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CUSTO RECEITA E LUCRO

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1
Função Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 
 
 Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção (ou 
simplesmente custo) e a relação entre eles denomina-se de função custo total (ou 
simplesmente função custo), e a indicamos por CT. 
 Existem custos que não dependem da quantidade produzidos, tais como aluguel, 
seguros e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida 
chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo que depende de x chamamos 
de custo variável, e indicamos por CV. 
 Assim, podemos escrever: 
 
CT (x) = CF + CV. 
 
 Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites (normalmente não 
muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela 
quantidade x. Esta constante é chamada de custo variável por unidade. 
 Seja x a quantidade vendida de um produto, então chamamos de R a função receita e C 
a função custo. Assim, indicamos a função lucro por L, na forma: 
 
L(x) = R(x) – CT (x). 
 
Exemplo: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 5.000,00, e o custo variável 
por unidade é R$ 10,00. Então a função custo total é dada por 
 
CT (x) = 5.000 + 10x. 
 
 Se o produto em questão for indivisível ( por exemplo, número de rádios), os valores de 
x serão 0,1,2,3,..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados (Figura 1). Caso o 
produto seja divisível (como toneladas de aço produzidas), os valores de x serão reais 
positivos, e o gráfico será a semi-reta da Figura 2, pois se trata de uma função do 1º grau. 
 
Fig. 1 – Função custo com domínio discreto. Fig. 2 – Função custo com domínio contínuo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando nada for dito a respeito das características do produto, admitiremos que o 
mesmo seja divisível, sendo o gráfico então uma curva contínua. 
 
Exemplo: Um produto é vendido a R$15,00 a unidade (preço constante). A função receita 
será: 
 
R(x) = 15x. 
 
 O gráfico dessa função será uma semi-reta passando pela origem (pois se trata de uma 
função do 1º grau com coeficiente linear igual a zero). Assim, o gráfico dessa função encontra-
se na Figura 3: 
 
 
 
Função custo com domínio discreto
4980
5000
5020
5040
5060
5080
0 2 4 6 8
q (quantidade)
C (q )
Função custo com domínio contínuo
4980
5000
5020
5040
5060
5080
0 2 4 6 8
q (quantidade)
C (q)
 2
Gráfico da função receita R(x) = 15x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se colocarmos o gráfico da função receita desse exemplo e o da função custo do 
exemplo anterior num mesmo sistema de eixos tem-se a Figura 4. Nessa figura, podemos 
observar que os gráficos interceptam-se num ponto N; nesse ponto a receita e o custo são 
iguais e conseqüentemente o lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de 
nivelamento ou ponto crítico e indicada por x*. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que: 
 Se x > x*, então R(x) > CT (x) e, portanto L(x) > 0(lucro positivo). 
 Se x < x*, então R(x) < CT (x) e, portanto L(x) < 0(lucro negativo). 
 
Exemplo: Suponhamos que a função custo seja CT (x) = 5.000 + 10x e a função receita seja 
R(x) = 15x. 
 O ponto de nivelamento é o valor de x tal que 
 
R(x) = CT (x). 
 
 Ou seja, 
 
15x = 5.000 + 10x, 
 5x = 5.000, 
 x = 1.000. 
 
 Assim, se x > 1.000, o lucro será positivo e, se x < 1.000, o lucro será negativo 
(prejuízo). 
 
 
Função Receita
0
50
100
150
200
0 5 10 15
q (quantidade)
R(q)
x
Prejuízo 
Ponto Crítico 
Lucro positivo
y 
x 
R 
x*
N 
 3
 A função lucro é dada por 
 
L(x) = R(x) – CT (x), 
L(x) = 15x – (5.000 + 10x), 
L(x) = 5x – 5.000. 
 
 A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade é chamada de 
margem de contribuição por unidade. Portanto, no nosso exemplo, a margem de 
contribuição por unidade vale R$ 5,00 (15 – 10). 
 
 
Margem de contribuição por unidade: diferença entre o preço de venda e o custo variável 
por unidade. 
Margem de contribuição por unidade: 15.000 – 10.000 = 5.000 
 
CM : Custo médio de produção: custo total dividido pela quantidade 
 
 
 
CM (x) = C T(x) 
 x 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Uma fábrica de móveis vende mesas por R$70,00 cada. O custo total de produção consiste 
de um custo fixo de R$8.000,00 somada ao custo de produção a partir de um custo variável 
por unidade de R$30,00. Determine: 
a) as funções receita e custo e lucro total. 
b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? 
c) Se forem vendidas 250 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? 
d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00 
e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 
Resposta: 
a) R(x) = 70x 
C(x) = 8000 + 30x 
L(x) = 40x – 8000 
b) 200 
c) lucro de R$ 2000,00 
d) 350 
e) 
 
2) Um artesão tem um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade 
produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: 
a) Determine as funções receita e custo e lucro total. 
b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? 
c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$450,00 
 
Reposta: 
a) R(x) = 175x 
 C(x) = 600 + 25x 
 L(x) = 150x – 600 
b) 4 
c) 7 
 
3) Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles 
observaram que, teriam um gasto fixo mensal de R$1.680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em 
materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$40,00. 
 4
a) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? 
b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 70 alunos? 
c) Quantos alunos o curso precisa ter para atingir um lucro de R$592,00? 
 
Reposta: 
a) 105 
b) prejuízo de R$ 560,00 
c) 142 
 
4) Um produto é vendido com uma margem de contribuição unitária igual a 40% do preço da 
venda. Qual o valor dessa margem como porcentagem do custo variável por unidade? 
 
Resposta: Admitamos um preço de venda igual a R$100,00. Dessa forma, a margem de 
contribuição é igual a (0,40). 100 = 40, e, portanto, o custo variável é igual a R$60,00. Logo 
a margem de contribuição como porcentagem do custo variável é 
40 = 0,6667 = 66,67%. 
60 
 
5) Um produto é vendido com uma margem de contribuição unitária igual a 50% do custo 
variável por unidade. Qual o valor dessa margem como porcentagem do preço de venda? 
 
Resposta: Admitamos um custo viável por unidade igual a R$100,00. Dessa forma, a margem 
de contribuição é igual a (0,50).100 = 50, e, portanto, o preço de venda é igual a R$150,00. 
Logo, a margem de contribuição é 50 = 0,3333 = 33,33%. 
 150 
 
6) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 3.000,00, o custo variável por unidade produzida 
é R$ 20,00, e o preço de venda é R$ 30,00. Qual a quantidade que deve ser vendida por 
mês para um lucro mensal de R$2.000,00? 
 
 
CF = 3.000,00 CV = 20.x 
R = 30.x L = 2.000,00 
L = R – CT 
2000 = 30.x – (20.x + 3000) è 2.000 = 30.x – 20.x – 3.000 
2.000 + 3.000 = 10x è 10x = 5.000 
x = 500 unidades 
 
 
7) Determine o ponto de equilíbrio e esboce os gráficos da função receita R(x) = 4x e 
custo C(x) = 50 + 2x: 
R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x 
 R(x) = C(x) Gráfico da Função 
4x = 50 + 2x 
4x – 2x = 50 
x = 25 
R(x) = 4 . 25 = 100 
C(x) = 50 + 2 . 25 = 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
100 
R(x) 
CT(x)
 5
8) O custo fixo mensal de uma empresa é R$60.000,00, o custo variável por unidade é R$6,00 
e o preço unitário de venda é R$9,00. 
 
a) Obtenha a função lucro: 
CF = 60.000 CV = 6.x ; CT = CV + CF ⇒ CT = 6x + 60.000R = 9.x L (x) = R – CT ⇒ L (x) = 9.x – (6x + 60.000) 
L (x) = 9x – 6x - 60.000 
L (x) = 3x - 60.000 
 
b) Qual o lucro ou prejuízo, se a empresa produz e vende 13000 unidades? 
L (13000) = 3 . 13000 – 60000 ⇒ L (13000) = 39000 – 60000 
L (13000) = -21.000 (PREJUÍZO) 
 
c) Qual a quantidade mínima da produção para que não haja prejuízo? 
 L (x) = 0 ⇒ 3x – 60.000 = 0 ⇒ 3x = 60.000 
3x = 20.000 unidades 
 
 
9) UUmm oobbjjeettoo éé vveennddiiddoo ppoorr RR$$ 1122,,0000 ccoomm lluuccrroo ddee RR$$ 55,,0000.. TTeennddoo ccuussttoo ffiixxoo ddee pprroodduuççããoo ddee 
RR$$ 55..660000,,0000.. OObbtteennhhaa:: 
aa)) AA ffuunnççããoo rreecceeiittaa,, ccuussttoo ttoottaall ee lluuccrroo sseeuu ggrrááffiiccoo.. 
bb)) CCaallccuullee aallggeebbrriiccaammeennttee oo ppoonnttoo ccrrííttiiccoo 
cc)) QQuuee qquuaannttiiddaaddee ddeevvee sseerr pprroodduuzziiddaa ppaarraa ssee oobbtteerr lluuccrroo ddee RR$$ 44..990000,,0000?? 
dd)) OO ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo ccuussttoo ttoottaall ee rreecceeiittaa ee mmoossttrree oo ppoonnttoo ccrrííttiiccoo.. 
ee)) CCoomm uummaa qquuaannttiiddaaddee ddee vveennddaass ddee mmiill ppeeççaass.. QQuuaall aa ssiittuuaaççããoo ddeessssaa eemmpprreessaa ((lluuccrroo oouu 
pprreejjuuíízzoo))?? MMoossttrree aallggeebbrriiccaammeennttee.. 
 
 
10) Certo objeto tem um preço de custo de R$ 8,00 e é vendido por R$ 20,00. Tendo custo fixo 
de produção de R$ 1.440,00 obtenha: 
 
aa)) AA ffuunnççããoo rreecceeiittaa,, ccuussttoo ttoottaall ee lluuccrroo sseeuu ggrrááffiiccoo.. 
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11) SSaabbeennddoo qquuee oo lluuccrroo ppoorr uunniiddaaddee éé RR$$ 33,,0000,, oo pprreeççoo ddee vveennddaa éé RR$$ 1100,,0000 ee oo ccuussttoo ffiixxoo RR$$ 
115500,,0000 oobbtteennhhaa:: 
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12) SSuuppoonnhhaa qquuee oo ccuussttoo ffiixxoo ddee pprroodduuççããoo ddee uumm aarrttiiggoo sseejjaa RR$$ 44..550000,,0000.. OO ccuussttoo vvaarriiáávveell éé 
6600%% ddoo pprreeççoo ddee vveennddaa qquuee éé RR$$ 1155,,0000 ppoorr uunniiddaaddee.. QQuuaall aa qquuaannttiiddaaddee ee oo pprreeççoo ddee 
nniivveellaammeennttoo ((oouu ccrrííttiiccoo)).. FFaaççaa oo ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo rreecceeiittaa ee ddaa ffuunnççããoo ccuussttoo ttoottaall nnuumm 
mmeessmmoo ggrrááffiiccoo.. MMaarrqquuee oo ppoonnttoo ddee nniivveellaammeennttoo ((oouu ccrrííttiiccoo)) ee aass rreeggiiõõeess ddee lluuccrroo ee 
pprreejjuuíízzoo.. 
 
 
 
 
 
 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de 800,00 por mês e custos variáveis de 
0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas 
copiadas por mês. Se os consumidores pagam 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que 
reproduzir para não ter prejuízo? 
 
 
15.000 
 
13.500 
 
11.250 
 
 4.500 
 
750
Ponto 
Crítico 
Receita 
1000 
-- 
++
Custo Total 
CT 
Q

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