal que: 
𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 . 𝐷 𝑖𝑗 
 Em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante que se obtém 
eliminando a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 da matriz. 
Exemplo: 
 Vamos calcular o co-fator 𝐴23 do elemento 
𝑎23 da matriz M abaixo: 
𝑀 =
1 5 2
4 8 3
1 2 −1
 
 Eliminando a linha e a coluna do elemento 
𝑎23 = 3, temos: 
1 5 2
4 8 3
1 2 −1
 
1 5
1 2
= −3 
 𝐷23 = −3 
 Mas sabemos que o co-fator é dado por: 
𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 . 𝐷 𝑖𝑗 = −1
2+3. −3 
= −1 . −3 = 3 
Teorema de Laplace 
 De acordo com este teorema, o 
determinante de qualquer matriz é igual soma 
dos produtos dos elementos de uma fila 
pelos seus respectivos co-fatores. 
 Seja M a matriz 4x4 abaixo: 
𝑀 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31
𝑎41
𝑎32
𝑎42
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44
 
 Se escolhermos a 2ª linha, então, pelo 
Teorema de Laplace: 
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟐𝟏. 𝑨𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐. 𝑨𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑. 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟐𝟒. 𝑨𝟐𝟒 
 Se escolhermos a 3ª coluna, então, pelo 
Teorema de Laplace: 
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟏𝟑. 𝑨𝟏𝟑 + 𝒂𝟐𝟑. 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟑𝟑. 𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑. 𝑨𝟒𝟑 
 A grande vantagem em se utilizar o 
Teorema de Laplace está em realizar operações 
que em envolvem determinantes de ordem n-1 
para calcular determinantes de matrizes de 
ordem n, de modo que é um método 
recomendando para matrizes de ordem n>3. 
- Como usar o Teorema de Laplace - 
 O cálculo de determinantes de ordem alta é 
ainda mais simplificado se escolhermos uma fila 
com o maior número de zeros possível. 
 Por exemplo, se na matriz M anterior 
tivermos 𝑎13 = 𝑎23 = 𝑎33 = 0, e escolhermos a 
3ª coluna, pelo Teorema de Laplace: 
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟏𝟑. 𝑨𝟏𝟑 + 𝒂𝟐𝟑. 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟑𝟑. 𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑. 𝑨𝟒𝟑
= 𝟎.𝑨𝟏𝟑 + 𝟎.𝑨𝟐𝟑 + 𝟎.𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑. 𝑨𝟒𝟑 
 𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟒𝟑. 𝑨𝟒𝟑 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Teorema de Laplace 
 Se não houver nenhuma fila que possua 
uma quantidade razoável de zeros, podemos 
obter uma, sem alterar o determinante, por 
meio da seguinte técnica: 
- Como obter uma fila com zeros - 
 1. Encontrar um elemento 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏. 
 2. Se não houver nenhum, podemo 
obtê-lo somando combinações lineares a 
uma fila, por meio do Teorema de Jacobi. 
 3. Usando o elemento 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏 , 
podemos multiplicar sua fila e subtraí-la 
das outra filas, para obter elementos 
iguais a zero. 
Exemplo: 
 Vamos usar esta ténica para calcular o 
determinante: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
2 4 6
3 −5 7
−2 8 10
 
 Este determinante não possui nenhum 
elemento igual a 1. No entanto, é fácil notar que 
se somarmos a linha 3 à linha 2, teremos 
𝑎21 = 1. Logo: 
𝐿2 + 𝐿3~
2 4 6
3 + (−2) −5 + 8 7 + 10
−2 8 10
 
 
=
2 4 6
1 3 17
−2 8 10
 
 Agora que possuimos um elemento igual a 
1, podemos utilizá-lo para zerar elementos da 
primeira coluna ou segunda linha. 
 Na primeira coluna, podemos somar à linha 
1 a seguinte combinação linear: 
𝐿1 − 2. 𝐿2 
 Ainda na primeira coluna, podemos somar 
à linha 3 a seguinte combinação linear: 
𝐿3 + 2. 𝐿2 
 Obtendo: 
2 − 2. (1) 4 − 2. (3) 6 − 2. (17)
1 3 17
−2 + 2. (1) 8 + 2. (3) 10 + 2. (17)
 
 
=
0 −2 −28
1 3 17
0 14 44
 
 Chegamos a uma situal excelente para 
aplicarmos o Teorema de Laplace na 1ª coluna! 
Portanto: 
 Teorema de Laplace na 1ª coluna: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. 𝐴11 + 1. 𝐴21 + 0. 𝐴31 = 𝐴21 
 Mas: 
𝐴21 = (−1)
2+1.
−2 −28
14 44
= −1 . −88 + 392 
 
= −304 
 Portanto: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝐴21 = −304 
Regra de Chió 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Exercícios 
1. Calcule o determinante da matriz 
𝑀 =
1 5 2
4 8 3
1 2 −1
 
aplicando o teorma de Laplace na 3ª coluna. 
2. Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números reais quaisquer, 
calcule o determinante de 
1 1 1 1
1 1 + 𝑎 1 1
1 1 1 + 𝑏 1
1 1 1 1 + 𝑐
 
3. Calcule: 
𝑛 + 1 𝑛 + 2 𝑛 + 3
𝑛 + 2 𝑛 + 3 𝑛 + 4
𝑛 + 3 𝑛 + 4 𝑛 + 5
 
Regra de Chió 
 A Regra de Chió é um dispositivo prático 
que serve para diminuir a ordem de uma 
matriz sem alterar seu determinante. Ele é 
consequência direta do Teorema de Laplace. 
 
 Para utilizá-lo, a matriz deve ter um 
elemento 𝑎𝑖𝑗 = 1. Se a matriz não possuir um, 
ele deve ser obtido usando o Teorema de Jacobi 
(ver tópico sobre Teorema de Laplace). 
 A Regra de Chió consiste em: 
1. Eliminar da matriz a linha e coluna que 
contém o elemento 𝑎𝑖𝑗 = 1. 
1 𝑎 𝑏 𝑐
𝑥 𝑚 𝑛 𝑝
𝑦 𝑞 𝑟 𝑠
𝑧 𝑡 𝑢 𝑣
 
2. Subtrair dos elementos restantes, o produto 
correspondentes na linha e coluna eliminadas. 
1 𝑎 𝑏 𝑐
𝑥 𝑚 − 𝑎𝑥 𝑛 − 𝑏𝑥 𝑝 − 𝑐𝑥
𝑦 𝑞 − 𝑎𝑦 𝑟 − 𝑏𝑦 𝑠 − 𝑐𝑦
𝑧 𝑡 − 𝑎𝑧 𝑢 − 𝑏𝑧 𝑣 − 𝑐𝑧
 
3. Calcular a matriz resultante e multiplicar o 
resultado por (−1)𝑖+𝑗, em que 𝑖 e 𝑗 são a linha e 
coluna do elemento igual a 1 escolhido 
inicialmente. 
𝑚 − 𝑎𝑥 𝑛 − 𝑏𝑥 𝑝 − 𝑐𝑥
𝑞 − 𝑎𝑦 𝑟 − 𝑏𝑦 𝑠 − 𝑐𝑦
𝑡 − 𝑎𝑧 𝑢 − 𝑏𝑧 𝑣 − 𝑐𝑧
(−1)𝑖+𝑗 
Exercício 
1. Calcule o seguinte determinante usando a 
Regra de Chió 
1 1 3 1
1 3 3 2
2 5 3 3
1 1 1 1
 
Propriedades Complementares 
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO SÃO PAULO - 2012 
Teorema de Binet 
 Sejam A e B duas matrizes quadradas de 
mesma ordem. Então: 
det 𝐴. 𝐵 = det 𝐴 . det (𝐵) 
Determinante de Vandermonde 
 Se um determinante for da forma 
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎2 𝑏2 𝑐2
⋯
1
𝑥
𝑥2
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−1 𝑐𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛−1
 
 Ele é chamado de Determinante de 
Vandermonde, e pode ser calculado por meio da 
seguinte identidade: 
𝑑𝑒𝑡 = 𝑏 − 𝑎 . 𝑐 − 𝑎 . 𝑐 − 𝑏 . 𝑑 − 𝑐 
. 𝑑 − 𝑏 . 𝑑 − 𝑎 … 
 Note que na expressão acima, os termos 
que serão multiplicados, são todas as diferenças 
possíveis entre os elementos da segunda linha, 
exceto as subtrações dos elementos da segunda 
linha por elementos na mesma linhaque 
estejam ‘à esquerda’ dele. 
 
 Logo, não entram termos como (𝑎 − 𝑏), 
(𝑏 − 𝑑), etc. 
Soma de Determinantes 
 Vale a seguinte identidade: 
𝑚 𝑥 + 𝑎 𝑞
𝑛 𝑦 + 𝑏 𝑟
𝑝 𝑧 + 𝑐 𝑠
=
𝑚 𝑥 𝑞
𝑛 𝑦 𝑟
𝑝 𝑧 𝑠
+
𝑚 𝑎 𝑞
𝑛 𝑏 𝑟
𝑝 𝑐 𝑠
 
Zeros em um lado da 
Diagonal Principal 
 O determinante é igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal. 
Exemplo: 
𝑘 0 0 0
𝑥 𝑦 0 0
𝑚 𝑛 𝑝 0
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= 𝑘. 𝑦. 𝑝. 𝑑 
Zeros em um lado da 
Diagonal Secundária 
 O determinanteé igual ao produto dos 
elementos da diagonal secundária, multiplicado 
por (−1)
𝑛(𝑛−1)
2 em que n é a ordem da matriz. 
Exemplo: 
1 3 2 1
5 7 2 0
3 5 0 0
4 0 0 0
= 1.2.5.4. (−1)
𝑛(𝑛−1)
2